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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE FI´SICA FI´SICA I – 2014/1 PROVA FINAL – 4/06/2014 VERSA˜O: A Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade. Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos) 1. Duas escadas rolantes esta˜o dispostas como mostra a fi- gura. O aˆngulo de elevac¸a˜o θ de cada escada, em relac¸a˜o a horizontal e´ o mesmo. As escadas movimentam os de- graus com velocidades constantes de mesmo mo´dulo v, medidas em relac¸a˜o a um referencial fixo na Terra. Em um dado instante, duas pessoas A e B entram simulta- neamente nas escadas, como mostra a figura, e ao en- trarem permanecem paradas em relac¸a˜o aos respectivos degraus. Seja um referencial fixo em B e em translac¸a˜o relativa ao referencial da Terra. O mo´dulo da velocidade de A em relac¸a˜o B enquanto A e B esta˜o nas escadas e´ (a) |~vA/B| = 0; (b) |~vA/B| = vsen θ; (c) |~vA/B| na˜o e´ constante; (d) |~vA/B| = 2vcos θ (e) |~vA/B| = vcos 2θ 2. Treˆs part´ıculas de massas iguais a m movem-se na auseˆncia de forc¸as externas com velocidades ~v1 = −vıˆ, ~v2=−vıˆ, e ~v3= −vıˆ +vˆ. Num dado instante elas ocu- pam as posic¸o˜es indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total ~LO deste sistema de part´ıculas em relac¸a˜o a origem O do eixo de coordenadas da figura e´ (a) ~0. (b) −2avmkˆ. (c) avmkˆ. (d) −avmkˆ (e) −3avmkˆ. 1 3. Duas part´ıculas A e B de massas iguais colidem uni- dimensionalmente ao longo do eixo OX. Os gra´ficos a seguir representam as velocidades em func¸a˜o do tempo para cada part´ıcula. Se ~P e´ o momento linear do sistema formado pelas duas part´ıculas e K sua energia cine´tica, podemos afirmar que nessa colisa˜o (a) ~P se conserva e K na˜o se conserva; (b) ~P se conserva e K se conserva; (c) ~P na˜o se conserva e K na˜o se conserva; (d) ~P na˜o se conserva e K se conserva; (e) ~P 6= ~0 e K = 0. 4. Dois discos de massas 2m e 3m esta˜o ligados por uma barra r´ıgida de massa 5m sobre uma mesa horizontal lisa. Uma forc¸a ~F paralela ao plano da mesa esta´ apli- cada sobre o primeiro disco em um certo instante, como mostra a figura (da mesa vista de cima). Nesse instante, a acelerac¸a˜o do centro de massa do sistema constitu´ıdo pelos discos e pela barra e´ (a) ~F 5m ; (b) ~F 10m ; (c) ~F 3m ; (d) ~F 2m ; (e) ~F 8m . 5. Dois discos A e B de mesmo raio R, constitu´ıdos de materiais homogeˆneos, repousam sobre uma mesa hori- zontal lisa. Aplica-se a mesma forca ~F a cada disco, tan- gencialmente a`s suas respectivas periferias, como indica a figura, fazendo-os girar em torno de um pino central O no disco A e O′ no disco B. Considerando a massa do disco A maior do que a massa do disco B, as relac¸o˜es entre os mo´dulos dos torques τA e τB, em relac¸a˜o a O e O′, devido a` forc¸a ~F e os mo´dulos das respectivas ace- larac¸o˜es angulares resultantes αA e αB sa˜o dadas por (a) τA = τB e αA = αB; (b) τA = τB e αA < αB; (c) τA < τB e αA = αB; (d) τA = τB e αA > αB; (e) τA > τB e αA > αB; 6. Uma esfera e´ lanc¸ada rolando sem deslizar subindo um plano inclinado com velocidade inicial ~v do seu centro de massa. Um bloco e´ lanc¸ado subindo em translac¸a˜o um plano inclinado com a mesma inclinac¸a˜o e com a mesma velocidade inicial ~v do seu centro de massa. No plano onde se encontra a esfera ha´ atrito suficiente para que ela permanec¸a rolando sem deslizar e no plano onde esta´ o bloco na˜o ha´ atrito. A relac¸a˜o entre a altura ma´xima Hb que o bloco atinge e a altura ma´xima He que a esfera atinge nos respectivos planos e´ dada por (a) Hb = He, pois tanto a energia cine´tica do bloco como a da esfera se conserva. (b) Hb = He, pois tanto a energia mecaˆnica do bloco como a da esfera se conserva. (c) Hb > He, pois o bloco desliza sem atrito. (d) He > Hb, pois a esfera rola sem deslizar. (e) He > Hb, pois tanto a energia mecaˆnica do bloco como a da esfera se conserva. 