Apostila de Álgebra 1 - Prof. Lineu Neto da UnB

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
A´lgebra 1
Lineu Neto
1 -o/2004
Suma´rio
1 Noc¸o˜es de Lo´gica Simbo´lica 1
Relac¸o˜es entre Proposic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Lei da A´lgebra das Proposic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Noc¸o˜es de Teoria dos Conjuntos 13
Leis da A´lgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Relac¸o˜es e Func¸o˜es 23
Princ´ıpio da Boa Ordenac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Comenta´rios Finais Sobre P.B.O. e Induc¸a˜o Matema´tica . . . . . . 45
Algumas Func¸o˜es Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
To´picos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Estruturas Alge´bricas 67
Principais Estruturas Alge´bricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Propriedades de Uma Operac¸a˜o Bina´ria . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ta´bua de Operac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Estruturas Alge´bricas Com Duas Operac¸o˜es Bina´rias . . . . . . . . 89
Exemplos de Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exemplos de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5 Homomorfismo Entre Estruturas Alge´bricas 125
Classificac¸a˜o de Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Polinoˆmios 131
Polinoˆmios × Func¸o˜es Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Divisibilidade e Ra´ızes de Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Ra´ızes de Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Curiosidades: (Histo´ria da Matema´tica) . . . . . . . . . . . . . . . 141
Comenta´rios Finais Sobre Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 To´picos Especiais Sobre Ane´is e Grupos 150
Subestrutura Alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ane´is - Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Exerc´ıcios Propostos 180
Lo´gica & Conjuntos & Induc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Relac¸o˜es & Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Operac¸o˜es Bina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Homomorfismos & Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
1 Noc¸o˜es de Lo´gica Simbo´lica
Definic¸a˜o 1.1 (Proposic¸a˜o Simples). Proposic¸a˜o (simples) e´ uma orac¸a˜o
declarativa suscet´ıvel a um u´nico valor lo´gico (V ou F), sem ambigu¨idade.
Exemplos de sentenc¸as que na˜o sa˜o proposic¸o˜es
a) 1 + 1 (na˜o e´ orac¸a˜o)
b)
√
2 e´ nu´mero racional? (na˜o e´ afirmac¸a˜o)
c) x + 1 = 0 (na˜o sabemos se tal sentenc¸a e´ V ou F , pois tal ana´lise
depende do valor atribu´ıdo a` varia´vel x)
Definic¸a˜o 1.2 (Proposic¸a˜o Composta). Proposic¸a˜o composta e´ uma pro-
posic¸a˜o obtida a partir de duas ou mais proposic¸o˜es simples, atrave´s do uso
de modificadores e/ou conectivos.
Notac¸o˜es. p, q, r - proposic¸o˜es simples
P, Q, R - proposic¸o˜es compostas
Observac¸a˜o. Para determinar o valor lo´gico de uma proposic¸a˜o usamos um
dispositivo pra´tico chamado de Tabela-Verdade
• Modificador: ¬ (ou ∼)
(aplica-se a uma proposic¸a˜o). Leˆ-se: na˜o
p - proposic¸a˜o
¬ p - negac¸a˜o de p
Tabela-Verdade da Negac¸a˜o
p ¬p
V F
F V
• Conectivos: (aplica-se a duas ou mais proposic¸o˜es)
1 -o) ∨ (leˆ-se: “ou”)
Observac¸a˜o. Tal conectivo na˜o tem cara´ter exclusivo.
1
p, q - proposic¸o˜es
p ∨ q - disjunc¸a˜o de p e q
Tabela-Verdade da Disjunc¸a˜o
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
2 -o) ∧ (leˆ-se: “e”)
p, q - proposic¸o˜es
p ∧ q - conjunc¸a˜o de p e q
Tabela-Verdade da Conjunc¸a˜o
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3 -o) → (condicional simples)
p, q - proposic¸o˜es
p→ q:


“se p enta˜o q” ou
“p e´ condic¸a˜o suficiente para q” ou
“q e´ condic¸a˜o necessa´ria para p”
Tabela-Verdade da Condicional
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
4 -o) ↔ (bicondicional)
p, q - proposic¸o˜es
p↔ q:


“p se e somente se q” ou
“p e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para q” ou
“se p enta˜o q e reciprocamente”
2
Tabela-Verdade da Bicondicional
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Observac¸a˜o. p↔ q e´ V quando p e q teˆm o mesmo valor lo´gico
(ou seja, ou ambas sa˜o verdadeiras ou ambas sa˜o falsas)
Exerc´ıcio: Construa tabelas-verdade para as seguintes proposic¸o˜es:
a) p ∧ (¬p)
b) ¬(¬p)
c) (p→ q)↔ (¬p) ∨ q
d) (p→ q)↔ (¬q → ¬p) (muito importante)
e) ¬(p ∧ q)↔ (¬p) ∨ (¬q)
f) p ∧ (q ∨ r)↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Observac¸a˜o. prioridade (de baixo pra cima):
↔
→
∧,∨
¬
a) (contradic¸a˜o)
p ¬p p ∧ (¬p)
V F F
F V F
b) p ¬p ¬(¬p)
V F V
F V F
3
c) (tautologia)
p q ¬p p→ q ¬p ∨ q (p→ q)↔ (¬p ∨ q)
V V F V V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V
d) (tautologia)
p q ¬p ¬q p→ q ¬q → ¬p (p→ q)↔ (¬q → ¬q)
V V F F V V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
Definic¸a˜o 1.3 (Tautologia). Dizemos que uma proposic¸a˜o composta e´ uma
Tautologia (ou proposic¸a˜o logicamente verdadeira) se o seu valor lo´gico e´
sempre V, independente dos valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples que a
constituem.
Exemplos: c, d (exerc´ıcio anterior)
Definic¸a˜o 1.4 (Contradic¸a˜o). Dizemos que uma proposic¸a˜o composta e´
uma Contradic¸a˜o (ou proposic¸a˜o logicamente falsa) se o seu valor lo´gico e´
sempre F, independentemente dos valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples que
a constituem.
Exemplo: a (exerc´ıcio anterior)
e) (tautologia)
p q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) (¬p) ∨ (¬q) ¬(p ∧ q)↔ (¬p) ∨ (¬q)
V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V
4
f) (tautologia)
p q r q ∨ r p ∧ q p ∧ r p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∧ (q ∨ r)↔
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V V V V V V V V V
V V F V V F V V V
V F V V F V V V V
V F F F F F F F V
F V V V F F F F V
F V F V F F F F V
F F V V F F F F V
F F F F F F F F V
Relac¸o˜es entre Proposic¸o˜es
Definic¸a˜o 1.5 (Implicac¸a˜o Lo´gica). Sejam P e Q duas proposic¸o˜es (com-
postas). Dizemos que P implica em Q, simbolizado por P ⇒ Q se o condi-
cional P → Q e´ uma tautologia, isto e´, se na˜o ocorre de P ser V e Q ser
F .
Observac¸a˜o. Em matema´tica, a maioria dos Teoremas envolve uma im-
plicac¸a˜o lo´gica do tipo:
HIPO´TESE(S) =⇒ TESE︸ ︷︷ ︸
Teorema (proposic¸a˜o cuja veracidade depende de uma demonstrac¸a˜o)
Hipo´tese(s) −→ Tese
(aquilo que temos argumento lo´gico (conclusa˜o, aquilo que
como verdade) (demonstrac¸a˜o) queremos demonstrar)
Exemplo: P : a e´ um nu´mero par; Q : a2 e´ um nu´mero par; P ⇒ Q
(P → Q: se a e´ um nu´mero par, enta˜o a2 tambe´m o e´)
Demonstrac¸a˜o.
H: a e´ um nu´mero par (isto e´, a = 2k)
T: a2 e´ um nu´mero par (isto e´, a2 = 2l)
De fato: a2 = (2k)2 = 4k2 = 2 (2k2)︸ ︷︷ ︸
l
= 2l
¥
5
Definic¸a˜o 1.6 (Equivaleˆncia de Proposic¸a˜o). Sejam P e Q proposic¸o˜es
(compostas). Dizemos que P e´ equivalente a Q, simbolizado por P ⇔ Q, se
o bicondicional P ↔ Q e´ uma tautologia, isto e´, se P e Q teˆm a mesma
tabela-verdade (mesmo valor lo´gico).
Observac¸a˜o. Em matema´tica, certos teoremas envolvem uma equivaleˆncia
de proposic¸o˜es. Neste caso:
HIPO´TESE(S) ⇐⇒ TESE
Exemplo: P : a e´ um nu´mero par; Q : a2 e´ um nu´mero par; P ⇔ Q
P ↔ Q : a e´ um nu´mero par se, e somente se, a2 tambe´m o e´.
Demonstrac¸a˜o.
H: a e´ um nu´mero par
T: a2 e´ um nu´mero par
(⇒) H ⇒ T (ok!)
(⇐) T ⇒ H
Vimos que (p → q) ↔ (¬q → ¬p) e´ uma tautologia. Assim, (p → q) ⇔
(¬q → ¬p) (contra-positiva, contra-rec´ıproca)
Assim, mostrar que se a2 e´ par, enta˜o a e´ par e´ equivalente a mostrar que
se a e´ ı´mpar, enta˜o a2 e´ ı´mpar.
De fato: (T ⇒ H) ⇔ (¬ H ⇒ ¬T)
a e´ ı´mpar: a = 2k + 1
a2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k)︸ ︷︷ ︸
l
+1 = 2l + 1⇒ a2 e´ ı´mpar
¥
Definic¸a˜o 1.7 (Sentenc¸a Aberta ou Func¸a˜oProposicional). Uma sen-
tenc¸a aberta e´ uma sentenc¸a que envolve uma ou mais varia´veis.
Observac¸a˜o. Uma sentenc¸a aberta NA˜O e´ uma proposic¸a˜o, pois na˜o sabe-
mos definir o seu valor lo´gico, o qual depende da(s) varia´vel(is) envolvida(s).
Notac¸a˜o. p (x) = sentenc¸a aberta que depende da varia´vel x.
Exemplo: x+ 1 = 0
x := −1︸︷︷︸
cte
(V ) x := 1 (F )
Uma sentenc¸a aberta pode ser transformada numa proposic¸a˜o atrave´s de
dois recursos:
6
i) atribuindo-se valores constantes a`(s) varia´vel(is) envolvida(s);
ii) usando quantificadores.
Dois quantificadores:
a) Quantificador Universal : ∀ (leˆ-se: “para todo” ou “qualquer que seja”);
b) Quantificador Existencial :
– ∃ (“existe” ou “ existe pelo menos um”);
– ∃! (leˆ-se: “existe um u´nico”);
– ∄ (leˆ-se: “na˜o existe”).
Notac¸o˜es. (∀x)(p (x)); (∃x)(p (x)); (∃!x)(p (x)); (∄x)(p (x))
Exerc´ıcio: Considerando que todas as varia´veis envolvidas sa˜o reais, use
quantificadores para tornar proposic¸o˜es verdadeiras as seguintes sentenc¸as
abertas:
a)
√
x2 = x: (∃x)(√x2) (x > o)
b) sen(x+ y) = senx cos y+sen y cos x: (∀x, y)(sen(x+ y) = senx cos y+
sen y cos x)
c)
x2 − 1
x− 1 = x+1: (∃x)
(
x2 − 1
x− 1 = x+1
)
(x 6= 1) ou (∀x)∧ (x 6= 1)
d) |x| = −x: (∃x)(|x| = −x) (x 6 0)
e) x < x2: (∃x)(x < x2) (x < 0 ou x > 1)
f) x2 + 1 = 0: (∄x)(x2 + 1 = 0)
Negac¸a˜o de Proposic¸o˜es e Sentenc¸as Abertas Quantificadas:
1) Negac¸a˜o da negac¸a˜o:
¬(¬p)⇔ p
7
2) Negac¸a˜o de conjunc¸a˜o: (e ↔ ou)
¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q
Exemplo: p : a 6= 0, q : b 6= 0
p ∧ q : a 6= 0 e b 6= 0
¬(p ∧ q) : a = 0 ou b = 0
3) Negac¸a˜o de uma disjunc¸a˜o: (ou ↔ e)
¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
4) Negac¸a˜o de uma condicional:
¬(p→ q)⇔ p ∧ ¬q
Exerc´ıcio: Verifique 4) de duas maneiras:
i) atrave´s da tebela-verdade;
p q ¬q p→ q ¬(p→ q) p ∧ ¬q ¬(p→ q)↔ p ∧ ¬q
V V F V F F V
V F V F V V V
F V F V F F V
F F V V F F V
ii) usando o resultado anterior: (p→ q)↔ (¬p∨ q) e´ uma tautologia
(p→ q) ⇔ (¬p ∨ q)
¬(p→ q) ⇔ ¬(¬p ∨ q)
¬(p→ q) ⇔ p ∧ ¬q
5) Negac¸a˜o de quantificadores: (∀ ↔ ∃)
¬(∀x)(p(x))⇔ (∃x)(¬p(x))
¬(∃x)(p(x))⇔ (∀x)(¬p(x))
Exemplos: (nos reais)
8
a) (∀x)(sen2 x+ cos2 x = 1) (V );
negac¸a˜o: (∃x)(sen2 x+ cos2 x 6= 1) (F )
b) (∃x)(x2 + 1 = 0) (F )
negac¸a˜o: (∀x)(x2 + 1 6= 0) (V )
Lei da A´lgebra das Proposic¸o˜es
Qualquer proposic¸a˜o composta pode ser expressa apenas com os conecti-
vos ∧ e ∨ e com o modificador ¬. Em outras palavras, os conectivos → e ↔
sa˜o “supe´rfluos”, pois podem ser escritos em termos de ∧,∨ e ¬.
Exemplo: (p→ q)⇔ (¬p ∨ q)
(p↔ q)⇔ (p→ q) ∧ (q → p)⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)
• P = “colec¸a˜o” de todas as proposic¸o˜es
• p, q, r = proposic¸o˜es (“elementos de P”)
• duas “operac¸o˜es” bina´rias: ∧,∨
• uma “operac¸a˜o” una´ria: ¬
• “Relac¸a˜o” de equivaleˆncia
• dois extremos universais:
{
v = tautologia
f = contradic¸a˜o
P = P (∧,∨,¬, v, f) (A´lgebra das Proposic¸o˜es)
Teorema 1.8. P satisfaz as seguintes equivaleˆncias:
I) (Leis Associativas)
{
(p ∧ q) ∧ r ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
II) (Leis Comutativas)
{
p ∧ q ⇔ q ∧ p
p ∨ q ⇔ q ∨ p
III) (Leis Idempotentes)
{
p ∧ p⇔ p ∧ p
p ∨ p⇔ p ∨ p
IV) (Leis de Absorc¸a˜o)
{
p ∧ (p ∨ q)⇔ p
p ∨ (p ∧ q)⇔ p
9
V) (Leis Distributivas)
{
p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
VI) (Extremos Universais)


p ∧ v ⇔ p
p ∧ f ⇔ f
p ∨ v ⇔ v
p ∨ f ⇔ p
VII) (Leis de Complementac¸a˜o)


