Trabalho Mecanico

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UNICESUMAR – CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ 1 
PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
DIRETORIA DE PLANEJAMENTO DE ENSINO 
 
Disciplina: Física I 
Professor: Claudio Ichiba 
Curso: Engenharia Civil 
 
Energia Mecânica 
 
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA 
 
 
 
Considere um objeto descendo um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo  com a 
horizontal a partir de uma velocidade 
0v

do alto do plano de uma altura h0 e que passa por um ponto de 
altura h com velocidade 
v
 (NUSSENZVEIG,2002), ver figura 120 
 
 
Figura 120. 
 
A aceleração do corpo é dada por 
 
 


 sen.ga
g
a
sen
. (128) 
 
O deslocamento s é dado por 
 
 






sen
hh
s
s
hh
sen 00
. (129) 
 
Por meio da equação de Torricélli, equação (61), 
s.a.2vv 20
2 
, e a substituição das equações 
(128) e (129), a descrição do movimento fica 
 



sen
)hh(
.sen.g.2vv 020
2
  
 
)hh(g.2vv 0
2
0
2 
. (130) 
 
Separando os termos em instante final e inicial, tem-se 
 
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0
2
00
2
0
2 h.g2h.g.2v)hh.(g.2vv 
  
 
 
0
2
0
2 h.g2vh.g.2v 
, 
 
e simplificando os dois lados da igualdade por 2, chega-se a 
 
 
0
2
0
2
h.g
2
v
h.g
2
v

. (131) 
 
Este resultado é análogo a o de um objeto lançado com uma velocidade 
0v

 em queda livre a partir de 
uma altura h0. Esse objeto passará por uma altura h com uma velocidade 
v
 , e uma aceleração 
g

 
(aceleração da gravidade), ver figura 121 
 
 
Figura 121. 
 
Que na descrição da equação de Torricélli, fica também 
 
)hh.(g.2vv 0
2
0
2 
  
 
0
2
0
2
h.g
2
v
h.g
2
v

. (132) 
 
As equações (131) e (132) obtidas tanto na análise do plano inclinado sem atrito, quanto na 
queda livre (sem resistência do ar) são equivalentes, ou seja, se um objeto for abandonado de uma 
determinada altura em queda livre e outro for solto num plano inclinado da mesma altura e não houver 
qualquer força de resistência, ambos chegarão ao final numa mesma altura com a mesma velocidade. 
No entanto, isso não significa que farão os trajetos ao mesmo tempo, porque a trajetória de um é mais 
longo do que o outro (h – h0 < s) e aceleração de um é menor que a do outro (a < g), deste modo o 
tempo do objeto no plano inclinado é maior. 
A análise desses casos também se assemelha a outros como ilustrados na figura 122 
 
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Figura 122. 
 
 
 
A equação (131) ou (132) aplicável a esses casos mostra que a grandeza: 
h.g
2
v2

 é constante, 
ou seja, o seu valor final é igual ao valor inicial, independentemente da trajetória, desde que não haja 
atrito ou resistência do ar. Esse resultado já era conhecido desde Galileu Galilei, numa abordagem que 
chegaria mais tarde ao conceito de inércia, como já visto anteriormente. No entanto, alguns 
contemporâneos e os que sucederam perceberam algo diferente do que havia apenas na equação (132). 
Para entender isso, considere uma abordagem proposta inicialmente por Descartes e que posteriormente 
foi analisada por Newton e por Leibniz: no MRU, tem-se a equação (48), vista anteriormente 
 
 
.ctevv 0 

 
 
Se essa equação for multiplicada pela massa m do corpo em movimento, a igualdade continua valendo 
 
 
.ctev.mv.m 0 

  
.cteQQ 0 
 
 
Esse resultado nada mais é do que o princípio da conservação da quantidade de movimento, também 
discutido anteriormente (no módulo 9 da frente F11). No entanto, essa análise é feita livre da ação de 
uma força resultante externa. Se for considerado o MRUV, tem-se a equação (51) dada por 
 
 
t.avv 0 

. 
 
Se essa equação for multiplicada pela massa m do corpo em movimento, a igualdade continua valendo 
 
 
t.a.mv.mv.m 0 

  
t.FQQ 0


  
F
t
Q 



. 
 
Esse resultado simplesmente é a 2ª. Lei de Newton. 
Leibniz propõe também multiplicar a equação de Torricélli pela massa m do corpo em movimento 
que leva a 
 
s.a.m.2v.mv.m 20
2 
. (133) 
 
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Leibniz chama a grandeza m.v2 pela expressão vis viva - força viva, apresentada no módulo 31. 
Apesar de ter feito uma análise aparentemente semelhante a Newton, há algo fundamental que diferencia 
os dois processos: a de Newton foi uma análise vetorial, ou seja, o princípio da conservação da 
quantidade de movimento é o princípio da conservação de uma grandeza vetorial, por outro lado, a 
análise feita por Leibniz na equação de Torricélli é uma análise escalar, pois v2, v02 e a.s são grandezas 
escalares. A velocidade 
v
 é grandeza vetorial, no entanto, 22 vv  é grandeza escalar, porque v.v 
representa a ação de um vetor sobre ele mesmo e isso não muda a sua direção e sentido, apenas a sua 
intensidade, ou seja, o seu módulo. Da mesma forma, 
s.as.a 
 , pois representa a operação do vetor 
a
 na direção de 
s


, que não muda a sua orientação. Esse tipo de multiplicação é chamado de produto 
escalar de duas grandezas vetoriais e seu resultado é uma grandeza escalar. 
Essa observação é verdadeiramente importante, porque mostra a expressão vis viva – força viva 
= m.v2 inadequada. Força é grandeza vetorial e m.v2 é grandeza escalar. Porém, a atitude de Leibniz, 
propõe uma abordagem que será mais bem compreendida posteriormente por: Daniel Bernoulli (1700 - 
1782), Lazare Nicolas Marguérite Carnot (1753 - 1823), Gaspard de Coriolis (1792-1843), Thomas Young 
(1773-1829) e William Thomson - Lord Kelvin (1824-1907). Cada um contribuiu de modo significativo 
para que o conceito vis viva evoluísse e modificasse para a expressão energia mecânica Em. Nessa 
evolução, a equação (132) oriunda dos casos das figuras 120 e 121, acabou por ser multiplicada pela 
massa m do corpo em movimento, a ficar 
 
0
2
0
2
h.g.m
2
v.m
h.g.m
2
v.m

, (134) 
 
Na qual, a grandeza 
h.g.m
2
v.m
E
2
m 
 (135) 
 
é a definição da energia mecânica, e ela é conservada na medida em que o corpo se movimenta sem a 
ação de forças de atrito ou de resistência do ar. Deste modo, o trabalho de todos esses ilustres 
personagens da ciência leva outro princípio fundamental da natureza: o princípio da conservação da 
energia mecânica: 
 
A energia mecânica do sistema é constante desde que não haja forças dissipativas. 
 
