Prova 37

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/1 – Primeira Prova: 13/05/2015
Versa˜o: A
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V ,
∫
du sen2u =
u
2
− sen(2u)
4
, ~r = xxˆ+ yyˆ + zzˆ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Duas part´ıculas de cargas q1 e q2, separadas pela
distaˆncia d, produzem um potencial V12(P ) = 0 no
ponto P . Traz-se enta˜o uma terceira part´ıcula do in-
finito ate´ o ponto P. Sabendo-se que o potencial ge-
rado pelas 3 part´ıculas V123 e´ nulo no infinito, pode-se
concluir que
(a) O campo ele´trico gerado apenas por q1 e q2
deve ser zero em P .
(b) O trabalho total para aproximar as part´ıculas
de carga q1 e q2 do infinito ate´ a distaˆncia d e´
zero.
(c) O trabalho realizado pela forc¸a ele´trica ao
trazer-se a terceira carga do infinito para o
ponto P e´ zero.
(d) A forc¸a ele´trica exercida por q1 e q2 sobre q3 e´
zero.
(e) A energia potencial desse sistema de 3 cargas
e´ zero.
2. Considere um cubo uniformemente carregado com
densidade volumar ρ. Um aluno deseja calcular o
campo ele´trico em um ponto P fora do cubo e para
isso resolve usar a lei de Gauss trac¸ando uma su-
perf´ıcie gaussiana cu´bica que passa pelo ponto P. Ele
faz as seguintes afirmac¸o˜es sobre o problema: (I) A
lei de Gauss vale nessa situac¸a˜o ; (II) Para usar a
lei de Gauss, basta escolher uma superf´ıcie gaussiana
que tenha a mesma simetria do objeto em questa˜o;
(III) Tendo o objeto e a superf´ıcie gaussiana simetria
cu´bica, e´ poss´ıvel afirmar que o campo e´ constante so-
bre a superf´ıcie gaussiana. Qual(is) delas e´(sa˜o) ver-
dadeira(s)?
(a) Nenhuma.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas.
1
3. Uma superf´ıcie imagina´ria esfe´rica fechada envolve
completamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pontos da
superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico possui mo´dulo constante em
todos os pontos da superf´ıcie.
(c) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em todos
os seus pontos.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma parte
da superf´ıcie pode na˜o ser igual a zero.
(e) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie
na˜o pode ser igual a zero, pois ha´ cargas en-
volvidas pela mesma.
4. Considere as seguintes afirmativas: (I) part´ıculas car-
regadas, no exterior de uma superf´ıcie fechada S,
na˜o contribuem nem para o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de S, nem para o campo ele´trico resultante em
pontos de S; (II) se o fluxo do campo ele´trico atrave´s
de uma superf´ıcie fechada for zero, na˜o ha´ part´ıculas
carregadas no interior de tal superf´ıcie, e (III) a lei de
Gauss so´ vale para distribuic¸o˜es de carga sime´tricas.
Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Nenhuma.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas.
5. Dois basto˜es ideˆnticos, finos, de mesmo comprimento
L, esta˜o dispostos nos semi-eixos positivos X e Y con-
forme mostra a figura. Neles, ha´ uma distribuic¸a˜o
de carga estaciona´ria, na˜o necessariamente uniforme,
com a mesma densidade linear λ(s), onde s e´ a
distaˆncia de um ponto gene´rico sobre um dos basto˜es
ate´ a origem. Considere dois elementos infinitesimais,
nos pontos P : (x, 0) e Q : (0, y), dos basto˜es em X e
Y , com comprimentos dx e dy, respectivamente. Qual
e´ a forc¸a ele´trica d ~FP→Q que o elemento em P exerce
sobre o elemento em Q?
(a) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(−xxˆ + yyˆ) .
(b) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(xxˆ + yyˆ) .
(c) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(xxˆ − yyˆ) .
(d) k0
λ2
(√
x2 + y2
)
x2 + y2
(ds)2 (xˆ+ yˆ) .
(e) k0
λ2
(√
x2 + y2
)
x2 + y2
xˆ .
