MANUAL HP 12c

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MANUAL DA CALCULADORA HP-12C 
 
SUMÁRIO 
 
 
INTRODUÇÃO .............................................................................................. I 
 
CAPÍTULO I - O USO DE CALCULADORAS ELETRÔNICAS ................. 06 
 Introdução ............................................................................................... 06 
 Ligando e Desligando a Calculadora .................................................... 06 
 Indicação de Bateria Fraca .................................................................... 06 
 Acesso ao Teclado ................................................................................. 06 
 Introduzindo Números ........................................................................... 06 
 Operacionalidade ................................................................................... 06 
 Testando a Calculadora ......................................................................... 07 
 Separadores de Dígitos ......................................................................... 07 
 Registradores de Armazenamento (memórias).................................... 07 
 Teclas Clear ............................................................................................ 08 
 Ajuste do Número de Dígitos do Visor ................................................. 08 
 A Visualização Completa da Mantissa .................................................. 08 
 Ajuste de Polaridade do Número .......................................................... 08 
 As Funções Calendário .......................................................................... 08 
 Funções Matemáticas ............................................................................ 09 
 Raiz Quadrada ............................................................................. 09 
 Inverso de um Número ............................................................... 09 
 Potenciação ................................................................................. 09 
 Logaritmo Natural ....................................................................... 09 
 Antilogaritmo ............................................................................... 09 
 Análise Combinatória ............................................................................. 11 
 Fatorial de um Número ............................................................... 11 
 Permutação ................................................................................. 11 
 Arranjos ....................................................................................... 11 
 Combinação ................................................................................ 12 
 Funções Auxiliares ................................................................................. 13 
 Parte Fracionária ......................................................................... 13 
 Parte Inteira ................................................................................. 13 
 Arredondamento ......................................................................... 13 
 Rearranjando Números .............................................................. 13 
 Tecla Roll Dow ............................................................................ 13 
 Cálculos com o Auxílio da Pilha Operacional ...................................... 14 
 A Tecla Last x ......................................................................................... 15 
 Somatório ∑∑∑∑+ e ∑∑∑∑- .................................................................................. 15 
 Entrada de Expoente 10 ......................................................................... 15 
 Depreciação ............................................................................................ 16 
 Critério Linear - SL ...................................................................... 16 
 Critério Soma dos Dígitos - SOYD ............................................. 16 
 
2
 Critério do Declínio em Dobro - DB ........................................... 16 
 Demais Teclas e Funções ...................................................................... 17 
 Cálculo de Percentagens ....................................................................... 17 
 Percentagem de um Número ...................................................... 17 
 Variação Percentual entre dois Números ................................. 18 
 Percentagem do Total ................................................................. 19 
 Exercícios ............................................................................................... 20 
 
 
CAPÍTULO II - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ............................................. 22 
 Capital ..................................................................................................... 22 
 Juros ...................................................................................................... 22 
 Taxa de Juros ......................................................................................... 22 
 Juros Simples ......................................................................................... 22 
 Juros Percentuais .................................................................................. 22 
 Exercícios Propostos ............................................................................. 23 
 Montante ................................................................................................. 25 
 Tecla INT ................................................................................................. 28 
 Tecla AMORT .......................................................................................... 28 
 Exercícios ............................................................................................... 28 
 
CAPÍTULO III - DESCONTOS SIMPLES................................................... 29 
 Desconto Comercial ou “por fora” ....................................................... 29 
 Valor Atual ou Valor Presente ............................................................... 29 
 Desconto Racional ou “por dentro” ...................................................... 30 
 Valor Atual ou Valor Presente ............................................................... 30 
 Comparação entre Desconto Comercial e Desconto Racional ........... 31 
 Exercícios ............................................................................................... 32 
 
CAPÍTULO IV - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ....................................... 34 
 Fórmula ................................................................................................... 34 
 Fator de Capitalização ........................................................................... 34 
 Exercícios ............................................................................................... 35 
 Estudo das Taxas ................................................................................... 37 
 Exercícios ............................................................................................... 38 
 
 
CAPÍTULO V - DESCONTO COMPOSTO ................................................ 39 
 Desconto Composto Real ...................................................................... 39 
 Desconto Composto Bancário .............................................................. 39 
 Exercícios ............................................................................................... 40 
 
 
CAPÍTULO VI - CÁLCULO de MÉDIAS (Estatística Econômica) ........... 41 
 
 
CAPÍTULO VII - USO DAS TECLAS FINANCEIRAS ................................ 44 
 Apresentação .......................................................................................... 44 
 Operacionalidade ................................................................................... 443
 Exercícios ............................................................................................... 45 
 
CAPÍTULO VIII - SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES .................... 48 
 Fator de Recuperação de Capital .......................................................... 48 
 Fator de Valor Atual de uma S.P.U. ....................................................... 50 
 Fator de Formação de Capital para uma S.P.U .................................... 50 
 Fator de Acumulação de Capital para uma S.P.U ................................ 51 
 Exercícios ............................................................................................... 51 
 
 
CAPÍTULO IX - SÉRIES NÃO UNIFORMES DE PAGAMENTO ............... 52 
 Funções IRR - NPV - CF0 - Cfj - Nj ........................................................ 52 
 Exercícios ............................................................................................... 56 
 
 
CAPÍTULO X - PROGRAMAÇÃO DE CALC/ELETRÔNICAS .................. 57 
 Programa p/ Descapitalização e Capitalização de Taxas de Juros .... 57 
 
 
BIBLIOGRAFIA .......................................................................................... 62 
 
 
 
 
 
 
 
MANUAL DA CALCULADORA HP-12C 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O objetivo deste curso é fornecer ao estudante um 
preparo teórico e prático para a utilização da matemática financeira como 
instrumento de apoio no cotidiano pessoal e profissional 
 
O planejamento das atividades financeiras ou a análise 
para a tomada de decisão pode contribuir para a prevenção de problemas futuros 
ou para a opção pela melhor solução para uma situação imediata. 
A maximização do dinheiro que se dispõe, não é 
apenas necessária, é imprescindível em qualquer tempo. Empregando-o de 
forma adequada o indivíduo estará contribuindo cada vez mais para a melhoria 
da qualidade de vida, da sua qualidade de vida. 
 
 
 
6
 
CAPÍTULO I 
 
O USO DE CALCULADORAS ELETRÔNICAS1 
 
 
INTRODUÇÃO: 
Para se fazer uso de todos os recursos técnicos de que uma calculadora dispõe, três coisas são 
fundamentais: 
⇒ A prática contínua com a calculadora; 
⇒ Saber de que maneira o cálculo é processado; 
⇒ Saber de quais recursos ela dispõe. 
 
LIGANDO E DESLIGANDO A CALCULADORA: Através da tecla ON você liga e desliga 
a sua calculadora. Caso não seja desligada manualmente, no intervalo entre 8 e 17 minutos, 
ela desligará automaticamente. 
 
INDICAÇÃO DE BATERIA FRACA: A indicação de bateria fraca será dada por um 
asterisco, que aparecerá piscando no canto inferior esquerdo do visor. Assim, é aconselhável 
desligá-la até no máximo duas horas após essa indicação, e procurar uma relojoaria para trocar 
a pilha, pois, seguindo estas instruções, a memória contínua da calculadora não será 
danificada. As pilhas poderão ser em Alcalinas ou Óxido de Prata. 
 
ACESSO AO TECLADO (Espécie de senha (cor) para trabalhar): Uma mesma tecla na 
calculadora, pode desempenhar várias funções, dependendo da maneira de como ela é 
acessada. Uma das funções está indicada na superfície superior (cor branca), na face da tecla. 
Para acessar a esta função basta apertar a tecla ON, cuja função é e ligar e desligar a 
calculadora. 
As outras funções estão indicadas na mesma tecla, mas em outra cor, que corresponde à 
função desejada, cuja sequência dá-se ao pressionar a tecla f ou g , e logo em seguida 
apertar a tecla, cuja cor refere-se a cor da função. Em outras palavras, deve-se pressionar, 
inicialmente, a tecla cuja cor corresponde à cor em que está impressa a função na tecla, e a 
seguir solicitar a operação desejada. 
 
 
INTRODUZINDO NÚMEROS: O processo de introdução de números é feito normalmente, 
como em qualquer outra calculadora. Números decimais, deve-se pressionar a tecla ponto, 
para que ocorra a separação dos dígitos. 
 
 
OPERACIONALIDADE: Basicamente, qualquer calculadora eletrônica opera com dois 
registros, registro x e registro y, sendo que o visor sempre mostra o que está armazenado no 
registro x. Pode-se resumir o funcionamento das calculadoras mais utilizadas em duas partes, 
que diferem pela maneira de como é realizado o processamento. 
 
1
 HP-12C - Manual do Proprietário e Guia Para Solução de Problemas. 
 
7
 
⇒ LÓGICA RPN: Pilha operacional automática de quatro registros 
 (tecnologia HP e equivalentes). 
⇒ - LÓGICA ALGÉBRICA: Processamento algébrico 
 (tecnologia TEXAS e equivalentes). 
 
A diferença fundamental entre as duas está em que nas calculadoras Texas são utilizados 
parêntesis para indicar preferência de operações a serem realizadas e nas calculadoras HP, as 
operações vão se realizando à medida em que os números vão sendo introduzidos na 
calculadora e os resultados parciais são armazenados na pilha operacional automática que é 
deslocada para cima a cada instrução “ENTER”. 
 
 
 
TESTANDO A CALCULADORA: Este teste indicará se a sua calculadora está em perfeita 
condição de uso. Para iniciar o teste, a calculadora deverá estar desligada, obedecendo aos 
seguintes passos. 
1º Mantenha a tecla [ X] (vezes) pressionada; 
2º Pressione a tecla [ON]; 
3º Solte a tecla [X]; 
4º No visor aparecerá, por alguns segundos, a palavra “running”, apresentando logo 
em seguida a notação - 8,8,8,8,8,8,8,8, seguido de uma série de comandos. 
5º Ocorrendo, conforme o esperado, parabéns. Sua máquina se encontra em perfeito 
estado de uso, ou seja, a memória contínua da calculadora está operando normalmente. Caso 
contrário, procure uma assistência técnica. 
 
 
 
SEPARADORES DE DÍGITOS: A calculadora HP-12C, vem com o formato da notação 
americana para separadores entre a parte inteira de um número e sua parte fracionária. Este 
formato é representado por um ponto [ . ]. No caso brasileiro, a representação é dada pela 
vírgula. Assim para alterar o processo, seguiremos os seguintes passos. 
1º Estando a máquina desligada, pressione a tecla [ . ], mantendo-a pressionada; 
2º Em seguida, ligue a máquina, através da tecla [ON]. 
3º Solte a tecla [ . ]. 
Através desta combinação, possibilitou-se a alteração de ambos. 
 