A equação (135) mostra que a energia mecânica possui dois termos independentes: mv2/2 e 
m.g.h. Se h = 0, o corpo ainda possui energia mecânica , da mesma forma se v = 0. Cada um se apresenta 
como uma forma da energia mecânica independente da outra. Essas formas são denominadas de: 
 
- energia cinética: 
2
v.m
K
2

; (136) 
 
- energia potencial gravitacional: 
h.g.mU
. (137) 
 
Obs. velocidade e altura são grandezas relativas a um referencial, portanto as medidas da 
energia cinética e energia potencial são também relativas a um referencial. 
Assim, a equação (135) pode ser escrita na forma final: 
 
UKE
m

. (138) 
 
O princípio da conservação da energia mecânica é um caso particular de outro princípio maior, 
discutido anteriormente, o princípio da conservação da energia. 
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DIRETORIA DE PLANEJAMENTO DE ENSINOSistema Conservativo 
 
Um sistema é chamado conservativo quando não há ação de forças dissipativas, como atrito ou 
a resistência do ar, deste modo é válido o princípio da conservação da energia mecânica, e numa análise 
mais ampla também é obedecido o princípio da conservação da energia. Todavia, este último é sempre 
obedecido, qualquer que seja o sistema mesmo quando há forças dissipativas, pois se a energia 
mecânica não é conservada, a energia como todo o é, o atrito ao dissipar parte daquela energia a 
transforma em energia térmica. 
Sendo assim, pela análise da equação (134) que foi obtida em qualquer um dos casos ilustrados 
nas figuras 120, 121 e 122, pode-se chegar a seguinte conclusão: 
 
Num sistema for conservativo a energia mecânica será a mesma independentemente do caminho 
a ser seguido desde o ponto inicial até o final. 
 
Veja o caso do pêndulo da figura 123 
 
 
Figura 123. 
 
Se o corpo de massa m sair do ponto A numa altura hA com velocidade vA, passar por B numa altura hB 
com velocidade vB e passar pelo ponto C numa altura hC com velocidade vC, sem qualquer força 
dissipativa, então a energia mecânica é constante, ou seja, 
 
 
)C(m)B(m)A(m EEE 
  
 
)C()C()B()B()A()A(
UKUKUK 
  
 
)C(
2
)C(
)B(
2
)B(
)A(
2
)A(
h.g.m
2
v.m
h.g.m
2
v.m
h.g.m
2
v.m

. (139) 
 
Este resultado mostra que se v(A) = 0 e v(C) = 0, então h(A) = h(C), ou seja, se o corpo for 
abandonado no ponto A então ele chegará no ponto C no máximo à mesma altura de onde saiu e jamais 
passará desse ponto (inclusive esse resultado já havia sido obtido por Galileu numa época em que nem 
se existia o conceito de energia). 
Neste sentido, o princípio da conservação da energia mecânica mostra que durante o movimento 
há contínua transformação de energia potencial gravitacional em energia cinética, e vice-versa. O 
responsável por essas transformações é a força peso, uma força externa, porém não é dissipativa, mas 
ao contrário, é uma força conservativa. 
 
 
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Gráfico da Energia Mecânica 
 
Graficamente se for analisado medida da energia cinética (K), da energia potencial gravitacional 
(U) e da energia mecânica (Em) entre os pontos A, B e C do gráfico 41 se obtém os gráficos 
 
 
Gráfico 41. 
 
 
Gráfico 42. 
 
 
Gráfico 43. 
 
 
 
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Energia Mecânica e Colisões 
 
Nas colisões perfeitamente elástica, perfeitamente inelástica e semi-elásticas sempre é válido o 
princípio da conservação da quantidade de movimento, da mesma forma é válido o princípio da 
conservação da energia, no entanto, o princípio da conservação da energia mecânica se aplica somente 
à colisão perfeitamente elástica, pois nesse caso o coeficiente de restituição  = 1, caracteriza a 
restituição integral de toda energia mecânica. Deste modo, na colisão semi-elástica há perda de energia 
mecânica e na colisão perfeitamente inelástica há muita perda de energia mecânica. 
O princípio mais geral de conservação de energia é válido sempre, deste modo, com exceção 
da colisão perfeitamente elástica, as colisões transformam parte da energia mecânica em outras formas 
de energia, como térmica, sonora, entre outras. 
 
 
 
 
Exercícios de Propostos 
 
01. Um corpo é abandonado de uma altura de 20m em relação ao solo. Admitindo g = 10m/s2, 
desprezando a resistência do ar e utilizando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica, 
determine a velocidade com que ele atinge o solo. 
 
 
02. (GASPAR) A figura a seguir representa um pêndulo balístico. Um projétil de massa 20g é disparado 
horizontalmente contra um bloco de madeira de massa 5,0kg suspenso, em repouso. Após o impacto, 
o projétil se aloja no bloco e ambos sobem uma altura h = 20 cm. 
 
 
 
a) Qual é a velocidade do conjunto imediatamente após o choque? 
b) Qual a velocidade do projétil ao atingir o bloco? (Admita g = 10m/s2.) 
 
 
03. Uma esfera de massa m desliza, com atrito desprezível, ao longo de um trilho em laço, conforme a 
figura abaixo. A esfera parte do repouso no ponto y = 4R acima do nível da parte mais baixa do trilho. 
Assinale a alternativa que mostra os valores corretos para a velocidade da esfera (vx) e da força 
normal (fn) exercida sobre a esfera, no ponto x (ponto mais alto da trajetória circular): 
 
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a) 
gR4v x 
 ; fn = 4mg 
b) 
gR4v x 
 ; fn = 3mg 
c) 
gR3v x 
 ; fn = 4mg 
d) 
gR3v x 
 ; fn = 3mg 
e) 
gR2v x 
 ; fn = 2mg 
 
04. (GASPAR) Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa mola e volta (veja a figura abaixo). 
Ele pode atingir na volta uma altura maior do que aquela de que foi abandonado? Justifique. 
 
 
 
 
05. Numa situação real, no lançamento oblíquo de projéteis, a energia mecânica inicial é maior, menor, 
ou igual a energia mecânica final. Justifique. 
 