¬(¬p)⇔ p
p ∧ ¬p⇔ f
p ∨ ¬p⇔ v
VIII) (Leis de De Morgan)
{ ¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
Demonstrac¸a˜o.
IV)(tautologia)
p q p ∨ q p ∧ (p ∨ q) p ∧ (p ∨ q)⇔ p
V V V V V
V F V V V
F V V F V
F F F F V
I) (tautologia)
p q r p ∧ q q ∧ r (p ∧ q) ∧ r p ∧ (q ∧ r) ∧r ↔ p ∧ (q ∧ r)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F F F F V
V F F F F F F V
F V V F V F F V
F V F F F F F V
F F V F F F F V
F F F F F F F V
10
VIII) ¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q
p q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ∧ ¬q
V V F F V F F
V F F V F V V
F V V F F V V
F F V V F V V ¥
Observac¸a˜o. Seja A um “conjunto” munido de duas “operac¸o˜es” bina´rias
(∧,∨), uma “operac¸a˜o” una´ria ( ’ ), uma relac¸a˜o entre seus “elementos” e dois
extremos universais (0,1). Dizemos que A = A(∧,∨, ’, 0, 1) e´ uma A´lgebra
de Boole (ou A´lgebra Booleana) se A satisfaz as propriedades (leis) I a VIII
anteriores. Assim, P = P (∧,∨,¬, v, f) e´ uma A´lgebra de Boole.
Vocabula´rio
• Definic¸a˜o
• Proposic¸a˜o
• Sentenc¸a aberta
• Teorema (Se hipo´teses , enta˜o tese )
• Lema: “pequeno” Teorema (isto e´, um Teorema auxiliar para demons-
trar Teoremas mais complexos)
• Corola´rio: consequ¨eˆncia de um Teorema
• Axioma (ou Postulado): proposic¸a˜o cuja veracidade e´ aceita sem de-
monstrac¸a˜o (intuitivo)
Exemplo: (Geometria Plana)
Por um ponto fora de uma reta, passa uma u´nica reta pararlela a` reta
dada (5 -o Axioma de Euclides).
P
r
s r ‖ s
• Conceito Primitivo: base de qualquer teoria matema´tica (na˜o se define)
Exemplos: ponto, reta, plano
11
Objetivo:“Demonstrar” Teoremas
Treˆs te´cnicas ba´sicas
a) Direta (H ⇒ T)
b) Indireta
b.1) contra-rec´ıproco ( ¬ T ⇒ ¬ H)
b.2) por absurdo: consiste em negar a tese (assumindo a hipo´tese ver-
dadeira) e desenvolver um argumento lo´gico corrente que produza
uma contradic¸a˜o da hipo´tese.
Exemplo: Teorema:
√
2 e´ um nu´mero irracional.
Demonstrac¸a˜o. T:
√
2 e´ um nu´mero irracional
Suponha, por absurdo, que
√
2 e´ racional, ou seja, que
√
2 = a/b,
onde a, b sa˜o nu´meros inteiros, b 6= 0 e a e b na˜o possuem fatores
em comum (isto e´, a/b e´ irredut´ıvel)
√
2 =
a
b
⇒ (√2)2 = a
2
b2
⇒ 2 = a
2
b2
isto e´, a2 = 2b2 e´ um nu´mero par (∗)
Lembrando que, se a2 e´ par, enta˜o a e´ par. Logo, a = 2l (∗∗)
Substituindo (∗∗) em (∗), temos
(2l)2 = 2b2 ⇒ 4l2 = 2b2 ⇒ 2l2 = b2
isto e´, b2 e´ par. Assim, b e´ par, isto e´, b = 2m (∗ ∗ ∗)
Conclusa˜o: De (∗∗) e (∗ ∗ ∗), a e b teˆm 2 como fator comum, o
que contradiz nossa hipo´tese de a frac¸a˜o a/b ser irredut´ıvel.
√
2 e´
irracional. ¥
Exerc´ıcio: (da 1 -a Lista, pa´g. 180)
2) Considere as afirmac¸o˜es seguintes:
• Todo automo´vel alema˜o e´ bom
• Se um automo´vel e´ bom, enta˜o ele e´ caro
• Existem automo´veis suecos bons
• Se na˜o choveu, enta˜o todas as lojas esta˜o abertas
• Se x < y, enta˜o z = 5 ou z = 7
12
Admitindo a veracidade dessas 5 afirmac¸o˜es e admitindo que existam
automo´veis franceses, alema˜es, suecos e coreanos, julgue os itens a seguir:
a) (V ) Se alguma loja esta´ fechada, enta˜o choveu. (C-R)
b) (V ) Se um automo´vel na˜o e´ caro, enta˜o ele pode ser franceˆs. (C-R)
c) (V ) Alguns automo´veis suecos sa˜o caros.
d) (F ) Existem automo´veis coreanos caros.
e) (F ) Um automo´vel alema˜o pode na˜o ser caro.
f) (F ) Se z 6= 5 e z 6= 7, enta˜o x > y.
2 Noc¸o˜es de Teoria dos Conjuntos
Treˆs conceitos primitivos
• Conjunto: qualquer colec¸a˜o de objetos;
• Elemento: objeto que constitui um conjunto;
• Pertineˆncia: relac¸a˜o entre conjunto e elemento.
Notac¸a˜o.
A,B,C, . . . - conjuntos
a, b, c, . . . - elementos
x ∈ A (leˆ-se: “x pertence ao conjunto A”)
x /∈ A (leˆ-se: “x na˜o pertence a A”)
Definic¸a˜o 2.1 (Igualdade de Conjuntos). Dois conjuntos A e B sa˜o
iguais se eles teˆm os mesmos elementos.
Notac¸a˜o. A = B ⇔ (∀ x)((x ∈ A→ x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A))
Exemplo: A =
{
1
3
}
, B =
{∫ 1
0
x2dx
}
A = B
Caracterizac¸a˜o de Conjuntos:
13
i) Enumerac¸a˜o dos elementos do conjunto;
ii) Atrave´s de uma propriedade (sentenc¸a aberta) espec´ıfica dos elementos
do conjunto;
iii) Atrave´s de um dispositivo pra´tico (Diagrama de Venn)
Notac¸a˜o. A = {x |P (x)}
Exemplo: A = {x |x e´ professor ou pesquisador de A´lgebra do Departa-
mento de Matema´tica}
B = {y | y e´ a nacionalidade dosprofessores de A´lgebra do Departamento
de Matema´tica da UnB}
A = { Pavel Zalesski, Pavel Shumyatsky, Alexei Krassilnikov, Rudolf
Maier, Said Sidki, Salahoddin Shokranian, Nigel Pitt, Helder Matos, Marcus
Vin´ıcius, Hemar Godinho, Lineu Neto}
B = { russo, alema˜o, a´rabe, iraniano, ingleˆs, brasileiro}
Alguns conjuntos nota´veis:
a) Universo: conjunto mais abrangente dentro de um certo contexto ma-
tema´tico;
Notac¸a˜o. E = conjunto universo
Em C1, C2 e C3: E = R
Em VC: E = C
b) Vazio: conjunto que na˜o possui elementos;
Notac¸a˜o. { } ou ∅
c) Unita´rio: conjunto que possui um u´nico elemento.
Exemplo: A = {x |x e´ um meˆs que possui apenas 28 ou 29 dias} =
{ fevereiro}
Definic¸a˜o 2.2 (Inclusa˜o). Sejam A e B conjuntos quaisquer. Dizemos
que A e´ subconjunto de B (ou A e´ parte de B ou A esta´ contido em B ou B
conte´m A) se todo elemento de A e´ tambe´m elemento de B.
Notac¸a˜o. A ⊆ B (ou B ⊇ A)⇔ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ B)
Negac¸a˜o: A * B (ou B + A)⇔ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)
14
Dizemos que A e´ um subconjunto pro´prio de B (ou A e´ parte pro´pria de
B ou B conte´m propriamente A) se A ⊆ B e A 6= B.
Em termos de Diagrama de Venn:
A
B
Notac¸a˜o. A ⊂ B
(ou A $ B)⇔ (∀ x)(x ∈ A→ x ∈ B) ∧ (∃ x)(x ∈ B ∧ x /∈ A)
Observac¸o˜es. i) A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A;
ii) A ⊆ A;
iii) ∅ ⊆ A
De fato: suponha, por absurdo, que ∅ * A. Assim, (∃ x)(x ∈ ∅∧x /∈ A).
Mas, como ∅ na˜o possui elemtos, isto e´ absurdo.
Definic¸a˜o 2.3 (Conjunto das Partes de Um Conjunto). Dado um
conjunto A, definimos o conjunto das partes de A como sendo o conjunto de
todos os subconjuntos de A.
Notac¸a˜o. P (A) = {X | X ⊆ A}
Observac¸a˜o. X ∈ P (A)⇔ X ⊆ A
Exemplos:
a) A = ∅⇒ P (A) = {∅}
b) A = {a} ⇒ P (A) = {∅, {a}}
c) A = {a, b} ⇒ P (A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
d) A = {a, b, c} ⇒ P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Observac¸o˜es. a) Dado um conjunto A, definimos a cardinalidade de A
como sendo o nu´mero de elementos de A.
15
Notac¸a˜o. |A| (ou n(A) ou #A)
b) Se |A| = n, enta˜o |P (A)| = 2n
Conjuntos nume´ricos:
• N = {1, 2, 3, 4, . . .} (nu´meros naturais)
convenc¸a˜o: 0 /∈ N
• Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} (nu´meros inteiros)
• Q = {a/b | a, b ∈ Z e b 6= 0} (nu´meros racionais)
- nu´meros com representac¸a˜o decimal finita: 1/2 = 0.5
- nu´meros com representac¸a˜o decimal infinita perio´dica: 1/3 =
0, 333 . . .
• R = Q ∪ { nu´meros irracionais } (nu´meros reais)
Exemplos:
√
2 ∼= 1, 41;
√
3 ∼= 1, 73; π ∼= 3, 14; e ∼= 2, 71828
• C = {a+ bi | a, b ∈ R e i2 = −1 ou i = √−1} (nu´meros complexos)
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Operac¸o˜es com Conjuntos (A,B ⊆ E)
A) Unia˜o: A ∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
B) Intersecc¸a˜o: A ∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
C) Complementac¸a˜o: ∁EA = {x ∈ E | x /∈ A}
D) Diferenc¸a: A−B = {x | x ∈ A e x /∈ B} ou A\B
Observac¸o˜es. a) Se B ⊆ A, enta˜o podemos escrever A − B de uma
maneira alternativa:
A−B = ∁A(B)︸ ︷︷ ︸
complementar de B em relac¸a˜o a A
= {x | x ∈ A e x /∈ B}
b) Quando o conjunto universo E for explicitado (e na˜o houver am-
bigu¨idade), vamos omiti-lo no s´ımbolo do complementar. Assim,
∁E(A) = ∁(A) (A ⊆ E).
c) Se A ∩B = ∅, enta˜o A e B sa˜o ditos conjuntos disjuntos.
16
Em termos de Diagrama de Venn:
A) Unia˜o:
A B
E
A B
E
A
B
E
(A ∩B = ∅) (B ⊂ A)
B) Intersecc¸a˜o:
A B
E
A B
E
A
B
E
(A ∩B = ∅) (B ⊂ A)
C) Complementac¸a˜o:
A
E
D) Diferenc¸a:
A B
E
A
B
E
Observac¸o˜es. a) A ∪ B e´ o “menor” conjunto que conte´m simultanea-
mente A e B, isto e´:
a.1) A ⊆ A ∪B e B ⊆ A ∪B;
a.2) Se A ⊆ C e B ⊆ C, enta˜o A ∪B ⊆ C.
17
Notac¸a˜o. (Reticulado) C
A ∪B
OO
A
DD­­­­­­­­­­­­­­­
;;wwwwwwwww
B
ZZ444444444444444
ccGGGGGGGGG
b) A ∩B e´ o “maior” conjunto que esta´ contido simultaneamente em A e
B, isto e´:
b.1) A ∩B ⊆ A e A ∩B ⊆ B;
b.2) Se C ⊆ A e C ⊆ B, enta˜o C ⊆ A ∩B.
Notac¸a˜o. (Reticulado) A B
A ∩B
ccGGGGGGGGG
;;wwwwwwwww
C
ZZ444444444444444
OO
DD­­­­­­­­­­­­­­­
Exerc´ıcios:
1) Sejam A,B ⊆ E. Mostre que se A ⊆ B, enta˜o ∁E(B) ⊆ ∁E(A).
2) Sejam A,B ⊆ E. Mostre que:
a) ∁E(A ∪B) = ∁E(A) ∩ ∁E(B) (1 -a Lei de De Morgan)
b) ∁E(∁E(A)) = A
3) Sejam A,B,C,D ⊆ E tais que A ⊆ C e B ⊆ D. Mostre que:
a) A ∪B ⊆ C ∪D
b) A ∩B ⊆ C ∩D
4) Deˆ um contra-exemplo que refute a seguinte afirmac¸a˜o: se A ∪B =
A ∪ C, enta˜o B = C.
5) (Desafio) Mostre que se A∪B = A∪C e A∩B = A∩C, enta˜o B = C
18
Demonstrac¸a˜o. 1){
H: A ⊆ B ⇔ (∀ x)(x ∈ A→ x ∈ B) (∗)
T: ∁E(B) ⊆ ∁E(A)
Queremos mostrar que dado x ∈ ∁E(B) qualquer, enta˜o x ∈ ∁E(A)
x ∈ ∁E(B)⇒ x /∈ B (∗)(C−R)+3 x /∈ A⇒ x ∈ ∁E(A)
Como x e´ arbitra´rio, enta˜o
(∀ x)(x ∈ ∁E(B)→ x ∈ ∁E(A)), isto e´, ∁E(B) ⊆ ∁E(A). ¥
Demonstrac¸a˜o. 2) (se algum dos conjuntos envolvidos for ∅, na˜o ha´ nada
a demonstrar)
a) Tome x ∈ ∁E(A ∪B)
x ∈ ∁E(A ∪B) ⇔ x /∈ A ∪B ⇔ x /∈ A e x /∈ B ⇔ x ∈ ∁E(A) e x ∈ ∁E(B)
⇔ x ∈ ∁E(A) ∩ ∁E(B)
b) Tome x ∈ ∁E(∁E(A))
x ∈ ∁E(∁E(A))⇔ x /∈ ∁E(A)⇔ x ∈ A ¥
Demonstrac¸a˜o. 3)
H:
{
A ⊆ C (∗)
B ⊆ D (∗∗)
T:
{
a) A ∪B ⊆ C ∪D
b) A ∩B ⊆ C ∩D
a) x ∈ A ∪B ⇒ x ∈ A ou x ∈ B (∗)⇒ x ∈ C ou x ∈ D ⇒ x ∈ C ∪D
b) x ∈ A ∩B ⇒ x ∈ A e x ∈ B ⇒ x ∈ C e x ∈ D ⇒ x ∈ C ∩D ¥
Leis da A´lgebra de Conjuntos
• E 6= ∅ (conjunto universo)
• A,B,C ⊆ E (isto e´, A,B,C ∈ P (E))
• duas “operac¸o˜es” bina´rias: ∪,∩
• uma “operac¸a˜o” una´ria: ∁E
19
• dois extremos universais: ∅ e E
Teorema 2.4. (P (E),∪,∩, ∁E,∅, E) e´ uma A´lgebra Booleana (ou A´lgebra
de Boole), isto e´, satisfaz as seguintes leis:
i) (associativas)
{
A ∪B(B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C
A ∩B(B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
ii) (comutativas)
{
A ∪B = B ∪ A
A ∩B = B ∩ A
iii) (idempotentes)
{
A ∪ A = A
A ∩ A = A
iv) (absorc¸a˜o)
{
A ∪ (A ∩B) = A
A ∩ (A ∪B) = A
v) (distributivas)
{
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
vi) (extremos universais)