 
 
REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO (“Memórias”): Ao registrar o número que 
está no visor, deve-se fornecer um número àquela memória, através das teclas STO Nº 
(Armazenar Números). Qualquer informação que estiver gravada neste registro será perdida, 
mediante a introdução de um novo número, neste caso o novo número ficará registrado sobre 
o antigo número. Ou ainda, através das teclas f Clear Reg. 
EXEMPLO.: 
 
 
8
Para recuperar um número ao registro x ( visor), deve-se processar o seguinte comando: 
(RECALL=RCL=Recuperando Números). Ou seja recuperar o que foi armazenado no 
comando anterior, através das teclas RCL Nº. 
***As máquinas calculadoras modelo C, possuem memória contínua, i.e., a informação nela 
armazenada, conserva-se mesmo que a máquina seja desligada. 
EXEMPLO.: 
 
 
 
TECLAS “CLEAR”: São teclas destinadas a limpar uma determinada função. 
CLX (Clear x) : torna o registro do visor igual a zero. x=0. 
f Clear PRGM : Apaga o programa introduzido. 
f Clear REG : Apaga TODOS os registradores, inclusive as memórias STO. 
f Clear PREFIX: cancela as teclas f, g, STO, RCL e GTO. Caso sejam anteriormente 
 apertadas. 
f Clear ∑∑∑∑ : Apaga os registradores estatísticos, os registradores da pilha operacional, 
e o visor. 
f Clear FIN : Apaga os registradores financeiros. 
 
 
AJUSTE DO NÚMERO DE DÍGITOS NO VISOR: 
f Nº : representa o número de dígitos a ser estabelecido no visor. 
f . : Coloca a calculadora no formatode apresentação do nº em Notação Científica. 
EXEMPLO.: 
 
 
 
A VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA MANTISSA: 
f CLEAR PREFIX. Para visualizar todos os números que compõem a mantissa, ou seja, 
armazenados internamente, sserão mostrados no visor, independentemente do tipo de notação 
escolhida por f nº. O tempo de amostragem dependerá do tempo em que a tecla PREFIX 
ficar pressionada. 
EXEMPLO.: 
 
 
 
AJUSTE DE POLARIDADE DO NÚMERO: 
CHS : (Change Sign = Troca o sinal = + ou -): Troca a polaridade do número no visor. 
EXEMPLO.: 
 
 
 
AS FUNÇÕES CALENDÁRIO: 
D.MY - M.DY --- FORMAÇÃO de DATAS. 
Referem-se ao formato de como as datas devem ser introduzidas ou fornecidas pela 
calculadora. No formato D.MY -- (Dia. Mês e Ano) -- os dois dígitos anteriores ao ponto 
 
9
indicam o dia. O mês é indicado pelos dois dígitos posteriores ao ponto. Os quatro algarismos 
que seguem ao mês relaciona-se o ano. A ordem acima é válida para resultados apresentados 
pela calculadora como para entrada de dados. 
 M.DY = MÊS.DIA ANO. 
 D.MY = DIA.MÊS ANO. 
 
No formato M.DY (Mês.Dia e Ano), a ordem de entrada de dados é alterada, sendo iniciada 
pelo mês, seguida de ponto-dia-ano. Na resposta fornecida pela calculadora, o número na 
extremidade direita indica o dia da semana. 
 
(1 = 2ª feira, 2 = 3ª feira, ......, 6 = sábado e 7 = domingo). 
 
g DAYS = NÚMERO de DIAS ENTRE 2 DATAS 
 
Calcula o número de dias entre duas datas. 
 Formatação da data; 
 Data mais antiga; 
 ENTER; 
 Data mais recente; 
 g Days. 
 
EXEMPLO.: 
 
 
 
 
 
 
 
g DATE - FORMAÇÃO de DATAS 
 
Determinar datas futuras ou passadas, sendo fornecido uma data base e o número de dias até a 
data que se procura (para datas no passado usa-se um número negativo para os dias). 
 Formatação da data; 
 Data base; 
 ENTER; 
 Número de dias; 
 g DATE. 
 
Desta forma, a função calendário permite obter a seguintes informações: 
* número real de dias entre duas datas; 
* data futura ou passada, correspondente a um número fixo de dias, tomando-se 
como base uma data especificada; 
* dia da semana correspondente a uma data futura ou passada. 
 
10
Todas essas informações podem ser obtidas pela sua calculadora para datas compreendidas 
entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046. E ainda, através da tecla X ⇔⇔⇔⇔ Y 
pode-se obter o número real de dias com base no ano de 360 dias. 
EXEMPLO.: 
 
11
FUNÇÕES MATEMÁTICAS: É importante observar que o número x, referido nas funções 
é o número que está aparecendo no visor x. 
 
g x extrai a raiz quadrada de um número X; 
EXEMPLO.: 
 
 
1/x eqüivale à divisão do número 1 por um número X - (1 / nº no visor); 
EXEMPLO.: 
 
 
Yx eqüivale Base Y elevado à Potência X; 
Eleva-se um número Y à Potência X. 
* número base; 
* ENTER; 
* Potência. 
* Yx 
EXEMPLO.: 
 
 
g Ln Logaritmo Natural (Ln). O significado desta mensagem é o de tornar, de 
certo modo, irrelevante a maneira particular de como um dado sistema de logaritmos L foi 
definido. Se chamarmos de base de um sistema de logaritmos L ao número a tal que L(a) = 
1, um modo popular de definir a função L:R+ →→→→ R consiste em por L(x) = y se, e somente 
se, ay = x, ou seja, chamar de logaritmo x na base a, ao expoente y, ao qual se deve elevar a 
base a para obter x. 
Exemplo.: 
Loga Y = X ⇒⇒⇒⇒ Y = aX ⇒⇒⇒⇒ Log Y = Log aX ⇒⇒⇒⇒ Log Y = x Log a 
 
 
 
 
g ex antilogarítmo de x. É o processo inverso do item visto anteriormente. 
EXEMPLO.: 
 
 
12
ANÁLISE COMBINATÓRIA2 
 
 
FATORIAL DE UM NÚMERO: Matematicamente, determina-se o Fatorial de um 
Número, ou seja, n! 
 
PERMUTAÇÃO: A partir de um conjunto de n elementos podem ser formados subconjuntos 
compostos pelos mesmos elementos, apenas distinguidos pela ordem em que os mesmos 
aparecem. 
 
EXEMPLO 01: Quantos números distintos, com 3 algarismos cada, podemos formar com os 
dígitos: 1, 2 e 3, sem que nenhum dígito seja repetido em cada número ? 
 
A partir do conjunto 1, 2, 3 podemos formar os seguintes números: 123, 132, 213, 231, 312 e 
321, ou seja: 6 números. Neste caso, dizemos que se trata de uma permutação de 3 elementos, 
ou seja, n = 3. A solução é representada pela seguinte expressão: 
 
Pn = n! (lê-se n fatorial) 
Pn = 3! ⇒⇒⇒⇒ 3 x 2 x 1 = 6 
 
Na sua calculadora, fazer como segue: 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
3 g n ! 6,00 quantidade de números distintos que se 
 pode formar com os dígitos 1, 2 e 3. 
 
EXEMPLO 02: Cinco amigos saem de férias numa longa viagem de automóvel. Todos eles 
sabem dirigir. De quantas maneiras distintas poderão sentar-se no automóvel esses cinco 
amigos ? R = 120. 
 
 
 
EXEMPLO 03: Quantos números distintos com 6 - 8 e 10 algarismos podemos formar com 
os dígitos de 0 a 5 - 0 a 7 - 0 a 9 ? 
 
 
 
ARRANJOS: O conceito de arranjos é semelhante ao de permutação. A partir de um conjunto 
de n elementos podem ser formados subconjuntos compostos por m elementos, apenas 
distinguidos pela ordem em que aparecem, onde n e m são números inteiros, sendo n > m. 
 
EXEMPLO 01:: Quantos números distintos com 2 algarismos cada podemos formar com os 
dígitos 1, 2, 3 e 4, sem que nenhum dígito seja repetido em cada número ? 
 
 
2
 SOBRINHO, Vieira. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C. 2ª Ed. Edit Atlas. SP. 1996. p.163 
 
13
A partir do conjunto 1, 2, 3 e 4, podemos formar os seguintes números com 2 dígitos cada: 12, 
21, 13, 31, 14, 41, 23, 32, 24, 42, 34 e 43, ou seja, 12 números. Neste caso, dizemos que se 
trata de um arranjo de 4 elementos considerados 2 a 2. A solução é representada pela 
expressão: 
 
A n, m = n ! 
 (n - m) ! 
 
A 4, 2 = 4 ! = 4 ! = 4 x 3 x 2 1 = 12 
 (4 - 2) ! 2 ! 2 x 1 
 
Na sua calculadora a solução é obtida como segue: 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
4 g n ! 24,00 Fatorial de 4. 
2 g n ! ÷÷÷÷ 12,00 Quantidade de nºs distintos com 2 
 algarismos cada que se podem 
 formar com os dígitos 1, 2, 3 e 4. 
 
EXEMPLO 02: De quantas maneiras 8 pessoas podem sentar-se num banco, se existem 
somente 8 lugares disponíveis ? R = 1.680 
 
 
 
EXEMPLO 03: Um campeonato de futebol é disputado por 16 clubes. De quantas maneiras 
distintas esses clubes podem classificar-se nos 3 primeiros lugares ? R = 3.360 
 
 
 
COMBINAÇÕES: Neste caso, a ordem em que os elementos aparecem não tem nenhuma 
importância. Entende-se por combinações os subconjuntos de m elementos formados a partir 
do conjunto de n elementos sem se observar ordem alguma. 
 
EXEMPLO 01: A partir dos dígitos 1, 2, 3 e 4, formar grupos distintos de números com 2 
algarismos cada, em que os grupos difiram entre si apenas pelos dígitos que os compõem, sem 
se levar em conta a ordem dos mesmos. 
 
A partir do conjunto 1, 2, 3 e 4, podemos formar os grupos 1, 2: 1, 3: 1, 4: 2, 3: 2, 4: e 3, 4: ou 
seja, 6 grupos. Neste caso o grupo 2, 1 seria igual ao grupo 1, 2. O número de combinações 
possíveis é dado, genericamente, pela seguinte expressão: 
 
C
 n, m = n ! ⇔ C 4, 2 = 4 ! = 6 
 (n - m)! m! (4 - 2)! 2! 
 
