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Fundamentos de Ondulatória
Onda:
É o resultado de uma perturbação imposta à um meio material ou não (vácuo), que se propaga
com uma determinada velocidade V através deste.
Qualquer onda pode ser caracterizada pela oscilação de uma ou mais variáveis físicas
propagando-se através do espaço, como por exemplo, no caso das ondas sonoras a pressão é
a variável física que oscila. A luz também tem seu aspecto ondulatório, e neste caso, as
variáveis que oscilam são os vetores campo elétrico e magnético.
Característica Principal dos Fenômenos Ondulatórios:
Uma onda tem a propriedade de transmitir energia de um ponto a outro, sem que haja o
transporte de matéria.
 
1. Classificação das Ondas:
As ondas podem ser classificadas segundo alguns critérios: quanto à natureza; quanto à
direção da propagação; quanto à relação entre a direção da oscilação e da propagação;
quanto à duração da propagação e quanto ao seu deslocamento em relação ao meio de
propagação.
a) Quanto à Natureza
 Dependendo das características do meio em que se propagam, as ondas podem ser
classificadas em mecânicas e eletromagnéticas (não mecânicas).
a.1) Ondas Mecânicas
As ondas mecânicas somente se propagam em meios elásticos, como é o caso das ondas na
água, ondas em cordas, ondas sonoras, etc. O distúrbio nesses meios é transmitido de um
ponto a outro com as partículas do meio vibrando apenas ao redor de suas posições de
equilíbrio sem contudo, se deslocarem juntamente com a onda. 
a.2) Ondas Eletromagnéticas (Não-Mecânicas)
As ondas eletromagnéticas dispensam a presença do meio material para a sua propagação,
como é o caso da luz (radiação visível), que atravessa o espaço interestelar onde não existe
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matéria (vácuo).
Exemplo: luz, microondas, rádio, TV, ultravioleta, infravermelho, raios-X, raios γ , etc. 
Ao conjunto de todas as radiações dá-se o nome de ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO.
As ondas luminosas ou ESPECTRO VISÏVEL, estão localizadas entre 4.000 Å e 7.000 Å ao
passo que as ondas sonoras (mecânicas) só são percebidas por nós, quando pertencem à
uma faixa de freqüência compreendida entre 20 Hz e 20.000 Hz (região esta, determinada
para um grupo de indivíduos otologicamente normais, com idades variando entre 18 e 25
anos).
Uma representação do ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO pode ser visto na figura abaixo
b) Quanto à Direção de Propagação
São classificadas como unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. 
 b.1) Unidimensionais
São aquelas que propagam-se ao longo de uma única direção. 
Exemplo: Onda numa corda. 
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b.2) Bidimensionais
São as que propagam-se em um plano (duas direções).
Exemplo: ondas concêntricas formadas pela queda de uma pedra em um tanque de água. 
b.3) Tridimensionais
São as que propagam-se no espaço, isto é, em todas as direções. 
Exemplo: ondas sonoras; ondas eletromagnéticas.
c) Quanto à Direção de Oscilação
Nesse caso, podemos classificá-las em transversais e longitudinais. 
c.1) Ondas Transversais
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Onda transversal sendo criada em uma mola 
 
Demonstração do movimento oscilatório de uma partícula no meio - no caso, a água. 
Repare que a partícula não é "arrastada" horizontalmente pela onda, permanecendo no mesmo lugar.
Caso a oscilação (perturbação) seja perpendicular à direção de propagação, a onda é dita
transversal, como no caso das ondas eletromagnéticas, nas quais, as oscilações dos vetores
campo elétrico e campo magnético acontecem em direções perpendiculares à direção de
propagação, conforme pode ser visto na figura abaixo:
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c.2) Ondas Longitudinais
Caso a oscilação seja paralela à direção de propagação, a onda é dita longitudinal, como é o
caso das ondas sonoras e das oscilações em uma mola. 
 
Comparação entre uma onda longitudinal e uma onda transversal
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d) Quanto à Duração da Oscilação
 São classificadas como solitárias (pulso) ou como uma sucessão contínua de ondas
(trem de ondas).