06. Um corpo de massa 2,0 kg está caindo com velocidade de 6,0m/s e está a 1,5m de altura do solo. 
Admitindo g = 10m/s2, determine a sua energia mecânica. 
 
07. (HEWITT) Um professor de física demonstra a conservação de energia soltando um pêndulo 
pesado, como mostra a ilustração, permitindo que ele oscile para frente e para trás. O que 
aconteceria se, em seu entusiasmo, ele desse um ligeiro empurrão na bola do pêndulo quando esta 
deixasse seu nariz? Explique. 
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08. (HEWITT) Considere duas bolas idênticas, soltas na pistas A e B a partir do repouso, como 
mostrado. Quando elas alcançarem as extremidades finais das pistas, qual será mais veloz? 
 
 
09. Um carrinho de massa m = 300kg percorre uma montanha russa cujo trecho BCD é um arco de 
circunferência de raio R = 5,4m, conforme a figura adiante. A velocidade do carrinho no ponto A é vA 
= 12m/s. Considerando g = 10m/s2 e desprezando o atrito, calcule; 
 
 
 
a) a velocidade do carrinho no ponto C; 
b) a aceleração do carrinho no ponto C; 
c) a força feita pelos trilhos sobre o carrinho no ponto C. 
 
10. (HEWITT) Considere um aparelho com um conjunto de pêndulos com bolas. Se duas bolas são 
erguidas e liberadas, o mometum (quantidade de movimento) é conservado quando duas bolas 
saltam do outro lado com a mesma rapidez no impacto das bolas que foram liberadas. Mas o 
momentum também seria conservado se apenas uma bola saltasse do outro lado com o dobro da 
rapidez. Explique por que isso jamais ocorre? 
 
HEWITT, PAUL G. – Física Conceitual. 9ª. Edição, Bookman Companhia Editora, Porto Alegre, RS, 2002, p. 130. 
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Teorema da Energia Cinética 
 
 
Quando um objeto acelera, ele ganha energia cinética. Este ganho vem do trabalho realizado 
sobre ele. O trabalho é resultado de alguém que está gastando sua energia, que por sua vez está sendo 
transferida para o objeto. Por exemplo, quando você arremessa uma bola de boliche, no momento inicial 
ela está em repouso na sua mão, em seguida o seu corpo gasta energia na forma de trabalho sobre a 
bola, esta recebe essa energia convertida na forma de energia cinética que é acrescida à energia inicial. 
Deste modo, com mais energia cinética ela sai de sua mão com maior velocidade. Resumidamente o 
ganho de energia que a bola teve, provém do trabalho que você realizou sobre ela, ver figura 124 
 
 
Figura 124. 
 
Sendo o trabalhomecânico (W) igual a variação da energia mecânica (Em),
mEW 
, oriundo 
do processo de transformação, e usando a definição de energia mecânica, tem-se 
 
 
)UK(UKEEEW
)0()0()0(mmm

  
 
 
)0()0(
UUKKW 
, (140) 
 
como U = U – U(0) = 0, pois não há mudança na sua energia potencial, logo a equação (140) passa a 
expressar a transformação de trabalho em energia cinética dada por 
 
KW 
, (141) 
 
ou seja, o trabalho mecânico é igual à variação da energia cinética, também chamado de teorema da 
energia cinética. 
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De forma análoga, acontece quando essa bola pára após rolar sobre o piso durante certo tempo. 
A sua energia cinética, nesse caso, foi dissipada pelo trabalho da força de atrito, ou seja, a energia 
cinética se transformou em trabalho do atrito. E o que aconteceu com o trabalho do atrito? Essa energia 
se transformou em energia térmica que é dissipada para o ambiente, processo chamado calor. Quanto 
maior é a energia cinética de um objeto, maior será o trabalho necessário para detê-lo. Se a energia 
cinética for o dobro, então o trabalho também será o dobro. Quando um automóvel é freado sua energia 
cinética se transforma em trabalho da força de atrito que ao mesmo tempo transforma isso em energia 
térmica dissipada para o meio, na figura 125 mostra o disco de freio em brasa de um carro de corrida 
quando ele é freado 
 
 
http://splashandgo.zip.net/images/brakes-renault.jpg 
Figura 125. 
 
 
 
Trabalho da Força Resultante 
 
Usando a equação (141), num corpo como o da figura 126 
 
 
Figura 126 
 
se obtém 
 
2
v.m
2
v.m
KW
2
0
2

  
 
 202 vv
2
m
W 
, (142) 
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Substituindo a equação de Torricélli – equação (61), 
s.a.2vv 20
2 
, na equação (142), o 
trabalho mecânico fica 
 
 2020 vs.a.2v
2
m
W 
  
 
s.a.mW 
, (143) 
 
Mas, F = ma é a 2ª lei de Newton e definição da força resultante, logo substituindo essa definição 
na equação (143), se obtém 
 
Ks.FW 
. (144) 
 
Esse resultado mostra que ação de uma força resultante 
F
 sobre um corpo ao longo de um 
deslocamento 
s


, é o resultado da realização de um trabalho mecânico W que fornece ao corpo uma 
quantidade de energia cinética Ec. No caso da força resultante ser oposta ao movimento, tem-se W = - 
K, este resultado significa que o corpo sofreu uma perda energia cinética. 
Sendo assim, a equação (144) expressa plenamente o teorema energia cinética, cujo enunciado 
é: 
 
O trabalho da força resultante que atuam sobre um corpo ao longo de um deslocamento é igual 
à variação da energia cinética sofrida por esse corpo. 
 
O trabalho W é grandeza escalar, pois não possui direção e sentido, portanto o produto 
s.Fs.F


é chamado de produto escalar de duas grandezas vetoriais e é uma grandeza escalar. Como 
dito anteriormente, o produto escalar significa a ação de um vetor ao longo da direção de outro vetor. 
Como essa ação de um vetor não modifica a direção e o sentido deste último vetor, pois atua ao longo 
deste, não possui direção e sentido, por isso é uma grandeza escalar. Assim, a força resultante 
F
 que 
age num deslocamento 
s


, é o trabalho W. 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
01. Um automóvel que tem velocidade igual a 30km/h necessita de uma certa distância para parar. Se 
esse mesmo automóvel estiver com velocidade igual a 60km/h, então qual será a distância necessária 
para parar, caso ele venha a frear da mesma forma? 
 
02. Um automóvel de 1000 kg com velocidade de 36km/h é acelerado até atingir a velocidade de 
108km/h. Qual é o trabalho necessário para isso acontecer? 
 