2 7. Uma part´ıcula percorre uma trajeto´ria circular de raio R onde, no trecho do arco AB, o mo´dulo da sua velo- cidade e´ reduzido uniformemente, isto e´, com derivada constante. No ponto A a sua velocidade e´ ~vA, con- forme ilustrado na figura. Considere a sua acelerac¸a˜o ~a decomposta segundo duas direc¸o˜es, um componente na direc¸a˜o radial (acelerac¸a˜o radial) e o outro componente na direc¸a˜o tangente a` trajeto´ria (acelerac¸a˜o tangencial). No seu movimento de A para B a afirmativa correta e´ (a) a acelerac¸a˜o ~a tem mo´dulo constante; (b) a acelerac¸a˜o radial tem mo´dulo constante; (c) a acelerac¸a˜o tangencial tem mo´dulo constante; (d) a acelerac¸a˜o tangencial e´ sempre nula; (e) nenhuma das respostas anteriores e´ correta. 8. Dois proje´teis 1 e 2 sa˜o lanc¸ados simultaneamente e ho- rizontalmente de alturas h1 e h2 (diferentes) em relac¸a˜o ao solo. Verifica-se que ambos atingem o mesmo ponto C no solo e teˆm o mesmo alcance A1 = A2 = A. A raza˜o v1/v2 entre os mo´dulos v1 e v2 das velocidades de lanc¸amento dos respectivos proje´teis 1 e 2 e´ (a) h1/h2; (b) h2/h1; (c) √ h1/h2; (d) √ h2/h1. (e) √ h2/2h1. 9. Uma part´ıcula desloca-se ao longo do eixo x sob a ac¸a˜o de uma forc¸a conservativa ~F , correspondente a uma energia potencial U(x), dada pelo gra´fico da figura, na qual o ponto B e´ um ponto de ma´ximo e C e´ um ponto de mı´nimo. Para esse potencial, entre as opc¸o˜es abaixo a u´nica incorreta e´ (a) na posic¸a˜o xB a forc¸a sobre a part´ıcula e´ nula; (b) na posic¸a˜o xC , tem-se a condic¸a˜o de equil´ıbrio esta´vel; (c) o sentido da forc¸a ~F na posic¸a˜o xA e´ positivo; (d) no deslocamento do corpo de xB para xC o tra- balho realizado pela forc¸a ~F e´ positivo; (e) na posic¸a˜o xC a forc¸a ~F e´ nula. 10. Um bloco encontra-se em repouso sobre um plano incli- nado como indicado na figura. Dentre os diagramas (I), (II), (III) e (IV), o que melhor representa (ilustrada por uma seta) a forc¸a total que o bloco exerce sobre o plano inclinado e´ (a) nenhum dos diagramas; (b) (I); (c) (III); (d) (II); (e) (IV); 3 Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos) Na˜o sera˜o consideradas respostas sem justificativa; expresse-as somente em func¸a˜o dos dados fornecidos. 1. Um bloco A de massa m esta´ sobre uma mesa horizontal sendo em- purrado em movimento retil´ıneo por uma forc¸a constante ~F dada, com velocidade e acelerac¸a˜o de mesmo sentido que a forc¸a; o coe- ficiente de atrito cine´tico entre o bloco e a mesa e´ µ. Sobre esse primeiro bloco ha´ um segundo bloco B de mesma massa m e rigi- damente colado ao primeiro, como indica a figura. a) Fac¸a um diagrama de forc¸as externas sobre o sistema constitu´ıdo pelos dois blocos; b) calcule o mo´dulo a da acelerac¸a˜o com a qual os blocos se deslocam; c) Calcule os mo´dulos da forc¸a horizontal e da forc¸a vertical que o bloco A exerce sobre o bloco B. 2. Dois blocos de massas m e 3m esta˜o ligados por um fio ideal que passa por uma roldana homogeˆnea, tambe´m de massa m, e de raio R. A roldana e´ sustentada por um eixo horizontal coincidente com seu eixo geome´trico de simetria, como ilustra a figura. Na˜o