6. Treˆs part´ıculas pontuais de cargas +Q,−Q e +q
(Q, q > 0) esta˜o localizadas respectivamente nos pon-
tos de coordenadas (x,0), (-x,0) e (0,y) num sistema
de eixos cartesianos (x > 0, y > 0). Sabendo que xˆ, yˆ
sa˜o os vetores unita´rios nas respectivas direc¸o˜es x e
y, podemos dizer que a forc¸a resultante na part´ıcula
de carga +q devida a`s outras duas part´ıculas teˆm a
direc¸a˜o e sentido do vetor
(a) yˆ
(b) −yˆ
(c) xˆ
(d) −xˆ
(e) xˆ+ yˆ
2
7. Considere um capacitor de duas placas paralelas (com
va´cuo entre elas), inicialmente separadas por uma
distaˆncia d e submetidas a uma voltagem V . Algue´m
enta˜o dobra a voltagem entre as placas, mantendo a
distaˆncia de separac¸a˜o . Conclui-se enta˜o que
(a) A capacitaˆncia na nova configurac¸a˜o e´ o dobro
da configurac¸a˜o inicial.
(b) A capacitaˆncia na nova configurac¸a˜o e´ a me-
tade da configurac¸a˜o inicial.
(c) A capacitaˆncia na nova configurac¸a˜o e´ o
qua´druplo da configurac¸a˜o inicial.
(d) A capacitaˆncia na˜o se altera, pois ela e´ inde-
pendente da voltagem aplicada.
(e) Nenhuma das afirmativas anteriores esta´ cor-
reta.
8. Desejamos colocar treˆs part´ıculas pontuais, cujas car-
gas sa˜o dadas por q1 = q2 = q e q3 = −q, nos
ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero. Considere que
inicialmente as part´ıculas estavam no infinito e infini-
tamente distantes entre si. O que podemos dizer sobre
o trabalho necessa´rio para montar essa configurac¸a˜o?
(a) Ele depende da ordem com que trazemos as
part´ıculas.
(b) Ele independe da ordem, mas depende das tra-
jeto´rias pelas quais trazemos as part´ıculas.
(c) Ele independe da ordem e das trajeto´rias, mas
depende do valor de q.
(d) Ele independe de qualquer coisa, pois, pela si-
metria da disposic¸a˜o das cargas, o trabalho e´
nulo.
(e) Nenhuma das afirmativas anteriores esta´ cor-
reta.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (5,2 pontos)
1. [3,0 pontos] Considere um semi-anel circular, fino, de raio R, situado no plano z = 0, conforme mostra a figura.
Suponha que a densidade linear de carga de tal semi-anel seja dada por
λ(ϕ) = C sinϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π , C = const
onde ϕ e´ o tradicional aˆngulo polar, medido no sentido anti-hora´rio, a partir do eixo X .
(a) Qual e´ a carga ele´trica total, Q, do semi-anel? [0,4 ponto]
(b) Calcule o campo ele´trico ~E na origem. [0,8 ponto]
(c) Calcule o potencial eletrosta´tico V (P) em um ponto qualquer do eixo Z, com cota z 6= 0 (Sabendo-se que o
potencial no infinito e´ nulo). [0,8 ponto]
(d) Que componente(s) do campo ele´trico, no mesmo ponto mencionado no item (c), pode(m) ser deduzida(s) a
partir do resultado obtido no item anterior? Justifique e deduza-a(s). [1,0 ponto]
2. [2.2 pontos] O potencial ele´trico em uma regia˜o do espac¸o e´ dado por V (x, y, z) = A(x2 + y2 + z2), onde A e´ uma
constante na˜o nula.
(a) Deduza uma expressa˜o para o campo ele´trico ~E na regia˜o. [0,6 ponto]
3
(b) Deduza o trabalho W realizado pela forc¸a ele´trica sobre uma part´ıcula de carga q, quando esta e´ deslocada do
ponto (0, 0, z0) ate´ o ponto (0, 0, z0/2). [0,8 ponto]
(c) Seja agora uma regia˜o esfe´rica, centrada na origem, de raio R. Qual a carga no interior dessa superf´ıcie? [0,8
ponto] OBS: voceˆ pode achar u´til escrever o campo em coordenadas esfe´ricas.