 
 
14
EXEMPLO 02: Uma escola deseja formar uma comissão de 4 professores entre um grupo de 
9 selecionados. De quantas maneiras distintas a comissão pode ser formada ? R = 126 
 
 
FUNÇÕES AUXILIARES 
 
g FRAC parte fracionária do nº. 
Somente é considerada a parte fracionária do número. A parte inteira é desprezada. 
Exemplo.: 
 
 
g INTG parte inteira do número. 
Somente é considerada a parte inteira do número. A parte fracionáriaé desprezada. 
Exemplo.: 
 
 
f RND arredondamento de números. 
Quando o número de dígitos mostrado no visor é alterado pelas teclas f Nº, o número 
armazenado internamente permanece o mesmo, continuando a ser armazenado com todos os 
dígitos de que é composto. 
Exemplo.: 
 
 
 
A tecla RND arredonda o número armazenado para o número de casas, após a vírgula, que o 
visor foi ajustado por f Nº. 
Exemplo.: 
 
 
 
 
X ⇔⇔⇔⇔ Y Rearranjando os Números na Pilha Operacional. Troca o conteúdo dos registros 
x e y. 
Exemplo.: 
 
 
 
 
15
A TECLA R ⇓⇓⇓⇓ : Quando a tecla R ⇓⇓⇓⇓ (Roll down = girar para baixo) é pressionada, o 
conteúdo de cada um dos registradores da pilha operacional é copiado no registrador 
imediatamente inferior. 
 
16
CÁLCULOS COM O AUXÍLIO DA PILHA OPERACIONAL3 
 
A pilha operacional automática, é um sistema formado por quatro registradores, que são 
utilizados durante o processamento para guardar resultados intermediários durante o cálculo. 
Cada registrador pode guardar somente um número, não importando a sua grandeza (exemplo: 
o número 7 e o número 2.428.130 ocupam, cada um, a totalidade de um registro). Os quatro 
registradores operam como se estivessem empilhados na ordem x, y, z e t sendo o registrador 
x sempre mostrado na tela do visor. 
 
 
 
R ⇓⇓⇓⇓ t R ⇓⇓⇓⇓ = Roll Down 
 z (girar para baixo) 
 y 
 x Visor 
 
 
 
Para verificar o conteúdo de todos os registradores da pilha é utilizada a tecla R ⇓⇓⇓⇓ que, 
quando pressionada eqüivale a transferir o conteúdo de cada registrador imediatamente 
abaixo. Os registradores operam como memorizadores de resultados intermediários, evitando 
desta maneira a transcrição de resultados parciais ao papel, o que pode resultar em erros. 
Numa operação de adição entre dois números, a posição dos registradores fica: 
 
 
 
t 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
z 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 
y 0.00 0.00 3.00 3.00 0.00 
x 0.00 3.00 3.00 2.00 5.00 
 
f CLEAR REG 3 ENTER 2 + 
 
 
 
Ou seja, inicialmente são carregados os dois registradores necessários à operação e no instante 
em que a soma é realizada o resultado aparece no visor x, sendo perdido o conteúdo anterior 
dos registradores. Quando aconteceu a soma, foi esvaziado o conteúdo do registrador y, que 
agora vai copiar o que havia no registrador z, o qual vai copiar o que havia no registrador t. 
Na análise da operação (10 + 6) x (7 - 2), observe como o número de registros utilizados 
sempre 8 é o mínimo possível, pois os cálculos parciais vão 
se realizando à medida com que são introduzidos na calculadora. 
 
 
 
3
 Manual do Proprietário e Guia Para Solução de Problemas. p.193. 
 
17
 
 
TECLAS OPERAÇÃO Nº DE REGISTROS CONTEÚDO 
 UTILIZADOS X Y Z T 
 
10 01 10 0 0 0 
ENTER 10 0 0 0 
6 02 06 10 0 0 
+ (10 + 6) = 16 01 16 0 0 0 
7 02 07 16 0 0 
ENTER 07 07 16 0 
2 03 02 07 16 0 
- (7 - 2) = 5 02 05 16 0 0 
x 16 x 5 = 80 01 80 0 0 0 
8 02 08 80 0 0 
÷ 80 ÷ 8 = 10 01 10 0 0 0 
 
 
 
A TECLA LAST x: g LAST x é um registrador auxiliar, que armazena o último valor que o 
visor mostrava antes de ser realizada a operação. Este registrador adicional, facilita a correção 
de erros, sendo bastante útil, quando se trabalha com números extensos ou longos cálculos. 
Realizada a operação entre os números dos registradores x e y, LAST x recupera o último 
número mostrado no visor (registro x) e operando de maneira inversa ao cálculo realizado 
podemos chegar ao valor que apresentava o registro y antes de ser realizada a operação. 
Obtido o valor de y, entra-se com o valor correto de x e realiza-se a operação. 
Exemplo.: 
 
 
 
SOMATÓRIO: ∑∑∑∑+ e ∑∑∑∑-: A tecla ∑∑∑∑+ é muito utilizada para cálculos estatísticos. 
Através dela é possível acumular várias somas distintas de valores introduzidos em sua 
calculadora. O processo é simples. Primeiro introduz-se a quantidade referida, pressionando-
se a tecla ENTER. Logo em seguida, o valor equivalente, acionando a tecla vezes e 
armazenando em ∑∑∑∑+. Por último, pede-se RCL 1 para confirmar a quantidade de dados 
inseridos e RCL 2 para confirmar o somatório dos dados. 
Exemplo.: 
 
 
 
 
 
ENTRADA DE EXPOENTE DE 10: Essa tecla é usada para operações com grandes 
números. Informar à calculadora o número inteiro, em seguida pede-se EEX , no visor 
aparecerá a conotação científica, o qual deve-se digitar o referido expoente. 
Exemplo.: 
 
18
 
 
 
 
DEPRECIAÇÃO: Os bens que constituem o ativo de uma empresa estão sujeitos a 
constantes desvalorizações, devido, principalmente, ao desgaste e ao envelhecimento. 
A diferença entre o preço de compra de um bem e seu valor de troca (valor residual) no 
fim de certo tempo, chama-se depreciação. A HP-12C efetua cálculos de depreciação de 
bens de acordo com três critérios: 
 
CRITÉRIO LINEAR: SL ⇒⇒⇒⇒ Este é o mais utilizado na prática devido a sua simplicidade. 
Consiste em dividir o total a depreciar pelo número de anos de vida útil do bem. Ou seja:
 D = (ΣΣΣΣx - R) ÷÷÷÷ n onde: 
D = Depreciação R = Residual n = vida útil do bem Σx = Vlr. do bem 
EXEMPLO: Qual o valor de depreciação mensal de uma máquina, de vida útil de 60 meses, 
cujo valor de compra é de R$.20.000,00, sem valor residual no final ? E com valor residual no 
final de R$.2.000,00, qual será a cota de depreciação mensal ? 
 
 
 
CRITÉRIO DA SOMA DOS DÍGITOS: SOYD ⇒⇒⇒⇒ Também chamado de método de 
Cole. Consiste em dividir o total da depreciação em frações, tais que o numerador expresse os 
períodos que faltam para o final da vida útil do bem e o denominador represente o somatório 
dos períodos. Ou seja: D = ΣΣΣΣx ÷÷÷÷ (1 + 2 + 3 + ... + n) 
EXEMPLO: Resolver o exercício anterior, mas, considerando a vida útil do bem como sendo 
de 5 anos. 
 
 
 
CRITÉRIO DO DECLÍNIO EM DOBRO: DB ⇒⇒⇒⇒ Este modelo consiste em depreciar o 
bem num tempo menor (200%), devido ao uso das máquinas. Como exemplo, temos o caso 
das siderúrgicas, usinas de álcool, etc. 
EXEMPLO: Idem para o exercício anterior. 
 
 
19
 
 
 
 
DEMAIS TECLAS E FUNÇÕES: A utilização da tecla AMORT , que se refere à 
amortização de um financiamento ou empréstimo, em pagamentos iguais e consecutivos, será 
facilmente entendida pelo usuário, ao examinar o capítulo em que tratamos o Sistema Price 
(Sistema Francês de Amortização). As teclas CFo, CFj, Nj, NPv e IRR, que são utilizadas 
para a determinação do valor presente líquido NPV ou Taxa Interna de Retorno (TIR) IRR 
de um fluxo de caixa, estão sendo explicadas e discutidas no decorrer do curso. Quanto às 
instruções MEM, R/S, PSE, SST, BST, GTO, X<Y e X=0, que se referem à parte de 
programação, elas serão explicadas no momento em que se iniciar o processo de 
aprendizagem de programação. 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DE PORCENTAGENS: Os três tópicos a serem discutidos a seguir requer que 
haja total atenção no processo de aprendizagem, pois além de ser muito utilizado no dia-a-dia, 
exige completa compreensão por parte do profissional em matemática financeira. 
 
 
% PORCENTAGEM 
 
 
Calcula a percentagem de um número: 
 
- Número Base; 
- ENTER; 
- Valor da Porcentagem; 
- %. 
 
 
EXEMPLO.: Calcular 15% de R$.2.000,00. 
- 2.000,00 
- ENTER 
- 15 
- %.= 300,00. 
 
 
OBS.: O número base fica armazenado no registro y. 
% + ou % - TOTAL LÍQUIDO. 
EXEMPLO.: 
 
 
20
 
 
 
 
Procedimento análogo ao para % com a introdução da teclas (+) para somar o valor da 
porcentagem com o número base e (-) para subtrair o valor da porcentagem do número base. 
EXEMPLO: Qual o valor de um produto cotado a R$.5.000,00 e que é acrescido de uma taxa 
de 10% relativa a impostos? 
 
- 5.000,00 
- ENTER 
- 10 
- % 
- + = 5.500,00 
 
 
EXEMPLO.: Qual o preço líquido de um produto vendido a R$.1.000,00 com um desconto 
de 13%? 
 
- 1.000,00 
- ENTER 
- 13 
- % 
- - = 870,00 
 
 
 
 
 
 
 % VARIAÇÃO % ENTRE DOIS NÚMEROS 
 
 
 
Calcula a diferença percentual existente entre dois números. O resultado pode ser positivo ou 
negativo, indicando respectivamente acréscimos ou decréscimos. 
 