ha´ atrito entre o eixo e a roldana e o fio na˜o desliza sobre ela. Considere o intervalo de tempo com um instante inicial em que a roldana e os blocos esta˜o em repouso e um instante final em que o bloco mais pesado ja´ desceu uma distaˆncia vertical h. Considere como dados m, R, h e o mo´dulo g da acelerac¸a˜o da gravidade. O momento de ine´rcia da roldana relativo ao seu eixo de simetria e´mR2/2. Calcule a) a variac¸a˜o da energia cine´tica do sistema constitu´ıdo pela roldana e os blocos no intervalo de tempo considerado; b) o mo´dulo da velocidade do bloco mais pesado no instante final; c)a raza˜o entre a energia cine´tica de rotac¸a˜o da roldana e a energia cine´tica total de translac¸a˜o dos dois blocos no instante final. 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza Instituto de F´ısica Prova Final de F´ısica IA - 04/06/2014 Respostas para provas h´ıbridas Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos) Versa˜o A Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Versa˜o B Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Versa˜o C Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Versa˜o D Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos) a) valor=0,4 pontos As forc¸as que agem sobre o sistema formado pelos blocos A e B esta˜o representadas na figura. As setas indicam o sentido e direc¸a˜o e ao lado delas os seus mo´dulos, como no livro texto. No diagrama alternativo R corresponde a` forc¸a resultante de contato, P o peso total dos blocos e F a forc¸a aplicada. b) valor=1,6 pontos Pela segunda Lei de Newton, ~Fres = ~R+ ~F + ~fat+ ~P = m~a. Obtemos para os componentes das forc¸as na direc¸a˜o vertical e horizontal as equac¸o˜es, F − fat = 2ma (i) N − 2mg = 0 (ii) fat = µN (iii) Das equac¸o˜es (ii) em (iii), obtemos fat = 2µmg. Este resultado ao ser substituido em (i) nos fornece o valor de a, a = F 2m − µg c) valor=0,5 ponto Para o bloco B temos de acordo com a figura e aplicando a segunda Lei de Newton, nas direc¸o˜es vertical e horizontal, { fat(BA) = ma NBA = mg Com as equac¸o˜es acima e com o valor de a obtido no item anterior, o mo´dulo das forc¸as fH horizontal e fV vertical que o bloco A exerce sobre o bloco B sa˜o, fH = F 2 − µmg fV = mg 2 Questa˜o discursiva 2 (valor=2,5 pontos) a) valor=1,0 ponto Como na˜o ha´ forc¸as dissipativas atuando sobre o sistema, a energia mecaˆnica do sistema formado pela roldana e os blocos e´ conservada, ∆E = ∆K +∆U = 0, logo, ∆K = −∆U = −(∆U1 +∆U2)) = −(−3mgh+mgh) ∆K = 2mgh b) valor=1,1 pontos O procedimento para obter a velocidade do bloco de maior massa consiste em: • obtermos as variac¸o˜es de energia cine´tica de cada constituinte do sistema formado pelo blocos e pela roldana. ∆K = ∆Kb1 +∆Kb2 +∆KRold Temos assim: ∆Kb1 = (1/2)3mv 2 f , ∆Kb2 = (1/2)mv 2 f e ∆KRold = (1/2)Iω 2 • uma vez que os blocos adquirem a mesma velocidade e a roldana gira com velocidade angular ω = v/R vinculada ao movimento dos blocos, podemos expressar a variac¸a˜o de energia cine´tica total em func¸a˜o da velocidade final dos blocos vf ; lembrando que I = (1/2)mR 2. ∆K = 1 2 ( 3mv2f +mv 2 f + 1 2 m��R 2 v2f ��R2 ) = 9 4 mv2f • comparar a variac¸a˜o de energia cine´tica com o resultado obtido no item a) ∆K = 2mgh. Logo 9 4 mv2f = 2mgh ∴ vf = √ 8 9 gh c) valor=0,4 pontos No ca´lculo da raza˜o entre a energia cine´tica de rotac¸a˜o da roldana KRot e a energia cine´tica total de translac¸a˜o dos blocos KT temos, KRot KT = 1 2 (1 2 m��R 2 ) v2f ��R2 1 2 (4mv2f) = 1 8 3
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