03. Um projétil de massa 10 g com velocidade v0 = 600m/s colide com um bloco de gel balístico (gel que 
possui propriedades físicas parecidas com os órgãos em geral do corpo), ver figura a seguir. Ele 
penetra 10cm até parar. Determine a força de resistência que o gel produz para frear o projétil. 
 
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04. Um automóvel de massa 1000 kg tem velocidade de 36km/h quando acelera e atinge uma velocidade 
de 72km/h. Qual o trabalho da força resultante que atua sobre o automóvel? 
 
05. Uma pessoa em repouso sobre um piso horizontal observa um cubo, de massa 0,20 kg, que desliza 
sobre o piso, em movimento retilíneo de translação. Inicialmente, o cubo desliza sem atrito, com 
velocidade constante de 2 m/s. Em seguida, o cubo encontra pela frente, e atravessa em linha reta, 
um trecho do piso, de 0,3 m, onde existe atrito. Logo após a travessia deste trecho, a velocidade de 
deslizamento do cubo é de 1 m/s. Para aquele observador, qual foi o trabalho realizado pela força de 
atrito sobre o cubo? 
 
06. Um veículo está rodando à velocidade de 36 km/h numa estrada reta e horizontal, quando o motorista 
aciona o freio. Supondo que a velocidade do veículo se reduz uniformemente à razão de 4 m/s em 
cada segundo a partir do momento em que o freio foi acionado, determine 
a) o tempo decorrido entre o instante do acionamento do freio e o instante em que o veículo pára; 
 
b) a distância percorrida pelo veículo nesse intervalo de tempo. 
 
07.Uma bala de 20 g, com velocidade de 1000 m/s, atinge e penetra 10 cm uma parede horizontalmente. 
Determine o trabalho realizado pela parede sobre a bala. Dado: 1 g = 10-3kg. 
 
08.Um carro movendo-se possui energia cinética. Se ele acelera até ficar duas vezes mais rápido, quanta 
energia cinética ele possui, comparativamente? 
 
09. Um bola de tênis de 100 g de massa antes de bater na raquete tem uma velocidade de 20m/s. 
Imediatamente após a batida tem velocidade de 40m/s. Determine: 
a) o trabalho realizado pela raquete; 
 
b) o ganho de energia cinética que ela teve. 
 
 
10. (HEWITT) Um carro que viaja numa rodovia horizontal com rapidez v pisa nos freios e derrapa até 
parar. Se a força de atrito sobre o carro valer metade do peso do carro, quão longe ele derrapará? 
 
 
 
 
 
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Teorema da Energia Potencial Gravitacional 
 
Considere um objeto sendo elevado de uma altura h0 para uma altura h > h0 com velocidade 
constante, por exemplo, como num guindaste. Para isso acontecer um trabalho foi realizado sobre ele, 
ver figura 127 
 
Figura 127. 
 
Sendo o trabalho mecânico (W) igual a variação da energia mecânica (Em),
mEW 
, oriundo 
do processo de transformação e usando a definição de energia mecânica, tem-se 
 
 
)UK(UKEEEW
)0()0()0(mmm

  
 
 
)0()0(
UUKKW 
, (145) 
 
como K = K – K(0) = 0, pois não há mudança na sua energia cinética (v = cte), logo a equação (145) 
passa a expressar a transformação de trabalho em energia potencial gravitacional dada por 
 
UW 
, ( 146) 
 
ou seja, o trabalho mecânico é igual à variação da energia potencial gravitacional, também chamado de 
teorema da energia potencial. 
A ação da força 
F
 foi equilibrada pela força peso 
P
 , pois, a aceleração e a força resultante foram 
nulas. Porém, essa força 
F
 forneceu ao objeto energia potencial gravitacional que fica armazenada até 
que seja necessária para produzir movimento. 
Quando esse objeto é abandonado desta altura h, se for desprezada a resistência do ar, ele cai 
em queda livre. Durante a queda a força peso realizaum trabalho que gasta aquela energia potencial 
gravitacional. Ao longo da queda, esta energia é transformada pelo trabalho do peso em energia cinética 
Ec, conservando assim a energia mecânica Em do corpo. Se a colisão com o chão for totalmente elástica 
haverá restituição total da energia, assim, o objeto retorna até a altura h para recomeçar tudo novamente. 
Se a colisão for parcialmente elástica, parte dessa energia mecânica irá se transformar em energia 
térmica (calor) que é dissipada para o ambiente, a outra parte será restituída e fará o objeto subir uma 
altura menor do que a anterior. A cada nova queda o objeto subirá uma altura menor até que toda energia 
mecânica seja convertida em energia térmica. Se a colisão for inelástica, então de imediato a energia 
mecânica se transforma integralmente em energia térmica. 
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Trabalho da Força Peso ou Força Resultante na Queda Livre 
 
Usando a equação (146), num corpo em queda livre como o da figura 128 
 
 
Figura 128 
 
se obtém 
 
)h.g.mh.g.m(UW
0

, (147) 
 
o valor negativo se refere à perda da energia potencial, assim a equação (147) fica 
 
)hh.(g.mW 0
, (148) 
 
Substituindo a equação da força peso, P = -m.g, com P = F = força resultante e s = h – h0, na equação 
(148), o trabalho mecânico fica 
 
Us.FW 
. (149) 
 
Sendo assim, a equação (149) expressa plenamente o teorema energia potencial, cujo enunciado é: 
 
O trabalho da força peso que atua sobre um corpo ao longo de um deslocamento é igual a menos 
à variação da energia potencial sofrida por esse corpo. 
 
O resultado da equação (149) mostra que a ação da força resultante 
F
 , nesse caso a força peso 
P
 , sobre um corpo ao longo de um deslocamento 
s


 na queda livre, realiza um trabalho mecânico W 
que significa um consumo de uma quantidade de energia potencial gravitacional U. Esse sinal negativo 
tem grande importância porque ele dá significado ao que está acontecendo. Perceba que ao longo da 
queda numa análise feita pela equação (144), 
KW 
,há um ganho de energia cinética que o corpo 
teve entre os instantes inicial e final, e numa análise pela equação (149),
UW 
, há um gasto de 
energia potencial que o corpo teve entre os mesmos instantes. Se forem somadas essas duas equações 
para se obter o trabalho total WT, tem-se 
 
 
0)U(KW
T

, (150) 
 
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isto mostra que o trabalho total é nulo, ou seja, se o sistema não tem um saldo de energia mecânica, 
então ela foi conservada. Isso significa que a força peso 
P
 é uma força conservativa e o sistema é 
chamado de sistema conservativo. 
No caso de haver atrito com o ar a K < U, então o trabalho total seria dado por 
 
