Prova 41

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica III
– 2012/2
Primeira Prova: 10/12/2012
Versa˜o: A
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
~E = − ~∇V , V = k0 q
r
, U = k0
qq′
r
, ~E =
~E0
K
, C = Q/V
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura mostra um dipolo ele´trico, imerso em um campo
ele´trico constante (estaciona´rio e uniforme) ~E = Exˆ
(E > 0), em treˆs configurac¸o˜es diferentes. O comprimento
do dipolo e´ L. Qual dessas configurac¸o˜es e´ a de equil´ıbrio
esta´vel e quais sa˜o, para essa configurac¸a˜o esta´vel, o vetor
momento de dipolo ele´trico ~p e a energia potencial ele´trica
U?
(a) Configurac¸a˜o 3. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(b) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(c) Configurac¸a˜o 2. ~p = qLyˆ e U = −qLE.
(d) Configurac¸a˜o 1. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(e) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(f) Configurac¸a˜o 2. ~p = −qLyˆ e U = 0.
(g) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = qLE.
(h) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLx e U = qLE.
2. Considere uma esfera macic¸a com densidade volumar de
carga constante (estaciona´ria e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre-
senta os gra´ficos do mo´dulo do campo ele´trico e do poten-
cial ele´trico devidos a essa esfera em func¸a˜o da distaˆncia
r ao centro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re-
til´ıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projec¸o˜es dos fios retil´ıneos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas cont´ınuas representam
distribuic¸o˜es uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuic¸o˜es
tambe´m uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o mo´dulo do campo ele´trico re-
sultante, ~E, no ponto P e V o potencial ele´trico no mesmo
ponto, qual das alternativas abaixo e´ a correta? Considere
o potencial ele´trico nulo no infinito.
(a) ~E = Exˆ e V = 0.
(b) ~E = −Exˆ e V = 0.
(c) ~E = Eyˆ e V = 0.
(d) ~E = −Eyˆ e V = 0.
(e) ~E = Exˆ e V =
λ+
2πǫ0
.
(f) ~E = −Exˆ e V = λ+
2πǫ0
.
4. A figura mostra treˆs sistemas com distribuic¸o˜es uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ in-
teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera teˆm a mesma carga to-
tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparac¸a˜o entre os mo´dulos das forc¸as ele´tricas exerci-
das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera
(F3)?
(a) F1 > F2 > F3.
(b) F1 = F2 = F3.
(c) F1 > F2 = F3.
(d) F1 = F2 > F3.
(e) F1 = F2 < F3.
(f) F3 > F1 > F2.
(g) F1 < F2 < F3.
5. Considere as seguintes treˆs afirmaco˜es relativas a um con-
dutor em equil´ıbrio eletrosta´tico: (I) podemos ter uma
linha de campo ele´trico que une dois pontos do condu-
tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf´ıcie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga e´ σ, o
campo ele´trico tem mo´dulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi-
dade vazia, cercada pelo condutor, o campo ele´trico e´ zero.
Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmac¸a˜o(oes)
correta(s)?
(a) Somente a I e a II.
(b) Somente a I e a III.
(c) Somente a II e a III.
(d) Somente a I.
(e) Somente a II.
(f) Somente a III.
(g) Todas sa˜o corretas.
(h) Nenhuma e´ correta.
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espac¸o entre as placas esta´
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan-
tes diele´tricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal
espac¸o e´ preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor-
reto da capacitaˆncia desse capacitor, em termos da sua
capacitaˆncia no va´cuo C0?
(a) 2 (K1 +K2) C0.
(b)
K1K2
K1 +K2
C0.
(c)
2K1K2
K1 +K2
C0.
(d) (K1 +K2) C0/2.
(e)
K1K2
2 (K1 +K2)
C0.
(f) (K1 +K2) C0.
2
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
diele´trico de “recheio”. Das treˆs afirmac¸o˜es a seguir,
qual(is) e´(sa˜o) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitaˆncia
tambe´m dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou-
tra, a sua capacitaˆncia cresce, e (III) ao retirarmos o meio
diele´trico, a sua capacitaˆncia diminui.
(a) Todas sa˜o verdadeiras.
(b) Somente a I e a II.
(c) Somente a I e a III.
(d) Somente a II e a III.
(e) Somente a I.
(f) Somente a II.
(g) Somente a III.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
8. Considere treˆs objetos carregados: (I) um fio retil´ıneo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
so´lido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje-
tos encontram-se no interior de uma superf´ıcie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo ele´trico
atrave´s da superf´ıcie S?
(a) Φ =
1
ε0
(
aL2
2
+
bL3
2
+
cL4
2
)
.
(b) Φ =
1
ε0
(
aL2 + bL3 + cL4
)
.
(c) Φ =
1
ε0
(
aL+ bL2 + cL3
)
.