O pulso e o trem de ondas tem um princípio e um fim e, portanto, apresentam uma
perturbação de extensão limitada. 
d.1) Pulsos
 Um pulso é produzido por um "puxão" em uma corda tensionada.
d.2) Trem de ondas
 Vários "puxões" em seqüência na corda tensionada, conduzem à um trem de ondas. Caso
os "puxões" sejam periódicos, produz-se um movimento periódico em cada partícula da corda,
havendo por conseguinte a produção de uma sucessão contínua de ondas. 
e) Quanto ao seu Deslocamento
 Podem ser progressivas ou estacionárias. 
a) Progressivas
 São ondas que movimentam-se em relação à um referencial de observação no meio. Podem
movimentar-se em um sentido tomado como positivo, neste caso é chamada de progressiva
mesmo, ou caminhar no sentido arbitrado como negativo, sendo considerada como
retrógrada.
b) Estacionárias
 São geradas quando duas ondas (de mesmas características) caminhando em sentidos
opostos, encontram-se. As ondas estacionárias caracterizam-se também por ter os pontos do
meio material oscilando com a mesma freqüência exceto nos nós que estão sempre em
repouso. As ondas produzidas no interior de uma flauta são estacionárias ao passo que as
produzidas na fala são progressivas.
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2. Elementos de uma Onda
Todas as ondas podem ser caracterizadas por um conjunto de parâmetros físicos. Tais parâmetros podem
manter-se invariáveis ao longo da propagação da onda ou não. São eles: 
 
a) Amplitude (A) - altura máxima da oscilação, contada a partir da linha de base.
Usualmente medida em metros (m). A amplitude está relacionada com a quantidade de
energia transportada pela onda.
b) Comprimento de Onda (λ) – é a distância (medida horizontalmente) percorrida pela
onda em uma oscilação completa. Uma oscilação completa inclui sempre um semi-ciclo
positivo e um semi-ciclo negativo. Dessa forma, podemos também dizer que, um comprimento
de onda equivale à distancia entre duas cristas sucessivas ou dois vales sucessivos.
c) Período (T) - é o tempo gasto para que a onda execute uma oscilação completa, ou seja
para que a distância percorrida pela onda seja de um comprimento de onda. É medido em
segundos (s).
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d) Frequência (f) - é o número de oscilações que a onda executa por unidade de tempo. Se
o tempo for medido em segundos, a frequência estará expressa em hertz (Hz).
A frequência é característica da fonte que gerou a onda e não da onda propriamente dita.
A frequencia mantém-se inalterada (constante) durante a propagação da onda.
e) Velocidade (v) – é a "rapidez" com que a onda se desloca em um determinado meio. Para
o mesmo meio, a velocidade é sempre constante. É medida em metros por segundo (m/s).
f) Relações Matemáticas 
f.1) Frequência e Período: a freqüência é inversamente proporcional ao período, isto é: 
f = 1/T
f.2) Velocidade, Frequência e Comprimento de Onda: como a velocidade de propagação é
constante para um determinado meio, o movimento é uniforme, portanto:
V = distância / tempo
Quando uma onda se propaga em um meio, ela percorre uma distancia d igual ao seu
comprimento de onda, num intervalo de tempo igual a seu período. Assim,
V = λ/Τ, ou ainda,
V = λ.f
f.3) Velocidade de Propagação de Ondas Transversais em Cordas Tensionadas: as
cordas tensionadas (esticadas) nos permitem observar claramente a propagação das ondas
mecânicas transversais.
Seja uma corda de massa M e comprimento L. Podemos observar que durante a propagação
da onda, a velocidade V depende da densidade linear da corda µ (µ = M/L) e da força tensora
(força de esticamento) ao qual ela está submetida. Esta dependência é conhecida como
RELAÇÃO DE TAYLOR e é definida, matematicamente como: 
µ
Fv =
3. Reflexão de Ondas Transversais em Cordas
A análise da reflexão de pulsos ou de ondas tranversais nas extremidades de cordas deve ser
dividida em duas partes:
a) Extremidades Fixas:
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O pulso gerado, à medida que passapelos pontos da corda, faz cada um deles subir e
descer. No entanto, quando esse pulso atinge uma extremidade fixa (uma parede, por
exemplo) e tenta movê-Ia, esta, pela 3a. Lei de Newton (Princípio da Ação e Reação), reage
sobre a corda, gerando um pulso refletido invertido em relação ao pulso incidente. Diz-se,
então, que o pulso refletido está em oposição de fase em relação ao pulso incidente, pois, se
o pulso incidente provoca um sobe-e-desce, o refletido provoca um desce-e-sobe. Para
entender melhor esse fenômeno, observe a seqüência ao lado.
b) Extremidades Livres:
A extremidade livre pode ser idealizada por um anel leve, que pode deslizar sem atrito ao
longo de uma haste.