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (c)
2. (b)
3. (d)
4. (a)
5. (a)
6. (d)
7. (d)
8. (c)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Para uma distribuic¸a˜o linear (ou curvil´ınea), unidimensional, um elemento seu infinitesimal, de comprimento
dℓ, possuira´ uma carga infinitesimal
dq = λ dℓ .
Como, na situac¸a˜o em pauta,
λ = C sinϕ
edℓ = Rdϕ > 0 ,
temos, pois,
dq = CR sinϕdϕ .
A carga total sera´, portanto,
Q = CR
∫ pi
0
dϕ sinϕ ⇒ Q = 2CR (1)
�
(b) Resolveremos este item pelo princ´ıpio de superposic¸a˜o para o campo ele´trico. Como o semi-anel possui simetria
de reflexa˜o com relac¸a˜o aos plano Y Z e XY , conclu´ımos respectivamente que as componentes Ex e Ez sa˜o nulas,
restando enta˜o apenas a componente Ey. Temos enta˜o
~E(~0) = yˆ
∫
dEy = yˆ
∫
(−|d~E| sinϕ) = − yˆ
4πǫ0
∫ Rdϕ︷︸︸︷
dℓ C sinϕ
|~0−~r|
|~0−~r|2︸ ︷︷ ︸
=R/R2=1/R
sinϕ = − yˆC
4πǫ0R
∫ pi
0
dϕ sin2 ϕ︸ ︷︷ ︸
pi/2
, (2)
donde
~E(~0) = − yˆC
8ǫ0R
(3)
�
(c) Resolveremos este item pelo princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial ele´trico. Um elemento infinitesimal do
anel, com carga infinitesimal dq, cria, em um ponto P do eixo Z, com cota z, o seguinte potencial infinitesimal:
dV = k0
dq
r
,
1
onde r e´ a distaˆncia do elemento ate´ o ponto P, ou seja,
r =
√
z2 +R2 .
Como todos os pontos do anel esta˜o a mesma distaˆncia de P, o potencial resultante sera´:
V (x = 0, y = 0, z) =
1
4πǫ0
Q√
z2 +R2
⇒ V (0, 0, z) = 1
4πǫ0
2CR√
z2 +R2
(4)
�
(d) Como esta´ formalmente expl´ıcito no resultado final do item anterior, conhecemos os valores do potencial
somente sobre o eixo Z, na˜o fora dele. Portanto, na˜o podemos calcular a derivada do potencial com respeito a`s
coordenadas x ou y, mas sim somente com respeito a` coordenada z. Logo, fica claro que, a partir da expressa˜o (4),
so´ podemos deduzir, legitimamente, a componente z do campo ele´trico, que e´
Ez = −∂V
∂z
,
ou seja,
Ez(x = 0, y = 0, z) = k0
Qz
(z2 +R2)3/2
zˆ . (5)
Intuitivamente, vemos que a componente Ey e´ na˜o nula, pois temos elementos de carga apenas no semi-plano
X > 0. Portanto, para C > 0, por exemplo, a componente Ey deve ser negativa. Se, ingenuamente, calcula´ssemos
diretamente as derivadas de (4) com respeito a y, encontrar´ıamos o absurdo Ey = 0, justamente porque aquela
expressa˜o so´ vale para x = y = 0. Por outro lado, a simetria do semi-anel garante que Ex = 0, mas em hipo´tese
alguma deve-se achar que isso e´ consequeˆncia da derivada de (4) com relac¸a˜o a x se anular, devido novamente ao
fato dessa expressa˜o so´ valer para x = y = 0.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) O campo ele´trico pode ser obtido a partir do potencial ele´trico a partir de
~E = −~∇V, (6)
e o gradiente de V e´ dado por
~∇V = ∂V
∂x
xˆ+
∂V
∂y
yˆ +
∂V
∂z
zˆ = 2Axxˆ+ 2Ayyˆ + 2Azzˆ = 2Arrˆ, (7)
onde ~r = xxˆ + yyˆ + zzˆ, r = |~r|, e rˆ = ~r/r. Donde
~E = −2Axxˆ− 2Ayyˆ− 2Azzˆ = −2Arrˆ (8)
