Prova 30

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA I – 2013/2
PROVA FINAL – 9/12/2013
VERSA˜O: A
Nas questo˜es em que for necessa´rio, considere que g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma astronauta com sua caixa de ferramentas encontra-
se no espac¸o sideral pro´xima a` sua nave, todos muito
afastados do restante do universo e com velocidades nu-
las relativamente a um referencial inercial. Em um dado
instante a astronauta arremessa sua caixa de ferramentas
com velocidade de mo´dulo v, conforme indica a figura;
com isso a astronauta percorre uma distaˆncia D ate´ che-
gar a` nave. Sabendo-se que a massa da astronauta e´M e
a da caixa de ferramentas e´ m, conlcu´ımos que o tempo
que a astronauta leva para percorrer a distaˆncia D e´
(a) Dm/Mv;
(b) DM/mv.
(c) D/v;
(d) DM/[(m+M)v];
(e) Dm/[(M +m)v];
2. Um bloco de massa m esta´ em translac¸a˜o retil´ınea sobre
uma superf´ıcie horizontal lisa empurrado por uma forc¸a
constante de mo´dulo F que faz um aˆngulo φ com a ho-
rizontal, como mostra a figura. O mo´dulo N da forc¸a
normal que a superf´ıcie exerce sobre o bloco e o mo´dulo
a da acelerac¸a˜o do bloco sa˜o, respectivamente,
(a) mg e (Fsenφ)/m;
(b) mg e (Fcos φ)/m;
(c) mg + Fsenφ e (Fsenφ)/m;
(d) mg − Fsenφ e (Fcos φ)/m
(e) mg + Fsenφ e (Fcos φ)/m;
1
3. Um proje´til puntiforme de massa m e´ lanc¸ado de um
ponto O de um plano horizontal com velocidade de
mo´dulo v0 e aˆngulo θ0 de lanc¸amento, onde 0 < θ0 <
π/2. O proje´til atinge uma altura ma´xima H e um al-
cance A. Se LH
o
e´ o mo´dulo do momento angular do
proje´til ao atingir a altura ma´xima H e LA
o
, o mo´dulo
do momento angular quando ele atinge o alacance A,
ambos calculados em relac¸a˜o a O, enta˜o
(a) LH
o
= Hmv0sen θ0 e L
A
o
= Amv0cosθ0;
(b) LH
o
=
A
2
mv0cos θ0 e L
A
o
= Amv0senθ0;
(c) LH
o
= Hmv0cos θ0 e L
A
o
= Amv0senθ0;
(d) LH
o
=
A
2
mv0sen θ0 e L
A
o
= Amv0cosθ0;
(e) LH
o
= Hmv0cos θ0 e L
A
o
= 2Hmv0senθ0.
4. Uma barra de comprimento ℓ e massa M repousa, sem
estar fixa, sobre uma mesa horizontal lisa (sem atrito).
Aplicam-se a` barra, simultaneamente, treˆs forc¸as ~F1,
~F2 e ~F3 perpendiculares a ela, de mesma intensidade
F e de sentidos como indicados na figura. As forc¸as
~F1 e ~F3 sa˜o aplicadas nas extremidades e a forc¸a ~F2 no
centro de massa da barra. Os mo´dulos da acelarac¸a˜o
do centro de massa da barra e do torque resultante
sobre ela relativo ao seu centro de massa, imediata-
mente apo´s aplicac¸a˜o das forc¸as, sa˜o, respectivamente,
(a) F/M e zero;
(b) 2F/M e zero;
(c) 3F/M e Fℓ;
(d) 2F/M e Fℓ/2;
(e) 2F/M e 2Fℓ.
5. Uma part´ıcula de massa m esta´ pendurada no teto por
uma mola de constante ela´stica k. Se a part´ıcula e´
solta com velocidade nula na posic¸a˜o em que a mola se
encontra relaxada e na vertical, podemos afirmar que a
mola estica de uma distaˆncia ma´xima h igual a
(a) mg/k;
(b) mg/2k;
(c) 2mg/k;
(d)
√
mgh
k
;
(e)
√
k
mg
.