A ∪∅ = A
A ∩∅ = ∅
A ∪ E = E
A ∩ E = A
vii) (complementac¸a˜o)


A ∪ ∁E(A) = E
A ∩ ∁E(A) = ∅
∁E(∁E(A)) = A
viii) (de Morgan)
{
∁E(A ∪B) = ∁E(A) ∩ ∁E(B)
∁E(A ∩B) = ∁E(A) ∪ ∁E(B)
Dois exemplos de A´lgebras Booleanas
PROPOSIC¸O˜ES CONJUNTOS
∨ (ou) ∪
∧ (e) ∩
¬ (na˜o) ∁E
v (taut) E (universo)
f (cont) ∅
equivaleˆncia igualdade de
de proposic¸o˜es conjuntos
20
1 -a lista
6) A,B ⊆ E
A △ B := (A−B) ∪ (B − A)
ii) d) Tese: A △ B = (A ∪B)− (A ∩B) (igualdade de conjuntos)
Demonstrac¸a˜o. Devemos mostrar a dupla inclusa˜o:
I) A △ B ⊆ (A ∪B)− (A ∩B) e
II) (A ∪B)− (A ∩B) ⊆ A △ B
I) A △ B ⊆ (A ∪B)− (A ∩B)
Se A △ B = ∅, enta˜o na˜o ha´ nada a demonstrar. Se A △ B 6= ∅,
enta˜o tome x ∈ A △ B (qualquer).
x ∈ A △ B ⇒ x ∈ (A−B) ∪ (B − A)
⇒


x ∈ A−B
ou
x ∈ B − A
⇒


x ∈ A e x /∈ B (1)
ou
x ∈ B e x /∈ A (2)
(1)


x ∈ A
e
x /∈ B
(∗)⇒ x ∈ A∪B e x /∈ A∩B ⇒ x ∈ (A∪B)− (A∩B)
(2)


x ∈ B
e
x /∈ A
(∗∗)⇒ x ∈ A∪B e x /∈ A∩B ⇒ x ∈ (A∪B)−(A∩B)
(∗) A ⊆ A ∪B; A ∩B ⊆ B
(∗∗) B ⊆ A ∪B; A ∩B ⊆ A
II) (A ∪B)− (A ∩B) ⊆ A △ B
Se (A ∪ B) − (A ∩ B) = ∅, enta˜o na˜o ha´ nada a demonstrar.
Se (A ∪ B) − (A ∩ B) 6= ∅, enta˜o tome x ∈ (A ∪ B) − (A ∩ B)
(qualquer).
x ∈ (A∪B)− (A∩B)⇒


x ∈ A ∪B
e
x /∈ A ∩B
⇒


x ∈ A ou x ∈ B
e
x /∈ A ou x /∈ B
dist.
=⇒


(x ∈ A ou x ∈ B) e (x /∈ A)
ou
(x ∈ A ou x ∈ B) e (x /∈ B)
21
dist.
=⇒


(x ∈ A e x /∈ A) ou (x ∈ B e x /∈ A)
ou
(x ∈ A e x /∈ B) ou (x ∈ B e x /∈ B)
⇒


x ∈ B e x /∈ A
ou
x ∈ A e x /∈ B
⇒ x ∈ (A−B) ∪ (B − A)
¥
9)
(⇒)
{
H: A ⊆ B
T: P (A) ⊆ P (B)
Queremos mostrar que P (A) ⊆ P (B), isto e´ (∀ X)(X ∈ P (A)→ X ∈
P (B)). De fato:
Tome X ∈ P (A)⇒ X ⊆ A A ⊆ B=⇒ X ⊆ B ⇒ X ∈ P (B).
(⇐)
{
H: P (A) ⊆ P (B)
T: A ⊆ B
Por hipo´tese, P (A) ⊆ P (B), isto e´, (∀ X)(X ∈ P (A))→ (X ∈ P (B)).
Em particular, tomeX = A. Assim, A ∈ P (A) (pois A ⊆ A) ⇒ A ∈
P (B), isto e´ A ⊆ B.
10) ∅ 6= A,B ⊆ E
|A| <∞; |B| <∞
Tese: a) A ∩B = ∅⇒ |A ∪B| = |A|+ |B|
b) A ⊆ B ⇒ |B − A| = |B| − |A|
c) |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|
Demonstrac¸a˜o.
a) A = {a1, a2, . . . , am} (|A| = m ∈ N)
B = {b1, b2, . . . , bn} (|B| = n ∈ N)
Se A ∩ B = ∅, enta˜o ai 6= bj, ∀ 1 6 i 6 m, ∀ 1 6 j 6 n. Enta˜o,
A ∪ B = {a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bn}, isto e´, |A ∪ B| = m+ n =
|A|+ |B|.
b) Observe que A ∩ (B − A) = ∅.
Por a), |A ∪ (B − A)| = |A|+ |B − A| ⇒ |B − A| = |B| − |A|.
22
A
B
B −A
ւ
c) Usando a) (induc¸a˜o),
|(A−B) ∪ (A ∩B) ∪ (B − A)|︸ ︷︷ ︸
A ∪ B
= |A−B|︸ ︷︷ ︸
I
+ |A ∩B|︸ ︷︷ ︸
II
+ |B − A|︸ ︷︷ ︸
III
A−BB −A
A ∩B
ւ ց↓
|A| a)= |A−B|+ |A ∩B| ⇒ |A−B| = |A| − |A ∩B| (∗)
|B| a)= |A ∩B|+ |B − A| ⇒ |B − A| = |B| − |A ∩B| (∗∗)
A
A− B A ∩ B
B
B − AA ∩ B
Substituindo (∗) em I e (∗∗) em III, temos
|A∪B| = |A|−|A∩B|+|A∩B|+|B|−|A∩B| = |A|+|B|−|A∩B|
¥
3 Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Conceito primitivo:
• par ordenado (a, b) (coordenada)
• igualdade de pares ordenados:
(a, b) = (c, d)↔
{
a = c e
b = d
23
Observac¸a˜o. Na˜o confundir conjunto com par ordenado.
conjunto: a ordem e´ irrelevante {a, b} = { b, a}
par ordenado: a ordem e´ essencial (a, b) 6= (b, a) (se a 6= b)
Definic¸a˜o 3.1 (Produto Cartesiano). Sejam A,B 6= ∅, Definimos o
Produto Cartesiano de A por B, simbolizado por A×B, como sendo o seguinte
conjunto:
A×B def:= {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}
Caso particular: A = B
A2 = A× A = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ A}
Observac¸o˜es. a) Se |A| = m e |B| = n, enta˜o |A×B| = m · n
b) Se A = ∅ ou B = ∅, enta˜o A×B = ∅
c) Em geral, A×B 6= B × A
Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {?, !}
A×B = {(1, ?), (1, !), (2, ?), (2, !), (3, ?), (3, !)} 6=
B × A = {(?, 1), (?, 2), (?, 3), (!, 1), (!, 2), (!, 3)}
d) Podemos generalizar produto cartesiano para n conjuntos (n ∈ N)
A1, A2, A3, . . . , An 6= ∅
A1 × A2 × A3 × . . .× An = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ Ai, 1 6 i 6 n}
Se A1 = A2 = . . . = An = A, enta˜o A
n = A × A × . . . × A =
{(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ A, i = 1, . . . , n}
Exemplos:
a) R2 = R× R = {(x, y) | x, y ∈ R}
R (eixo-x)
R (eixo-y)
0
b) R3 = R× R× R = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}
24
R (eixo-x)
R (eixo-y)
R (eixo-z)
Definic¸a˜o 3.2 (Relac¸a˜o). Sejam A,B 6=. Dizemos que R e´ uma relac¸a˜o
(“bina´ria”) de A em B se R e´ um subconjunto de A×B.
Simbolicamente: R e´ relac¸a˜o de A em B ↔ R ⊆ A×B
Notac¸o˜es. • aR b⇔ (a, b) ∈ R
(negac¸a˜o: a 6R b⇔ (a, b) /∈ R)
• D(R) = domı´nio da relac¸a˜o R = {x ∈ A | ∃ y ∈ B, (x, y) ∈ R} ⊆ A
(conjunto dos primeiros elementos dos pares ordenados de R)
• Im(R) = imagem da relac¸a˜o R = {y ∈ B | ∃ x ∈ A, (x, y) ∈ R} ⊆ B
(conjunto dos segundos elementos dos pares ordenados de R)
Observac¸o˜es. i) Uma relac¸a˜o pode ser representada de treˆs maneiras:
a) atrave´s de uma lei de formac¸a˜o que relacione elementos x ∈ A e
y ∈ B (pares ordenados);
b) atrave´s de Diagrama de Venn (se |A| <∞ e |B| <∞) (“diagramas
de fecha”);
c) no plano cartesiano;
ii) Se A = B, enta˜o uma relac¸a˜o R de A em B e´ dita relac¸a˜o sobre A.
R e´ relac¸a˜o sobre A⇔ R ⊆ A2
Exemplos:
a) A = Z
R1 = {(x, y) ∈ Z2 | x2 + y2 = 1} ⊆ Z2 = Z× Z
b) A = R
R2 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}
c) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8}
R3 = {(x, y) ∈ A×B | x divide y}
25
d) A = {a, b, c, d}, B = {a, b, c}
R3 = {(x, y) ∈ A×B | x precede y no alfabeto}
e) A = R
R5 = {(x, y) ∈ R2 | x+ y 6 1}
f) A = { Ca´lculo 1, Ca´lculo 2, Ca´lculo 3 },
B = { IAL, Ca´lculo Nume´rico, EDO, VC }
R6 = {(x, y) ∈ A×B | x e´ pre´-requisito direto de y}
Em termos de gra´ficos e/ou diagramas de flechas, tambe´m temos as seguintes
representac¸o˜es:
a) R1 = {(−1, 0), (1, 0), (0, 1), (0,−1)}
y
x
0
(1, 0)
(0, 1)
(−1, 0)
(0,−1)
0 0
11
−1 −1
ZZ
D(R1) = {−1, 0, 1}
Im(R1) = {−1, 0, 1}
b) (c´ırculo unita´rio)
y
x0−1
−1
1
1
D(R2) = [−1, 1] = {x ∈ R | −1 6 x 6 1}
Im(R2) = [−1, 1] = {y ∈ R | −1 6 y 6 1}
c) R3 = {(1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 6), (2, 8), (3, 6), (4, 8)}
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5
6
7
8
x
y
D(R3) = {1, 2, 3, 4}
Im(R3) = {6, 7, 8}
Observac¸a˜o. Sejam x, y ∈ Z. Dizemos que “x divide y” se existe
z ∈ Z tal que x · z = y.
26
d) R4 = {(a, b), (a, c), (b, c)}
a
a
b
b
c
c
d
D(R4) = {a, b}
Im(R4) = {b, c}
e) (semiplano inferior)
1
1
x + y = 1
x
y
D(R5) = R
Im(R5) = R
f) R6 = {(C2, EDO), (C2, CN), (C3, V C)}
C1
C2
C3
IAL
CN
EDO
V C
D(R6) = {C2, C3}
Im(R6) = {EDO,CN, V C}
Definic¸a˜o 3.3 (Relac¸a˜o de Equivaleˆncia). Seja A 6= ∅. Seja R uma
relac¸a˜o sobre A (isto e´, R ⊆ A × A). Dizemos que R e´ uma Relac¸a˜o de
Equivaleˆncia se R satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(Reflexiva)(RE1) ∀ a ∈ A, aR a; (isto e´, (a, a) ∈ R,∀ a ∈ A)
(Sime´trica)(RE2) ∀ a, b ∈ A, aR b→ bR a; (isto e´, se (a, b) ∈ R, enta˜o
(b, a) ∈ R)
(Transitiva)(RE3) ∀ a, b, c ∈ A, (aR b) ∧ (bR c) → aR c. (isto e´, se
(a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R, enta˜o (a, c) ∈ R)
Exemplos:
1) A = { retas no plano } r, s ∈ A
rR s⇔ r ‖ s (r ∩ s = ∅ ou r = s)
Afirmac¸a˜o. R e´ relac¸a˜o de equivaleˆncia.
27
De fato:
(RE1) r R r, pois r = r;
(RE2) r R s→ sR r (r ∩ s = ∅→ s ∩ r = ∅);
(RE3) r R s, sR t→ r R t (r ∩ s = ∅ s ∩ t = ∅→ r ∩ t = ∅)
2) A = { retas no plano } r, s ∈ A
rR s⇔ r ⊥ s (r ∩ s = {p})
Afirmac¸a˜o. R na˜o e´ relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(RE1) FALHA, pois uma reta na˜o e´ perpendicular a si mesma;
(RE2) e´ verdadeira, pois r ⊥ s→ s ⊥ r, ∀ r, s ∈ A;
(RE3) FALHA, pois r ⊥ s e s ⊥ t; r ⊥ t
3) A = { alunos de A´lgebra 1 (turma A) - 1 -o/2004 } x, y ∈ A
xRy ⇔ x e y fazem o mesmo curso (curso (x) = curso (y))
R e´ relac¸a˜o de equivaleˆncia, pois:
(RE1) ∀ x ∈ A, xRx;
(RE2) ∀ x, y ∈ A, se xR y, enta˜o y Rx;
(RE3) ∀ x, y, z ∈ A, se xR y e y R z, enta˜o xR z.
4) E 6= ∅
A = P (E) = {X | X ⊆ E} X,Y ∈ A
X RY ⇔ X ⊆ Y (inclusa˜o)
R NA˜O e´ relac¸a˜o de equivaleˆncia, pois
(RE1) e´ va´lida, pois X ⊆ X, ∀ x ∈ A;
(RE3) e´ va´lida, pois se X ⊆ Y e Y ⊆ Z, enta˜o X ⊆ Z, ∀ X,Y, Z ∈ A;
(RE2) FALHA, pois X ⊆ Y ; Y ⊆ X.
Exemplo: E = {1, 2, 3}
X = {1} ⊆ E e Y = {1, 2} ⊆ E
Temos que X ⊆ Y , mas Y * X
5) A = Z
x ∈ Z e´ par se x = 2k, k ∈ Z
x ∈ Z e´ ı´mpar se x = 2k + 1, k ∈ Z
x, y ∈ A
xRy ⇔ x− y = 2k, k ∈ Z (isto e´, x e y teˆm a mesma paridade)
R e´ relac¸a˜o de equivaleˆncia, pois:
28
(RE1) ∀ x ∈ A, xRx, pois x− x = 0 = 2 · 0
(RE2) ∀ x, y ∈ A, xR y︸ ︷︷ ︸
H
⇒ y Rx︸ ︷︷ ︸
T
:
xR y ⇒ x− y = 2k ×(−1)=⇒ y − x = 2
∈ Z︷ ︸︸ ︷
(−k)⇒ y R x
(RE3) ∀ x, y, z ∈ A, (xR y) e (y R z)︸ ︷︷ ︸
H
⇒ xR z︸ ︷︷ ︸
T
:
xR y ⇒ x− y = 2k
y R z ⇒ y − z = 2l
}
⇒ x− y = 2 k + l︸︷︷︸
∈ Z
⇒ xR z
Tal relac¸a˜o e´ chamada de Congrueˆncia Mo´dulo 2 e e´ simbolizada por:
x ≡ y (mod 2) (leˆ-se: x e´ congruente a y mo´dulo 2, isto e´, x e y deixam
o mesmo resto na divisa˜o por 2) (dois restos poss´ıveis {0,1})
6) (Divisibilidade)
A = Z x, y ∈ Z
Dizemos que “x divide y” (ou “x e´ divisor de y” ou “x e´ fator de y”
ou “y e´ mu´ltiplo de x” ou “y e´ divis´ıvel por x”) se existe z ∈ A tal que
x · z = y
Simbolicamente:
x | y∗ ⇔ ∃ z ∈ A, x · z = y ∗(leˆ-se: x divide y)
Propriedades:
a) 1 | a,∀ a ∈ Z (pois 1 · a = a);
b) a | 0,∀ a ∈ Z (pois a · 0 = 0);
(Em particular, 0 | 0) (e´ ind pois 0 = 0x,∀ x ∈ A)
c) a | a,∀ a ∈ Z (pois a = a · 1);
d) a | b e b | a⇒ a = ± b;
e) a | b e c | d⇒ a c | b d;
f) a | b e b | c⇒ a | c; (transitiva)
g) a | b e a | c⇒ a | b x+ c y, ∀ x, y ∈ A;
“a divide qualquer combinac¸a˜o linear inteira de b e c”
29
xR y ⇔ x | y
R na˜o e´ relac¸a˜o de equivaleˆncia, pois:
(RE1) e´ verdadeira, pela propriedade c;
(RE3) e´ verdadeira, pela propriedade f;
(RE2) FALHA, pois a | b; b | a.
Exemplo: 3 | 12 (pois 12 = 3 · 4), mas 12 ∤ 3.
Notac¸o˜es(para Relac¸a˜o de Equivaleˆncia). A 6= ∅ munido de uma
relac¸a˜o de equivaleˆncia R.
• R↔ ∼ ;
(aR b⇔ a ∼ b)
• x ∈ A
A ⊇ x¯ def:= {a ∈ A | a ∼ x}
(classe de equivaleˆncia de x pela relac¸a˜o ∼)
• A/∼ = {x¯ | x ∈ A}
(conjunto quociente de A pela relac¸a˜o ∼ ou conjunto de todas as classes
de equivaleˆncia)
Exemplos: (Voltando aos exemplos anteriores)
1) (Paralelismo)
A = { retas do plano } r, s ∈ A
r ∼ s⇔ r ‖ s
r¯ = {a ∈ A | a ∼ r} = {a ∈ A | a ‖ r} (feixe de retas paralelas a r)
s¯ = {a ∈ A | a ∼ s} = {a ∈ A | a ‖ s} (feixe de retas paralelas a s)
(Tais conjuntos r¯ e s¯ representam direc¸o˜es do plano, horizontal e ver-
tical, respectivamente)
A/∼ = {a¯ | a ∈ A} = { direc¸o˜es do plano } = {→, ↑,ր, . . .}
3) (Disciplina de A´lgebra 1)
A = { alunos de A´lgebra 1 (turma A) - 1 -o/2004 } x, y ∈ A
x ∼ y ⇔ curso (x) = curso (y)
Jorge = {a ∈ A | a ∼ Jorge} = {a ∈ A | curso(a) = MAT} (conjunto
dos alunos de MAT desta disciplina representados dor Jorge)
Eduardo = {a ∈ A | a ∼ Eduardo} = {a ∈ A | curso(a) = CIC}
30
Renan = {a ∈ A | a ∼ Renan} = {a ∈ A | curso(a) = curso (Renan)
= ENE}
Fernando = {a ∈ A | a ∼ Fernando} = {a ∈ A | curso(a) = EST}
Felipe = {a ∈ A | a ∼ Felipe} = {a ∈ A | curso(a) = FIS}
A/∼ = {a¯ | a ∈ A} = {Jorge, Eduardo, Renan, Fernando, Felipe}
{MAT, CIC, ENE, EST, FIS}
A
Jorge Eduardo Renan Fernando Felipe
MAT CIC ENE EST FIS
(Partic¸a˜o de A)
Observac¸o˜es. a) As cinco classes acima sa˜o duas a duas disjuntas,
isto e´, X ∩ Y = ∅ (onde X 6= Y )
b) Jorge ∪ Eduardo ∪ Renan ∪ Fernando ∪ Felipe = A
5) A = Z
x ∼ y ⇔ x− y = 2k, k ∈ Z
0 = {a ∈ A | a ∼ 0} = {a ∈ Z | a − 0 = 2k} = {a ∈ Z | a = 2k} =
{0,±2,±4,±6, . . .} (conjunto dos nu´meros pares)
1 = {a ∈ A | a ∼ 1} = {a ∈ Z | a− 1 = 2k} = {a ∈ Z | a = 2k + 1} =
{±1,±3,±5,±7, . . .} (conjunto dos nu´meros ı´mpares)
A/∼ = {0, 1}
0 1 A
Observe que: a) 0 ∩ 1 = ∅;
b) 0 ∪ 1 = A
Observac¸o˜es. a) X 6= ∅,∀ x ∈ A; Isto se deve ao fato de uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia ∼ satisfazer a propriedade reflexiva (RE1) ∀ x ∈ A, x ∼ x;
(ou seja, x ∈ X)
b) Dois elementos sa˜o equivalentes se , e somente se, eles representam a
mesma classe. (Isto e´, X = Y ⇔ X ∼ Y )
31
Demonstrac¸a˜o. (⇒)
{
H: X = Y
T: x ∼ y
X = {a ∈ A | a ∼ x} = {b ∈ A | b ∼ y} = Y
x ∈ X (pois x ∼ x)⇒ x ∈ Y , isto e´, x ∼ y
X = Y
(⇐)
{
H: x ∼ y
T: X = Y (igualdade de conjuntos)
Queremos mostrar uma dupla inclusa˜o: X ⊆ Y e Y ⊆ X.
Vamos mostrar apenas a 1 -a inclusa˜o (a 2 -a e´ ana´loga, bastando trocar x
por y).
Tome a ∈ X (arbitra´rio). Devemos mostrar que a ∈ Y
a ∈ X ⇒ a ∼ x (I)
Por hipo´tese, x ∼ y (II)
De (I) e (II), segue que a ∼ y (pela propriedade transitiva (RE3)). Assim,
a ∈ Y .
Conclusa˜o: X ⊆ Y ¥
Definic¸a˜o 3.4 (Partic¸a˜o de Um Conjunto). Seja A 6= ∅. Seja B uma
colec¸a˜o na˜o-vazia de subconjuntos de A (isto e´, ∅ 6= B ⊆ P (A)). Dizemos
que B e´ uma partic¸a˜o de A se:
i) ∅ /∈ B; (isto e´, todo elemento de B e´ na˜o vazio)
ii) Quaisquer dois elementos distintos de B sa˜o disjuntos (isto e´, ∀ B1, B2
∈ B, se B1 6= B2, enta˜o B1 ∩B2 = ∅)
iii) A unia˜o de todos os elementos de B “reproduz” o conjunto original.⋃
Bi∈B Bi = A
Teorema 3.5. Seja A 6= ∅ munido de uma relac¸ao˜ de equivaleˆncia ∼.
Enta˜o, o conjunto quociente A/∼ = {x | x ∈ A} e´ uma partic¸a˜o de A.
(vide os treˆs exemplos anteriores)
Demonstrac¸a˜o. Devemos verificar que A/∼ = B satisfaz as treˆs condic¸o˜es
de uma partic¸a˜o, a saber:
i) ∅ /∈ A/∼;
ii) ∀ X,Y ∈ A/∼, se X 6= Y , enta˜o X ∩ Y = ∅;
32
iii)
⋃
X = A.
De fato:
i) (ok!), pois X 6= ∅ (pois x ∈ X);
ii) Equivalentemente, pelo Contra-Rec´ıproco (ou Contra-Positiva), vamos
mostrar que se X ∩ Y 6= ∅, enta˜o X = Y .
Tome a ∈ X ∩ Y ⇒


