Exercicios Semana 1

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Problemas e Exercicios da Semana 1
Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
1 Vídeo-Aula 1
Reproduza o experimento do vazamento mostrado na vídeo-aula. Escolha
um recipiente de sua preferência e faça um furo lateral (orifício) de alguma
forma. Meça o tempo do vazamento em termos da altura da coluna acima
do nível do orifício. Esse tempo depende do que? Faça tabelas ou gráficos
para justificar sua hipótese de dependência.
Coloque em seu portfólio uma foto sua com o experimento e um arquivo
com a discussão das questões acima.
2 Video-Aula 2
1. Seja o polinômio p(x) = x3 − 2x.
(a) Ache as raízes de p(x).
(b) Em quais intervalos de R p(x) > 0 ? E p(x) < 0 ?
(c) Esboce o gráfico de p(x).
2. Dado um númeroro real x, o maior inteiro não-negativo (isto é, inclui o
0) contido em x é denotado por [x]. Por exemplo, se x = 47, 39, então
[x] = 47. Agora, considere a função
f : [0,∞)→ R
x 7→ f(x) = 1
2n
, se [x] = n.
(a) Esboce o gráfico desta função.
(b) A área abaixo desta função, isto é, entre o eixo-x e o gráfico da
função, é a soma de uma PG. Ache esta PG e calcule a área
mencionada.
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3. (Função Implícita) Dada uma relação entre duas variáveis x e y, a
qual pode sempre ser escrita como F (x, y) = 0 (colocando, digamos,
”todo mundo para o lado esquerdo da equação dada”), existe um belís-
simo teorema em Análise Matemática, o qual afirma que é sempre pos-
sível explicitar uma variável em função da outra, isto é, y = f(x) ou
x = f(y), em algum intervalo real conveniente (que depende, é claro,
da relação dada. Dizemos que temos funções definidas implicitamente
pela relação dada. Esta ”explicitação pode ser muito complicada, mas
há infinitos exemplos bem trabalháveis. Por exemplo: Considere a re-
lação dada pela equação x2 + y2 = 1, que podemos escrever na forma
F (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0. Ela descreve uma circunferência, centrada
na origem, e de raio 1. Um pouquinho de álgebra e podemos obter,
imediatamente, duas funções:
a) y = f1(x) = +
√
1− x2, com Dom(f1) = {x ∈ R/|x| ≤ 1} e
Im(f1) = [0, 1].
b) y = f2(x) = −
√
1− x2, com Dom(f2) = {x ∈ R/|x| ≤ 1} e
Im(f2) = [−1, 0].
Leia também a seção de Funções Implícitas na bibliografia dada e re-
solva o seguinte exercício:
Considere a relação
F (x, y) =
x2 + y
x− y = 1.
Explicite as funções y = f(x) e x = g(y). Encontre também o Dominio
e Imagem de cada função.
Obs: Observe que y = f(x) e x = g(y) são funções inversas uma da
outra.
3 Video-aula 3
1. Sejam as funções dadas pelas fórmulas:
f(x) =
x− 1
x+ 1
e g(x) = √x
(a) Calcule as fórmulas das funções
h1(x) = (g ◦ f)(x) e h2(x) = (f ◦ g)(x).
(b) Calcule Dom(f), Dom(g), Dom(h1) e Dom(h2).
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2. Considere as mesmas funções h1 e h2 do exercício anterior. Mostre que
elas são funções injetoras. Calcule as suas inversas h−11 e h−12 .
3. Considere as funções
f(x) =
{
x+ 3, se x ≥ 0
x2, se x < 0 g(x) =
{
2x+ 1, se x ≥ 3
x, se x < 3
Calcule (f ◦ g) e (g ◦ f).
4. Seja a função racional
y = f(x) =
ax+ b
cx+ d
a) Encontre a condição (entre os coeficientes a, b, c, d) para que f seja
injetora (biunívoca).
b) Encontre a fórmula de f−1(x), o Dom(f) e Dom(f−1).
c) Ache as condições sobre os coeficientes a, b, c, d tal que f coincida
com f−1, isto é f(x) = f−1(x) no Dom(f).
4 Video-aula 4
1. Em uma estação meteorológica, verificou-se que o ângulo que o vento
faz com o norte da Terra varia periódicamente com a função
θ(t) =
{
t, se 0 ≤ t < T
2
−t+ T, se T
2
< t ≤ T
onde T é o período da função θ.
Também, observou=se que a velocidade do vento v depende da direção,
isto é, do ângulo θ, segundo a fórmula
v(θ) =
{
3θ, se 0 ≤ θ < T
4
−3θ + 3T
2
, se T
4
≤ θ ≤ T
2
Calcule a variação da velocidade com o tempo, isto é, V (t) = (v◦θ)(t) =
v(θ(t)). Faça um esboço das funções θ, v, V .
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2. Uma função f : A ⊆ R→ R é crescente em A ⊆ R se f(x+∆x) > f(x),
desde que x e x + ∆x estejam em A. A função f é decrescente em
A se f(x + ∆x) < f(x). Nesta definição, toma-se sempre ∆x > 0.
Demonstrar crescimento de funções em um conjunto pode ser traba-
lhoso devido às manipulações de desigualdades. O cálculo pode ser
muito facilitado, restringindo-se a algum subconjunto de A. Com isto
em mente, mostre que:
(a) f(x) = √x é crescente em [0,+∞).
(b) Seja a > 0, com a 6= 1. f(x) = ax é crescente em R se a > 1 , e
decrescente, se 0 < a < 1.
Sugestão (!!!): Se a > 1, então ab > 1 para b > 0. Se 0 < a < 1,
ab < 1 para b > 0.
3. Mostre que:
(a) Se y = f(x) é crescente (ou decrescente) em A ⊆ R, então ela é
injetora (biunívoca) em A.
(b) Se y = f(x) é crescente (ou decrescente) em A, então y = f−1(x)
é crescente (ou decrescente) em A. Usando isto, mostre que, para
b > 1, y = logb x é crescente no intervalo (0,∞). Para b < 1,
y = logb x é decrescente no intervalo (0,∞).
Sugestão: use o resultado do Ex.2b.
4. Funções Exponencias e Hiperbólicas
(a) Considere a funcão
f(x) = tanh x = e
x − e−x
ex + e−x
.
Mostre que |f(x)| < 1 para todo x ∈ R.
(b) Função Distribuição Normal em Estatística
Seja a função definida pela fórmula f(x) = e−x2 , Dom(f) = R.
Usando o resultado do exercício 2-b, mostre que f é crescente em
(−∞, 0] e decrescente em [0,+∞).
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