TOTAL ANTIGO 
ENTER 
TOTAL NOVO 
 % 
 
 
 
EXEMPLO.: O preço do grama de ouro alterou-se de R$.11,68 para R$.11,93. Calcular a 
variação percentual. 
 
 
21
11,68 
ENTER 
11,93 
 % 
 
 
 
 
 
EXEMPLO.: Calcular o percentual da variação em uma ação de empresa que teve seu preço 
alterado de R$.12,53 para R$.10,48. 
 
12,53 
ENTER 
10,48 
 % 
 
EXEMPLO.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
%T PORCENTAGEM DO TOTAL 
 
 
Calcula a porcentagem equivalente de uma parte em relação a um total líquido qualquer. 
 
 
EXEMPLO.: Calcular a soma dos valores R$.550,00, R$.298,50 e R$.374,20 e a participação 
percentual de cada um deles no total. 
 
550 ENTER 
298,50 + 
374,20 + = 1.222,70 
550 %T = 44,98% 
Clx 298,50 = 24,41% 
Clx 374,20 = 30,60% 
 
 
 
 
22
 
 
 
 
 
O valor do total fica armazenado no registro y. Para determinar os outros percentuais, limpe o 
visor (CLX), introduza o número e ache %T. 
 
23
EXERCÍCIOS: 
 
1.OPERAÇÕES ARITMÉTICAS: 
51.734 + 11.222 = 62.956 
9.500 - 374 = 9.126 
336 / 3 = 112 
97,3 x 32,6 = 3.171,98 
 
 
2.OPERAÇÕES MATEMÁTICAS: 
 484 = 22 
23 = 8 
1 / 125 = 0,008 
(1,01)12 = 1,1268 
ln 1,1268 = 0,1193 
12 x ln (1,01) = 0,1194 
ln 32 = 3,4657 
e2 = 7,3890 
3 ! = 6 
10 ! = 3.628.800 
 
 
 
3.DAR O RESULTADO DE: 
210 = 1.024 
(3,42)3 = 40 
(25)0,5 = 5 
(10 + 15) + 32 = 34 
(13 - 4) x 7 = 63 
(10 + 3) x (82 + 44) = 1.638 
7 x (5 + 6) = 77 
(2 + 3) x (4 + 5) = 45 
(2 x 3) + (4 x 5) = 26 
 
24
(17 - 19) x (64 - 35) = -58 
(17)2 + (3)4 + 7 = 372,64 
32 x 44 - 3 x (17 + 383) = - 18,40 
 5 4 
(17,32 + 3)3 = 8.390,17 
2ex x 3.Ln = 8,117708 
(11 + 6) ÷ 3 = 5,666667 
[(32) x (3 - 7)] = -36 
54 = 625 
7 3 = 343 
raiz cúbica de 27 = 3 
raiz sétima de l42 = 2,0298 
raiz sexta de 87 = 2,1050 
raiz quinta de 347 = 3,2215 
6 elevado a sétima potência = 279.936,00 
3 elevado a sexta potência = 729 
raiz quadrada de 144 = 12 
raiz quadrada de 225 = 15 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Numa firma está sendo vendido toalha de banho, mesa e cama. Se for adquirido 
quantidades de: 15 unidades para toalha de banho; 75 unidades para toalha de mesa e 250 
unidades/cama, a um custo de R$.4,38 a unidade, quanto seria o total a pagar para cada 
quantidade, respectivamente? 
 
Neste caso, pode ser resolvido, através de duas maneiras, dado que a calculadora possui o 
recurso tecnológico da pilha operacional. Assim: 
 
1º Modelo. 2º Modelo. 
 
TECLAS VISOR TECLAS VISOR 
 
15 ENTER 15,00 4,38 E E E 4,38 
4,38 4,38 15 15 
 x 65,70 x 65,70 
75 75 CLX 75 75 
g last x 4,38 x 328,50 
 
25
 x 328,50 CLX 250 250 
250 250 x 1.095 
g last x 4,38 
 x 1.095,00 
 
26
 
CAPÍTULO II 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES4 
 
 
O conceito de Capitalização Simples abrange cálculos efetuados basicamente na 
determinação de Juros Simples e Montante, quando este refere-se ao mesmo em questão e, 
pelos cálculos efetuados nos Descontos Simples. 
 
CAPITAL: É qualquer valor expresso em moeda e disponível num determinado período de 
tempo. Simbologia Pv, ou seja, valor presente. 
 
JUROS: Juro é a remuneração do capital aplicado (o aluguel pago (a terceiros) pelo uso do 
dinheiro). Nas operações financeiras, “valor dos juros” pode ser entendido como a diferença 
entre o capital total final e o capital aplicado, no fim de um determinado período de tempo. 
Simbologia J. 
 
TAXA DE JUROS: Taxa de juros (a simbologia usada será i ), é a razão entre os juros 
recebidos (ou pagos) no fim de um período e o capital inicialmente aplicado. Simbologia i. 
 
i = J* i = taxa de juros 
 Pv J = valor dos juros 
 Pv = capital inicial 
 
*** A taxa de juros será dada para o período em que o capital rendeu juros. A taxa de juros 
está sempre relacionada a uma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano,...). 
 
JUROS SIMPLES: O valor dos juros é calculado tomando como base somente o capital 
inicial, não levando em consideração - os valores dos juros acumulados (os “juros sobre 
juros”). O valor dos juros simples é dado pela fórmula: 
 
J = Pv x i x n 
 
J = valor dos juros n = prazo, período 
Pv = capital principal i = taxa de juros (*) 
 
(***) Importante: Na fórmula, deve-se entrar com o valor dos juros por 1 unidade de capital, 
ou seja, (i/100). 
 
JUROS PERCENTUAIS: São os valores dos juros, tomados como referência 100 unidades 
(i/100). 
 
4
 FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. São Paulo. 1994. p. 09. 
 
27
Exemplos: 
i = 0,30 i = 0,30 x 100 i = 30% 
i = 52% i = 52/100 i = 0,52 
i = 5% i = i = 
i = 17,43% i = i = 
i = 0,032 i = i = 
i = 0,84% i = i = 
i = 0,07 i = i = 
 
 
Desta forma, ao utilizar a simbologia %, tem-se um TAXA PERCENTUAL. Caso 
contrário, tem-se uma TAXA CENTESIMAL, onde nada mais é do que a Taxa % dividido 
por 100. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
1) De quanto será o juro simples, em um empréstimo de R$.350,00, por 3 meses, a uma taxa 
de 6,5% a.m.? R = R$.68,25. 
 
 
 
 
 
2) Qual foi a taxa de juros mensal, segundo a qual, se cobrou juros simples de R$.670,00 por 
um empréstimo de R$.3.300,00 por um período de 1 ano. E ao mês? R = 20,30% a.a. = 
1,69% a.m. 
 
 
 
 
 
 
3) Qual o capital que aplicado a 14,66% a.t., rendeu juros simples de R$.1.000,00 ao final de 
3 trimestres? R = R$.2.273,76 
 
 
 
 
 
 
28
 
4) Determinar em quanto tempo um investidor consegue obter R$.1.100,00 de juros, se aplicar 
R$.2.619,00 em regime de capitalização simples, a uma taxa de 6% a.m.? R = 7 meses 
 
 
 
 
 
5) Qual o capital que, aplicado a 120% a.a., rendeu juros simples de R$.850,00, em nove 
meses? R = R$.944,44 
 
 
 
 
 
6) A que taxa de juros, após 19 meses de aplicação, um investimentode R$.3.500,00, terá seu 
valor triplicado? R = 10,53% a.m. 
 
 
 
 
 
7) Calcular o valor do capital, que aplicado a juros simples, à taxa de 100% a.a., por um 
período de 3 anos e 6 meses (3,5 anos), produz de juros R$.7.777,78 R = R$.2.222,22 
 
 
 
 
 
8) Em quanto tempo, um capital aplicado a juros simples de 92% a.a., dobra seu valor? R = 
1,0869 anos = 13,043 meses = 391,3 dias 
 
 
 
 
 
9) Qual foi a taxa mensal de juros, numa aplicação de R$.5.000,00, em regime de 
capitalização simples, por um período de 3 meses, onde obteve-se R$.1.120,00 de juros?R = 
7,46% a.m. 
 
 
 
 
 
10) Em quanto meses, um capital de R$.250,00, a juros simples de 12% a.a., produz juros de 
R$.21,25 ? R = 8,5 meses. 
 
29
MONTANTE: 
 
É o valor que obteremos ao fim de uma aplicação, ou seja, o capital inicial, acrescidos 
dos juros relativos ao período. 
 
Fv = Pv + J 
 
Fv = Pv + J Fv = montante 
Fv = Pv + Pv x i x n Pv = capital 
Fv = Pv x ( 1 + i x n) J = juros 
 
 
EXEMPLO 
 
Qual o valor dos juros recebidos em uma aplicação de R$.1.000,00, no período de 75 
dias, considerando-se que o regime é de capitalização simples e a taxa é de 7% ao mês. 
Pv = 1.000,00 J = Pv x i x n 
n = 75 dias = 2,5 meses J = 1.000,00 x 0,07 x 2,5 
i = 7% a.m. = 0,07 a.m J = 175,00 
J = ? 
 
Fv = Pv + J = 1.000 + 175 = 1.175,00 
 
De quanto será o juro simples, em um empréstimo de R$.700,00, por 6 meses, a uma 
taxa de 3% a.m.? Qual será o montante final? R = R$.126,00. 
 
 
 
 
Qual o montante final, para um capital de R$.1.000,00, que aplicado a 14,66% a.t., ao 
final de 3 trimestres? R = R$.1.439,80 
 
 
 
 
Para uma aplicação de R$.200,00 no início do mês de janeiro, onde os depósitos voltam 
a se repetir durante 3 meses seguidamente, numa poupança, considerando uma taxa de juros 
para o primeiro mês de 1,38% - segundo mês 1,45% - terceiro mês 1,27% e quarto mês 
1,32%, qual será ovalor acumulado no final? 
* E se após o quarto depósito, houver uma carência de 3 meses, considerando uma taxa 
estável de 1,5% a.m., qual será o novo valor acumulado ? 
* E se caso houver mais dois novos depósitos de R$.200,00, qual será o valor 
acumualdo no final. 
 
 
30
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Qual o valor do resgate de uma aplicação de R$.50.000,00 por uma prazo de 6 meses, 
considerando-se a taxa de 4% a.m., em regime de capitalização simples? 
 