a ∈ X
e
a ∈ Y
=⇒


a ∼ x
e
a ∼ y
(RE2)
=⇒


x ∼ a
e
a ∼ y
(RE3)
=⇒
x ∼ y ⇒ X = Y
iii) (igualdade de conjuntos)
I)
⋃
X ⊆ A;
De fato: ∀ x ∈ A, X ⊆ A⇒ ⋃X ⊆ A
II) A ⊆ ⋃X:
∀ x ∈ A, x ∈ X ⊆ ⋃X ⇒ x ∈ ⋃X ¥
Exemplo: (exerc´ıcio 1 da 2 -a lista, pa´g. 184)
Determine todas as relac¸o˜es de equivaleˆncia sobre A = {1, 2, 3} e os respec-
tivos conjuntos-quociente:
• A = {1}
R = { (1,1) } e´ a u´nica relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A
1 = {a ∈ A | a ∼ 1} = {1}
A/∼ = {1} = {{1}}
• A = {1, 2}
R1 = { (1,1), (2,2) } e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A
R2 = { (1,1), (2,2), (1,2), (2,1) } e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia
Ana´lise para R1:
1 = {1} e 2 = {2}
A/R1 = {1, 2} = {{1}, {2}}
Ana´lise para R2:
1 = {1, 2} = 2
A/R2 = {1}
33
• A = {1, 2, 3}
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)}
R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)}
R5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)} = A×A
Ana´lise para R1
1 = {1}; 2 = {2}; 3 = {3}
A/R1 = {1, 2, 3} = {{1}, {2}, {3}}
Ana´lise para R2
1 = {1, 2} = 2; 3 = {3}
A/R2 = {1, 3} = {{1, 2}, {3}}
Ana´lise para R5
1 = 2 = 3 = {1, 2, 3}
A/R5 = {I} = {{1, 2, 3}}
Ana´lise para R3:
2 = {2}; 1 = 3 = {1, 3}
A/R3 = {1, 2} = {{1, 3}, {2}}
Ana´lise para R4:
1 = {1}; 2 = 3 = {2, 3}
A/R4 = {1, 2} = {{1}, {2, 3}}
Exerc´ıcio: Explique a raza˜o pela qual as seguintes relac¸o˜es NA˜O sa˜o de
equivaleˆncia sobre A = {1, 2, 3}
a) R∗ = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1) }
na˜o satisfaz a propriedade reflexiva para o 3 (RE1 falha)
b) R∗∗ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2) }
na˜o satisfaz a propriedade sime´trica (falta (2, 1)) (RE2 falha)
c) R∗∗∗ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1) }
na˜o satisfaz a propriedade transitiva (falta (2, 3) e (3, 2)) (RE3 falha)
Definic¸a˜o 3.6 (Relac¸a˜o de Ordem). Seja A 6= ∅ munido de uma relac¸a˜o
R (isto e´, R ⊆ A × A). Dizemos que R e´ uma Relac¸a˜o de Ordem Parcial
(ou que A e´ parcialmente ordenado por R) se valem as seguintes condic¸o˜es:
34
(RO1) ∀ a ∈ A, aR a (isto e´, (a, a) ∈ R)); (Reflexiva)
(RO2) ∀ a, b ∈ A, se aR b e bR a, enta˜o a = b; (Anti-Sime´trica)
(RO3) ∀ a, b, c ∈ A, se aR b e bR c, enta˜o aR c. (Transitiva)
Observac¸a˜o. Dizemos que R e´ uma relac¸a˜o de ordem total (ou que A e´
totalmente ordenado por R) se, ale´m de (RO1), (RO2) e (RO3), vale uma
propriedade adicional:
(RO4) ∀ a, b ∈ A, tem-se que ou aR b ou bR a; (para a 6= b)
(isto e´, quaisquer dois elementos podem ser comparados)
Notac¸a˜o (para Relac¸a˜o de Ordem). R↔6 (leˆ-se: precede ou igual)
Exemplos:
1) A = N (ou Z ou Q ou R)
x, y ∈ A
x 6 y ⇔ x− y 6 0 (6 = ordem natural)
x y
6 e´ relac¸a˜o de ordem total, pois
(RO1) x 6 x,∀ x ∈ A;
(RO2) ∀ x, y ∈ A, x 6 y e y 6 x⇒ x = y;
(RO3) ∀ x, y, z ∈ A, x 6 y e y 6 z ⇒ x 6 z;
(RO4) ∀ x, y ∈ A, x 6 y ou y 6 x
2) E 6= ∅
A = P (E) = {X | X ⊆ E}
X,Y ∈ A
X 6 Y ⇔ X ⊆ Y (lei de formac¸a˜o)
6 e´ uma relac¸a˜o de ordem parcial (em geral, na˜o e´ total)
(RO1) ∀ X ∈ A, X ⊆ X;
(RO2) ∀ X,Y ∈ A, se X ⊆ Y e Y ⊆ X, enta˜o X = Y ; (igualdade de
conjuntos)
(RO3) ∀ X,Y, Z ∈ A, se X ⊆ Y e Y ⊆ Z, enta˜o X ⊆ Z
35
Observac¸o˜es. a) Em geral tal relac¸a˜o na˜o e´ total.
Exemplo: E = {1, 2}
A = P (E) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
X = {1}, Y = {2}
Temos que X * Y e Y * X.
b) Se A e´ finito, enta˜o podemos representar graficamente uma relac¸a˜o
de ordem atrave´s de um RETICULADO. (“Teoria dos Grafos”)
Exemplo: E = {1, 2, 3}
A = P (E) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
X,Y ∈ A
X 6 Y ⇔ X ⊆ Y (6 ↔ ⊆)
E = {1, 2, 3}
{1, 2}
88pppppppppp
{1, 3}
OO
{2, 3}
ffNNNNNNNNNN
{1}
OO 88pppppppppppp {2}
ffNNNNNNNNNNNN
88pppppppppppp {3}
ffNNNNNNNNNNNN
OO
∅
ggNNNNNNNNNNNNNN
OO 77pppppppppppppp
Observac¸a˜o. Num reticulado e´ poss´ıvel visualizar quando dois ele-
mentos na˜o sa˜o compara´veis. Tais elementos devem estar no mesmo
n´ıvel, de maneira que na˜o haja aresta(s) ligando-os. No exemplo an-
terior, { 1 }, { 2 }, e { 3 } esta˜o nomesmo n´ıvel. Logo, na˜o sa˜o
compara´veis ({ 1 } * { 2 } e { 2 } * { 1 })
3) A = N
x, y ∈ A
x 6 y ⇔ x | y (isto e´, x · z = y, para algum z ∈ A)
6 e´ uma relac¸a˜o de ordem parcial (na˜o e´ total):
(RO1) ∀ x ∈ A, x | x (pois x = 1 · x);
(RO2) ∀ x, y ∈ A, se x | y e y | x︸ ︷︷ ︸
H
, enta˜o x = y︸ ︷︷ ︸
T
;
De fato:
x | y ⇒ x · z1 = y (I) (z1 ∈ A)
36
y | x⇒ y · z2 = x (II) (z2 ∈ A)
(I) → (II):
(x · z1) · z2 = x⇒ z1 · z2 = 1⇒ z1 = 1 = z2
Assim, x = y.
(RO3) ∀ x, y, z ∈ A, se x | y e y | z︸ ︷︷ ︸
H
, enta˜o x | z︸︷︷︸
T
x | y ⇒ x · l = y (I) (l ∈ A)
y | z ⇒ y ·m = z (II) (m ∈ A)
(I) → (II):
(x · l) ·m = z ⇒ x · (l ·m)︸ ︷︷ ︸
∈ A
= z ⇒ x | z
Tal relac¸a˜o NA˜O e´ total pois existem elementos em A que na˜o sa˜o
compara´veis.
Exemplo: x = 2, y = 3
x ∤ y e y ∤ x
Exerc´ıcios: 1)Usando a relac¸a˜o de divisibilidade, construa o reticulado cor-
respondente ao conjunto A = {x ∈ N | x divide 12} = D+(12)
2) Mostre que a relac¸a˜o de divisibilidade em Z na˜o e´ relac¸a˜o de ordem
(Sugesta˜o: verifique que (RO2) falha).
Resoluc¸a˜o:
1) A = D+(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
x, y ∈ A
x 6 y ⇔ x | y
12
4
??~~~~~~~~
6
__@@@@@@@@
2
__@@@@@@@@
??~~~~~~~~
3
^^=======
1
__@@@@@@@@
@@¢¢¢¢¢¢¢
2) A = Z x, y ∈ A
x 6 y ⇔ x | y
37
(RO1) ∀ x ∈ A, x | x;
(RO2) ∃ x, y ∈ A, x | y, y | x e x 6= y
x | y ⇒ y = x · z1 (z1 ∈ A) (I)
y | x⇒ x = y · z2 (z2 ∈ A) (II)
(II) → (I):
y = y · z2 · z1 ⇒ z2 · z1 = 1⇒ z1 = z2 = ±1
Enta˜o x = y ou x = −y, logo x pode ser diferente de y.
Definic¸a˜o 3.7 (Elemento Mı´nimo e Elemento Ma´ximo). Sejam E 6=
∅ e ∅ 6= A ⊆ E (A esta´ ordenado por 6).
i) Dizemos que m e´ um elemento mı´nimo de A se:
a) m ∈ A;
b) m e´ uma cota inferior de A, isto e´, m 6 a, ∀ a ∈ A.
ii) Dizemos que M e´ um elemento ma´ximo de A se:
a) M ∈ A;
b) M e´ uma cota superior de A, isto e´, a 6M, ∀ a ∈ A.
Exemplos:
1) A = N; 6 = ordem habitual
A = N = {1, 2, 3, . . .}
– A tem elemento mı´nimo (= 1): 1 = min(A)
– A na˜o tem elemento ma´ximo (pois n < n+ 1,∀ n ∈ A)
Notac¸a˜o. m = min(A) e M = max(A)
2) E 6= ∅, A = P (E); 6 = inclusa˜o
A = N = {1, 2, 3, . . .}
– A tem elemento mı´nimo: ∅ = min(A)
– A tem elemento ma´ximo: E = max(A)
3) A = Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}; 6 = ordem habitual
– A na˜o tem mı´nimo nem ma´ximo (pois n−1 < n < n+1,∀ n ∈ A)
38
4) A = {x ∈ Z | x 6 5} = {. . . ,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; 6 = ordem habitual
– A na˜o tem mı´nimo, mas tem ma´ximo: 5 = max(A)
5) A = (0, 1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}; 6 = ordem habitual
– A na˜o tem elemento mı´nimo (embora seja limitado inferiormente)
Observe que A possui infinitas cotas inferiores em E = R : 0,−1,
−2,−3, . . . Mas nenhum x0 ∈ A e´ elemento mı´nimo (basta tomar
x1 = 1/2 x0 < x0).
– A na˜o tem elemento ma´ximo.
P.B.O. (Princ´ıpio da Boa Ordenac¸a˜o)
• 1 -a versa˜o: (para N)
Todo subconjunto na˜o-vazio de N possui elemento mı´nimo (isto e´,
∀ ∅ 6= A ⊆ N, ∃ min(A))
• 2 -a versa˜o: (para Z)
Todo subconjunto na˜o-vazio e limitado inferiormente de Z possui ele-
mento mı´nimo.
• 3 -a versa˜o: (caso geral)
Seja E 6= ∅ munido de uma ordem total 6. E e´ dito bem ordenado
(ou 6 e´ uma boa ordem) se todo subconjunto na˜o-vazio e limitado
inferiormente de E possui elemento mı´nimo.
Princ´ıpio da Induc¸a˜o Matema´tica
INDUC¸A˜O: PARTICULAR ⇒ GERAL
Observac¸a˜o. Na˜o confundir a induc¸a˜o matema´tica com a induc¸a˜o emp´ırica
(usada nas Cieˆncias Naturais). A primeira delas e´ utilizada para demonstrar
verdades matema´ticas em conjuntos infinitos que possuem elemento mı´nimo.
Tal induc¸a˜o baseia-se em lo´gica e na˜o pode ser refutada (apo´s demonstrada)
A segunda delas e´ “mais fraca” pois tenta explicar os fenoˆmenos naturais a
partir de um nu´mero finito de observac¸o˜es (testadas experimentalmente), as
quais podem ser invalidadas com o surgimento de uma nova teoria.
39
Teorema 3.8 (Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica - 1 -a versa˜o). Sejam
