EAD350 II 2017 Atividade3 Soluções

Prévia do material em texto

EAD 350 
 Pesquisa Operacional 
Atividade 3 
para 22/08/2017 
Prof. Hiroo Takaoka 
 
takaoka@usp.br 
FEA/USP 
• A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores, com base em 
duas matérias primas (M1 e M2), de acordo com a tabela abaixo 
• Uma pesquisa de mercado indica que a oferta máxima diária de tinta 
para interiores não pode ultrapassar a de tinta para exteriores em mais 
de uma tonelada (1t) 
• A demanda máxima de tinta para interiores é 2 toneladas (2 t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) Com base na solução do exercício 1A, calcule preços sombra. 
Atividade 3 – Exercício 3A (continuação do exercício 
1A) para 22/08/2017 - Entregar em papel, individual, 
no início da aula, apresentando os cálculos realizados 
Matéria Prima 
Consumo de Matéria Prima 
 por Tonelada de Tinta 
Disponibilidade 
Diária de Matéria 
Prima por Dia 
(Tonelada) 
Tinta para 
Exteriores 
Tinta para 
Interiores 
M1 6 4 24 
M2 1 2 6 
Lucro por 
Tonelada 
5 4 
X2 
X1 1 2 3 4 5 6 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDEF 
A 
C 
0 
E 
F 
Ponto X1 X2 Z 
A 0 0 0 
B 0 1 4 
C 1 2 13 
D 2 2 18 
E 3 1,5 21 
F 4 0 20 
Max Z (Lucro) = 5X1 + 4X2 
Sujeito a 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
-1X1 + 1X2 < 1 (Oferta Interior) 
 0X1 +1X2 < 2 (Demanda Interior) 
X1, X2 > 0 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
Exercício 3A – Reddy Mikks 
B 
-1X1 + 1X2 < 1 (Oferta Interior) 
X2 < 2 (Demanda Interior) 
D 
X1 – Tinta para exteriores 
X2 – Tinta para interiores 
Solução do Exercício 1A 
X2 
X1 1 2 3 4 5 6 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDEF 
A 
C 
0 
E 
F 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
Exercício 3A– Reddy Mikks 
B 
-1X1 + 1X2 < 1 (Interior) 
X2 < 2 (Demanda Interior) 
D 
Resolvendo para E’: 
1X1 + 2X2 = 7 
6X1 + 4X2 =24 
X1 = 7 - 2X2 
6(7 - 2X2) + 4X2 =24  X2 = 2,25 
X1 = 7 - 2(2,25) = 2,5 
Z´ = 5X1 + 4X2 = 5(2,5)+4(2,25)=21,5 
5,0
67
215,21
2
2 






b
Z
y
E’ 
1X1 + 2X2 < 7 (M2) 
G 
A restrição pode ser deslocada até 
os pontos 
F(4; 0) e G(2,66; 2) 
4 < M2 < 6,66 
Preço Sombra – Restrição M2 
Preço sombra da 
restrição M2 é 0,5 
X2 
X1 1 2 3 4 5 6 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
6X1 + 4X2 < 24 (M1) 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDEF 
A 
C 
0 
E 
F 
1X1 + 2X2 < 6 (M2) 
Exercício 3A - Reddy Mikks 
B 
-1X1 + 1X2 < 1 (Interior) 
X2 < 2 (Demanda Interior) 
D 
Resolvendo para E’: 
1X1 + 2X2 = 6 
6X1 + 4X2 =25 
X1 = 6 - 2X2 
6(6 - 2X2) + 4X2 =25  X2 = 11/8 = 1,375 
X1 = 7 - 2(11/8) = 13/4 = 3,25 
Z´ = 5X1 + 4X2 = 5(3,25) + 4(1,375)=21,75 
75,0
2425
2175,21
1
1 






b
Z
y
Preço Sombra – Restrição M1 
E’ 
G 
A restrição pode ser 
deslocada até os pontos 
D(2; 2) e G(6; 0) 
20 < M1 < 36 
6X1 + 4X2 < 25 (M1) 
Preço sombra da 
restrição M1 é 0,75 
 Edmundo adora bifes e batatas. Assim, decidiu entrar em dieta regular 
usando somente esses alimentos. Ele percebe que essa não é a dieta mais 
saudável e, portanto, quer certificar-se de que se alimenta das quantidades 
certas desses dois tipos de alimentos, a fim de atender a determinados 
requisitos nutricionais. Ele obteve as seguintes informações nutricionais e de 
custos, e quer determinar o número de porções diárias de cada alimento 
(pode ser fracionários) que atenderá a essas exigências a um custo mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) Com base na solução do exercício 1B, calcule preços sombra. 
 (Hillier e Lieberman, 2010) 
Atividade 3 – Exercício 3B (continuação do exercício 
1B) para 22/08/2017 - Entregar em papel, individual, 
no início da aula, apresentando os cálculos realizados 
Ingrediente 
Ingredientes por Grama em cada 
Porção Exigências Diárias 
(Gramas) 
Bife Batata 
Carboidratos 5 15 > 50 
Proteínas 20 5 > 40 
Gordura 15 2 < 60 
Custo por Porção US$4 US$2 
Exercício 3B – Dieta 
X2 
X1 5 10 15 20 25 30 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 3 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCD 
A 
B 
0 
C 
D 
Ponto X1 X2 Z 
A 1,272 2,909 10,909 
B 0 8 16 
C 0 30 60 
D 3,721 2,093 29 
Min Z (Custo) = 4X1 + 2X2 
Sujeito a 
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1 
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2 
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 3 
X1, X2 > 0 
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1 
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2 
Solução do Exercício 1B 
Exercício 3B – Dieta 
X2 
X1 5 10 15 20 25 30 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura ) 3 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCD 
A 
B 
0 
C 
D 
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1 
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2 
Preço Sombra – Restrição 1 (Carboidrato) 
Resolvendo para A’: 
5X1 + 15X2 = 51 
20X1 + 5X2 = 40 
X1 = 10,2 - 3X2 
20(10,2 - 3X2) + 5X2 =40  X2 = 2,9818 
X1 = 10,2 - 3(2,982) = 1,2545 
Z´ = 4X1 + 2X2 = 4(1,2545) + 2(2,9818) = 
10,9818 
0727,0
5051
909,109817,10
1
1 






b
Z
y
A restrição pode ser 
deslocada até os pontos 
E(2; 0) e B(0; 8) 
10 < Carboidrato < 120 
A’ 5X1 + 15X2 > 51 (Carboidrato) 1 
E 
Preço sombra da restrição 
Carboidrato é 0,0727 
Exercício 3B – Dieta 
X2 
X1 5 10 15 20 25 30 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura ) 3 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCD 
A 
B 
0 
C 
D 
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1 
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2 
Preço Sombra – Restrição 2 (Proteína) 
Resolvendo para A’: 
5X1 + 15X2 = 50 
20X1 + 5X2 = 41 
X1 = 10 - 3X2 
20(10 - 3X2) + 5X2 =41  X2 = 159/55 
X1 = 10 - 3(159/55) = 73/55 
Z´ = 4X1 + 2X2 = 4(73/55) + 2(159/55) = 11,09091 
1819,0
5051
9090,100909,11
1
1 






b
Z
y
A restrição pode ser 
deslocada até os pontos 
F(0; 3,33) e D(3,721; 2,093) 
16,66 < Proteína< 84,88 
A’ F 
20X1 + 5X2 > 41 (Proteína) 2 
Preço sombra da restrição 
Proteína é 0,1819