Fv = ? Fv = Pv + J 
Pv = 50.000,00 Fv = Pv + Pv x i x n 
n = 6 meses Fv = 50.000 + 50.000 x 0,04 x 6 
 
i = 4% a.m. = 0,04 a.m. Fv = 62.000,00 
 
Fv = Pv x (1 + i x n) 
Fv = 50.000 x ( 1 + 0,04 x 6) 
 
Fv = 62.000,00 
 
2) Qual o investimento necessário para que em seis meses, uma aplicação à taxa de 8% a.m., 
em regime de capitalização simples, tenha-se disponível R$.50.000,00? R = 
R$.33.783,78 
 
 
3) Qual a taxa mensal necessária para remunerar um capital de R$.30.000,00, numa aplicação 
a juros simples, de tal maneira que após 5 meses tenhamos disponível R$.42.000,00? R = 
8% a.m. 
 
4) Qual o montante de um capital de 80 u.m., aplicado durante 3 meses e 17 dias, a taxa de 
18% a.a.? R = R$.84,28. 
 
 
 
5) Calcular o valor de resgate de um investimento de R$.5.300,00 por 134 dias, pela taxa de 
93% a.a., a juros simples? R = R$.7.134,68 
 
 
 
6) Quantos dias levará para uma aplicação de R$.1.700,00 proporcionar ao seu aplicador um 
montante de R$.2.210,00 em regime de capitalização simples, à taxa de 72% a.s.? R = 
2,5 meses = 75 dias 
 
 
 
7) Determinar os juros de um capital de 700 u.m., a 15% a.a., durante 8 meses? R = 
R$.70,00 
 
 
 
 
31
8) Qual o montante de um capital de 600 u.m., aplicado a 16% a.a., durante 9 meses? R = 
R$.672,00 
 
9) Qual o capital que produz o montante de 285 u.m., a 28% a.a., durante 6 meses? R = 
R$.250,00 
 
 
 
 
10) Determinar os juros de um capital de 300 u.m., a 24% a.a., durante 2 meses e 28 dias?
 R = R$.17,60 
 
 
 
 
 
11) Qual o capital que aplicado a 3% a.m., produz em 5 meses, juros simples de R$.120,00? 
 R = R$.800,00. 
 
 
 
 
 
12) Um capital de R$.100,00 foi aplicado a taxa de 2,7% a.m., durante 20 dias. Calcular os 
juros simples desta aplicação? R = R$.1,80 
 
 
 
 
 
13) Um capital aplicado no valor de R$.12.000,00, a uma taxa de 42,6% a.a., po um prazo de 
seis meses. Qual é o montante final? R = R$.14.556,00 
 
 
 
 
 
14) De quanto será o montante final para um capital de R$.22.000,00, se aplicado para um 
prazo de 2,6 meses, a uma taxa de juros de 6,36% a.m.? R = R$.25.637,92 
 
 
 
 
 
15) Caso você venha aplicar um capital no valor de R$.15.000,00, para um prazo de 99 dias, 
considerando uma taxa de juros de 0,156% ao dia, qual será o valor do resgate final? R = 
R$.17.316,60 
 
32
 
TECLA INT: 
EXEMPLO 01: Um bom amigo necessita de um empréstimo para começar um negócio. 
Assim, lhe pede R$.450,00 emprestados para 60 dias. O negócio é realizado a uma taxa de 
juros simples de 7% a.a., calculado com base em 360 dias. Qual o montante a pagar? 
 
 TECLAS VISOR 
 60 n 60,00 
 7 i 7,00 
 450 CHS Pv -450,00 
 f INT 5,25 
 + 455,25 
 
Mas, o seu amigo requer que o pagamento dos juros, seja efetuado com base em 365 dias e 
não em 360 dias, como havia combinado. Qual o valor dos juros? 
 
 TECLAS VISOR 
 60 n 60,00 
 7 i 7,00 
 450 CHS PV -450,00 
 f INT R ⇓ X ⇔ Y 5,1781 
 + 455,17 
 
60 n 7 i 450 CHS PV f INT R ⇓ X ⇔ Y 5,178 + 
 
TECLA AMORT: 
EXEMPLO 01:Um empréstimo de R$.30.000,00, deve ser liquidado em 4 prestações 
mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira prestação, vence um mês após a data do 
contrato. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada nessa operação é de 10% a.m. Calcular o 
valor das prestações, os valores das parcelas de amortização e dos juros de cada prestação e o 
saldo devedor após cada pagamento. A seguir, apresenta-se a sequência dos dados a serem 
inseridos na calculadora. 
 
TECLAS VISOR 
f Clear Reg 1 f AMORT 
30.000 CHS Pv 3.000,00 
4 n X ⇔ Y 6.464,12 
10 i 
PMT RCL Pv 23.535,88 
9.464,12 1 f AMORT 
 2.535,59 
 X ⇔ Y 7.110,32 
 
 RCL Pv 16.425,35 
 1 f AMORT 
 1.642,54 
 
33
 X ⇔ Y 7.821,58 
 
34
CAPÍTULO III 
 
DESCONTOS SIMPLES5 
 
CONCEITO: 
Quando um título de crédito (duplicata, nota promissória, letra de câmbio) é resgatado antes 
de seu vencimento, ele sofre um abatimento, que é denominado desconto. 
Um título possui um valor, chamado nominal, a ele declarado, que corresponde ao seu valor 
no dia do vencimento. Antes disso, o título pode ser resgatado por um valor menor que o 
nominal, sendo denominado valor atual ou valor presente. 
Chama-se desconto simples o cálculo efetuado sobre um único valor do título (nominal ou 
atual). Se for calculado o valor nominal, é chamado desconto comercial ou “por fora” e, se 
for sobre o valor atual, é chamado desconto racional ou “por dentro”. 
 
CÁLCULO DOS DESCONTOS SIMPLES 
 
Desconto comercial ou “por fora”: 
O desconto comercial (ou “por fora”) eqüivale ao cálculo dos juros simples, onde o capital 
corresponde ao valor nominal do título. 
Denominando: 
d o desconto comercial. 
Fv o valor nominal do título. 
i taxa de juros. 
 
d = Fv x i x n 
 
EXEMPLOS: 
EXEMPLO 01: Uma duplicata de valor nominal equivalente a 200 u.m. foi resgatada três 
meses antes do seu vencimento, à taxa de 9% a.a. Qual o desconto? 
 
d = Fv x i x n d = 200 x 0,0075 x 3 d = 4,50 
 
EXEMPLO 02: Um título de 320 u.m. foi resgatadoum mês e 23 dias antes do vencimento, à 
taxa de 18% a.a. Qual o desconto? R = d = 8,48 
 
 
VALOR ATUAL ou VALOR PRESENTE: 
O valor atual ou valor presente de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. 
Denominando An o valor atual, temos: 
 
Pv = Fv - d 
Como d = Fv i n 
Pv = Fv - Fv i n 
 
5
 FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. São Paulo. 1994. p. 16. 
 
35
Pv = Fv x (1 - i n) 
EXEMPLOS: 
 
01.Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a 120,75 u.m., à taxa de 
6% a.a., 4 meses antes do vencimento? 
 
Pv = Fv (1 - i n) 
Fv = 120,75 
 i = 0,005 (0,5% a.m.) 
 n = 4 (meses) 
Pv4 = 120,75 (1 - 0,005 x 4) 
Pv4 = 118,34 
 
R = R$.118,34 
 
02.Uma letra de câmbio de valor nominal igual a R$.480,00, foi resgatada 2 meses e 26 dias 
antes do vencimento, a 1,2% a.m. Qual o valor do resgate? R = R$.463,49 
 
 
 
DESCONTO RACIONAL ou “por dentro”: 
 
O desconto racional ou “por dentro” eqüivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do 
título. Denominando d’ o desconto racional, temos: 
 
d’ = Pvn i n 
 
Entretanto, nessa equação há duas incógnitas, pois d’ e An são valores desconhecidos. Mas, 
sendo o valor atual a diferença entre o valor nominal e o desconto, pode-se substituir, na 
fórmula acima, An por N - d’. Dessa forma, 
 
d’ = (Fv - d’) i n 
d’ = Fv i n - d’ i n 
d’ + d’ i n = Fv i n 
d’ (1 + i n) = Fv i n 
 
 
 
 
EXEMPLO 01: Determinar o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a 
135 u.m., pago 2 meses antes do vencimento, a taxa de 1% a.m.? R = d’ = 2,65 
 d’ = Fv i n , 
 1 + i n 
 
36
 
 
 
EXEMPLO 02: Um título de 200 u.m. sofreu um desconto racional de 20% a.a., 4 meses e 12 
dias, antes do seu vencimento. Qual o valor do desconto? R = d’ = 13,66 
 
 
 
VALOR ATUAL ou VALOR PRESENTE: 
 
Sendo o valor atual a diferença entre o valor nominal e o desconto, temos: 
 
Pv = Fv - d’ 
 
Substituindo d’ pelo seu valor Fv i n , 
 1 + i n 
 
Pv = Fv - Fv i n , 
 1 + i n 
Pv = Fv (1 + i n) - Fv i n 
 1 + i n 
Pv = Fv + Fv i n - Fv i n 
 1 + i n 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 01: Qual o valor atual de um título de valor nominal equivalente a 180 u.m., 3 
meses antes do vencimento, pelo desconto racional de 2% a.m.? R = R$.169,81 
 
 
 
EXEMPLO 02: Um título de valor nominal igual a 75,40 u.m. sofreu um desconto racional 
de 1,5% a.m., 1 mês e 17 dias antes do seu vencimento. Qual o valor atual? R = R$.73,67 
 
 
 
 
COMPARAÇÃO entre DESCONTO COMERCIAL e DESCONTO RACIONAL 
 
 
Consideremos as fórmulas gerais para o cálculo dos dois descontos: 
 
 Pv = Fv , 
 (1 + i n) 
 
37
 
 d = Fv i n d’ = Fv i n , 
 1 + i n 
 
Uma simples comparação das duas fórmulas permite verificar que o desconto comercial é 
sempre maior que o racional, pois este é obtido dividindo-se o desconto comercial pela 
expressão 1 + i n. Assim. 
 
d - d’ = Fv i n - Fv i n , 
 1 + i n 
d - d’ = Fv i n (1 + i n) - Fv i n 
 1 + i n 
Substituindo Fv i n por d, 
 
d - d’ = d (1 + i n) - d 
 1 + i n 
 
d - d’ = d + d i n - d 
 1 + i n 
 
d - d’ = d x i x n 
 1 + i n 
 
d - d’ = d’ i n 
 
 
Atualmente, na prática, apenas o desconto comercial é utilizado. Entretanto, seu emprego é 
para operações de curto prazo; para prazos longos, seu cálculo se torna impraticável, pois o 
valor do desconto se torna tão elevado que pode, inclusive, ultrapassar o próprio valor 
nominal do título. O gráfico a seguir, mostra uma comparação entre os descontos comercial e 
racional em função do tempo de vencimento de um título. 
 