(d) Φ =
1
ε0
(
aL2 + 2bL3 + 3cL4
)
.
(e) Φ =
1
ε
(
abcL9
)1/3
9
.
9. Na figura, representamos um gra´fico do potencial ele´trico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme-
mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direc¸a˜o ortogonal a`s placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posic¸a˜o nu-
los. Qual e´ o campo ele´trico ~E em qualquer ponto entre
as placas?
(a) −(10000 V/m) xˆ.
(b) −(1000 V/m) xˆ.
(c) (1 V/m) xˆ.
(d) −(1 V/m) xˆ.
(e) (100 V/m) xˆ.
(f) −(100 V/m) xˆ.
10. Considere as seguintes distribuic¸o˜es de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esfe´ricas;
ii fio retil´ıneo muito longo (suposto infinito) com den-
sidade linear de carga na˜o uniforme;
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estaciona´ria e uniforme);
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi-
dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
cil´ındricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estaciona´ria e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple-
mentada por argumentos de simetria, para determinar o
campo ele´trico em um ponto gene´rico do espac¸o?
(a) Em todos os casos.
(b) Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c) Somente no caso (iv).
(d) Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e) Somente no caso (i).
(f) Em todos casos exceto o (ii).
(g) Somente no caso (iii).
(h) Somente nos casos (i) e (iv).
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma part´ıcula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa part´ıcula e´ lanc¸ada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vzˆ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estaciona´ria e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial ele´trico devido ao anel na posic¸a˜o
inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo ele´trico devido
ao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecaˆnica total da part´ıcula imedia-
tamente apo´s o lanc¸amento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o mo´dulo da velocidade cr´ıtica vc, acima do qual
a part´ıcula cruza o centro doanel. [0,7 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in-
finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ao eixo do cilindro.
Esse cilindro e´ coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
tambe´m de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com raio interno b e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo ele´trico em cada uma das quatro regio˜es:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r <∞. [2,0 pontos]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura mostra um dipolo ele´trico, imerso em um campo
ele´trico constante (estaciona´rio e uniforme) ~E = Exˆ
(E > 0), em treˆs configurac¸o˜es diferentes. O comprimento
do dipolo e´ L. Qual dessas configurac¸o˜es e´ a de equil´ıbrio
esta´vel e quais sa˜o, para essa configurac¸a˜o esta´vel, o vetor
momento de dipolo ele´trico ~p e a energia potencial ele´trica
U?
(a) Configurac¸a˜o 3. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(b) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(c) Configurac¸a˜o 2. ~p = qLyˆ e U = −qLE.
(d) Configurac¸a˜o 1. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(e) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(f) Configurac¸a˜o 2. ~p = −qLyˆ e U = 0.
(g) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = qLE.
(h) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLx e U = qLE.
2. Considere uma esfera macic¸a com densidade volumar de
carga constante (estaciona´ria e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre-
senta os gra´ficos do mo´dulo do campo ele´trico e do poten-
cial ele´trico devidos a essa esfera em func¸a˜o da distaˆncia
r ao centro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re-
til´ıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projec¸o˜es dos fios retil´ıneos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas cont´ınuas representam
distribuic¸o˜es uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuic¸o˜es
tambe´m uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o mo´dulo do campo ele´trico re-
sultante, ~E, no ponto P e V o potencial ele´trico no mesmo
ponto, qual das alternativas abaixo e´ a correta? Considere
o potencial ele´trico nulo no infinito.
(a) ~E = Exˆ e V = 0.
(b) ~E = −Exˆ e V = 0.
(c) ~E = Eyˆ e V = 0.
(d) ~E = −Eyˆ e V = 0.
(e) ~E = Exˆ e V =
λ+
2πǫ0
.
(f) ~E = −Exˆ e V = λ+
2πǫ0
.
4. A figura mostra treˆs sistemas com distribuic¸o˜es uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ in-
teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera teˆm a mesma carga to-
tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparac¸a˜o entre os mo´dulos das forc¸as ele´tricas exerci-
das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera
(F3)?
(a) F1 > F2 > F3.
(b) F1 = F2 = F3.
(c) F1 > F2 = F3.
(d) F1 = F2 > F3.
(e) F1 = F2 < F3.
(f) F3 > F1 > F2.
(g) F1 < F2 < F3.
5. Considere as seguintes treˆs afirmaco˜es relativas a um con-
dutor em equil´ıbrio eletrosta´tico: (I) podemos ter uma
linha de campo ele´trico que une dois pontos do condu-
tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf´ıcie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga e´ σ, o
campo ele´trico tem mo´dulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi-
dade vazia, cercada pelo condutor, o campo ele´trico e´ zero.
Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmac¸a˜o(oes)
correta(s)?
(a) Somente a I e a II.
(b) Somente a I e a III.