 
0)U(KW
T

. (151) 
 
O sinal negativo desse resultado mostra uma perda de energia mecânica devido a uma força 
dissipativa – a força de atrito do ar, cujo trabalho pode ser obtido por 
 
s.FW
)a()a(

, (152) 
 
na qual, W(a) é o trabalho da força de atrito e F(a) é a força de atrito. 
Resumidamente, o trabalho da força peso pode ser: 
a) negativo – quando o corpo é elevado, pois o seu sentido é oposto do deslocamento, enquanto 
a variação da energia potencial é positiva (há um ganho); 
b) positivo – quando o corpo desce, pois o seu sentido é a favor do deslocamento, enquanto a 
variação da energia potencial é negativa (há um gasto). 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
01. Um guindaste eleva a velocidade constante, um corpo de massa 500 kg do chão até uma altura igual 
a 20m. Considere g = 10m/s2. 
a) Qual é o trabalho realizado pelo guindaste? 
b) Quanta energia potencial o corpo passou a ter? 
 
02. Uma pessoa de 60 kg deve subir 5 andares de um edifício, cada andar tem 3 m. Determine quanta 
energia potencial essa pessoa irá adquirir? Por que o trabalho total realizado pelo corpo da pessoa 
não é igual ao trabalho mecânico? 
 
03. Determine a energia potencial de um objeto de 20 kg que é elevado até uma altura de 2m. Dado: g 
= 10m/s2. 
 
04. Um bate-estacas está sendo usado para fincar uma estaca no solo. O peso do bate-estacas é 
abandonado, sucessivamente, de duas alturas diferentes. 
 
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a) Em qual caso a estaca penetrará mais no solo ao ser atingida pelo peso? 
b) Então, em qual situação o peso do bate-estaca possuía maior energia potencial gravitacional? 
 
05. Uma pequena bola de borracha, de massa 50g, é abandonada de um ponto A situado a uma altura 
de 5,0 m e, depois de chocar-se com o solo, eleva-se verticalmente até um ponto B, situado a 3,6m. 
Considere a aceleração local da gravidade 10m/s2. 
a) Calcule a energia potencial gravitacional da bola nas posições A e B. Adote o solo como nível 
horizontal de referência para a medida da energia potencial; 
b) Por que motivo a bola não subiu até a altura inicial? Proponha uma explicação. 
 
06. Um menino, situado no alto de um edifício, cuja altura é 8,0 m, deixa cair um corpo de massa m = 
10kg. (Considere g = 10m/s2.) 
a) Qual é a Ep gravitacional do corpo, no alto do edifício? 
b) Qual é a Ep gravitacional do corpo ao passar por um ponto B, situado a uma altura hB = 2,0m acima 
do solo? 
c) Qual o trabalho realizado pelo peso do corpo no deslocamento de A para B? 
 
 
07. Um lustre , de massa m = 2,0 kg, desprende-se do teto, caindo sobre o chão da sal, de uma altura 
há = 3,0m. 
a) Qual era a energia potencial do lustre em relação ao chão, quando ele se encontrava no teto? 
b) Qual é o trabalho que a força peso irá realizar sobre o lustre até o chão? 
c) Qual será a variação da energia cinética do lustre do teto ao chão? 
d) Qual será a velocidade do lustre ao chegar ao chão? 
 
08. Uma caixa d’água, cuja capacidade é de 2000L, está situada a 6,0m de altura acima de um 
reservatório. Uma bomba, funcionando durante 20minutos, eleva verticalmente a água, enchendo 
completamente a caixa. Calcule o trabalho realizado pela bomba para elevar a água até a caixa? 
Dado: densidade da água = 1kg/L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Trabalho de Uma Força Constante 
 
Quando se estudou o princípio da conservação da quantidade de movimento se definiu que a 
taxa de variação da quantidade de movimento 
p
 de um corpo ou sistema varia apenas quando há ação 
de uma força resultante externa 
F
 em relação ao tempo expressa por 
dt
pd
F


. Desta definição, se 
construiu o conceito de impulso 
 dt.FI

, cujo significado é: as mudanças no movimento de um objeto 
dependem tanto da força como de quão longa é a sua atuação, que neste caso significa: duração de sua 
ação. No entanto, o “quão longo” também pode significar distância. Deste modo, os teoremas das 
energias cinética e energia potencial, mostraram pelas equações (144), 
Ks.FW 
,e (149),
Us.FW 
, que uma força que atua ao longo de uma distância também produz mudança no 
movimento, mas nesse caso, uma mudança na sua energia cinética e/ou potencial. Essa mudança é 
chamada de trabalho W. 
Se a força 
F
 for constante e tiver a mesma direção e sentido do deslocamento 
s


, ver figura 
129 
 
Figura 129. 
O trabalho W é definido na forma generalizada 
.s.FW 
 (153) 
 
No entanto, se a força 
F
 atuar numa direção  diferente de 
s


, então o trabalho será realizado pelacomponente de 
F
 na mesma direção de 
s


, ver figura 130 
 
 
Figura 130. 
No caso a intensidade da componente 
xF
 é dada por 
F
F
cosθ x
 
 cos.FFx
. (154) 
‘ 
Substituindo a equação (154) na equação (153) se obtém 
 
 cos.s.FW
. (155) 
O cosseno do ângulo  pode variar de -1 ≤  ≤ 1, deste modo, o trabalho pode variar de: 
 
 - F.s ≤ W ≤ F.s 
 
Nos casos em que  = 90º ou  = 270º , o cos 90º = cos 270º = 0, logo W = 0. 
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Gráfico Força x distância 
 
Considere uma força constante atuando sobre um corpo ao longo do seu deslocamento. Esse 
movimento pode ser descrito pelo gráfico a seguir: 
 
 
Gráfico 44. 
 
Com relação a isso, ao considerar a equação (153) pode-se perceber que a medida da força F 
corresponde à medida da altura do retângulo formado abaixo da linha do gráfico e o deslocamento s é 
a base deste retângulo, deste modo, multiplicando-se a base pela altura, obtém-se a área geométrica do 
gráfico. Por conseguinte, isso corresponde à medida do trabalho realizado pela força em questão, ver 
gráfico 45 
 
 
Gráfico 45. 
 