 
 
 d 
 
 
 N 
 
 
 
 d’ 
 
 0 
 
38
 1 n 
 i 
 
FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7 ª edição. Editora Atlas. 1994. p.23 
 
Pode-se verificar que quando o número de períodos necessários para o vencimento do título 
for igual a 1 , o valor do desconto comercial é igual ao valor nominal do título, 
 i enquanto que, o desconto racional é exatamente a metade do valor nominal. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - (Juro Simples e Desconto Simples) 
 
01. Calcular os juros de um capital financeiro igual a 500 u.m., à taxa de 2% a.m., durante 1 
ano e 3 meses? R = 150 u.m. 
 
 
 
02. Um capital financeiro produziu juros equivalentes a 32 u.m., em 5 meses, a taxa de 15% 
a.a. Qual o valor do capital inicial? R = 512 u.m. 
 
 
 
03. A que taxa um capital financeiro de 3.200 u.m. produzirá o montante de 4.184 u.m., em 10 
meses? R = 3,07% a.m. 
 
 
 
04. Durante quanto tempo o capital financeiro de 840 u.m., renderá 168 u.m. de juros, à taxa 
de 10% a.a.? R = 2 anos. 
 
 
 
05. Qual o desconto comercial de uma duplicata de valor nominal equivalente a 220 u.m., 
resgatada 3 meses antes do vencimento, à taxa de 18% a.a.? R = 9,90 u.m. 
 
 
 
06. Uma nota promissória de 860 u.m. foi paga 3 meses e 15 dias antes do vencimento com 
desconto comercial de 1,5% a.m. Qual o valor do resgate? R = 814,85 u.m. 
 
 
 
07. O valor atual de um título, pelo desconto comercial de 2% a.m., 5 meses antes do 
vencimento, é igual a 720 u.m. Qual o valor atual desse título pelo desconto racional? 
R = 727,27 u.m. 
 
 
 
 
39
08. Um título de R$.400,00, vencível em 2 meses foi negociado à taxa de 3,5% a.m.. Qual o 
valor do desconto comercial?. R = R$.28,00 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO IV 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA6 
 
 
INTRODUÇÃO. 
 
Na capitalização simples, ao término de cada período de capitalização, os juros incidem 
somente sobre o capital inicial. Na capitalização composta, ao término de cada período de 
capitalização, haverá os juros sobre o capital inicial, acrescidos de uma parcela, relativa aos 
meses anteriores. Em outras palavras, podemos dizer que na capitalização composta incidem 
os “juros sobre juros”. 
 
 
FÓRMULA: 
Partindo do capital inicial (Pv), sendo aplicado a uma taxa de juros (i), temos: 
 
Fv0 = PV Fv0 = PV 
Fv1 = Pv + i x Pv Fv1 = Pv x (1 + i) 
Fv2 = Pv + i x Pv + i x (Pv + i x Pv) Fv2 = Pv x (1 + i)2 
Fv3 = Fv2 + i x Fv2 Fv3 = Pv x (1 + i)3 
Fv4 = Fv3 + i x Fv3 Fv4 = Pv x (1 + i)4 
 
. 
 . 
 . 
 Fvn = Pv x (1 + i)n 
 
Por simples análise, chega-se à fórmula do montante: 
 
Fv = Pv x (1 + i)n , onde: 
 
Fv = Montante final 
Pv = Capital aplicado 
 i = Taxa Unitária de juros 
 n = Número de Períodos de Capitalização. 
 
 
6
 FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. São Paulo. 1994. p. 38. 
 
40
FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: É o nome dado ao termo (1 + i)n, isto é, o valor da taxa 
equivalente de juros, para os n períodos considerados. 
 
(1 + i)n também é conhecido como Fator de Acumulação de Capital. 
[FAC (1 + i)n ]. 
 
(n√√√√1 + i - 1) também é conhecido como Fator de Descapitalização. 
 
 [ (n√√√√ (1 + i) - 1] x 100No que refere-se à fórmula de capitalização composta, definida como Fv = Pv x (1 + i)n, há 
autores que em suas bibliografias trazem como sendo Fv = Pv x (1 + i/100)n, ou seja, a taxa de 
juros i aparece sendo dividida por 100 (cem). Neste caso, este modelo é muito utilizado para 
cálculos feito nas calculadoras Texas/dois registradores. No caso da HP, não há necessidade 
de se fazer a divisão por cem, pois a calculadora já está programada para este conceito. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
01) Qual o valor de resgate em uma aplicação de R$.10.000,00, por uma prazo de 6 meses, 
considerando-se à taxa de 2,15% a.m., em regime de capitalização composta? 
 
Pv = 10.000 
 i = 2,15% a.m. 
 n = 6 meses 
Fv = ? 
 
Fv = Pv x (1 + i)n 
Fv = 10.000 x (1 + 0,0215)6 
Fv = 11.361,35 
 
 
02) Qual o investimento necessário para que em sete meses, numa aplicação à taxa de 4% 
a.m., em regime de capitalização composta, tenha-se disponível R$.5.000,00? R = 
R$.3.799,58 
 
 
 
03) Qual a taxa mensal necessária para remunerar um capital de R$.300,00, numa aplicação a 
juros compostos, de tal maneira que após 9 meses tenhamos disponível a quantia de 
R$.500,00? R = 5,84% a.m. 
 
 
 
41
 
04) De quanto será o juro composto, em um empréstimo de R$.350,00, por 4 meses, a uma 
taxa de 5,85% a.m.? R = J = R$.89,37 = M = R$.439,37 
 
 
 
05)Qual foi a taxa mensal, segundo a qual se cobrou juros compostos de R$.670,00 por um 
empréstimo de R$.330,00, por um período de 1 ano? R = 9,67% a.m. 
 
 
 
06) A que taxa de juros, após 15 meses de aplicação, um investidor em capitalização 
composta de R$.4.000,00 terá seu valor triplicado? R = 7,58% a.m. 
07) Calcular o valor do capital, que aplicado a juros compostos, à taxa de 100% a.a., por um 
período de 4 anos e 6 meses, produz um montante de R$.10.000,00? R = R$.441,94 
 
 
 
08) Qual o valor do montante obtido ao final de 3 trimestres, aplicado a 5% a.t., para uma 
aplicação de R$.1,500,00? R = R$.1.736,43 
 
 
 
09) Qual será o montante final para uma aplicação de 1.000 u.m., colocado à 20% a.a., 
durante 4 anos? R = R$.2.073,60 
 
 
 
10) Qual o montante final (a J.C.) para uma aplicação de 3.000 u.m., a 2% a.m., no fim de 2 
anos? R = R$.4.825,31 
 
 
 
11) Determinar o montante de um capital inicial de R$.500,00, aplicado para um período de 2 
anos, à taxa de 24% a.a., capitalizados trimestralmente? R = R$.796,92 
 
 
 
12) Um capital de R$.120,00 foi aplicado à taxa de 20% a.a., com capitalização semestral. 
Qual o valor do resgate ao final de 2 anos e 6 meses? R = R$.193,26 
 
 
 
 
13) Um capital de R$.3.000,00 foi aplicado à taxa de 24% a.a., durante um período de 1 ano e 
8 meses, com capitalização mensal? Qual o valor do resgate? R = R$.4.457,84 
 
 
42
 
 
 
14) Em quanto tempo, um capital aplicado a juros compostos de 92% a.a., dobra seu valor?
 R = 1,06 anos = 12,75 meses = 382,53 dias 
 
 
 
 
15) Calcular o valor de aplicação de um investimento, para que se possa resgatar 
R$.53.000,00 ao final de 134 dias, pela taxa de 83% a.a., a juros? R = 42.323,90 
 
 
 
43
 
ESTUDO DAS TAXAS7 
 
 
TAXA PROPORCIONAL: Quando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de 
tempo a que se referem, elas são proporcionais. 
 
EXEMPLO: A taxa de 12% a.a. é proporcional à taxa de 6% a.s., pois: 
 12% ÷ 6% = 2 1 ano ÷ 6 meses = 12 meses ÷ 6 meses = 2 
 
 
 A taxa de 5% a.t. é proporcional à taxa de 20% a.a., pois: 
 
 
TAXA NOMINAL: A Taxa Nominal de uma operação financeira, é aquela que, mesmo 
anunciada na operação, produz juros, no período de capitalização a que se refere a unidade de 
tempo, diferentes dos juros que a taxa anuncia. 
EXEMPLO: A taxa de 20% a.a., c/ capitalização mensal/bimestral/trimestral/semestral. 
 
 
 
 
TAXA EFETIVA: A Taxa Efetiva de uma operação financeira, é aquela que ocorre na 
operação, em outras palavras, quando os juros exigidos, no período de capitalização a que se 
refere a unidade de tempo da taxa, são exatamente aqueles que a taxa anuncia. 
EXEMPLO: Conforme o enunciado do exercício anterior, será definido as taxas que foram 
pagas realmente. 
 
 
 
 
TAXA EQUIVALENTE: Duas ou mais taxas de juros diferentes na expressão numérica e na 
unidade de tempo, serão equivalentes, quando, no mesmo prazo, produzirem o mesmo 
resultado. Assim, duas ou mais taxas de juros, diferentes na expressão numérica e na unidade 
de tempo serão equivalentes, quando em prazos diferentes, produzirem resultados 
financeiramente semelhantes. Lembrando ainda, que a equivalência de taxas de juros, pode 
ocorrer, segundo capitalização simples e capitalização composta. Assim, duas taxas são 
equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital 
produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo. 
 
EXEMPLO: A taxa de 1,39% a.m. é equivalente à taxa de 18% a.a., pois um capital colocado 
à taxa de 1,39% a.m., produz o mesmo montante que produz quando colocado à taxa de 18% 
a.a. 
 
7
 FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. São Paulo. 1994. p. 50. 
 
44
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
01 - Calcular a taxa equivalente mensal de cada uma das situações abaixo: 
a. 60% no semestre; 
b. 156% ao ano; 
c. 33,1% no trimestre; 
d. 0,1% ao dia. 
1. 
2. 
3. 
4. 
 
