Ideais em Anéis

Prévia do material em texto

Ideais 
Sejam um anel e um subconjunto não vazio de . Dizemos que: 
a) é um ideal à direita de se, para quaisquer e , temos que 
 e . 
b) é um ideal à esquerda de se, para quaisquer e , temos que 
 e . 
c) é um ideal (ou ideal bilateral) de se, para quaisquer e , 
temos que , e . 
Se é um anel comutativo então os adjetivos à direita e à esquerda podem 
ser suprimidos, uma vez que para quaisquer e , temos que . 
Exemplos: 
1. e são os ideais triviais do anel . 
 
2. O subconjunto , para todo inteiro , é um ideal do 
anel . 
 
 
 
 
 
 
3. Seja um homomorfismo de anéis. Então, o núcleo de , 
denotado pelo conjunto é um ideal do anel 
 . 
 
 
 
 
 
4. Consideremos o anel e seja 
 um subconjunto não vazio de . Então é um 
ideal do anel . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Mostre que todo ideal de um anel é um subanel mas que, nem todo 
subanel de um anel é um ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Sejam , 
 
 
 e 
 
 
 . 
Mostre que: 
 
i. é um ideal à direita e que não é um ideal à esquerda de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii. é um ideal à esquerda e que não é um ideal à direita de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proposição 13: Seja um ideal de um anel comutativo . Então: 
i. 
ii. Se então, . 
iii. Se então 
iv. Se possui unidade e se algum elemento inversível da anel pertence a 
 então . 
 
Prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Sejam um anel com unidade 1 e um ideal à direita (ou à 
esquerda) de . Se então .