6. Um disco rola sem deslizar sobre um plano horizontal,
mantendo-se sempre na vertical. Sejam em um certo
instante os pontos A, B e C localizados na perferia do
disco como mostra a figura. Para um referencial fixo no
plano, se v e´ a velocidade do centro de massa do disco, e
vA, vB e vC sa˜o os respectivos mo´dulos das velocidades
dos pontos A, B e C, enta˜o
(a) vA =
√
2 v;
(b) vB = 2v;
(c) vC = v;
(d) vB =
√
2 v.
(e) vA = v
7. Uma part´ıcula de massa m pendurada por um fio ideal
de comprimento ℓ, cuja extremidade e´ presa ao teto, e´
abandonada em repouso com o fio esticado fazendo um
aˆngulo θ0 com a vertical (0 < θ0 < π/2). Sejam, ~T a
forc¸a do fio sobre a part´ıcula, ~P o seu peso e ~v a sua
velocidade, todos os treˆs vetores no instante em que a
part´ıcula passa pelo ponto mais baixo de sua trajeto´ria.
A a opc¸a˜o correta e´
(a) T − P = mv2/ℓ
(b) T + P = mv2/ℓ
(c) T = mv2/ℓ
(d) ~T + ~P = ~0
(e) ~T = ~P .
2
8. Dois proje´teis 1 e 2 sa˜o lanc¸ados simultaneamente e ho-
rizontalmente de alturas h1 e h2 (diferentes) em relac¸a˜o
ao solo. Verifica-se que ambos atingem o mesmo ponto
A no solo. A raza˜o v1/v2 entre os mo´dulos v1 e v2 das
velocidades de lanc¸amento dos respectivos proje´teis 1 e
2 e´
(a)
√
h1/h2;
(b)
√
h2/h1.
(c) h2/h1;
(d) h1/h2;
(e)
√
h2/2h1.
9. Uma part´ıcula desloca-se ao longo do eixo x sob a ac¸a˜o
de uma forc¸a conservativa ~F , correspondente a uma
energia potencial U(x), dada pelo gra´fico da figura, na
qual o ponto C e´ um ponto de mı´nimo. Para este po-
tencial entre as opc¸o˜es abaixo a u´nica incorreta e´
(a) na posic¸a˜o xC , tem-se a condic¸a˜o de equil´ıbrio
esta´vel;
(b) no deslocamento do corpo de xB para xC o tra-
balho realizado pela forc¸a ~F e´ positivo;
(c) o sentido da forc¸a ~F na posic¸a˜o xB e´ positivo;
(d) na posic¸a˜o xC a forc¸a ~F e´ nula.
(e) na posic¸a˜o xB a forc¸a sobre a part´ıcula e´ nula;
10. A figura mostra um trilho perfeitamente liso contido
em um plano vertical. Uma part´ıcula e´ abandonada em
repouso no ponto P1 do trilho e desliza sobre ele sem
nunca perder contato. A part´ıcula passa pelos pontos
P2, P3, P4 e atinge o ponto P5, localizado em uma linha
horizontal passando por P1. No percurso de P1 a P5 a
energia cine´tica da part´ıcula e´
(a) nula em P1 e P5 e ma´xima em P3;
(b) nula em P1 e P5 e mı´nima em P2 e P4;
(c) nula em P1, P3 e P5;
(d) nula em P1 e P5;
(e) nula em P1, P2, P3, P4 e P5;
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
Na˜o sera˜o consideradas respostas sem justificativa; expresse-as somente em func¸a˜o dos dados fornecidos.
1. Um bloco de massa m, pressionado sobre uma pa-
rede vertical por uma forc¸a horizontal constante
~F , como indica a figura, desce verticalmente com
acelerac¸a˜o para baixo. Os coeficiente de atrito
cine´tico e esta´tico entre o bloco e a parede sa˜o,
respectivamente, µc e µe.
a) Fac¸a um diagrama das forc¸as sobre o bloco;
b) calcule o mo´dulo a da acelerac¸a˜o desse bloco;
c) determine o mo´dulo da forc¸a total ~Fc exercida
pelo bloco sobre a parede.
d) Se, em vez de descendo, o bloco estivesse
em repouso, qual seria o valor mı´nimo Fmin do
mo´dulo da forc¸a horizontal ~F que manteria o
bloco em repouso.