 
02 - Calcular a taxa (anual) equivalente de cada uma das situações abaixo; 
a. 7,5% ao mês; 
b. 0,12% ao dia; 
c. 25% no trimestre; 
d. 56,25% no semestre. 
1. 
2. 
3. 
4. 
 
 
 
03 - Descapitalizar a taxa de 72% ao ano, para... 
a. 55 dias 
b. 4,2 meses 
c. 256 dias 
d. 2,5 trimestres 
 
 
 
04 - Capitalizar a taxa de 4,5% ao mês, para... 
a. 279 dias 
b. 3,2 meses 
c. 3,1 anos 
d. 452 dias 
 
 
05 - Capitalizar ou descapitalizar (conforme a necessidade), as questões a seguir: 
a. 3,9 % ao mês, para 22 dias: 
b. 34,2 % ao ano, para 254 dias: 
c. 23,7 % ao ano, para 18 dias: 
d. 12 % ao ano, para 2,8 anos: 
 
 
45
 
Respostas: 
1.a. 8,148% a.m. 1.b. 8,148% a.m. 1.c. 10% a.m. 1.d. 3,044% a.m. 
2.a. 138,178% a.a. 2.b. 53,994% a.a. 2.c. 144,141% a.a 2.d. 144,141% a.a 
 
 
46
 
CAPÍTULO V 
 
DESCONTOS COMPOSTOS8 
 
 
CONCEITO: 
Desconto composto equivale à soma de descontos simples, calculados isoladamente em cada 
um dos períodos que faltam para o vencimento do título. Pode ser real ou bancário. O 
desconto composto real equivale à soma de descontos racionais, enquanto o desconto 
composto bancário corresponde à dos descontos comerciais. 
 
EXEMPLO 01: Um título de valor nominal igual a R$.10.000,00, que vai ser resgatado 4 
anos antes do vencimento, à taxa de juros de 10% a.a. O cálculo do desconto composto desse 
título equivale ao cálculo de quatro descontos simples. Se calcularmos quatro descontos 
racionais, um para cada ano que falta para o vencimento do título, a soma deles será o 
desconto composto real. Se, entretanto, os problemas forem resolvidos, através do desconto 
comercial, a soma dos descontos corresponderá ao desconto composto bancário. 
 
01. CÁLCULO DO DESCONTO COMPOSTO REAL. 
 
 Resolvendo o exemplo anterior, temos: 
 FÓRMULA: 
 
 Pv = Fv 
 (1 + i)n 
 
 
 
 
 
 
R = R$.6.830,13 
 
02. CÁLCULO DESCONTO COMPOSTO BANCÁRIO. 
 
 Resolvendo o exemplo anterior, temos: 
 FÓRMULA: 
 
 Pv = Fv (1 - i)n 
 
 
 
 
 
8
 FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7ª Edição. Editora Atlas. São Paulo. 1994. p.71. 
 
47
R = R$.6.561,00 
EXERCÍCIOS 
 
 
01.Calcular ovalor atual de um título nominal de R$.560,00, com vencimento para 2 anos e 
meio, à taxa de 18% a.a., capitalizados semestralmente. Utilizar os dois processos de cálculo, 
verificando a diferença entre ambos? Real=363,96 Bancário=349,45. 
 
 
 
 
02.Um título de R$.2.000,00, foi resgatado 8 meses antes do vencimento, à taxa de 10% a.a., 
capitalizados mensalmente. Qual seu valor atual, Real e Bancário? Real=1.871,53 - 
Bancário=1.870,49. 
 
 
 
 
03.Calcular o valor atual de um título de valor nominal igual a R$.2.000,00, resgatado 4 anos 
antes do vencimento, à taxa de 6% a.a. Calcular o valor Real e Bancário do título? Real = 
R$.1.584,18 - Bancário = R$.1.561,49. 
 
 
 
 
04.Calcular o valor atual de um título de valor nominal igual a R$.500,00, vencível em 3 anos, 
que vai ser resgatado pelo desconto composto bancário de 20% a.a, capitalizados 
trimestralmente? Calcular o desconto composto real? Real = R$.278,41 Bancário = R$.270,18. 
 
 
 
 
05. Um proprietário, ao vender um imóvel, recebeu as seguintes propostas: 
 
a) R$.1.000,00 à vista R$.300,00 em 6 meses R$.500,00 em 1 ano. 
b) R$.500,00 à vista R$.800,00 em 6 meses R$.700,00 em 1 ano. 
 
Qual a proposta mais vantajosa para o proprietário, admitindo-se que os títulos podem ser 
descontados à taxa de 2% ao mês, considerando o desconto composto real? 
R: a) R$.1.660,63 
R: b) R$.1.762,32 
 
 
48
 
CAPÍTULO VI 
 
CÁLCULO DE MÉDIAS9 
 
 
 
A média aritmética simples é calculada introduzindo-se os números, e na sequência 
pressionando , que registra a quantidade de números introduzidos (até 6). Ao final 
basta pressionar g x que o valor da média aparecerá ao visor. Quando se utiliza a tecla 
 , a soma dos números fica automaticamente armazenada em R2 (Registrador 2), 
enquanto que, a quantidade de dados inseridos fica armazenado em R1 (Registrador 1). Se 
por acaso ocorrer dúvidas quanto a informação de dados à calculadora, basta pressionar g last 
x, para confirmar se o dado está correto. Havendo erro, para corrigí-lo basta pressionar g
 ∑∑∑∑- , logo em seguida inserir o dado correto. 
 
Ex.: Calcular a média aritmética simples entre 4 e 8. 
Pressione 4 
Pressione 8 
 
Pressione g x 
 
No visor 6 
 
A média aritmética ponderada é calculada introduzindo-se os números e pressionando,
 . Logo, introduz-se o peso e pressiona 
 . Ao final pressiona-se g e o valor da média aparecerá no visor. Para 
este caso, a calculadora somente fornecerá o valor de x média, logo há necessidade de se 
definir quem é x e quem é y. 
 
EXEMPLO 01: Calcular a média aritmética ponderada, conforme tabela abaixo: Gastos 
realizados por 3 pessoas numa festa entre amigos. a) Bebidas alcoólicas; b) Refrigerantes; c) 
Aperitivos. 
 
 VALORES PESOS 
a) 1,16 15 
b) 1,24 07 
c) 1,20 10 
 
 VISOR 
1,16 15 ∑+ 1,000 
1,24 07 ∑+ 2,000 
1,20 10 ∑+ 3,000 
 
 
 
9
 Manual do Proprietário e Guia Para Solução de Problemas. p.88. 
 ∑+ 
 ∑+ 
 ∑+ 
 ENTER 
 ∑+ 
 x w 
 ENTER 
 ENTER 
 ENTER 
 ∑+ 
 ∑ - 
 
49
g 1,19 gasto médio ponderado por pessoa. 
A seguir, veremos casos mais avançados nos cálculos estatísticos. A calculadora HP-12C 
possibilita que se obtenha resultados estatísticos tanto para x como para y, e ainda o desvio 
padrão e a estimação linear de uma reta, baseando-se na função matemática y = ax + b. 
 
EXEMPLO 01: Fez-se um estudo numa loja de eletrodomésticos, onde trabalham sete 
vendedores, cuja carga horária e volume de vendas mensal dá-se pelo quadro a seguir, e 
pergunta-se: a) Estatisticamente, quantas horas trabalha semanalmente, em média um 
vendedor? E quanto vende um vendedor mensalmente em média? 
 
VENDEDOR HORAS/SEMANA VENDAS/MÊS 
 1 32 U$.17.000 
 2 40 U$.25.000 
 3 45 U$.26.000 
 4 40 U$.20.000 
 5 38 U$.21.000 
 6 50 U$.28.000 
 7 35 U$.15.000 
 
 
Inicialmente definimos que a variável x seja HORAS/SEMANA, e que a variável y seja 
VENDAS/MÊS. Logo x será ENTER e y será ∑+. 
Resultado: g x = 21.714,29 e y sendo x ⇔⇔⇔⇔ y = 40,00 
 
Os pares de x e y são armazenados da seguinte forma: 
 Ingresse o valor de y na calculadora; 
 Aperte ENTER; 
 Ingresse o valor de x na calculadora; 
 Aperte ∑+. 
 
 
 
O quadro a seguir, demonstra os valores estatísticos e suas fórmulas armazenadas na 
calculadora: 
 
 REGISTRO ESTATÍSTICA 
 R1 n: número de pares de dados acumulados; 
 R2 ∑x: somatório dos valores de x; 
 R3 ∑x2: somatório dos valores ao quadrado de x; 
 R4 ∑y: somatório dos valores de y; 
 R5 ∑y2: somatório dos valores ao quadrado de y; 
 R6 ∑xy: somatório do produto dos valores de x e y. 
 
 
 x w 
 
50
 
DESVIO PADRÃO = o desvio padrão é, por definição, a raiz quadrada, com sinal positivo, 
da variância. A unidade de medida do desvio padrão é igual à unidade de medida dos dados. 
Assim, ao pressionar g s a calculadora fornece os valores do desvio padrão de x (sx) e dos 
valores de y (sy). O resultado de y é obtido pressionando-se x ⇔⇔⇔⇔ y. 
Resultado de exemplo anterior: 
g s = 4.820,59 
x ⇔⇔⇔⇔ y = 6.03 
 
 
 
E se a empresa contratasse mais um vendedor. Qual seria o resultado mantendo-se os valores 
anteriores? 
Neste caso, recupera-se g x (21.714,29), inserindo o oitavo vendedor (8) em ∑+. Os 
resultados poderão ser obtidos, através da mesma seqüência de teclas g s e x ⇔⇔⇔⇔ y. 
Resultado: g s = 4.463,00 e x ⇔⇔⇔⇔ y = 5,58. 
 
 
 
ESTIMAÇÃO LINEAR: com os dados do problema anterior, podemos encontrar valores 
estimados tanto para x como para y, caso necessitássemos saber os valores das receitas para 
a empresa se, e somente se, essa mesma quantidade de vendedores trabalhassem com uma 
jornada de trabalho de 48 horas. Assim, basta pressionar informar os novos dados à 
calculadora, no nosso caso 48 horas, g x,r onde nos seria concedido o valor das 
vendas estimadas em R$.28.818,93. Pressionando-se x ⇔⇔⇔⇔ y a calculadora nos 
fornece o coeficiente de correlação r, 0,90, significando que, quanto mais próximo de 1, 
os dados estão muito próximos da reta, sendo confiáveis. 
 