 
 
 
 
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Diferença entre Impulso e Trabalho 
 
Apesar das analogias feitas no início deste módulo entre impulso e trabalho, há uma diferença 
significativa em seus conceitos: impulso é grandeza vetorial, deste modo, na sua definição a força 
F
 é a 
força resultante externa que modifica o movimento, portanto não se determina o impulso de cada força 
que atua num corpo, mas sim o impulso da força resultante; de outra forma, trabalho é grandeza escalar, 
portanto, pode haver trabalho de qualquer força que atue no corpo ao longo do deslocamento, assim, o 
trabalho total é a soma algébrica dos trabalhos realizados por todas as forças. Para entender isso, reveja 
o caso do teorema da energia potencial, ver figura 131 
 
 
Figura 131. 
 
Neste caso, o corpo foi elevado da altura h0 até a altura h por uma força F constante para cima 
de intensidade igual ao seu peso, consequentemente a força resultante foi nula e não houve impulso, 
mas houve trabalho tanto da força para cima quanto da força peso. Se o trabalho da força para cima foi 
WF = m.g.h e o trabalho do peso foi WP = -m.g.h, então o trabalho total aparentemente deveria ser 
nulo. Sendo assim, como explicar o acréscimo de energia potencial que o corpo adquiriu? Essa confusão 
surge quando se considera apenas a análise vetorial das forças envolvidas, por exemplo, no caso a força 
resultante é nula, portanto o seu trabalho é nulo. De fato o é. No entanto, há mais coisas a serem 
consideradas. Primeiro, considere que o corpo seja lançado para cima com velocidade v0 sem ação da 
força 
F
 ou de forças dissipativas, como o atrito com o ar, portanto age sobre ele apenas a força peso 
P

. Neste caso, o corpo inicialmente possuía uma quantidade de energia cinética. Durante a subida, a força 
peso oposta ao movimento realiza um trabalho igual a WP = - m.g.h = -K. O sinal negativo representa 
que o trabalho da força peso exauriu a energia cinética que havia no corpo até atingir a altura máxima, 
porém, devido o princípio da conservação da energia mecânica a exaustão da energia cinética não 
significa o seu desaparecimento, mas sim sua conversão em energia potencial gravitacional, ou seja, o 
trabalho da força peso, apenas serviu para transformar a energia cinética em energia potencial 
gravitacional. Se compararmos a energia mecânica no início do movimento com a do final, não se 
perceberá qualquer acréscimo ou decréscimo, pois o sistema é conservativo, e a força peso, como já se 
sabe não é uma força dissipativa. Apesar de haver uma força resultante, no caso a força peso, e de haver 
um trabalho dessa força, o sistema não sofre nenhum acréscimo na energia mecânica, ou seja, para a 
quantidade total da energia mecânica, o trabalho da força resultante não modificou nada, aliás foi o 
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responsável pela sua manutenção. Segundo, considere apenas a ação da força 
F
 constante vertical para 
cima com valor igual ao peso do objeto, mas sem de fato existir a ação da gravidade. Neste caso, o corpo 
iria acelerar para cima com aceleração de módulo igual a g. Essa aceleração faria a velocidade do corpo 
aumentar de um valor v0 para um valor v > v0, consequentemente, o corpo aumentaria a sua energia 
cinética K e não aumentaria a sua energia potencial devido à ausência da aceleração da gravidade. Se 
fosse comparada a energia mecânica inicial com a final, haveria uma diferença entre elas, ou seja, a 
força 
F
 não é uma força conservativa e o corpo teria um ganho de energia mecânica, ou, no caso energia 
cinética. Terceiro, considere a ação da força 
F
 constante vertical para cima, com o corpo iniciando o seu 
movimento com uma velocidade inicial v0 que se mantém constante e sob ação da gravidade. Este caso, 
que é o da figura 131, é uma mescla entre os dois anteriores, mostra que a força 
F
 não é uma força 
conservativa e produziria um acréscimo na energia cinética do corpo. No entanto, a ação da força peso 
é conservativa e impede esse aumento de velocidade e, por conseguinte, um aumento na energia 
cinética, pois a força resultante dessas forças para cima e para baixo se anulam. Pelo teorema da energia 
cinética não houve trabalho da força resultante. Isto é verdade, no entanto, a energia mecânica não é 
feita apenas da energia cinética, mas também da energia potencial, que nesse caso teve um ganho, 
portanto houve trabalho. Esse trabalho é o acréscimo de energia que a força 
F
 faria em energia cinética, 
que foi impedido pela força peso, que por sua vez transformou esse acréscimo em energia potencial 
gravitacional. Por fim, de onde veio a energia da forca 
F
 ? Veio do esforço de quem levantou o corpo, ou 
seja, alguém levantou a massa e gastou energia para fazê-lo e nesse processo houve trabalho. 
Essa discussão foi necessária para mostrar e reforçar o que foi dito no módulo 31: o trabalho é 
o processo pelo qual uma energia se transforma em outra, ou é uma maneira de transferir energia de 
um lugar para outro. Sem transformação ou transferência não há trabalho. 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
01. Um homem puxa a sua mala de viagem por meio de um fio com uma força 
F
 de intensidade 100N. 
O fio forma com a horizontal um ângulo de 60º. Determine o trabalho realizado pela força 
F
 para 
um deslocamento de 20m. 
 
02. Um pingo de chuva massa 5,0.10-5 kg cai com velocidade constante de uma altitude de 120 m, sem 
que sua massa varie, num local onde a aceleração da gravidade g é 10m/s². Nestas condições, a 
força de atrito Fa do ar sobre a gota e a energia Ea dissipada durante a queda são respectivamente: 
a) 5,0.10-4 N e 5,0.10-4 J. 
b) 1,0.10-3 N e 1,0.10-1 J. 
c) 5,0.10-4 N e 5,0.10-2 J. 
d) 5,0.10-4 N e 6,0.10-2 J. 
e) 5,0.10-4 N e 0 J. 
 
03. Numa câmara frigorífica, um bloco de gelo de massa m=8,0kg desliza sobre rampa de madeira da 
figura a seguir, partindo do repouso, de uma altura h=1,8m. 
 
 
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a) Se o atrito entre o gelo e a madeira fosse desprezível, qual seria o valor da velocidade do bloco ao 
atingir o solo (ponto A da figura)? 
b) Entretanto, apesar de pequeno, o atrito entre o gelo e a madeira não é desprezível, de modo que o 
bloco de gelo e chega à base da rampa com velocidade de 4,0m/s. Qual foi a energiadissipada pelo 
atrito? 
 
04. Um homem empurra um carro de mão (carriola) com uma força de 500N inclinada em 30º com a 
horizontal. Determine o trabalho realizado por essa força se o deslocamento for de 100m. 
 