n0 ∈ Z fixado e P (n) uma sentenc¸a aberta que depende de n, onde n > n0.
Suponha que P (n) satisfac¸a duas condic¸o˜es:
i) P (n0) e´ V ; (Base da Induc¸a˜o)
ii) Para todo n > n0, se P (n) e´ V , enta˜o P (n + 1) tambe´m o e´. (Etapa
da Induc¸a˜o)
Enta˜o, P (n) e´ V , ∀ n > n0
Observac¸a˜o. Na pra´tica, P (n) e´ chamada de Hipo´tese de Induc¸a˜o. (fila
infinita de domino´s)
Demonstrac¸a˜o. Defina A = {n ∈ Z | n > n0 e P (n) e´ F}. Queremos
mostrar que A = ∅. Suponha, por absurdo, que A 6= ∅. Como ∅ 6= A ⊆ Z e
e´ limitado inferiormente, enta˜o, pelo P.B.O. (2 -a versa˜o) ∃ b = min(A), isto
e´, b ∈ A e b 6 n, ∀ n ∈ A. b: primeiro ı´ndice para o qual a sentenc¸a aberta
e´ falsa. Como b ∈ A, segue que P (b) e´ F . (∗)
n0 b
Ale´m disso, b > n0. Por i), P (n0) e´ V . Assim, b(∈ A) 6= n0(/∈ A) e,
portanto, b > n0
b > n0 ⇒ b > n0 + 1
⇒ b− 1 > n0
Como b − 1 < b e b e´ o primeiro ı´ndice para o qual P (n) e´ F , enta˜o
P (b− 1) e´ V .
Por ii), se P (b− 1) e´ V , enta˜o P ((b− 1) + 1) = P (b) e´ V . (∗∗)
Conclusa˜o: de (∗) e (∗∗), P (b) e´ F e V (absurdo). Portanto, A = ∅.
¥
Exemplos:
1) 1 + 2 + 3 + . . .+ n =
n(n+ 1)
2︸ ︷︷ ︸
P (n) (∗)
, ∀ n ∈ N. n0 = 1
40
i) P (1) e´ V :
1 =
1(1 + 1)
2
(ok!)
ii) Dado n ∈ N, devemos mostrar que se P (n) e´ V , enta˜o P (n + 1)
tambe´m o e´, ou seja, que
1 + 2 + . . .+ (n+ 1) =
(n+ 1)(n+ 2)
2
De fato: 1 + 2 + . . .+ n+ (n+ 1)
(∗)
=
n(n+ 1)
2
+ (n+ 1)
=
n(n+ 1) + 2(n+ 1)
2
=
(n+ 1)(n+ 2)
2
(ok!)
Conclusa˜o: de i) e ii), temos, pelo princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica que
(∗) e´ V, ∀ n ∈ N.
2) Se f(x) = xn (n ∈ Z), enta˜o f ′(x) = nxn−1 (= P (n)) (∗)
1 -a resoluc¸a˜o: (sem induc¸a˜o)
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)n − xn
h
(BN)
= nxn−1
2 -a resoluc¸a˜o: (induc¸a˜o)
i) n0 = 0, P (0) e´ V :
f(x) = x0 = 1
f ′(x) = 0x 0−1 = 0
ii) Dado n > 0, devemos mostrar que se (∗) e´ V para n, enta˜o ela
tambe´m e´ va´lida para n + 1, isto e´, se f(x) = xn+1, enta˜o
f ′(x) = (n+ 1)xn.
De fato: f(x) = xn+1 = xn x
Pela regra do produto para derivadas, temos
f ′(x) = (xn x)′ = (xn)′ x+ xn (x)′
(∗)
= (nxn−1)x+ xn 1
= nxn + xn = (n+ 1)xn
Conclusa˜o: de i) e ii), temos, pelo Princ´ıpio de Induc¸a˜o, que (∗) e´
V, ∀ n > 0.
41
3) (Lista) 1 + x+ x2 + . . .+ xn−1 =
(1− xn)
1− x︸ ︷︷ ︸
(∗)
, ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ R, x 6= 1
P.G.: a1 = 1 e q = x
1 -a resoluc¸a˜o: (2 -o grau e Ca´lculo 2)
Sn = 1 + x+ x
2 + . . .+ xn−1 (I)
xSn = x+ x
2 + x3 + . . .+ xn (II)
(I) - (II): Sn − xSn = 1− xn
Sn(1− x) = 1− xn x 6=1=⇒ Sn = 1− x
n
1− x
2 -a resoluc¸a˜o: (usando induc¸a˜o)
i) n = 1 1 =
1− x
1− x
ii) Supondo que a hipo´tese de induc¸a˜o (∗) e´ va´lida para n > 1, devemos
mostrar a sua validade para n + 1, ou seja, que 1 + x + . . . + xn =
(1− xn+1)/(1− x).
De fato:
1 + x+ . . .+ xn−1 + xn =
1− xn
1− x + x
n =
1− xn + xn (1− x)
1− x
=
1− xn + xn − xn+1
1− x =
1− xn+1
1− x
De i) e ii), temos, pelo Princ´ıpio de Induc¸a˜o, que (∗) e´ va´lida ∀ n ∈ N.
4) (Exemplo onde a hipo´tese de induc¸a˜o na˜o e´ fornecida) Problema: en-
contrar a soma dos n primeiros nu´meros ı´mpares naturais.
42
n = 1 1 = 1
n = 2 1 + 3 = 4
n = 3 1 + 3 + 5 = 9
n = 4 1 + 3 + 5 + 7 = 16
n = 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
...
n gene´rico: 1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ (2n− 1) = n2 (∗)
(hipo´tese de induc¸a˜o)
i) n = 1 : 1 = 12 (ok!)
ii) P (n) e´ V
?⇒ P (n+ 1) e´ V ;
P (n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ (2n− 1) = n2 (∗)
P (n+ 1) : 1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ (2n+ 1) = (n+ 1)2 (a obter)
De fato:
(∗)︷ ︸︸ ︷
1 + 3 + 5 + 7 + . . .+ (2n− 1)+(2n + 1) = n2 + (2n + 1) =
(n+ 1)2
De i) e ii), (∗) e´ V, ∀ n ∈ N.
5) (Lista) (Desigualdade de Bernoulli)
(∗) (1 + x)n > 1 + nx, ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ R, x > −1
i) n = 1 : 1 + x > 1 + x (ok!)
ii) P (n) e´ V
?⇒ P (n+ 1) e´ V
P (n) : (1 +x)n > 1 + nx (V ) (∗)
P (n+ 1) : (1 + x)n+1 > 1 + (n+ 1)x
Como x > −1, enta˜o x+1 > 0. Logo, multiplicando (∗) por x+1, na˜o
alteramos o sentido da desigualdade:
(1 + x)n > 1 + nx
×(x+1)
=⇒ (1 + x)(1 + x)n > (1 + x)(1 + nx) ⇒
(1 + x)n+1 > 1 + nx+ x+ nx2 = 1+ (n+ 1)x+ nx2 > 1 + (n+ 1)x
De i) e ii), (∗) e´ V, ∀ n ∈ N.
43
6) (Lista) (Geometria Plana)
(∗) dn = n(n+ 3)
2
, ∀ n ∈ N, n > 3
dn: nu´mero de diagonais de um pol´ıgono convexo de n lados (diagonal:
segmento de reta unindo ve´rtices na˜o adjacentes)
n = 3: 0 diagonais
(
=
3(3− 3)
2
)
A
B C
n = 4: 2 diagonais
(
=
4(4− 3)
2
)
A B
C D
1 -a resoluc¸a˜o: (2 -o grau)
Cn,2 − n =
(
n
2
)
− n = n!
2!(n− 2)! − n =
n(n− 1)(n− 2)!
2(n− 2)! − n =
n(n− 1)
2
− n = n(n− 1)− 2n
2
=
n2 − 3n
2
=
n(n− 3)
2
2 -a resoluc¸a˜o: (usando induc¸a˜o)
i) n = 3 : 0 =
3(3− 3)
2
= d3 (ok!)
ii) P (n) e´ V ⇒ P (n+ 1) e´ V (n > 3)
P (n) : dn = n(n− 3)/2 (V )
P (n+ 1) : dn+1 = (n+ 1)(n− 2)/2 (a obter)
A
B
C
D
AC, BD = dia-
gonais A
B
C
D
E
AC, BD, DC,
AE, BE = dia-
gonais
Ao acrescentarmos mais um ve´rtice, temos:
44
i) as diagonais do pol´ıgono de n lados sa˜o preservados;
ii) um dos lados do pol´ıgono original transforma-se numa diagonal;
iii) pelo novo ve´rtice, ha´ n− 2 novas diagonais.
Conclusa˜o:
dn+1 = dn+1+ (n− 2) ∗= n(n− 3)
2
+ (n− 1) = n(n− 3) + 2(n− 1)
2
=
n2 − n− 2
2
=
(n+ 1)(n− 2)
2
(ok!)
De i) e ii), (∗) e´ V, ∀ n > 3.
7) (Lista) (Conjuntos)
Se |A| = n, enta˜o |P (A)| = 2n (n ∈ Z+) (∗)
i) n = 0 : A = ∅
P (A) = {∅}
|P (A)| = 1 = 20 (ok!)
ii) P (n) e´ V
?⇒ P (n+ 1) e´ V (n > 0)
P (n): se |A| = n, enta˜o |P (A)| = 2n (V )
P (n+ 1): se |A| = n+ 1, enta˜o |P (A)| = 2n+1
A
A1
A2a1
a2
a3
an
an+1−→
ւ
{
A = A1 ∪ A2 = {a1, a2, . . . , an+1}
A1 ∩ A2 = ∅
Seja B ⊆ A. Queremos mostrar que ha´ 2n+1 possibilidades para B.
Observe que ha´ dois casos a considerar:
1 -a) an+1 /∈ B: nesse caso, B ⊆ A1 = {a1, . . . , an}. Por (∗), ha´ 2n
possibilidades para B;
2 -a) an+1 ∈ B: nesse caso, B e´ obtido a partir dos subconjuntos de A1,
acrescentando-se an+1. Assim, ha´ 2
n possibilidades para B.
Conclusa˜o: O nu´mero total de possibilidades e´ 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1
Comenta´rios Finais Sobre P.B.O. e Induc¸a˜o Matema´tica
45
1) As condic¸o˜es i) e ii) no princ´ıpio de induc¸a˜o (1 -a versa˜o) sa˜o essencias.
Caso uma delas falhe, enta˜o na˜o podemos aplicar a induc¸a˜o.
Exemplo: onde i) falha:
“Todo nu´mero natural coincide com o seu secessor”
(n = n+ 1, ∀ n ∈ N) (∗)
Observe que ii) e´ va´lida, ou seja, P (n) e´ V ⇒ P (n+ 1) e´ V (n ∈ N)
P (n) : n = n+ 1 (V )
⇓
P (n+ 1) : n+ 1 = (n+ 1) + 1 (V )
Todavia, i) falha: P (1) e´ F : 1 = 2 (F )
Exemplo: onde ii) falha
f(n) = n2 − n+ 41 (n ∈ N)
Afirmac¸a˜o. f(n) e´ primo, ∀ n ∈ N
Definic¸a˜o 3.9 (Nu´meors Primos e Compostos). Seja n ∈ N
a) Dizemos que n e´ primo se:
i) n > 1;
ii) n = a b⇒ a = 1 ou b = 1 (a, b ∈ N)
D+(n) = {d ∈ N | d divide n} = {1, n} (divisores triviais)
b) Dizemos que n e´ composto se n na˜o e´ primo, ou seja, se n possui
divisores na˜o-triviais (6= 1, n)
Exemplos: a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . sa˜o primos
b) 4, 6, 8, 9, . . . sa˜o compostos
Observe que i) e´ va´lida
n = 1 : f(1) = 12 − 1 + 41 = 41 e´ primo
n = 2 : f(2) = 22 − 2 + 41 = 43 e´ primo
n = 3 : f(3) = 32 − 3 + 41 = 47 e´ primo
...
n = 40 : f(40) = 402 − 40 + 41 = 1601 e´ primo
Todavia, para n = 41, f(n) e´ composto
f(41) = 412 − 41 + 41 = 412
D+(41
2) = {1, 41, 412}
46
Assim, a condic¸a˜o ii) falha, pois f(40) e´ V , mas f(41) e´ F .
2) Ha´ uma 2 -a versa˜o para o Princ´ıpio da Induc¸a˜o, cuja demonstrac¸a˜o e´
similar a da 1 -a versa˜o.
Teorema 3.10 (Princ´ıpio da Induc¸a˜o Matema´tica - 2 -a versa˜o). Se-
jam n0 ∈ Z (fixo) e P (n) uma sentenc¸a aberta que depende de n ∈ Z, onde
n > n0. Suponha que P (n) satisfac¸a as seguintes condic¸o˜es:
i) P (n0) e´ V ;
ii) Dado m ∈ Z, m > n0, se P (k) e´ V para todo n0 6 k < m, enta˜o
P (m) e´ V .
Enta˜o, P (n) e´ V, ∀ n > n0.
3) O elemento mı´nimo de um conjunto A parcialmente ordenado, quando
existe, e´ u´nico.
De fato: (unicidade)
Vamos mostrar que sem em′ sa˜o elementos mı´nimos de A, enta˜om = m′.
H:


m = min(A)⇒
{
a) m ∈ A
b) m 6 a, ∀ a ∈ A
m′ = min(A)⇒
{
a’) m′ ∈ A
b’) m′ 6 a, ∀ a ∈ A
T: m = m′
De fato: de b) e a’), m 6 m′
de a) e b’), m′ 6 m
Por (RO2), m′ = m.
Definic¸a˜o 3.11 (Func¸o˜es). Sejam A,B 6= ∅. Seja f uma relac¸a˜o de A
em B (isto e´, f ⊆ A × B). Dizemos que f e´ uma func¸a˜o (ou aplicac¸a˜o) de
A em B se:
i) ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B | (x, y) ∈ f ;
ii) ∀ x ∈ A, ∀ y, y′ ∈ B, se (x, y) ∈ f e (x, y′) ∈ f , enta˜o y = y′.
Em outras palavras: uma func¸a˜o f de A em B e´ uma Regra (ou corres-
pondeˆncia) que associa a cada elemento x ∈ A um u´nico elemento y ∈ B.
x ∈ A −→ FUNC¸A˜O −→ y ∈ B
entrada sa´ıda
47
Notac¸a˜o.
f : A→ B
x 7→ y = f(x)
• A = conjunto de partida = domı´nio de f (A = D(f))
• B = conjunto de chegada = contra-domı´nio de f (B = CD(f))
• x = varia´vel independente
• y = varia´vel dependente
• f : A→ B (“func¸a˜o de A em B”)
• f(x) = imagem de x por f ou valor de f em x
• Im(f) = imagem de f = {y ∈ B | y = f(x), x ∈ A} ⊆ B
• Se A e B sa˜o conjuntos nume´ricos, enta˜o definimos o gra´fico de f por:
G(f) = {(x, y) ∈ A×B | y = f(x)} (alguns autores identificam G(f)
com f)
Exemplos: a) R1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} e´ uma relac¸a˜o, mas na˜o e´
func¸a˜o.
De fato:
1
1−1
−1
2
√
3
2
−√3
2
O
y
x
i) falha, pois “sobram” elementos no domı´nio que na˜o esta˜o associados.
Exemplo: 2 ∈ R na˜o esta´ associado a nenhum outro elemento.
48
ii) falha, pois existem elementos no domı´nio com mais de uma imagem.
∀ (x) ∈ (−1, 1), existem duas imagens:
{
y =
√
1− x2
y′ = −√1− x2
Exemplo:
(
1
2
,
√
3
2
)
∈ R1 e
(
1
2
,
−√3
2
)
∈ R1
b) R2 = {(x, y) ∈ [−1, 1]× R | y =
√
1− x2} e´ func¸a˜o.
f : [−1, 1]→ R
x 7→ y = f(x) = √1− x2
1−1
y =
√
1− x2
O
y
x
Observac¸o˜es. 1) Conhecido o gra´fico de uma relac¸a˜o R de A em B,
podemos verificar se a mesma e´ uma func¸a˜o. Isso ocorrera´ se ∀ x ∈ A,
existir uma reta vertical interceptando o gra´fico em um u´nico ponto.
2) Conhecido o gra´fico de uma func¸a˜o
f : A→ B
x 7→ y
obtemos D(f) e Im(f) atrave´s de projec¸o˜es sobre os eixos coordenados
– D(f) = A = projec¸a˜o de G(f) sobre o eixo− x
– Im(f) = projec¸a˜o de G(f) sobre o eixo− y
No exemplo anterior:
{
D(f) = [−1, 1]
Im(f) = [0, 1]
3) Em geral, trabalharemos com func¸o˜es reais de uma varia´vel real (A,B ⊂
R). Quando A na˜o for explicitamente determinado, consideraremos o
domı´nio como sendo o “maior” conjunto poss´ıvel de valores para a
varia´vel independente x.
49
Exemplo: a) f(x) =
√
1− x2
D(f) = {x ∈ R | 1− x2 > 0} = {x ∈ R | x2 6 1} = {x ∈ R | |x| 6 1} =
{x ∈ R | −1 6 x 6 1} = [−1, 1]
Quando B na˜o for explicitamente determinado, enta˜o B = R.
>> Toda func¸a˜o e´ uma relac¸a˜o, mas nem toda relac¸a˜o e´ func¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.12 (Restric¸a˜o e Prolongamento de Uma Func¸a˜o). Seja
f : A→ B
x 7→ y = f(x)
uma func¸a˜o. Seja A′ ⊆ A. A func¸a˜o
g : A′ → B
x 7→ y = g(x) = f(x)
e´ dita uma RESTRIC¸A˜O de f a A′ (Dizemos tambe´m que f e´ um PRO-
LONGAMENTO de g a A).
Exemplo: f : R→ R (prolongamento de g)
x 7→ y = f(x) = x2
g : R+ → R (restric¸a˜o de f)
x 7→ y = g(x) = x2
(R+ = {x ∈ R | x > 0} ⊆ R)
f g
O Ox x
y y
Notac¸a˜o. g = f/A′ (leˆ-se: g e´ a restric¸a˜o de f a A
′ ⊆ A)
Algumas Func¸o˜es Importantes
A) (Func¸a˜o Identidade)
50
IdA : A→ A
x 7→ IdA(x) = x
Em particular, se A = R
IdR : R→ R
x 7→ IdR(x) = x
45o
x = yx
y
B) (Func¸a˜o Cte)
f : A→ B
x 7→ y = f(x) = b (fixo)
Im(f) = {b}
Em particular, se A = B = R:
f : R→ R
x 7→ f(x) = 1
y = 1
x
y
C) (Sequ¨eˆncia de Nu´meros Reais) (Ca´lculo 2)
f : N→ R
n 7→ f(n) = an
Im(f) = {an | n ∈ N} = {a1, a2, . . .}
Na pra´tica, identificamos uma sequ¨eˆncia com a colec¸a˜o dos an’s dispos-
tos numa certa ordem.
Exemplo: (sequ¨eˆncia cte)
f : N→ R
n 7→ f(n) = an = 1
51
Im(f) = {1, 1, 1, 1, . . .} = {1}
6=
(an)n∈N = (1, 1, 1, . . . , 1, . . .)
Definic¸a˜o 3.13 (Imagem Direta e Imagem Inversa).
i) (Imagem Direta)
Sejam
f : A→ B
x 7→ y = f(x)
uma func¸a˜o e A′ ⊆ A.
f(A′)
def
:= {f(x) | x ∈ A′} ⊆ B
(Imagem (Direta) de A′ por f)
A B
f
A′ f(A
′)
Observac¸a˜o. Se A′ = A, enta˜o f(A′) = Im(f)
Exemplo:
f : R→ R
x 7→ y = f(x) = x2
A = R, A′ = [1, 2]
f(A′) = f([1, 2]) = {f(x) | x ∈ [1, 2]}
= {x2 | x ∈ [1, 2]} = [1, 4] 1
1
2
4
A′
f(A′)
x
y
ii) (Imagem Inversa) (na˜o confundir com func¸a˜o inversa)
Sejam
f : A→ B
x 7→ y = f(x)
52
uma func¸a˜o e y ∈ B.
f−1(y)
def
:= {x ∈ A | f(x) = y} ⊆ A
(Imagem Inversa ou pre´-imagem de y por f)
A B
f
f-1(y)
y
Exemplos: a) f : R→ R
x 7→ y = f(x) = senx
f−1(1) = {x ∈ R | f(x) = 1} = {x ∈ R | sen x = 1}
= {x ∈ R | x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z}
1
-3pi
2
pi
2
5pi
2
9pi
2
x
y
b) f : R→ R
x 7→ f(x) = |x|
f−1(3) = {x ∈ R | f(x) = 3} = {x ∈ R | |x| = 3} = {−3, 3}
f−1(−1) = ∅
−1−3 3
3
x
y
Observac¸o˜es. a) Se y ∈ B e´ tal que y /∈ Im(f), enta˜o f−1(y) = ∅;
b) Tal conceito pode ser generalizado para conjuntos
53
f : A→ B ; B′ ⊆ B
x 7→ y = f(x)
f−1(B′)
def
:= {x ∈ A | f(x) ∈ B′} ⊆ A
(Imagem inversa de B′ por f)
Exemplo: f : R→ R
x 7→ y = f(x) = ex (e ∼= 2, 71828)
Im(f) = (0,∞) = R∗+
B′ = (0, 1]
f−1((0, 1])
(0, 1)
O x
y
f−1(B′) = f−1((0, 1]) = {x ∈ R | f(x) ∈ (0, 1]} = (−∞, 0]
= {x ∈ R | x 6 0}
Definic¸a˜o 3.14 (Func¸a˜o Sobrejetora, Injetora e Bijetora). Seja
f : A→ B
x 7→ y = f(x)
uma func¸a˜o.
i) (vide 1 -a questa˜o da 1 -a lista) f e´ Injetora (ou Injetiva) se ∀ x1, x2 ∈
A, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) (ou, pela contra-positiva, ∀ x1, x2 ∈
A, f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2).
ii) f e´ Sobrejetora (ou Sobrejetiva) se Im(f) = B, isto e´, ∀ y ∈ B,∃ x ∈
A | y = f(x).
iii) f e´ Bijetora (ou Bijetiva ou Bijec¸a˜o) se f e´ simultaneamente Injetora
e Sobrejetora, isto e´, ∀ y ∈ B, ∃! x ∈ A | y = f(x).
Exemplos:
54
1) A B {
e´ sobrejetora
na˜o e´ injetora
2) A B {
e´ injetora
na˜o e´ sobrejetora
3) A B {
na˜o e´ injetora
na˜o e´ sobrejetora
4) A Bf { e´ injetora
e´ sobrejetora
⇒ e´ bijetora
5)
f : R→ R
x 7→ f(x) = 1
1
x
y {
na˜o e´ injetora
na˜o e´ sobrejetora
6)
f : R→ R
x 7→ f(x) = x2 0 x
y {
na˜o e´ injetora
na˜o e´ sobrejetora
7)
f : R+ → R
x 7→ f(x) = x2 0 x
y {
e´ injetora
na˜o e´ sobrejetora
8)
f : R→ R+
x 7→ f(x) = x2 0 x
y {
e´ sobrejetora
na˜o e´ injetora
55
9)
f : R+ → R+
x 7→ f(x) = x2 0 x
y {
e´ injetora
e´ sobrejetora
⇒ e´ bijetora
Definic¸a˜o 3.15 (Composic¸a˜o de Func¸o˜es). Sejam f : A → B e
g : B → C, duas func¸o˜es arbitra´rias
A
f //
h
ÃÃ
B
g // C
x 7→ f(x) 7→ y = g(f(x))
Definimos a func¸a˜o composta de g com f por
h : A→ C
y = h(x) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x)
Observac¸a˜o. Pela nossa construc¸a˜o, (g ◦ f) esta´ definida se CD(f) =
D(g) = B.
Na pra´tica, basta que Im(f) ⊆ D(g).
A B C
f g
h = g ◦ f
x f(x)
Im(f)
g(f(x))
Exemplos:
1) f : R→ R
x 7→ f(x) = x2
g : R→ R
x 7→ g(x) = x+ 1
g ◦ f : R→ R
x 7→ (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 1
f ◦ g : R→ R
x 7→ (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x+ 1) = (x+ 1)2
Conclusa˜o: g ◦ f 6= f ◦ g
56
A composic¸a˜o de func¸o˜es na˜o e´ comutativa.
Observac¸a˜o. (A = B = C = R)
Duas func¸o˜es f : A→ B e g : C → D sa˜o iguais se:
a) A = C (mesmo domı´nio);
b) B = D (mesmo contradomı´nio);
c) f(x) = g(x), ∀ x ∈ A (mesma lei de associac¸a˜o).
No exemplo anterior:
f : R→ R g : R→ R
x 7→ f(x) = x2 x 7→ g(x) = x+ 1
g ◦ f : R→ R
x 7→ (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 1
f ◦ g : R→ R
x 7→ (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x+ 1) = (x+ 1)2
x2 + 1 6= (x+ 1)2
2)