 
UTILIZANDO O PRAZO MÉDIO COM JUROS SIMPLES ANTECIPADOS 
(O mais Usado e também o mais Prático). 
 
EXEMPLO 01: Um cliente deseja descontar vários títulos (Cheques Pré-Datados) e você 
cobra uma taxa de 5% a.m. Qual o valor do Resgate Líquido deste cliente tendo como base os 
seguintes valores e números de dias até o vencimento de cada título? 
 
Nº de dias Valor do Título 
16 280,00 
19 250,00 
28 420,00 
42 330,00 
51 560,00 
TOTAL TOTAL 
 
 
 
51
CAPÍTULO VII 
 
USO DAS TECLAS FINANCEIRAS10 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO. 
 
 n = número de períodos de composição; 
 i = taxa percentual de juros por período de composição; 
 PV = “Present Value” - Valor Presente (hoje); 
 PMT = “Pay Ment”- Prestação por período; 
 FV = “Future Value” - Valor Futuro ( no final dos n períodos). 
 
As teclas financeiras são programas gravados internamente, nos circuitos eletrônicos da 
calculadora. Quando utilizamos as funções financeiras ao pressionar a tecla correspondente, 
fazemos com que o programa referente ao respectivo cálculo seja executado. As outras 
variáveis dos problemas são interiormente armazenados nos registradores correspondentes. 
 
 
 
OPERACIONALIDADE: Quando no regime de capitalização composta*, resolve problemas 
que envolvem um único pagamento ou uma série de pagamentos iguais. Os valores 
conhecidos são armazenados nos registradores correspondentes (n, i, PV, PMT e FV)e é 
solicitada a tecla correspondente ao valor a ser calculado. 
 
 
 
***A combinação de teclas STO EEX selecionam o modo de cálculo dos juros. A tecla 
“c” deve aparecer no visor, se for escolhido juros compostos. A tecla “c” não aparecendo no 
visor, os juros são calculados de acordo com a convenção linear, em que para os períodos 
inteiros é utilizada a capitalização composta, enquanto que para os períodos fracionários é 
utilizado o cálculo de juros simples. 
 
EXEMPLO: Encontrar o valor futuro de um capital de R$.10.000,00, aplicado durante 2,5 
anos (dois anos e meio), a uma taxa de juros de 10% a.a. 
 Este execício consiste em trabalhar o modo c (modo capitalização) que aparece no 
visor da calculadora. Assim: 
 
 
 
 
10
 Manual do Proprietário e Guia Para Solução de Problemas. p.36. 
 
52
 
 
EXEMPLOS: 
 
PAGAMENTO ÚNICO - UMA ENTRADA e UMA SAÍDA. 
 
 
 
PV FV 
 n ou 0 
 
 FV PV 
 
 
Calcular o valor do resgate de uma aplicação de R$.1.000,00, a uma taxa de 18% a.a., por 2,5 
anos? 
 
 FV 
 
 1 2 2,5 
 
 PV 
 
 
f CLEAR REG = limpa registradores financeiros 
1.000 CHS PV = armazena em PV o valor da aplicação 
18 i = armazena a taxa anual de juros 
2,5 n = armazena o número dos períodos de capitalização 
FV = calcula o valor de resgate - R$.1.512,53 
O cálculo foi realizado com base na fórmula: 
 
FV = PV x (1 + i)n 
 
FV = 1.000 x (1 + 18%)2,5 
FV = 1.000 x (1,51253356) 
FV = 1.512,53 
 
A seguir pressione STO EEX, saindo do modo capitalização composta e realize novamente 
o cálculo. Verifique o erro. 
 
 
 
EXEMPLO: “Deposite hoje R$.333,00 e retire após 1 ano R$.1.000,00”, era a oferta de 
investimento dada pelo “Banco da Praça”. Calcular a taxa mensal de juros. 
 
 
 
53
 FV = 1.000,00 
 0 1 
 PV = 333,00 
 
 
333,00 CHS PV = armazena o valor presente (*) 
12 n = armazena o nº de períodos 
1.000,00 FV = armazena o valor do resgate 
i = calcula a taxa de juros = 9,5964% a.m. 
 
(***) - Para obedecer a convenção de sinais utilizada nos fluxos de caixa, um dos valores, PV 
ou FV deve ser negativo. As entradas de capital serão positivas, conforme a convenção de 
Fluxo de Caixa, e os valores de saída de capital serão armazenados com o sinal negativo. 
 
EXEMPLO 01: Deseja-se obter o prazo de uma letra de câmbio emitida por R$.10.000,00 e 
resgatada por R$.20.000,00. Sabe-se que a taxa é de 220,00% a.a. 
 
 
 FV=20.000 
 
 PV=10.000 
 
 
Fazendo PV=10.000; FV=20.000; e i=220; teremos como resultado n = 1. 
 
Como a calculadora, sempre apresenta como resposta um valor inteiro para n, ou seja, a 
calculadora arredonda valores não inteiros, para o próximo número inteiro a seguir, neste 
caso o valor encontrado será 1. Logo, pelos dados do problema, percebe-se que a resposta 
está errada, pois se fizermos PV=10.000; i = 220; e n = 12; o resultado de FV = 32.000. 
 
Nesse contexto, para determinarmos o valor exato de n, devemos converter a taxa de juros 
para um período menor que o anual, informado pelo problema. 
 
Convertendo para taxa diária, teremos: 
 
(1 + i a)1 = (1 + i d)360 i a = taxa anual 
(1 + i a)1/360 = (1 + i d)360/360 i d = taxa diária 
(1 + i a)1/360 = (1 + i d)1 
i d = (1 + i a)1/360 - 1 i d% = 100 x [ (1 + i a)1/360 - 1] 
fazendo i a = 2,2, teremos para i d = 0,32362 
 
54
Armazenando o novo valor de i, teremos calculado o valor de n = 215 
dias. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
01.Qual o montante do capital equivalente a R$.500,00 unidades monetárias, aplicado à taxa 
de juros de 10% a.a., capitalizados mensalmente, durante 2 anos? R = R$.610,20 u.m. 
 
02.Um empréstimo de R$.2.000,00 deverá ser resgatado no fim de 3 anos à taxa de juros de 
15% a.a., capitalizados trimestralmente. Qual o valor do resgate? R = R$.3.110,90 
 
03.Um capital de 100 unidades monetárias foi colocado por 1 ano e 8 meses a 20% a.a., 
capitalizados trimestralmente. Qual o valor do resgate? R = R$.138,44 
 
04.Calcular o montante de R$.1.000,00 no fim de 3 anos, a taxa de juros de 16% a.a., 
capitalizados semestralmente? R = R$.1.586,87 
 
05.Durante quanto tempo um capital de R$.2.500,00, produzem R$.1.484,62 de juros, a taxa 
de 24% a.a. capitalizados trimestralmente? R = 2 anos. 
 
 
06. Ache o valor atual, de um empréstimo (valor futuro) de R$.10.000,00, com vencimento no 
final de 2 anos e meio à uma taxa de 20% a.a., capitalizados trimestralmente. R = 
R$.6.139,13. 
 
 
07. Certa pessoa deposita R$.23.400,00 numa instituição financeira por 3 anos à taxa de 18% 
a.a. Calcular o montante sabendo-se que no primeiro ano os juros são capitalizados 
semestralmente; no segundo ano, trimestralmente e no terceiro ano, bimestralmente. R = 
R$.39.587,40. 
 
 
08. No fim de quanto tempo, um capital de 500 u.m., aplicado à taxa de 10% a.a, e um capital 
de 400 u.m., aplicado à taxa de 12% a.a., produzirão montantes iguais?. R n = 12,384 ou 12 
anos, 3 meses 12 dias. 
 
 
09. Um capital de R$.20.000,00 é colocado a 24% a.a., capitalizados trimestralmente, 
enquanto que um outro capital de R$.30.000,00 é colocado à taxa de 12% a.a., capitalizados 
semestralmente. No fim de quanto tempo os montantes serão iguais. R = 3 anos, 5 meses e 22 
dias. 
 
 
 
55
10. Qual é o montante gerado por um capital de R$.1.000,00, aplicados pelos prazos e taxas 
abaixo? 
a) 1% a.m. - 12 meses b) 1,5% a.m. - 3 anos c) 3% a.t. - 18 meses 
d) 10% a.a. - 120 meses e) 5% a.s. - 5 anos f) 1% a.a. - 2 anos. 
g) 100% a.d. - 1 semana h) 250% a.q. - 2 meses 
 
Res: a) R$.1.126,83 b) R$.1.709,14 c) R$.1.194,05 d) R$.2.707,04 
e) R$.1.628,89 f) R$.1.020,10 g) R$.128.000,00 h) R$.150.062,50 
 
 
56
 
CAPÍTULO VIII 
 
SÉRIE de PAGAMENTOS UNIFORMES11 
 
 
As séries de pagamentos uniformes, são compostas de pagamentos iguais em intervalos de 
tempo iguais, a uma dada taxa de juro, compostos de entradas e saídas de capital. 
É importante observar se os pagamentos são feitos no início ou no final de cada período 
(PAGAMENTOS ANTECIPADOS OU POSTECIPADOS). Para pagamentos 
ANTECIPADOS, selecione a função azul na calculadora, através das teclas g BEGIN. Para 
pagamentos POSTECIPADOS, selecione a função azul na calculadora, através das teclas g 
END. No que refere-se ao fluxo de caixa, pode ser entendido como uma sequência de 
recebimentos ou pagamentos em unidades monetárias, previstos para um determinado perído 
de tempo. Assim, com variáveis importantes temo: entradas - saídas - datas de 
recebimentos - datas de pagamentos. 
 
FATOR de RECUPERAÇÃO de CAPITAL12 
 
 PMT = Pv x [ i(1 + i)n] 
 [(1 + i)n - 1] 
 
EXEMPLO 01: Um carro, no valor de R$.15.000,00 é financiado em 24 prestações mensais 
iguais, com a primeira vencendo um mês após a data de operação. Calcular o valor das 
prestações, se o juro cobrado é de 4% a.m.? 
 
 
 
 
 1 2 3 (...) 22 23 24 
 PV=15.000 
 
 
f CLEAR FIN = apaga os registradores financeiros 
g END = para pagamentos POSTECIPADOS 
15.000 CHS PV= armazena em PV o valor do financiamento 
24 n = armazena o número de meses 
4 i = armazena a taxa mensal 
PMT = Calcula o valor da prestação 
 = R$.983,80 
 
 
 
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 Manual do Proprietário e Guia Para Solução de Problemas.