Homomorfismos de Anéis

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Homomorfismos 
Sejam e anéis. Uma função é um homomorfismo de anéis 
se, para quaisquer , temos que: 
i. 
ii. 
Se, além disso, é uma função bijetora, dizemos que é um isomorfismo de anéis. 
Neste caso, dizemos que e são isomorfos e denotamos por . 
Se , dizemos que é um endomorfismo de anéis. Se é um isomorfismo, 
então dizemos que é um automorfismo de anel . 
Exercício: Se é um homomorfismo de anéis e é um subanel de A então 
é um subanel de . 
De fato, ... 
 
Proposição 8: Sejam e homomorfismos de anéis. Então, 
é um homomorfismo de anéis. 
Prova:... 
 
Def.: Se é uma função e , definimos a imagem inversa de por pelo 
conjunto 
 
Teorema 9: Se é um homomorfismo de anéis e é um subanel de 
 então é um subanel de . 
Prova:... 
 
Def.: Seja um homomorfismo de anéis. Chamamos de núcleo e denotamos por 
 (ou mesmo ) ao conjunto 
 
Corolário 10: Seja um homomorfismo de anéis. Então é subanel de . 
Prova... 
 
Exemplos: 
1. Consideremos o homomorfismo de anéis definido por , para todo . 
Então, . 
Com efeito,... 
 
2. Consideremos o homomorfismo de anéis definido por , para todo . 
Vamos determinar o núcleo de . 
 
3. Consideremos o homomorfismo de anéis definido por para todo 
 . Vamos determinar o núcleo de . 
 
Exercício: Mostre que a aplicação definida por para todo 
 , é um homomorfismo de anéis. Determine . 
 
Proposição 11: Seja um homomorfismo de anéis. Então, é um 
homomorfismo injetor se, e somente se, . 
Prova:.... 
 
Exemplo: Seja e consideremos a aplicação 
definida por . Então, é um isomorfismo de anéis. Em particular, neste 
caso, é denominado um automorfismo de anel . 
Com efeito,.... 
 
Proposição 12: Se é um isomorfismo de anéis então também é um 
isomorfismo de anéis. 
Prova:... 
 
Se é um isomorfismo de anéis então dizemos que e são isomorfos e diferem 
apenas pelo nome de seus elementos e operações. Essencialmente, são o mesmo anel e cada 
um pode ser considerado uma cópia do outro.