f : A→ B
IdA : A→ A
IdB : B → B
⇒ f ◦ IdA = f (1)
e IdB ◦ f = f (2)
De fato:
(1) A
IdA //
f◦IdA
88A
f // B
f ◦ IdA : A→ B
x 7→ (f ◦ IdA)(x) = f(IdA(x)) = f(x)
(2) A
f //
IdB◦f
88B
IdB // B
IdB ◦ f : A→ B
x 7→ (IdB ◦ f)(x) = IdB(f(x)) = f(x)
Definic¸a˜o 3.16 (Func¸a˜o Inversa). Seja f : A→ B uma func¸a˜o. Dizemos
que f e´ invers´ıvel (isto e´, que f tem inversa) se existe uma func¸a˜o g : B → A
tal que
g ◦ f = IdA e f ◦ g = IdB
57
A B
f
g
x y
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x
(f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y
Observac¸a˜o. 1)
A
Bf {
e´ sobrejetora
na˜o e´ injetora
A
B
∄ g (func¸a˜o)
2)
A B
f {
e´ injetora
na˜o e´ sobrejetora
A B
na˜o e´ func¸a˜o (∄ g)
3)
f : A→ B
x 7→ y = f(x) e´ invers´ıvel ⇔ f e´ bijec¸a˜o
58
Neste caso:
f−1 = g : B → A
y 7→ g(y) = x
onde x e´ o u´nico elemento de A tal que f(x) = y.
Neste caso:
a) D(f) = Im(f−1);
b) Im(f) = D(f−1);
c) (x, y) ∈ f ⇔ (y, x) ∈ f−1
(Se A e B sa˜o conjuntos nume´ricos, enta˜o os gra´ficos de f e f−1
sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a` reta y = x)
d) y = f(x)⇔ x = f−1(y)
x
f // y
f−1
oo
Para esboc¸ar os gra´ficos de f e f−1 num mesmo sistema de eixos coor-
denados, trocamos x por y em f−1. Assim,
x = f−1(y)
↓ mudanc¸a de varia´vel
y = f−1(x)
Exemplos:
a)
f : R+ → R+
x 7→ f(x) = x2 (bijetora)
⇒ ∃ f−1
y = f(x) = x2 ⇒ x = ±√y x>0=⇒ x = f−1(y) = √y
ou y = f−1(x) =
√
x
(a, b)
(b, a)
(1, 1)
x =
√
y
y = x2
x
y
b)
f : R→ R+
x 7→ f(x) = ex (bijec¸a˜o)
x 6= y ⇒ ex 6= ey inj
CD(f) = R+ = Im(f) sob
59
⇒ ∃ f−1
y = ex ⇒ x = ln y ou y = lnx
1
1
ln x
ex
x
y
To´picos Importantes
A) Determinar o nu´mero de func¸o˜es f : A→ B, onde A e B sa˜o finitos:
A = {a1, . . . , am} (|A| = m ∈ N)
B = {b1, . . . , bn} (|B| = n ∈ N)
Notac¸a˜o. • F(A,B) = {f : A→ B | f e´ func¸a˜o}
• Inj(A,B) = {f : A→ B | f e´ injetora}
• Sur(A,B) = {f : A→ B | f e´ sobrejetora} (surjective)
• Bij(A,B) = {f : A→ B | f e´ bijetora}
Exemplos:
a) A = {0, 1} ; B = {a, b}
Objetivo: obter pares ordenados do tipo (0, ∗) e (1, ∗∗), onde ∗, ∗∗ ∈
{a, b} = B
Assim, ha´ 22 = 4 possibilidades para escolher os pares
f1 :
{
0 7→ a
1 7→ a f1 = {(0, a), (1, a)}
f2 :
{
0 7→ b
1 7→ b f2 = {(0, b), (1, b)}
f3 :
{
0 7→ a
1 7→ b f3 = {(0, a), (1, b)}
f4 :
{
0 7→ b
1 7→ a f4 = {(0, b), (1, a)}
|F(A,B)| = 4
60
b) A = {0, 1} ; B = {a, b, c}
f : A→ B
0 7→ ? ( 3 escolhas para f(0))
1 7→ ?? ( 3 escolhas para f(1))
Ha´ 32 = 9 possibilidades para escolher f(0) e f(1).
f1 :
{
0 7→ a
1 7→ a f2 :
{
0 7→ b
1 7→ b f3 :
{
0 7→ c
1 7→ c
f4 :
{
0 7→ a
1 7→ b f5 :
{
0 7→ a
1 7→ c f6 :
{
0 7→ b
1 7→ a
f7 :
{
0 7→ b
1 7→ c f8 :
{
0 7→ c
1 7→ a f9 :
{
0 7→ c
1 7→ b
|F(A,B)| = 32 = 9
c) Se |A| = m > n = |B|, enta˜o f : A → B na˜o e´ injetora. (Equivalente-
mente: se f e´ injetora, enta˜o m 6 n)
A B
f
(Inj(A,B) = ∅)
d) Se |A| = m < n = |B|, enta˜o f : A → B na˜o e´ sobrejetora. (Equiva-
lentemente: se f e´ sobrejetora, enta˜o m > n)
A B
f
(Sur(A,B) = ∅)
e) Se f e´ bijec¸a˜o, m = n.
61
Observac¸a˜o. Se f : A → B e´ bijec¸a˜o, |A| < ∞ e |B| < ∞, podemos, sem
perda de generalidade, considerar A = B.
A = {a1, . . . , am}
l l
B = {b1, . . . , bn}
(am = an e bn = bm)
Assim, uma bijec¸a˜o f : A→ A e´ dita uma permutac¸a˜o de A.
Notac¸a˜o.
Bij(A,A) = SA =
{
f : A→ A
f e´ bijec¸a˜o
Observac¸a˜o. |A| = n ∈ N⇒ |SA| = n!
A = {a1, . .. , an}

a1 7→ n escolhas para f(a1)
a2 7→ n− 1 escolhas para f(a2)
...
...
an 7→ 1 escolha para f(an)
Exemplos:
1) A = {1, 2} (|A| = 2)
SA = S2 = {f : A→ A | f e´ bijec¸a˜o}
|SA| = 2
f1 :
{
1 7→ 1
2 7→ 2 f2 :
{
1 7→ 2
2 7→ 1
ou f1 :
(
1 2
1 2
)
f2 :
(
1 2
2 1
)
2) A = {1, 2, 3} (|A| = 3)
SA = S3 = {f : A→ A | f e´ bijec¸a˜o}
|SA| = 3! = 6
f1 :


1 7→ 1
2 7→ 2
3 7→ 3
ou f1 :
(
1 2 3
1 2 3
)
f2 :


1 7→ 1
2 7→ 3
3 7→ 2
ou f2 :
(
1 2 3
1 3 2
)
f3 :


1 7→ 3
2 7→ 2
3 7→ 1
ou f3 :
(
1 2 3
3 2 1
)
62
f4 :


1 7→ 2
2 7→ 1
3 7→ 3
ou f4 :
(
1 2 3
2 1 3
)
f5 :


1 7→ 2
2 7→ 3
3 7→ 1
ou f5 :
(
1 2 3
2 3 1
)
f6 :


1 7→ 3
2 7→ 1
3 7→ 2
ou f6 :
(
1 2 3
3 1 2
)
Notac¸a˜o. A = {1, 2, . . . , n}
f : A→ A bijec¸a˜o
f =
(
1 2 . . . n
f(1) f(2) f(n)
)
, onde f(i) ∈ A
B) Func¸a˜o Inversa
Vimos que f : A → B e´ invers´ıvel (isto e´, ∃ g : B → A | f ◦ g =
IdB e g ◦ f = IdA)⇔ f e´ bijec¸a˜o.
Propriedades:
i) A inversa e´ u´nica e e´ denotada por f−1
ii) A composic¸a˜o de duas bijec¸o˜es e´ uma bijec¸a˜o, isto e´, se f : A → B e
g : B → C sa˜o bijec¸o˜es, enta˜o g ◦ f : A→ C tambe´m o e´. Neste caso,
(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1
De fato:
i) Suponha que g : B → A e h : B → A sejam inversas de f . Vamos
mostrar que g = h.{
g e´ inversa de f ⇔ g ◦ f = IdA e f ◦ g = IdB
h e´ inversa de f ⇔ h ◦ f = IdA e f ◦ h = IdB
g = g ◦ IdB = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = IdA ◦ h = h
Assim, f ◦ f−1 = IdB e f−1 ◦ f = IdA. Ale´m disso, (f−1)−1 = f .
ii) Vamos mostrar que a composta de duas func¸o˜es sobrejetoras tambe´m
e´ sobrejetora e a composta de duas func¸o˜es injetoras tambe´m e´ injetora.
De fato:
1 -o) H:
{
f : A→ B sobrejetora
g : B → C sobrejetora
T: {g ◦ f : A→ C e´ sobrejetora
63
A
f //
g◦f
>>B
g // C
x  // y  // z
Queremos mostrar que dado z ∈ C (qualquer), existe x ∈ A tal que
(g ◦ f)(x) = z.
De fato: como g e´ sobrejetora, dado z ∈ C, existe y ∈ B tal que
g(y) = z. Como f e´ sobrejetora, para tal y ∈ B, existe x ∈ A tal que
f(x) = y. Assim, z = g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x).
2 -o) H:
{
f : A→ B e´ injetora
g : B → C e´ injetora
T: {g ◦ f : A→ C e´ injetora
Queremos mostrar que ∀ x, x′ ∈ A, x 6= x′ ⇒ (g ◦ f)(x) 6= (g ◦ f)(x′).
Pela contrapositiva, isto e´ o mesmo que provar que (g ◦ f)(x) =
(g ◦ f)(x′)⇒ x = x′.
(g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(x′) ⇒ g(f(x)) = g(f(x′)) g e´ inj.=⇒ f(x) = f(x′) f e´ inj.=⇒
x = x′
Relac¸a˜o Func¸a˜o
Domı´nio esta´ contido no conjunto de par-
tida, primeiros elementos dos
pares ordenados
igual ao conjunto
de partida
(D(R) ⊆ A) (D(f) = A)
2 -a lista
10) E 6= ∅; A = P (E) = {X | X ⊆ E}; ∅, X, Y ∈ A
X ∼ Y ⇔ existe f : X → Y bijec¸a˜o
Tese: ∼ define uma relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A. (Neste caso,
dizemos que X e Y sa˜o equipotentes, isto e´, |X| = |Y |).
Demonstrac¸a˜o. Devemos verificar que ∼ satisfaz as treˆs proprie-
dades de uma relac¸a˜o de equivaleˆncia:
64
(RE1) (reflexiva) X ∼ X
Devemos exibir uma bijec¸a˜o f : X → X. Tal bijec¸a˜o (mais sim-
ples) e´ a Func¸a˜o Identidade:
IdX : X → X
x 7→ IdX(x) = x
IdX e´ bijec¸a˜o:
a) IdX e´ injetora
(x, x′ ∈ X)x 6= x′ ⇒ IdX(x) 6= IdX(x′)
b) IdX e´ sobrejetora
CD(IdX) = X = Im(IdX)
(RE2) (sime´trica) X ∼ Y ?⇒ Y ∼ X
X ∼ Y ⇒ ∃ f : X ∼ Y (bijec¸a˜o) (⇒ ∃ f−1)
⇒ ∃ f−1 : Y → X inversa, a qual e´ uma bijec¸a˜o
⇒ Y ∼ X
f ◦ f−1 = IdY e f−1 ◦ f = IdX
(RE3) (transitiva) X ∼ Y e Y ∼ Z ?⇒ X ∼ Z
X ∼ Y ⇒ ∃ f : X ∼ Y bijec¸a˜o
Y ∼ Z ⇒ ∃ g : Y ∼ Z bijec¸a˜o
⇒ ∃ h : g ◦ f : X → Z bijec¸a˜o ⇒ X ∼ Z
(pois a composic¸a˜o de bijec¸o˜es e´ uma bijec¸a˜o) ¥
11) (Aplicac¸a˜o do 10) |X| = |Y |
a) X = N; Y = {y ∈ N | y e´ par}
Y ⊆ X
Para mostrar que |X| = |Y |, devemos exibir uma bijec¸a˜o
f : X → Y .
Tese:
f : X → Y
n 7→ f(n) = 2n
e´ bijec¸a˜o.
De fato:
65
i) f e´ injetora
n, n′ ∈ X
n 6= n′ ⇒ f(n) 6= f(n′)
n 6= n′ ⇒ 2n 6= 2n′
ii) f e´ sobrejetora
CD(f) = Y = Im(f) = {2n | n ∈ X}
e) X = (−π/2, π/2); Y = R
pi
2-
pi
2
x
y
f : X → Y
x 7→ y = tg x
f−1 : Y → X
x 7→ f−1(x) = arc tg x
8) Propriedades de divisibilidade
iii) H:
{
a | b⇒ ∃ m ∈ Z | a ·m = b (∗)
c | d⇒ ∃ n ∈ Z | c · n = d (∗∗)
T: {a c | b d
Queremos mostrar que ∃ l ∈ Z | (ac) l = b d. Multiplicando (∗) e
(∗∗) termo a termo, temos (am)(cn) = b d. Assim, tome l = mn:
(ac)(mn) = (ac) l = b d
v) a | b e b | a⇔ |a| = |b|; (Se a, b ∈ N, enta˜o a | b e b | a⇔ a = b)
(⇒)
{
H: a | b e b | a
T: |a| = |b| (ou a = b ou − b)
1 -o caso: a = 0
0 | b e b | 0⇒ b = 0
66
2 -o caso: a 6= 0
a | b⇒ ∃ m ∈ Z | am = b (1)
b | a⇒ ∃ n ∈ Z | b n = a (2)
(1)→ (2) : (am)n = a a 6=0=⇒ mn = 1
Se m = n = 1, a = b. se m = n = −1, a = −b.
(⇐) Idem
4 Estruturas Alge´bricas
Objetivo: estudar as principais estruturas alge´bricas e algumas aplicac¸o˜es
a` Geometria, Computac¸a˜o e F´ısica.
Definic¸a˜o 4.1 (Operac¸a˜o Bina´ria ou Lei de Composic¸a˜o Interna).
Seja A 6= ∅. Uma operac¸a˜o bina´ria (ou lei de composic¸a˜o interna) sobre A
e´ qualquer func¸a˜o de A× A em A.
Notac¸a˜o.
∗ : A× A→ A
(a, a′) 7→ a ∗ a′
leˆ-se: a ∗ a′ = “a operado com a′ ”
Observac¸o˜es. i) Como ∗ e´ uma func¸a˜o, enta˜o ∀ (a, a′) ∈ A×A, ∃! a∗a′.
Neste caso, dizemos que ∗ esta´ bem definida.
ii) Ale´m disso, queremos que a ∗ a′ ∈ A, ∀ (a, a′) ∈ A × A. Neste caso,
dizemos que A e´ fechado com relac¸a˜o a` operac¸a˜o ∗.
Exemplos:
i) A = N (ou Z, Q, R, C)
∗ = + (adic¸a˜o)
⊕ : N× N→ N
(a, b) 7→ a+ b︸ ︷︷ ︸
SOMA de a e b
ii) A = N (ou Z, Q, R, C)
∗ = · (multiplicac¸a˜o)
⊙ : N× N→ N
(a, b) 7→ a · b︸︷︷︸
produto de a por b
67
Definic¸a˜o 4.2 (Estrutura Alge´brica). Seja A 6= ∅. Dizemos que A e´
uma estrutura alge´brica se A possui uma ou mais operac¸o˜es bina´rias bem
definidas, satisfazendo determinadas propriedades.
Principais Estruturas Alge´bricas
• com uma operac¸a˜o:


semigrupos
mono´ides
grupos
• com duas operac¸o˜es:


ane´is
domı´nios de integridade
corpos
espac¸os vetoriais
mo´dulos
• com treˆs operac¸o˜es: { A´lgebras
Exemplos:
1) E 6= ∅
A = P (E) = {X | X ⊆ E}
∗ = ∪ (unia˜o), ∩ (intersecc¸a˜o)
∪ : A× A→ A
(X,Y ) 7→ X ∪ Y
∩ : A× A→ A
(X,Y ) 7→ X ∩ Y
2) A = { proposic¸o˜es }
∗ = ∧ (conjunc¸a˜o), ∨ (disjunc¸a˜o)
∧ : A× A→ A
(p, q) 7→ p ∧ q
∨ : A× A→ A
(p, q) 7→ p ∨ q
3) A =Mm×n(R) = {B = (aij)m×n | aij ∈ R}
∗ = + (adic¸a˜o)
+ : Mm×n(R)×Mm×n(R) → Mm×n(R)
(B,C) 7→ B + C
68
onde B + C = (bij + cij)
caso particular: + :M3×2(R)×M3×2(R)→M3×2(R)