(b)
• Soluc¸a˜o 1: O trabalho da forc¸a ele´trica sobre uma part´ıcula se movendo numa trajeto´ria C e´ dado por
W =
∫
C
~F · ~dl = q
∫
C
~E · ~dl, (9)
Como o campo ele´trico e´ conservativo, podemos levar a carga do ponto (0, 0, z0) ate´ o ponto (0, 0, z0/2) pelo
caminho que quisermos. Escolhendo ento a linha reta que une esses dois pontos, vemos que o trabalho realizado
e´ dado por
W = q
∫ z0/2
z0
~E · zˆdz = q
∫ z0/2
z0
(−2Azzˆ) · dzzˆ = −2Aq
∫ z0/2
z0
zdz = Aqz2
∣∣∣∣
z0
z0/2
⇒ W = 3Aqz
2
0
4
(10)
2
• Soluc¸a˜o 2: O trabalho da forc¸a ele´trica e´ igual a` menos a variac¸a˜o da energia potencial do sistema (ou,
relaxando um pouco a notac¸a˜o , energia potencial da part´ıcula) ∆U . Temos enta˜o,
W = −∆U = q(Vi − Vf) = q[(V (0, 0, z0)− V (0, 0, z0/2)] = q
[
Az20 −
Az20
4
]
⇒ W = 3Aqz
2
0
4
(11)
(c) Pela lei de Gauss, sabemos que a carga Qint no interior de qualquer superf´ıcie fechada S e´ dada por
Qint = ǫ0
∮
S
~E · ~dA (12)
Como o campo ele´trico (em coordenadas esfe´rico-polares) e´ bastante simples
~E = −2Arrˆ, (13)
podemos efetuar o fluxo no lado direito de (12)∮
S
~E · ~dA =
∮
S
(−2Arrˆ) · rˆdA = −2AR
∮
S
dA︸ ︷︷ ︸
=4piR2
= 8AπR3 (14)
e assim
Qint = 8πǫ0AR
3 (15)
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/1 – Primeira Prova: 13/05/2015
Versa˜o: B
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V ,
∫
du sen2u =
u
2
− sen(2u)
4
, ~r = xxˆ+ yyˆ + zzˆ
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Dois basto˜es ideˆnticos, finos, de mesmo comprimento
L, esta˜o dispostos nos semi-eixos positivos X e Y con-
forme mostra a figura. Neles, ha´ uma distribuic¸a˜o
de carga estaciona´ria, na˜o necessariamente uniforme,
com a mesma densidade linear λ(s), onde s e´ a
distaˆncia de um ponto gene´rico sobre um dos basto˜es
ate´ a origem. Considere dois elementos infinitesimais,
nos pontos P : (x, 0) e Q : (0, y), dos basto˜es em X e
Y , com comprimentos dx e dy, respectivamente. Qual
e´ a forc¸a ele´trica d ~FP→Q que o elemento em P exerce
sobre o elemento em Q?
(a) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(−xxˆ+ yyˆ) .
(b) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(xxˆ+ yyˆ) .
(c) k0
λ(x) dx λ(y) dy
(x2 + y2)3/2
(xxˆ− yyˆ) .
(d) k0
λ2
(√
x2 + y2
)
x2 + y2
(ds)2 (xˆ+ yˆ) .
(e) k0
λ2
(√
x2 + y2
)
x2 + y2
xˆ .
2. Considere as seguintes afirmativas: (I) part´ıculas car-
regadas, no exterior de uma superf´ıcie fechada S,
na˜o contribuem nem para o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de S, nem para o campo ele´trico resultante em
pontos de S; (II) se o fluxo do campo ele´trico atrave´s
de uma superf´ıcie fechada for zero, na˜o ha´ part´ıculas
carregadas no interior de tal superf´ıcie, e (III) a lei de
Gauss so´ vale para distribuic¸o˜es de carga sime´tricas.
Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Nenhuma.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas.
1