Resumo sem demonstracoes

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GRUPOS
DEFINIÇÃO: GRUPO
Um grupo é um conjunto A munido de uma operação * entre pares de G tal que (“G vezes G em G” ou “G cartesiano G em G”). 
A operação * satisfaz as seguintes propriedades:
 A operação * é associativa:
 ;
 Existência de identidade do grupo (G,*):
 ;
 Existência de inverso de a em relação a operação *: 
 
DEFINIÇÃO: GRUPO ABELIANO
Um grupo (G,*) é abeliano se a operação * é comutativa:
Observações:
 - Um grupo abeliano possui no máximo 5 elementos;
 - Os grupos Sn, , não são abelianos; 
 - Inteiros com módulo 6, adição (Zn,+) é um grupo abeliano.
 - Todo grupo cíclico é abeliano mas todo grupo abeliano não é cíclico.
 Ex. abeliano e cíclico: (Zn,+)
 Ex. abeliano, mas não cíclico: 
Exemplo: S3 é não abeliano:
 e f1 f2 f3 f4 f5
Logo, .
DEFINIÇÃO: PERMUTAÇÃO
Uma permutação de um conjunto X é qualquer função bijetora (de X em X).
O conjunto das permutações de X denotemos P(X).
Quando X é finito, denotemos esse grupo das permutações por Sn.
Exemplo: O grupo das permutações de 2 elementos:
 identidade (e) uma permutação (f1) que 
 contém duas transposições 
DEFINIÇÃO: TRANSPOSIÇÃO:
Uma transposição é uma permutação de dois elementos.
DEFINIÇÃO: CÍCLO
Uma permutação pode também ser representada por um ciclo. Por exemplo:
Ex. 
 ciclo σ ciclo τ
Observação 1: Os ciclos de juntos comutam: . 
Observação 2: O que não está dentro de um ciclo, é fixo. Por exemplo:
 
 =6 
DEFINIÇÃO: r-CICLO
Uma permutação é chamada de r-ciclo se existem elementos
 tais que , , , . 
Tal ciclo será denotado por . 
Neste caso usaremos a notação em vez da notação anterior de permutação. Observem que temos de especificar os grupos a que elas pertencem.
Observem também que um r-ciclo de pertence ao grupo r é ímpar.
Os e são dois ciclos disjuntos se a união deles é igual ao conjunto vazio. 
Se e são dois ciclos disjuntos de , eles comutam entre si: .
TEOREMA: Toda permutação é um produto de ciclos disjuntos dois a dois.
TEOREMA: Todo ciclo é um produto de transposições.
COROLÁRIO: Toda permutação é um produto de transposições.
Demonstração: 
 σ1 σ2 σn-1 σn
DEFINIÇÃO: GRUPO CÍCLICO
Um grupo é cíclico se existe um elemento tal que “a gera G” (ou: ): 
.
Observe: Todo grupo cíclico é abeliano mas todo grupo abeliano não é cíclico.
 Ex. abeliano e cíclico: (Zn,+)
 Ex. abeliano, mas não cíclico: 
PROPOZIÇÃO: é um gerador do grupo (Zn,+) se e somente se .
DEFINIÇÃO: SUBGRUPO
 é um subgrupo de G (ou: ) se:
H é um próprio grupo com a mesma operação de G. Isto implica:
 - A operação é associativa: ;
 - Existência de identidade: A identidade e de grupo G pertence ao grupo H 
 também: .
 - Existência de inverso de elemento : .
 tem-se 
tem-se 
Exemplo: 
 
 e f1 f2
DEFINIÇÃO: CLASSE de EQUIVALÊNCIA
Definimos uma classe de equivalência assim: .
PROPOZIÇÃO: RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Dados , então a relação define uma relação de equivalência no conjunto G. 
DEFINIÇÃO: CLASSE LATERAL (À ESQUERDA) de H em G 
De acordo com a relação de equivalência temos que que implica . Multiplicando esta relação por a, obtemos . Agora definimos o conjunto como uma classe lateral de H em G.
TEOREMA de LAGRANGE
Dado G um grupo finito e se , então a ordem de H é um divisor da ordem de G: 
 número de classes que H determine em G
 
Observação: A reciproca do Teorema de Lagrange em geral não vale.
(Vale somente para os grupos cíclicos.)
Proposição: Todo grupo finito de ordem primo é cíclico (e abeliano).
Proposição: Se G é um grupo tal que , então G é abelianio.
ANEIS
DEFINIÇÃO: ANEL
Um anel ou anel comutativo é um conjunto A munido de duas operações: adição e multiplicação:
 
