relação de equivalência

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Relação de Equivalência
Seja A um conjunto não-vazio. Seja R uma relação binária em A; que indicaremos
também por� : Dizemos que R é uma relação de equivalência se e somente se para quaisquer
a; b; c 2 A; as seguintes propriedades são satisfeitas:
(i) a � a ( Dizemos que a relação é re‡exiva)
(ii) a � b) b � a (Dizemos que a relação é simétrica)
(iii) a � b e b � c) a � c (Dizemos que a relação é transitiva).
Exemplo 0.1. Sejam A = fa; b; cg , R1 = f(a; b); (b; a); (a; a); (b; b)g e R2 = f(a; b); (b; a); (a; a); (b; b); (c; c)g:
Analisemos.
Por causa da propriedade transitiva, dada uma relação de equivalência � num conjunto
A; todos os elementos equivalentes a um dado elemento a 2 A são equivalentes entre si. Por
isso, vamos agrupá-los em subconjuntos.
Sejam A um conjunto e � uma relação de equivalência em A: Para cada elemento
a 2 A; chama-se classe de equivalência de a; segundo � o conjunto de todos os elementos
x 2 A que se relaciona com a.
C(a) = fx 2 Ajx � ag:
Observemos que:
1) Para 8a 2 A; C(a) 6= ; pois a 2 C(a); devido à propriedade re‡exiva.
2) C(a) � A; e C(a) 2 P (A):
3) A C(a) diz-se determinada ou de…nida pelo elemento a; que é então dito um
representante de C(a)
4) A C(a) é também denotada por a� ; [a]�; �a:
Exemplo 0.2. No conjunto dos pontos de um plano �, …xamos um ponto O. Dados
dois pontos p; q de �; dizemos que p � q se e somente se a distância Op é igual à distância Oq.
Isso de…ne uma relação de equivalência. (Veri…quemos)
Os pontos equivalentes a um dado ponto p são todos os pontos da circunferência com
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centro O que passa por p: Assim, nesse caso, existem in…nitas classes de equivalências em � :
todas as circunferências com centro O.
0.1 Definição. Chama-se conjunto quociente de A pela relação de equivalência � em A ao
conjunto de todas as classes de equivalência determinadas pela relação � dos elementos de A:
Em símbolos,
A
� = fC(a); a 2 Ag:
Exemplo 0.3. Sejam A = f0; 1; 2; 3g e �= f(0; 0); (0; 2); (1; 1); (1; 3); (2; 2); (2; 0); (3; 3); (3; 1)g:
Analisemos.
Exemplo 0.4. Consideremos o conjunto N dos números naturais, a relação de equiv-
alência dada por x � y , x = y: As classes de equivalência em N; segundo � são C(n) =
fx 2 N;x � ng = fx 2 N;x = ng = fng: Logo as classes de equivalência segundo � são:
f1g; f2g; f3g; :::fng; ::: e portanto, o conjunto quociente de N por � é N� = ff1g; f2g; f3g; :::fng; :::g
Exemplo 0.5. Consideremos o conjunto R dos números reais, a relação de equivalência
dada por x � y , jxj = jyj: Analisemos.
Propriedades das Classes de Equivalência
Seja � uma relação de equivalência num conjunto não-vazio A e sejam a; b dois ele-
mentos quaisquer de A:
0.2 Teorema. As classes de equivalência C(a) e C(b) são iguais se e somente se a se relaciona
com b, isto é, (a � b):
De acordo com este teorema anterior, dois elementos quaisquer a e b do conjunto A
são representantes de uma mesma classe de equivalência segundo � se e somente se a está na
relação � com b; isto é a � b:
0.3 Teorema. Se as classes de equivalência C(a) e C(b) são tais que C(a) \ C(b) 6= ;; então
C(a) = C(b)
Vale ressaltar que daí temos :
0.4 Teorema. Se as classes de equivalência C(a) e C(b) são diferentes, então são disjuntas.
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Partição de um Conjunto
0.5 Definição. Seja A um conjunto não vazio. Chama-se partição de A todo conjunto P
cujos elementos são subconjuntos não vazios de A tal que
(a) Se A;B 2 P e A 6= B; então A \B = ;; isto é, os subconjuntos são dois a dois disjuntos.