1 23 4
5 6

 ,

−1 37 −2
0 1



 7−→

 0 510 2
5 7


4) A =Mm×n(R) = { matrizes quadradas n× n com entradas reais }
∗ = ·
· : Mn×n(R)×Mm×n(R) → Mm×n(R)
B,C 7→ BC
onde BC = (dij), dij =
n∑
k=1
bikckj
caso particular: · :M2×2(R)×M2×2(R)→M2×2(R)((
1 2
3 4
)
,
(−1 0
1 3
))
7−→
(
1 2
3 4
)(−1 0
1 3
)
=
(
1 6
1 12
)
2×2
5) A = N
∗ = potenciac¸a˜o
∗ : N× N → N
(a, b) 7→ a ∗ b = ab (= a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
b fatores
)
6) A = Z (ou Q ou R)
∗ = potenciac¸a˜o
Afirmac¸a˜o. ∗ NA˜O e´ operac¸a˜o bina´ria sobre A
De fato:
– (2,−1) ∈ Z × Z, mas 2−1 /∈ Z (isto e´, Z NA˜O e´ fechado para a
potenciac¸a˜o)
– (2, 1/2) ∈ Q×Q, mas 21/2 /∈ Q (isto e´, Q NA˜O e´ fechado para a
potenciac¸a˜o)
– (−1, 1/2) ∈ R × R, mas (−1)1/2 /∈ R (isto e´, R NA˜O e´ fechado
para a potenciac¸a˜o)
Exerc´ıcios: Verifique o fechamento (ou na˜o) das seguintes operac¸o˜es em B.
69
i) A = R, ∗ = +
B = R−Q ⊆ A
ii) A = R, ∗ = ·
B = R∗+ = {x ∈ R | x > 0} ⊆ A
iii) A =M2×2(R), ∗ = ·
B =
{(
cosα − senα
senα cosα
)
;α ∈ R
}
⊆ A
(matriz de rotac¸a˜o de α rad no sentido anti-hora´rio)
iv) A = R, ∗ = −
B = Nv) A = Z, ∗ = +
B1 = {x ∈ Z | x e´ par} = {x = 2k | k ∈ Z} ⊆ A
B2 = {x ∈ Z | x e´ ı´mpar} = {x = 2k + 1 | k ∈ Z} ⊆ A
Resoluc¸a˜o:
i) A = R, ∗ = +
B = R−Q = {nu´meros irracionais} ⊆ A
Afirmac¸a˜o. B NA˜O e´ fechado com relac¸a˜o a operac¸a˜o de adic¸a˜o (isto
e´, ∗ = + na˜o e´ uma operac¸a˜o bina´ria sobre B)
Contra-exemplo:
x = π ∈ B e y = −π ∈ B, mas x+ y = π + (−π) = 0 /∈ B
(isto e´, 0 ∈ Q)
ii) A = R, ∗ = ·
B = R∗+ = {x ∈ R | x > 0} e´ FECHADO com relac¸a˜o a` operac¸a˜o
∗ = ·, pois ∀ x, y > 0, x · y > 0 (∀ x, y ∈ B, x · y ∈ B)
iii) A =M2×2(R), ∗ = ·
B =
{(
cosα − senα
senα cosα
)∣∣∣∣ α ∈ R
}
e´ FECHADO com relac¸a˜o a opera-
c¸a˜o ∗ = ·, pois
X =
(
cosα − senα
senα cosα
)
∈ B e Y =
(
cos β − sen β
sen β cos β
)
∈ B
70
⇒ X · Y =
(
cosα − senα
senα cosα
)(
cos β − sen β
sen β cos β
)
=
(
cosα cos β − senα sen β − cosα sen β − senα cos β
senα cos β + sen β cosα − senα sen β + cosα cos β
)
=
(
cos(α + β) − sen(α + β)
sen(α+ β) cos(α+ β)
)
∈ B
iv) A = R, ∗ = −
B = N ⊆ A NA˜O e´ fechado para ∗ = −, pois x = 1 ∈ B e y = 2 ∈ B,
mas x− y = 1− 2 = −1 /∈ B (−1 ∈ Z)
v) A = Z, ∗ = +
B1 = {x ∈ Z | x = 2k, k ∈ Z} e B2 = {x ∈ Z | x = 2k + 1, k ∈ Z}
B1 e´ FECHADO para ∗ = +, pois:{
x1 = 2k1 ∈ B1
x2 = 2k2 ∈ B1 ⇒ x1 + x2 = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2) = 2k3 ∈ B1
B2 NA˜O e´ fechado para ∗ = +, pois:{
x1 = 2k1 + 1 ∈ B2
x2 = 2k2 + 1 ∈ B2 , mas
x1 + x2 = (2k1 + 1) + (2k2 + 1)
= 2(k1 + k2 + 1) = 2k3 /∈ B2
Propriedades de Uma Operac¸a˜o Bina´ria
Seja A = ∅ munido de uma operac¸a˜o bina´ria ∗.
A) (Associatividade)
Dizemos que ∗ e´ associativa se ∀ x, y, z ∈ A,
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
Neste caso, o uso de pareˆnteses e´ facultativo
B) (Comutatividade)
Dizemos que ∗ e´ comutativa se ∀ x, y ∈ A,
x ∗ y = y ∗ x
C) (Existeˆncia de Um Elemento Neutro)
Seja e ∈ A. Dizemos que
71
i) e e´ um elemento neutro a` esquerda com relac¸a˜o a` operac¸a˜o ∗ se
e ∗ x = x, ∀ x ∈ A
ii) e e´ um elemento neutro a` direita com relac¸a˜o a` operac¸a˜o ∗ se
x ∗ e = x, ∀ x ∈ A
iii) e e´ um elemento neutro (bilateral) com relac¸a˜o a` operac¸a˜o ∗ se ele
e´ simultaneamente neutro a` esquerda e a` direita, ou seja,
e ∗ x = x = x ∗ e, ∀ x ∈ A
Exemplos:
i) A = N (ou Z, Q, R, C)
∗ = + e´ associativa e comutativa{
(x+ y) + z = x+ (y + z)
x+ y = y + x
; (∀ x, y, z ∈ A)
Se A = N, enta˜o ∄ elemento neutro para ∗ = +. Se A = Z (ou Q, R, C)
enta˜o e = 0 e´ o elemento neutro para ∗ = +.
{0 + x = x = x+ 0, ∀ x ∈ A
ii) A = N (ou Z, Q, R, C)
∗ = · e´ associativa e comutativa{
(x · y) · z = x · (y · z)
x · y = y · x ; (∀ x, y, z ∈ A)
e = 1 e´ o elemento neutro para ∗ = ·
1 · x = x = x · 1, ∀ x ∈ A
iii) A = { proposic¸o˜es }
∗ = ∨ (disjunc¸a˜o) e´ associativa e comutativa{
(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)
p ∨ q = q ∨ p ; (∀ p, q, r ∈ A)
e = f (contradic¸a˜o) e´ o elemento neutro para ∗ = ∨
p ∨ f = p, ∀ p ∈ A
72
∗′ = ∧ (conjunc¸a˜o) e´ associativa e comutativa{
(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)
p ∧ q = q ∧ p ; (∀ p, q, r ∈ A)
e = v (tautologia) e´ o elemento neutro para ∗′ = ∧
p ∧ v = v ∧ p = p, ∀ p ∈ A
iv) A = F(R,R) = {f : R→ R | f e´ func¸a˜o}
∗ = +
soma︷ ︸︸ ︷
f + g : R→ R
x 7→ (f + g)(x) = f(x) + g(x)
∗ = + e´ associativa, comutativa e possui e = 0 (func¸a˜o constante
identicamente nula) como elemento neutro{
(f + g) + h = f + (g + h)
f + g = g + f
, ∀ f, g, h ∈ A
e ≡ 0 (isto e´, e(x) = 0, ∀ x ∈ R)
(g + 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x) + 0 = g(x) e
(0 + g)(x) = 0(x) + g(x) = 0 + g(x) = g(x)
∗′ = · :
produto︷︸︸︷
f · g : R→ R
x 7→ (f · g)(x) = f(x)g(x)
∗′ = · e´ associativa, comutativa e possui e = 1 (func¸a˜o constante 1)
como elemento neutro{
(f · g) · h = f · (g · h)
f · g = g · f , ∀ f, g, h ∈ A
e ≡ 1 (isto e´, e(x) = 1, ∀ x ∈ R){
(f · e)(x) = f(x)e(x) = f(x) · 1 = f(x)
(e · f)(x) = e(x)f(x) = 1 · f(x) = f(x)
Exerc´ıcios:
1) Considere A =M2×2(R). Verifique que
73
i) ∗ = + e´ associativa, comutativa e possui
e =
(
0 0
0 0
)
2×2
(matriz identicamente nula) como elemento neutro para ∗ = +.
ii) ∗ = · e´ associativa, NA˜O-comutativa e possui
e =
(
1 0
0 1
)
2×2
= I2
(matriz identidade de ordem 2) como elemento neutro para ∗ = ·
2) Julgue os itens a seguir (V ou F ), justificando.
a) (V ) A subtrac¸a˜o em Z possui e = 0 como elemento neutro a`
direita, mas na˜o possui elemento neutro a` esquerda.
b) (V ) A potenciac¸a˜o em N possui e = 1 como elemento neutro a`
direita, mas na˜o possui elemento neutro a` esquerda.
c) (F ) A subtrac¸a˜o em Z e´ associativa.
d) (F ) A subtrac¸a˜o em Z e´ comutativa.
e) (F ) A potenciac¸a˜o em N e´ associativa.
f) (F ) A potenciac¸a˜o em N e´ comutativa.
g) (V ) Sejam E 6= ∅ e A = P (E). Enta˜o, ∗ = ∪ e´ associativa,
comutativa e possui e = ∅ como elemento neutro para ∗ = ∪.
h) (V ) Sejam E 6= ∅ e A = P (E). Enta˜o, ∗ = ∩ e´ associativa,
comutativa e possui e = E como elemento neutro para ∗ = ∪.
3) Seja A 6= ∅ munido de uma operac¸a˜o bina´ria ∗. Mostre que se e ∈ A
e´ um elemento neutro (bilateral), enta˜o ele e´ u´nico.
4) Considere A = F(R,R) = {f : R→ R | f e´ func¸a˜o}
a) Verifique que ∗ = ◦ (composic¸a˜o) e´ associativa
b) Verifique que ∗ = ◦ NA˜O e´ comutativa
c) Qual e´ o elemento neutro e para tal operac¸a˜o ∗ = ◦?
74
1) A =M2×2(R)
i)
(
a b
c d
)
+
[(
e f
g h
)
+
(
i j
k l
)]
=
(
a b
c d
)
+
(
e+ i f + j
g + k h+ l
)
=
(
a+ e+ i b+ f + j
c+ g + k d+ h+ l
)
=
(
a+ e b+ f
c+ g d+ h
)
+
(
i j
k l
)
=
[(
a b
c d
)
+
(
e f
g h
)]
+
(
i j
k l
)
(
a b
c d
)
+
(
e f
g h
)
=
(
a+ e b+ f
c+ g d+ h
)
=
(
e+ a f + b
g + c h+ d
)
=
(
e f
g h
)
+
(
a b
c d
)
(
a b
c d
)
+
(
0 0
0 0
)
=
(
a+ 0 b+ 0
c+ 0 d+ 0
)
=
(
a b
c d
)
=
(
0 0
0 0
)
+
(
a b
c d
)
ii)
(
a b
c d
)[(
e f
g h
)(
i j
k l
)]
=
(
a b
c d
)(
ei+ fk ej + fl
gi+ hk gj + hl
)
=
(
aei+ afk + bgi+ bhk aej + afl + bgj + bhl
cei+ cfk + dgi+ dhk cej + cfl + dgj + dhl
)
=
(
ae+ bg af + bh
ce+ dg cf + dh
)(
i j
k l
)
=
[(
a b
c d
)(
e f
g h
)](
i j
k l
)
(
a b
c d
)(
e f
g h
)
=
(
ae+ bg af + bh
ce+ dg cf + dh
)
6=
(
e f
g h
)(
a b
c d
)
=
(
ea+ fc eb+ fd
ga+ hc gb+ hd
)
(
a b
c d
)(
1 0
0 1
)
=
(
a b
c d
)
=
(
1 0
0 1
)(
a b
c d
)
2) a) (V ) z − 0 = z 6= −z = 0− z, ∀ z ∈ Z∗
b) (V ) para n ∈ N, temos n1 = n, mas se a(∈ N) 6= 1, enta˜o an 6= n
c) (F ) contra-exemplo: (7− 4)− 3 = 0 6= 6 = 7− (4− 3)
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d) (F ) contra-exemplo: 2− 1 = 1 6= −1 = 1− 2
e) (F ) Seja a, b, c ∈ N, temos a(bc) 6= (ab)c = abc.
Contra-exemplo: 2(3
4) = 281 6= 212 = (23)4
f) (F ) para a, b ∈ N, temos ab 6= ba.
Contra-exemplo: 23 = 8 6= 9 = 32
g) (V ) Para X,Y, Z ∈ A, temos

X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z
X ∪ Y = Y ∪X
X ∪∅ = ∅ ∪X = X
h) (V ) Para X,Y, Z ∈ A, temos

X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z
X ∩ Y = Y ∩X
X ∩ E = E ∩X = X, pois X ⊆ E
Observac¸a˜o. Se ∗ e´ comutativa, enta˜o as noc¸o˜es de elemento neutro a` es-
querda, a` direita e bilateral sa˜o equivalentes.
3) (Unicidade do Elemento Neutro)
A 6= ∅ munido de uma operac¸a˜o bina´ria ∗. e (∈ A) = elemento neutro
bilateral (caso exista).
Tese: e e´ u´nico
Demonstrac¸a˜o.
H: e e´ neutro
T: e e´ u´nico
Suponha que e e e′ sa˜o dois elementos neutros. Vamos mostrar que
e = e′.
(I) e (∈ A) = elemento neutro ⇔ e ∗ x = x ∗ e = x, ∀ x ∈ A
(II) e′ (∈ A) = elemento neutro ⇔ e′ ∗ y = y ∗ e′ = y, ∀ y ∈ A
Em particular, tome x = e′ em (I):
e ∗ e′ = e′ ∗ e = e′
Em particular, tome y = e em (II):
e′ ∗ e = e ∗ e′ = e
Logo, e′ = e ∗ e′ = e ¥
76
4) (Importante)
A = F(R,R) = {f : R→ R