SEMINARIO PROFESSORA JOANA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
CENTRO DE CIÊNCIAS MATEMÁTICAS DA NATUREZA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
RELATÓRIO DE ALGEBRA 2
por: Angélica Mattozinho e Bruna Coutinho
Algoritmo da Divisão para Polinômios
	
Sejam A um corpo e f(x), g(x) ∈ A[x] dois polinômios com g(x)
não-nulo, então existem polinômios q(x), r(x) ∈ A[x] tais que
f(x) = q(x) g(x) + r(x) com gr(r(x)) < gr(g(x)) ou r(x) = 0.
Antes de demostrar é preciso não se esquecer de algumas coisas:
 Veja a semelhança deste resultado com o algoritmo da divisão 
em Z: dados a, b ∈ Z, com b > 0, então existem q, r ∈ Z tais que 
 a = qb + r com 0 ≤ r < b.
 
Lembre-se da terminologia usada: a é o dividendo, b é o divisor, 
q é o quociente e r é o resto. Lembre-se, também, de que a equação 
a = qb + r é representada pelo esquema da divisão.
a | b
r | q
Analogamente, na propriedade da divisão para polinômios, o polinômio f(x) é chamado de dividendo, g(x) é o divisor, q(x) é o quociente e r(x) é polinômio resto. Também representamos a equação f(x) = q(x)g(x) + r(x) de forma esquemática:
f(x) |g(x)
r(x) |q(x)
Se o resto for o polinômio nulo, r(x) = 0, temos f(x) = q(x)g(x), e dizemos que o polinômio g(x) divide o polinômio f(x) em A[x], e denotamos isso por g(x) f(x). Nesse caso, também dizemos que g(x) é um divisor de f(x), ou que g(x) é um fator de f(x), ou, ainda, que f(x) é um múltiplo de g(x) em A[x].
A forma de provarmos a existência dos polinômios q(x) e r(x) será construindo um algoritmo para calculá-los. Este algoritmo, que é simplesmente uma generalização, será recursivo, o que significa que seu passo principal será aplicado repetidas vezes. O algoritmo fará esta repetição, obtendo uma sequência de polinômios restos r(x), até que o grau de r(x) seja menor que o grau do polinômio divisor g(x) ou até que r(x) = 0.
*******DEMOSTRAÇÃO DO ALGORITMO DA DIVISÃO DE POLINÔMIOS********
Lembre-se de que queremos encontrar polinômios q(x) e r(x), em A[x], que satisfaçam 
f(x) = q(x)g(x) + r(x) com gr(r(x)) < gr(g(x)) ou r(x) = 0.
PRIMEIRO CASO: f(x) é o polinômio nulo, isto é, f(x) = 0.
Neste caso, escolhemos q(x) = r(x) = 0 e, assim, obtemos f(x) = 0 
= 0 . g(x) + 0 = q(x)g(x) + r(x), ou seja, temos f(x) = q(x)g(x) + r(x) com r(x) = 0, garantindo a condição da divisão.
SEGUNDO CASO: f(x) é um polinômio não-nulo com gr(f(x)) < gr(g(x)).
Agora, escolhendo q(x) = 0 e r(x) = f(x), temos:
 f(x) = 0 + f(x) 
 = 0.g(x) + f(x)
 = q(x)g(x) + r(x)
Com gr(r(x)) = gr(f(x)) < gr(g(x)). Portanto, temos f(x) = q(x)g(x) + r(x) com gr(r(x)) < gr(g(x)), garantindo, outra vez, a condição da divisão.
TERCEIRO CASO: f(x) é um polinômio não-nulo com gr(f(x)) ≥ gr(g(x)).
[LIVRO DO ADILSON. (PARTE DA BRUNA)]
PROPOSIÇÃO 1: Seja K um corpo e seja f(x)= um polinômio não nulo em K[x] de grau n. Então o número de raízes de f[x] é no máximo igual ao grf(x)=n.
Demonstração: 
[LIVRO DO ADILSON. (PARTE DA BRUNA)]
Corolário 1: Um polinômio de grau n sobre um corpo tem no máximo n zeros contando multiplicidades.
Demonstração
Usamos indução em n. Claramente um polinômio de grau 1 tem exatamente 1 zero . Agora suponha que a afirmativa é válida para todo polinômio de grau menor que n e n é maior que 1. Seja f um polinômio de grau n sobre um corpo e seja a um zero de multiplicidade k. Então f(x) = (x−a)^(K)g(x) onde g(a) ≠ 0 e n = k + grg o que mostra que grg < n. Se f não tem nenhum zero diferente de a então não temos nada mais a demonstrar. Se f tiver outro zero b ≠ a então 0 = f(b) = (b−a)^(k)g(b)
e então g(b) = 0 .Como grg < n segue pela nossa hipótese de indução que o número de zeros de g é menor ou igual ao grau de g e assim número de zeros contando multiplicidades de f ´e menor ou igual a k + grg = k + n − k = n e o nosso corolário está demonstrado.
Corolário 2: Sejam f(x) e g(x) € K[X] onde K é um corpo com um número infinito de elementos. Então: 
f(x)=g(x) ↔ f(b)=g(b)
Demonstração:
→ Trivial pela igualdade de Polinômios.
Exemplo: se f(x) foi igual a g(x) é porque ambos são idênticos. 
← Seja h(x)= f(x) – g(x) Є K[X]. Assim por hipótese, temos h(b) = 0 ɏ b Є K. E como K é infinito segue imediatamente de Preposição 1 que h(x) = 0 ou seja f(x)=g(x) como queríamos demonstrar. Ou seja, para os corpos finitos é válido o princípio da identidade para polinômios.
RIO DE JANEIRO
2012