Para entender melhor como ocorre esse fenômeno, observe a seqüência
ao lado: Quando o pulso atinge o anel, ele sobe e desce, e o pulso é refletido
sem inversão. Dizemos, então, que o pulso refletido está em fase com o pulso
incidente, pois tanto um como o outro provoca um movimento de sobe-e-
desce. Tal fato é facilmente aceitável, pois se alguém executasse no anel um
movimento de sobe-e-desce seria gerado um pulso que se propagaria para a
esquerda com as mesmas características do pulso refletido. 
4. Superposição de Pulsos em Cordas
A superposição de duas ou mais ondas de mesma natureza provoca no
local da superposição uma perturbação resultante igual à "soma" das
perturbações individuais de cada onda.
Em uma corda tensa fica mais fácil visualizar esse fenômeno. Assim, considere uma corda
esticada, disposta horizontalmente. 
Nas suas extremidades vamos produzir dois pulsos de mesma largura e amplitudes
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diferentes: A1 e A2. O resultado da superposição depende da forma como esses pulsos foram
originados. Devemos, então, considerar duas situações:
a) Pulsos em Fase
No instante da superposição dos pulsos, em fase, observamos que cada ponto da corda na
região de superposição apresenta uma elongação x,
igual à soma das elongações x1 e x2 que cada
pulso produziria nesse ponto, se lá chegasse
sozinho. É evidente que a crista resultante tem uma
amplitude igual à soma das amplitudes individuais
dos pulsos.
A esse tipo de superposição de pulsos (em
fase) dá-se o nome de interferência construtiva. É
importante observar que após a superposição os
pulsos continuam suas propagações normalmente,
como se nada tivesse acontecido. Esse fato
justifica-se pelo Princípio da Independência da
Propagação Ondulatória. Observe a sequência ao
lado:
b) Pulsos em Oposição de Fase
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No instante da superposição dos pulsos, em oposição de fase, observamos que cada ponto
da corda na região de superposição apresenta uma elongação x, igual à diferença das
elongações x1 e x2 que cada pulso produziria nesse ponto se lá chegasse sozinho. É evidente
que a crista resultante tem uma amplitude igual à diferença das amplitudes individuais desses
pulsos.
A esse tipo de superposição de pulsos (em oposição de fase) dá-se o nome de
interferência destrutiva. Também nesse caso, após a superposição os pulsos continuam suas
propagações normalmente, como se nada tivesse acontecido. Vale o Princípio da
Independência da Propagação Ondulatória. Assim, após a superposição, temos:
5. Superposição de Ondas Periódicas
A onda resultante da superposição de duas ondas periódicas é obtida pelos mesmos conceitos
usados para os pulsos do item anterior. Abaixo vemos um exemplo de interferência construtiva.
As ondas A e B, de mesma .freqüência e em concordância de fase, superpõem-se,
resultando a onda C.
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Interferência Construtiva
Abaixo temos um exemplo de interferência destrutiva. As ondas A e B, de mesma freqüência,
mesma amplitude e em oposição de fase, superpõem-se, resultando a onda C, de amplitude
nula.
Essa superposição de ondas periódicas pode apresentar dois efeitos de particular
interesse: o batimento e as ondas estacionárias.
a) Batimento
O fenômeno ondulatório denominado batimento é obtido pela superposição de ondas
periódicas de freqüências ligeiramente diferentes e de mesma amplitude.
A primeira figura mostra a superposição de duas ondas de freqüências ligeiramente diferentes e
amplitudes iguais. A segunda figura mostra a onda resultante dessa superposição.
Note que a onda resultante da figura tem amplitude variável periodicamente, apresentando
pontos de máxima intensidade (interferência construtiva) e pontos de mínima intensidade
(interferência destrutiva). Dá-se a denominação de batimento a essa variação gradual e
periódica de amplitude da onda resultante. Também entende-se por batimento, cada conjunto
de vibrações que vai de um mínimo até outro mínimo consecutivo.
É possível demonstrar que a freqüência da onda resultante é dada pela média aritmética
entre as freqüências das ondas que se superpõem:
b) Ondas Estacionárias
Conforme visto anteriormente, o fenômeno ondulatório denominado ondas estacionárias é a
configuração resultante da superposição de duas ondas idênticas que se propagam na mesma
direção e em sentidos opostos.
Esse fenômeno é mais facilmente observado com ondas em cordas, apesar de poder
ocorrer também com outros tipos de onda. Para melhor entendimento, vamos considerar uma
corda esticada e duas ondas idênticas propagando-se em sentidos opostos.