(c) Somente a II e a III.
(d) Somente a I.
(e) Somente a II.
(f) Somente a III.
(g) Todas sa˜o corretas.
(h) Nenhuma e´ correta.
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espac¸o entre as placas esta´
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan-
tes diele´tricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal
espac¸o e´ preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor-
reto da capacitaˆncia desse capacitor, em termos da sua
capacitaˆncia no va´cuo C0?
(a) 2 (K1 +K2) C0.
(b)
K1K2
K1 +K2
C0.
(c)
2K1K2
K1 +K2
C0.
(d) (K1 +K2) C0/2.
(e)
K1K2
2 (K1 +K2)
C0.
(f) (K1 +K2) C0.
2
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
diele´trico de “recheio”. Das treˆs afirmac¸o˜es a seguir,
qual(is) e´(sa˜o) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitaˆncia
tambe´m dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou-
tra, a sua capacitaˆncia cresce, e (III) ao retirarmos o meio
diele´trico, a sua capacitaˆncia diminui.
(a) Todas sa˜o verdadeiras.
(b) Somente a I e a II.
(c) Somente a I e a III.
(d) Somente a II e a III.
(e) Somente a I.
(f) Somente a II.
(g) Somente a III.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
8. Considere treˆs objetos carregados: (I) um fio retil´ıneo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
so´lido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje-
tos encontram-se no interior de uma superf´ıcie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo ele´trico
atrave´s da superf´ıcie S?
(a) Φ =
1
ε0
(
aL2
2
+
bL3
2
+
cL4
2
)
.
(b) Φ =
1
ε0
(
aL2 + bL3 + cL4
)
.
(c) Φ =
1
ε0
(
aL+ bL2 + cL3
)
.
(d) Φ =
1
ε0
(
aL2 + 2bL3 + 3cL4
)
.
(e) Φ =
1
ε
(
abcL9
)1/3
9
.
9. Na figura, representamos um gra´fico do potencial ele´trico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme-
mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direc¸a˜o ortogonal a`s placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posic¸a˜o nu-
los. Qual e´ o campo ele´trico ~E em qualquer ponto entre
as placas?
(a) −(10000 V/m) xˆ.
(b) −(1000 V/m) xˆ.
(c) (1 V/m) xˆ.
(d) −(1 V/m) xˆ.
(e) (100 V/m) xˆ.
(f) −(100 V/m) xˆ.
10. Considere as seguintes distribuic¸o˜es de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esfe´ricas;
ii fio retil´ıneo muito longo (suposto infinito) com den-
sidade linear de carga na˜o uniforme;
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estaciona´ria e uniforme);
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi-
dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
cil´ındricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estaciona´ria e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple-
mentada por argumentos de simetria, para determinar o
campo ele´trico em um ponto gene´rico do espac¸o?
(a) Em todos os casos.
(b) Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c) Somente no caso (iv).
(d) Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e) Somente no caso (i).
(f) Em todos casos exceto o (ii).
(g) Somente no caso (iii).
(h) Somente nos casos (i) e (iv).
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma part´ıcula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa part´ıcula e´ lanc¸ada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vzˆ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estaciona´ria e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial ele´trico devidoao anel na posic¸a˜o
inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo ele´trico devido
ao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecaˆnica total da part´ıcula imedia-
tamente apo´s o lanc¸amento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o mo´dulo da velocidade cr´ıtica vc, acima do qual
a part´ıcula cruza o centro do anel. [0,7 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Ja´ supondo que o zero do potencial esta´ no infinito, podemos dizer que uma contribuic¸a˜o infinitesimal dV para o
potencial eletrosta´tico em um ponto (de observac¸a˜o) a uma distaˆncia r de um elemento infinitesimal da distribuic¸a˜o com
carga infinitesimal dq, e´
dV =
1
4πǫ0
dq
r
. [0,2 ponto]
Logo, para a distribuic¸a˜o completa de carga, no domı´nio curvil´ıneo C, por superposic¸a˜o, temos
V =
1
4πǫ0
∫
C
dq
r
.
No caso concreto, de um ponto sobre o eixo perpendicular de simetria (x = y = 0, z) do anel, e´ o´bvio que todos os pontos
do anel carregado esta˜o a` mesma distaˆncia do ponto P . Logo,
V =
1
4πǫ0r
∫
C
dq
=
1
4πǫ0
Q
r
, [0,2 ponto]
onde, claro, Q e´ a carga total do anel, ou seja,
Q = λ02πR ,
e
r =
√
R2 + z2 .
Finalmente, enta˜o,
V (x = y = 0, z) =
λ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,2 ponto]
�
(b) Genericamente, o campo eletrosta´tico se relaciona com o potencial eletrosta´tico por
~E = − ~∇V.