 
 
05. Um bloco de10 kg desce um plano inclinado com atrito desprezível. O plano forma um ângulo de 
60º com a horizontal e seu comprimento é de 10m. Determine: 
a) a força resultante; 
b) o trabalho da força resultante; 
c) A velocidade do bloco ao final do plano se ele partiu do repouso. 
 
06.Um objeto de 20kg desliza um plano inclinado com velocidade constante. O plano forma com a 
horizontal um ângulo de 30º. Sendo a altura do plano 2m e g = 10m/s2, determine: 
a) A intensidade da força de atrito (Dica: decomponha P em Px e Py); 
b) A energia potencial inicial; 
c) O comprimento do plano inclinado; 
d) A energia dissipada pelo atrito; 
e) A velocidade final do objeto. 
 
07. Por que a força da gravidade não realiza trabalho sobre (a) uma bola de boliche rolando sobre a 
pista e (b) um satélite em órbita circular ao redor da Terra? 
 
08. Por que a força da gravidade realiza trabalho sobre um carro enquanto ele desce uma colina, mas 
não enquanto ele está percorrendo um trecho horizontal da estrada? 
 
09. Um corpo de massa 2 kg é abandonado no alto de um piano inclinado, a 30 m do chão, conforme a 
figura. 
30m
30
o
 
Na ausência de atrito e imediatamente após 2 s de movimento, calcule as energias: 
a) cinética; 
b) potencial. 
 
 
F = 500N
30
o
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10. Um sistema mecânico faz com que um corpo de massa Mo, após um certo tempo em queda, atinja 
uma velocidade descendente constante Vo devido ao efeito do movimento de outra massa m, que age 
como freio. A massa m é vinculada a uma haste H, presa ao eixo E de um cilindro C, de raio Ro, 
conforme mostrado na figura a seguir. 
Quando a massa Mo cai, desenrola-se um fio que movimenta o cilindro e o eixo, fazendo com que a 
massa m descreva um movimento circular de raio Ro. A velocidade Vo é mantida constante, pela força 
de atrito, entre a massa m e a parede A, devido ao coeficiente de atrito μ entre elas e à força centrípeta 
que age sobre essa massa. Para tal situação, em função dos parâmetros m, Mo, Ro, Vo, μ e g, 
determine: 
NOTE E ADOTE: 
O trabalho dissipado pela força de atrito em uma volta é igual ao trabalho realizado pela força peso, no 
movimento correspondente da massa Mo, com velocidade Vo, 
 
 
 
a) o trabalho Tg, realizado pela força da gravidade, quando a massa Mo, percorre uma distância vertical 
correspondente a uma volta completa do cilindro C. 
b) o trabalho TA, dissipado pela força de atrito, quando a massa m realiza uma volta completa. 
c) a velocidade Vo, em função das demais variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Trabalho de Uma Força Variável e Teorema da 
Energia Potencial Elástica 
 
Força Elástica – Lei de Hooke 
 
Robert Hooke (1635 - 1703) em 1676 publicou um trabalho na qual apresentava um tipo de força 
variável que surgia a partir de corpos elásticos. Corpos elásticos são objetos que ao sofrerem 
deformações tendem a retomar a forma original espontaneamente. Em seu estudo, ele observou que o 
comportamento mecânico de uma mola - um corpo elástico - seguia uma lei, na qual a força necessária 
para deformá-la era diretamente proporcional a deformação. Para ilustrar isso, considere um exemplo de 
uma mola que está suspensa numa base metálica presa em uma de suas extremidades, ver figura 132 
 
 
Figura 132. 
 
Na extremidade livre inferior da mola, pendura-se um corpo pesado, ver figura 133 
 
 
Figura 133. 
 
A mola alonga-se até a força exercida por ela, chamada força elástica, 
.E lastF
 , equilibrar a força 
peso, 
P
 , que atua sobre o corpo a ficar numa posição de equilíbrio (O), ver figura 134 
 
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Figura 134. 
 
A força elástica é proporcional a deformação que a mola sofreu e é definida pela lei de Hooke 
dada por 
 
x.kF .Elast


 (156) 
 
Onde k é a constante elástica da mola e 
x


é a deformação da mola ou deslocamento, o sinal 
negativo indica que a força elástica tem sentido oposto à deformação. 
Se a força peso fosse maior, então a força elástica e a deformação seriam também maiores. 
Para se produzir uma força elástica, também se pode associar várias molas. Basicamente há 
duas formas distintas de associação: em série e em paralelo. 
 
 
Associação de Molas em Série 
 
Duas molas são associadas em série, quando a extremidade de uma está ligada ao começo da 
outra, ver figura 135 (a), cada uma pode ter constantes elásticas distintas ou não. A característica 
fundamental dessa forma de associação é que a força elástica é a mesma em ambas as molas 
associadas. Considere as molas associadas da figura 135 (b) com massas desprezíveis. 
 
 
Figura 135. 
 
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A mola superior suporta o peso 
P
 do corpo, portanto sua força elástica para no equilíbrio dever ser 
PF .Elast


. Da mesma forma, a mola inferior também suporta o mesmo peso. No entanto, cada uma 
sofre sua própria deformação, a primeira, uma deformação x1, cujo módulo é dado por 
 
1
.Elast
1
k
F
x 
; (157) 
 
a segunda, uma deformação x2, cujo módulo é dado por 
 
2
.Elast
2
k
F
x 
; (158) 
 
e ambas se comportam como se fossem uma só com deformação total xT, cujo módulo é dado por 
 
T
.Elast
T
k
F
x 
, (159) 
 
na qual kT é a constante elástica da mola equivalente ao conjunto. 
A deformação total é a soma da deformação da primeira mola com a da segunda, ou seja 
 
21T xxx 
. (160) 
 
Substituindo as equações (157), (158) e (159) na equação (160) se obtém 
 
2
.Elast
1
.Elast
T
.Elast
k
F
k
F
k
F

, (161) 
 
simplificando a FElast em ambos os membros se tem 
 
21T k
1
k
1
k
1

. (162) 
 
Essa equação possibilita determinar a constante elástica kT de uma mola equivalente ao 
conjunto de molas associadas em série. 
Se no conjunto houver n molas associadas em série, a equação (162) pode ser generalizada 
para 
 
n21T k
1
...
k
1
k
1
k
1

. (163) 
 
 
Associação de Molas em Paralelo 
 
Duas molas são associadas em paralelo, quando as suas extremidades estão ligadas aos 
mesmos suportes das outras, ver figura 136 (a), cada uma pode ter constantes elásticas distintas ou 
não. A característica fundamental dessa forma de associação é a deformação de todas serão iguais. 
Considere as molas associadas da figura 136 (b) com massas desprezíveis. 
 