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Podemos observar na figura que existem pontos
da corda que não vibram, ocorrendo neles
permanente interferência. destrutiva. Esses pontos
são denominados nós ou nodos de deslocamento.
Note, ainda, os pontos da corda representados
por tracejado, que vibram com amplitude igual a 2A.
Nesses pontos, ocorre permanente interferência
construtiva, sendo, por isso, denominados ventres,
antinós ou antinodos de deslocamento.
Como esses nós e esses ventres não se
propagam, permanecendo sempre nos mesmos
locais da corda, a configuração resultante recebe a
denominação de onda estacionária.
É importante observar que a distância entre dois
nós consecutivos ou entre dois ventres consecutivos
é sempre λ/2, onde λ é o comprimento de onda de
cada uma das ondas que se superpõem. 
A figura acima mostra os quatro primeiros modos
de vibração de uma corda com comprimento L, presa
pelas extremidades. O primeiro modo (modo mais
simples) de vibrar uma corda chama-se modo
fundamental ou primeiro harmônico. Temos nesse caso:
LLL 2
1
2
2
1 =⇒=⇒= λλλ
Sendo v a velocidade de propagação das ondas na corda e lembrando que v = λ.f, temos:
L
vffLv
2
2 =⇒=
Ffrequência fundamental de vibração da corda ou primeiro harmônico
Para o segundo harmônico teremos:
v
L
ffLv
fvcomoLL
2
2
2
2
,.
2
2
2
2
=⇒=
==⇒= λλλ
Para o terceiro harmônico,
v
L
ffLv
fvcomoLL
.
2
3
2
3
,.
2
3
2
3
=⇒=
==⇒= λλλ
Observe que a ordem do harmônico (1, 2, 3...n) aparece sempre no numerador. Dessa forma,
podemos generalizar escrevendo a seguinte expressão para as frequências de vibração:
v
L
nf
2
=
Lembrando ainda que a velocidade de uma onda transversal que se propaga em cordas é
dada pela relação de Taylor, podemos reescrever a equação acima como:
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µ
F
L
nf
2
=
6. O Fenômeno da Ressonância
a) Transmissão de Energia em uma Onda
Já vimos que uma carreira de pedras de dominó separadas entre si por um pequeno
intervalo, caem em seqüência quando a primeira pedra é derrubada. Neste caso há uma
transmissão de energia de uma peça a outra sem que elas se desloquem. Semelhante
acontecimento ocorre no transporte de energia de uma onda progressiva em que cada ponto
do meio transmite a vibração para o seguinte. Assim sendo, a transmissão de energia por uma
onda progressiva é feita no sentidode sua própria propagação. No caso das ondas
estacionárias, não há transmissão de energia.
No caso das ondas eletromagnéticas, a transmissão de energia também é feita no
sentido de sua própria propagação. Ao contrário das ondas mecânicas que, para se
propagarem, dispersam sua energia para que as partículas do meio vibrem ao redor de suas
posições de equilíbrio, o vácuo não possui matéria para que as ondas eletromagnéticas
transmitam a energia através dela. 
A transmissão da energia é feita então, através do armazenamento de energia no
interior da região de influência dos campos eletromagnéticos.
b) Fenômeno da Ressonância 
Todos os corpos vibram segundo uma determinada frequência que lhes é característica
e que depende do material do qual é constituído e da forma como os átomos estão
estruturados no corpo. À essa frequência damos o nome de frequência fundamental. 
Quando uma fonte gera uma vibração periódica (ou onda) cuja frequência é muito
próxima da frequência fundamental de um corpo, a energia transmitida pela onda é
progressivamente absorvida pelo corpo, fazendo com que este oscile com amplitudes cada vez
maiores, até que sua estrutura venha a romper-se (caso de oscilações livres).
Este fenômeno é muito conhecido e pode ser exemplificado desde as oscilações de uma
estrutura simples como um balanço, até as impressionantes oscilações de estruturas mais
complexas como pontes e viadutos. A oscilação do vão central da Ponte que liga o Rio à
Niterói, provocada por ventos fortes é bem conhecida, e felizmente, não chega a comprometer
a estrutura de concreto. 
A mesma sorte não teve a ponte pênsil
de Tacoma, Washington, em 1940.
Quatro meses após ser aberta ao público,
entrou em oscilação por 40 minutos,
quando a estrutura de concreto não
suportando mais as tensões impostas,
partiu-se na frente dos olhos estupefatos
da população da cidade e de dois
cinegrafistas da época.
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