lista1

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Ciência da Computação
Professor: Wendel Alexandre Melo
Primeira lista de exercícios de Matemática Finita (2011-1)
Questão 1: Prove as seguindes identidades por meio de indução:
(a)
∑n
j=1
1
j(j+1)
= n
n+1
(b)
∑n
j=1(2j − 1)2 = n(2n−1)(2n+1)3
(c)
∏n
k=1
(
1 + 1
k
)
= n+ 1
(d)
∑n
i=1(−1)i−1i2 = (−1)
n−1n(n+1)
2
Questão 2: Prove as seguindes desigualdades por meio de indução:
(a)2n <
∏n
j=1 j, para n ≥ 4
(b)n2 <
∏n
j=1 j, para n ≥ 4
Questão 3: Em um grupo temos 12 moças e 10 rapazes, onde 5 deles (3 moças
e 2 rapazes) são irmãos e os restantes não possuem parentesco. Quantos são os
casamentos possíveis?
Questão 4: Quantos subconjuntos possui um conjunto A com n elementos?
Questão 5: De quantas maneiras podemos distribuir n objetos diferentes em duas
caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia?
Questão 6: Quantos números de 4 ou 5 algarismos distintos, e maiores do que 2.000,
podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 5 e 7?
Questão 7: De quantas maneiras podemos escolher 3 números naturais distintos de
1 a 30, de modo que a soma dos números escolhidos seja par?
Questão 8: Calcular m, sabendo que:(
m
1
)
+
(
m
2
)
+
(
m
3
)
+ · · ·+
(
m
m− 1
)
= 254
Questão 9: Calcule o número de soluções inteiras positivas de:
(a)x1 + x2 + x3 + x4 = 8
1
(b)x1 + x2 + · · ·+ x11 = 11
(c)x+ y + z = 20
Questão 10: Quantas são as soluções inteiras não-negativas das equações do exer-
cício anterior?
Questão 11: Quantas são as soluções inteiras positivas de:
x1 + x2 + x3 = 12
com xi ≥ −2, para i = 1, 2, 3.
Questão 12: De quantas maneiras podemos distribuir 30 laranjas para 4 crianças
de modo que cada uma receba pelo menos 2 laranjas?
Questão 13: De quantas maneiras uma pessoa pode comprar 5 sorvetes em uma
sorveteria que vende 8 tipos de sorvete?
Questão 14: De quantos modos 8 casais podem sentar-se em uma roda gigante de
8 bancos de dois lugares cada um, com cada casal em um banco?
Questão 15: Quantas são as permutações da palavra BRASIL em que o B ocupa o
primeiro lugar, ou o R o segundo lugar, ou o L o sexto lugar?
Questão 16: Numa cidade em que são publicados os jornais A, B e C, foram obtidos
os seguintes resultados nua pesquisa: 20% da população lê o jornal A, 16% o jornal
B, 14% o jornal C. 8% lê A e B, 5% lê A e C e 4% B e C. Somente 2% lê os três
jornais. Qual a porcentagem da população que não lê nenhum destes três jornais?
Questão 17: Encontrar o número de permutações simples dos nove dígitos 1, 2, 3,
..., 9 nas quais os blocos 12, 34 e 567 não aparecem.
Questão 18: Encontrar a funções geradora ordinária f(x) na qual o coeficiente ar
de xr é o número de soluções inteiras positivas de:
x1 + x2 + x3 = r
2 ≤ x1 ≤ 4
5 ≤ x2 ≤ 6
5 ≤ x3 ≤ 7
Questão 19: Quantas soluções inteiras positivas existem para a expressão do exer-
cício anterior tomando r = 14? E para r = 25?
Questão 20: Qual o coeficiente de x23 na expansão (1 + x3 + x7)8?
2