 
As operações satisfazem as seguintes propriedades:
A.M.1. Existência do elemento neutro com respeito à adição respectivamente com respeito à multiplicação:
Exemplo (anel com unidade 1): .
A.M.2. A adição e a multiplicação são associativas: 
	
	
A.M.3. A adição é e a multiplicação são comutativas:
Exemplo (multiplicação): .
A.M.4. A adição é distributiva relativamente à multiplicação:
A.5. Existência do inverso aditivo :
DEFINIÇÃO: DOMÍNIO DE INTEGRIDADE
Um anel é chamado domínio da integridade se ele satisfaz a seguinte condição:
M.5. O produto de quaisquer dois elementos não nulos de A é um elemento diferente do zero:
	
Exemplos:
 é um domínio;
 é um domínio de Integridade que não é corpo.
Seja . Então é um domínio chamado anel dos inteiros de Gauss.
DEFINIÇÃO: SUBANEL
 é um subanel se de (a notação: ) se ele está fechado para as ambas operações:
	
	
Exemplos dos subanéis: 
 onde 
 onde e p é primo.
Critério para subanel: é um subanel de se e somente se:
Elemento neutro pertence a B: 
B é fechado para a diferença: 	
B é fechado para o produto:	
DEFINIÇÃO: CORPO
Um domínio da integridade é um corpo se vale a seguinte propriedade:
M.6. Todo elemento diferente do zero de A possui um elemento inverso com o respeito à multiplicação:
	Exemplos de corpos: , Q(i): 
Observação 1: todo domínio finito é um corpo.
Observação 2: não é um corpo se n não é primo.
Observação 3: não é um corpo porque x não tem inverso.
Observação 4: não é um corpo porque é transcendente. 
DEFINIÇÃO: SUBCORPO
Se um subanel de um corpo é também um corpo dizemos que B é um subcorpo de K.
Exemplos: é um subcorpo de R e é um subcorpo de C
Observe que não é um subanel de .
Proposição: Todo domínio finito é um corpo. 
Exemplo: é um anel finito. Usando o Teorema de Bezaut pode-se mostrar que ele é um corpo também.
POLINÔMIOS
DEFINIÇÃO: POLINÔMIO
Um polinômio de grau sobre o corpo K em uma indeterminada x é uma expressão da forma ... onde .
DEFINIÇÃO: e 
 é o conjunto de todos os polinómios sobre o corpo K em uma indeterminada x.
 é um domínio de integridade onde o polinómio 0 e o elemento neutro de e o polinómio constante 1 é a unidade de .
Corolário: A função polinomial composta, de grau , pertencente ao corpo possui as seguintes propriedades:
TEOREMA: ALGORITMO DE DIVISÃO: Seja K um corpo. Sejam com . Então existe único par tais que onde ou .
Proposição: O número de raízes de um polinómio sobre o corpo e de grau n é igual ou menor do que o grau deste polinômio: .
Observação: Um polinômio não é sempre igual a uma função. Existem vários polinômios diferentes que determinam uma mesma função. Isto Acontece quando, por exemplo, é fechado:
Ex.:
		
		
		
DEFINIÇÃO: MÁXIMO DIVISOR COMMUM
Máximo divisor comum entre dois polinômios , (um deles deve ser diferente do zero) é um polinômio tal que:
i) e ;
ii) Se existe tal que e , então .
Regra: No caso de dois polinômios do mesmo grau do dominante, então o polinômio com o coeficiente do dominante igual á um é o máximo divisor comum.
TEOREMA: FATORIZAÇÃO
Todo polinômio pode ser escrito como produto são polinômios irredutíveis sobre K, não necessariamente distintos num único modo a menos da constante e da ordem dos polinómios: .
DEFINIÇÃO: POLINÔMIOS IRREDUTÍVEIS
Um polinômio é irredutível sobre K se não pode ser decomposto como um produto de dois polinômios de graus estritamente menores
que o seu grau.
Observação 1: Todo polinômio de grau 1 é irredutível.
Observação 2: Não importa se o polinômio tem uma raiz em K ou não. Por exemplo: não tem nenhuma raiz em K, mas é redutível: .
Observação 3: As raízes complexos sempre aparecem em par.
O CRITÉRIO de EISENSTEIN
O polinômio é irredutível sobre Q se existe um número primo p tal que:
Teoria Fundamental de Álgebra: Todo polinômio com coeficiente complexo tem pelo menos uma raiz complexa e, portanto, todas.