2. Um bloco de massam esta´ preso a um fio de massa
desprez´ıvel e inextens´ıvel, cuja outra extremidade
esta´ enrolada na periferia de um disco homogeˆneo
de massa M e raio R, que pode girar sem atrito
em torno de um eixo fixo horizontal. O bloco e´
abandonado a partir do repouso e desce vertical-
mente fazendo o disco girar sem que haja desliza-
mento do fio sobre o disco. Dado que o momento
de ine´rcia do disco relativo ao seu eixo de rotac¸a˜o
e´ (1/2)MR2 e que a massa do disco e´ o dobro da
massa do bloco, M = 2m, calcule
a) o mo´dulo a da acelerac¸a˜o do bloco em movi-
mento;
b) o mo´dulo T da trac¸a˜o do cabo e o mo´dulo Fe da
forc¸a que o suporte exerce sobre o disco em movi-
mento;
c) a energia cine´tica do bloco apo´s o disco dar uma
volta completa a partir do repouso.
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Prova Final de F´ısica IA - 9/12/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,4 ponto
No diagrama esta˜o representadasas forc¸as que agem sobre o
bloco, onde ~P e´ o peso do bloco, ~fc a forc¸a de atrito cine´tica
e ~N a forc¸a que a parede exerce sobre o bloco.
b) valor=1,2 pontos
Pela segunda Lei de Newton ~F + ~fc+ ~N + ~P = m~a e decompondo as forc¸as segundo as direc¸o˜es
horizontal e vertical temos:
na direc¸a˜o horizontal: N − F = 0 (i)
na direc¸a˜o vertical: P − fc = ma (ii)
Como |~fc| = µcN = µcF e P = mg, de (ii)
a =
P − fc
m
→ a = g − µc
m
F (iii)
c) valor=0,4 ponto
A forc¸a ~F ′C que o bloco exerce sobre a parede e´ obtida pela
soma das reac¸o˜es ~N ′ da normal e ~f ′c da forc¸a de atrito. Por-
tanto |~F ′C| =
√
N ′2 + f ′c
2, como N ′ = N e f ′c = fc = µcF ,
|~F ′C| =
√
F 2 + (µcF )2
|~F ′C| =
√
1 + µ2c F
d) valor=0,5 ponto
A forc¸a mı´nima que permite manter o bloco em repouso corresponde fisicamente a a = 0. Neste
caso µc → µe e ~F = ~Fmin. Portanto do resultado da acelerac¸a˜o (iii),
0 = g − µe
m
Fmin → Fmin = mg
µe
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2,5 pontos)
a) valor=1,6 pontos
A dinaˆmica para o disco e o bloco corresponde a:
disco:
∑
i
~τ exti = I~α
bloco:
∑
i
~F exti = m~a,
ale´m da condic¸a˜o de v´ınculo a = αR.
Assim temos, considerando o sentido de rotac¸a˜o positivo como
anti-hora´rio e que |~T | = |~T ′|:



RT = Iα
mg − T = ma
a = αR
⇒



T = (1/2)2mR2/R2 = ma (i)
mg − T = ma
∴ a =
1
2
g
b) valor=0,5 ponto
A trac¸a˜o do fio pode ser obtida de (i), apo´s substituirmos o valor de a encontrado no item
anterior,
T = ma → T = mg
2
.
Para a forc¸a ~Fe que o eixo exerce sobre o disco temos, ~T + ~Fe+M~g = ~0. Assim, comoM = 2m,
Fe = Mg + T = 2mg +
1
2
mg → Fe = 5
2
mg
c) valor=0,4 ponto
Quando o disco gira de 2pi o bloco cai da distaˆncia d = 2piR. Logo ∆K = Wtotal = Kf , pois
Ki = 0.
O trabalho total e´ dado pelo trabalho das forc¸as ~T e m~g que agem sobre o bloco.
Kf = (mg − T )2piR = 1
2
mg2piR
∴ Kf = pimgR
Obs: uma maneira simples de calcular Wtotal sobre o bloco e´ fazer Wtotal = Fres.d = ma.2piR
= m
g
2
2piR = pimgR !!
3