(b)
[
C2P
C = A; isto é, a união dos elementos de P é o conjunto A:
Exemplo 0.6. Consideremos o conjunto A = fa; b; c; d; e; fg e os seguintes conjuntos
de partes de A :
P1 = ffag; fbg; fc; dg; fe; fgg
P2 = ffa; b; cg; fd; eg; ffgg
P3 = ffa; bg; fc; dg; ffgg
P4 = ffa; b; cg; fd; e; fg; ;g
P5 = ffa; bg; fb; c; dg; fe; fgg:
Analisemos quais são partições.
Exemplo 0.7. Consideremos o conjunto A = fx 2 R;�6 6 x 6 27g e os três subcon-
juntos de A :
P1 = fx 2 R;�6 6 x 6 �1g
P2 = fx 2 R;�1 6 x 6 8g
P3 = fx 2 R; 8 6 x 6 27g:
O conjunto P = fP1; P2; P3g é uma partição do conjunto A pois P1; P2; P3 não são
vazios, são dois a dois disjuntos e A = P1 [ P2 [ P3
Partição Associada a uma Relação de Equivalência
0.6 Teorema. Dados um conjunto não vazio A e uma relação de equivalência � em A, o
conjunto quociente A� é uma partição de A:
Relação de Equivalência Associada a uma Partição
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0.7 Teorema. Seja P = fX1; X2; :::; Xn; ::g uma partição do conjunto não vazio A. A relação
� em A tal que dois elementos x; y 2 A se relacionam se e somente se x; y pertencem ao mesmo
elemento Xi de P; ou seja
x � y , x; y 2 Xi
é uma relação de equivalência em A:
0.8 Corolário. A partição P = fX1; X2; :::; Xn; :::g é a partição de A induzida pela relação
de equivalência � em A:
Exemplo 0.8. Consideremos a partição P = ffa; bg; fc; dg; fegg do conjunto A =
fa; b; c; d; eg: A relação de equivalência em A associada a esta partição P de A é
�= f(a; a); (a; b); (b; b); (b; a); (c; c); (c; d); (d; d); (d; c); (e; e)g
Reciprocamente, a partição de A associada a esta relação de equivalência � em A é exatamente
a partição considerada, como é fácil perceber.
Podemos resumir os resultados dados anteriormente no importante:
0.9 Teorema. As diferentes classes de equivalência de uma relação de equivalência num con-
junto A fornecem uma decomposição de A em subconjuntos mutuamente disjuntos,não-vazios,
cuja união é todo o conjunto A .
Reciprocamente, dada uma decomposição de A como união de subconjuntos mutua-
mente disjuntos não vazios, podemos de…nir uma relação de equivalência em A cujas classes
sejam, precisamente, os subconjuntos dados.
Exemplo 0.9. Consideremos no conjunto N�N a relação de…nida da seguinte maneira:
8(a; b); (c; d) 2 N� N; (a; b) � (c; d), a+ d = b+ c:
Exemplo 0.10. Seja n um inteiro positivo. Sobre o conjunto Z de…namos a relação
�n da seguinte maneira:
8a; b 2 Z; a �n b, nj(a� b)
Exercícios:
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1) Mostrar que a relação em A = f1; 2; 3; 4g : �= f(x; y) 2 A2;x = y ou x + y = 3g é
uma relação de equivalência e determinar a partição de A associada a esta relação.
2) Mostrar a relação em R dada por
x � y , jxj � jyj = x� y
é uma relação de equivalência e determine as classes de equivalência.
Referências Bibliográ…cas:
Coutinho,S.C. Números Inteiros e Criptogra…a RSA. Rio de Janeiro: IMPA, 2005
Dean. Elementos de Álgebra Abstrata. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e cientí…cos
Editora S.A.,1974
Filho, Edgar. Relações Binárias. São Paulo: Nobel, 1984
Milies, Polcino e Coelho, Sônia. Números: Uma introdução à Matemática. São Paulo:
Edusp, 2003
Shokranian, Soares e Godinho. Teoria dos Números. Brasília: Editora Universidade
de Brasília, 1999.