4
Por simetria, no eixo Z, sabemos que na˜o existem componentes do campo nas direc¸o˜es x e y. Portanto,
~E(x = y = 0, z) = −∂V (x = y = 0, z)
∂z
[0,3 ponto]
= −λ0R
2ǫ0
∂
∂z
[(
R2 + z2
)−1/2]
.
Logo,
~E(x = y = 0, z) =
λ0
2ǫ0
Rz
(R2 + z2)3/2
zˆ . [0,3 ponto]
�
(c) A energia mecaˆnica Em da part´ıcula e´ igual a sua energia cine´tica Ec mais a sua energia potencial Ep. Logo apo´s o
lanc¸amento, a part´ıcula possui velocidade −vzˆ, donde conclu´ımos que sua energia cine´tica se escreve
Ec =
1
2
mv2 . [0,2 ponto]
Ja´ a energia potencial, logo apo´s o lanc¸amento, e´ U = qV , ou seja,
U =
qλ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,2 ponto]
Temos enta˜o,
Em = Ec + U =
1
2
[
mv2 +
qλ0R
ǫ0
√
R2 + z2
]
. [0,2 ponto]
�
(d) A forc¸a eletrosta´tica entre o anel e a part´ıcula (sempre repulsiva), na parte da trajeto´ria dessa u´ltima com z > 0, freara´
o movimento. Destarte, a situac¸a˜o limite em que a part´ıcula podera´ atingir o centro do anel corresponde a ela ter ali uma
energia cine´tica nula. Logo, por conservac¸a˜o da energia mecaˆnica, devemos ter
Em(z = 0) = Em(z)
0 +
qλ0R
2ǫ0R
=
1
2
mv2c +
qΛ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,4 ponto]
Resolvendo para vc, obtemos
vc =
√
qλ0
ǫ0m
[
1− R√
R2 + z2
]1/2
. [0,3 ponto]
�
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in-
finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ao eixo do cilindro.
Esse cilindro e´ coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
tambe´m de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com raio interno b e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo ele´trico em cada uma das quatro regio˜es:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r <∞. [2,0 pontos]
5
Resoluc¸a˜o:
(a) Em uma casca cil´ındrica circular, coaxial com o cilindro interno, de raio r, espessura infinitesimal dr e altura, digamos,
h, ao longo do eixo, a quantidade de carga infinitesimal a´ı existente e´
dq = ρ(r)dV
=
k
r
2πrhdr . [0,2 ponto]
Logo, por integrac¸a˜o de r = 0 ate´ r = a, a carga total no cilindro interno, delimitada por uma altura h ao longo do eixo, e´
Q(h) = 2πkah , [0,2 ponto]
ou seja, a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno e´
λ =
Q(h)
h
= 2πka . [0,1 ponto]
�
(b) Devido a` simetria cil´ındrica da distribuic¸a˜o de carga, sabemos que o campo ele´trico, em coordenadas cil´ındricas (r, ϕ, z),
com eixo Z coincidente com o eixo de simetria da distribuic¸a˜o, so´ tera´ componente r, e essa so´ dependente da coordenada
radial r:
~E(r, ϕ, z) = Er(r) rˆ(ϕ) .
Destarte, em qualquer uma das quatro regio˜es distintas para determinar o campo ele´trico, e´ conveniente utilizar a lei de
Gauss, com uma superf´ıcie gaussiana sendo sempre uma superf´ıcie cil´ındrica coaxial com o eixo da distribuic¸a˜o, de raio r e
altura, digamos, h, de modo que o fluxo sempre tera´, genericamente, a expressa˜o
Φ~E =
∮
S
~E ·nˆ dA
=
∫
Slat
~E ·nˆ dA
= Er(r)2πrh . [0,6 ponto]
O que diferira´, nas quatro regio˜es sera´ a expressa˜o para a carga encerrada pela superf´ıcie gaussiana. Assim,
• 0 ≤ r ≤ a:
A carga encerrada e´, neste caso,
Qint =
∫
ρ(r′)dV ′
=
∫ r
r′=0
k
r′
2πr′hdr′
= 2πkrh .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos
~E =
k
ǫ0
rˆ . [0,3 ponto]
• a ≤ r < b:
A carga encerrada agora e´
Qint =
∫
ρ(r′)dV ′
=
∫ a
r′=0
k
r′
2πr′hdr′
= 2πkah .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos
~E =
ka
ǫ0r
rˆ . [0,3 ponto]
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• b < r < c:
Nesta regia˜o, por ser constitu´ıda de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo ele´trico e´ obviamente nulo:
~E = ~0 . [0,5 ponto]
• c < r <∞:
A carga encerrada e´ a mesma que a existente no cilindro interno, pois o cilidnro vazado e´ neutro, ou seja,
Qint = 2πkah .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos
~E =
ka
ǫ0r
rˆ . [0,3 ponto]
�
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