 
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Figura 136. 
 
Neste caso, cada mola suporta uma parte do peso, portanto, a mola de constante k1 exerce uma força 
elástica 
1F
 ,cujo módulo é dado por 
 
12.1 x.kF 
; (164) 
 
a mola de constante k2 exerce uma força elástica 
2F
 ,cujo módulo é dado por 
 
22.2 x.kF 
; (165) 
 
e ambas se comportam como se fossem uma só com força elástica 
TF
 , cujo módulo é dado por 
 
TT.T x.kF 
; (166) 
 
na qual kT é a constante elástica da mola equivalente ao conjunto. 
Aforça elástica total é a soma das forças elásticas de cada mola, ou seja 
 
21T FFF 
. (167) 
 
Substituindo as equações (164), (165) e (166) na equação (167) se obtém 
 
2211TT x.kx.kx.k 
, (168) 
 
simplificando xT , com x1 e x2, pois são iguais em ambos os membros se tem 
 
21T kkk 
, (169) 
 
Essa equação possibilita determinar a constante elástica kT de uma mola equivalente ao 
conjunto de molas associadas em paralelo. 
Se no conjunto houver n molas associadas em série, a equação (169) pode ser generalizada 
para 
 
n21T k...kkk 
. (170) 
 
 
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Trabalho de Uma Força Variável 
 
No caso de uma força variável que atua na direção do deslocamento, o trabalho pode ser 
calculado por meio de um gráfico que descreva como essa força varia ao longo do deslocamento, ver 
gráfico 46 
 
 
Gráfico 46. 
 
 
Foi visto anteriormente que se a força for constante ao longo do deslocamento, o trabalho é 
determinado pela área geométrica do retângulo formado pelo gráfico. No entanto, o gráfico 46 descreve 
uma força variável, mas que pode ser tratado da seguinte forma: decompor a curva do gráfico em trechos 
menores de deslocamentos iguais de força constante, ver gráfico 47 
 
 
Gráfico 47. 
 
Neste caso, a curva foi fragmentada em quatro trechos menores, em cada um foi considerado um 
deslocamento com uma força constante igual um valor médio da força neste intervalo. Em cada um, 
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pode-se calcular o trabalho de sua correspondente força média. A as quatro forças produzem quatro 
trabalhos, ver gráfico 48 
 
 
Gráfico 48. 
 
Nesse procedimento o trabalho total WT não é o trabalho realizado pela força variável WF, no 
entanto, é um valor aproximado, dado por: 
 
F4321T WWWWWW 
. (172) 
 
Apesar do resultado ser aproximado, esse mesmo procedimento sugere como se pode diminuir 
essa diferença: basta fragmentar o deslocamento em trechos ainda menores, ver gráfico 49 
 
 
Gráfico 49. 
 
O trabalho total WT ainda não é o trabalho realizado pela força variável WF, no entanto, é um 
valor mais próximo, dado por: 
 
F87654321T WWWWWWWWWW 
. (173) 
 
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Neste raciocínio, quanto mais fragmentar o deslocamento em intervalos menores, mais próximo 
WT estará de WF. Sendo assim, se for fragmentado em n partes WT pode ser descrito na forma 
 
Fn21T WW...WWW 
, (174) 
 
ou melhor na forma 
 
F
n
1i
iT WWW 

, (175) 
 
Na qual, o símbolo  (sigma maiúsculo do alfabeto grego) significa somatório, um somatório de valores 
de W que vão de um primeiro com índice i = 1 até o último com índice i = n (o índice i enumera os 
diferentes trabalhos). 
Apesar disso tudo, equação (175) ainda é um valor aproximado. Para se chegar ao valor exato, 
deve-se fragmentar o deslocamento em intervalos ainda menores de modo que n   e s  0 (n tende 
ao infinito e s tende ao limite zero), ver gráfico 50 
 
 
Gráfico 50. 
 
 
Que pode ser expressa na forma 
 
geométricaáreads.FW
T
 
, (176) 
 
 
Teorema da Energia Potencial Elástica 
 
Um aplicação simples da equação (176) em que a força é variável, é o caso de um sistema 
formado por uma mola de constante elástica k que sofre uma deformação x. A lei de Hooke expressa 
pela equação (156), tem módulo cujo valor é dado por 
 
 
x.kF .Elast 
, (177) 
 
 
O gráfico dessa função do 1º grau da força F(x) em função de x é dado por 
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Gráfico 51. 
Neste caso, o trabalho dessa força pode ser calculado pela equação (176), que é simplificada 
na forma da área de um triângulo, 
 
 
Gráfico 52. 
 
 
Cujo valor é dado por 
 
 

2
x.k.x
2
F.x
W .Elast
 
 
 
 
.
2
x.k
W
2

 (178) 
 
Por definição 
 
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)0(mmm EEEW 
. (179) 
 
Se for considerado um sistema na qual uma mola é esticada e em repouso conforme a figura 
137 
 
 
Figura 137. 
 
A equação (178) substituída na equação (179) fica 
 
)0()0(
2
KUKU
2
x.k

. (180) 
 
Como K = K(0) = 0 e U(0) = 0, logo 
 
2
x.k
U
2

. (181) 
 
Este resultado mostra que há outra forma de energia potencial que pode ser armazenada em 
corpos elásticos. Ela é chamada de energia potencial elástica e a equação (181) é chamada de 
teorema da energia potencial elástica. 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
01. (GASPAR) A mola da figura abaixo sofre um alongamento de 5,0 cm quando solicitada por uma força 
de 2,5N. 
 
 
 
Determine: 
a) a constante elástica dessa mola em N/m; 
b) o alongamento sofrido por essa mola quando solicitada por uma força F = 6,0 N; 
c) a energia potencial elástica quando a mola é alongada 10 cm. 
 
02. Uma partícula que se deslocava em movimento retilíneo e uniforme, com velocidade v0=3m/s no 
sentido positivo do eixo X, sofre a ação da força F(x), que atua na direção x e que varia com o gráfico 
abaixo: 
F
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Se a massa da partícula é 0,5 Kg, pede-se: 
a) calcule o trabalho realizado por esta força sobre a partícula. 
b) calcule a velocidade da partícula no ponto x1=4m. 
 
03. Um bloco de 4,0 kg de massa, e velocidade de 10m/s, movendo-se sobre um plano horizontal, choca-
se contra uma mola, como mostra a figura 
 
 
 
Sendo a constante elástica da mola igual a 10000N/m, o valor da deformação máxima que a mola poderia 
atingir, em cm, é 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 20 
e) 40 
 
04. A figura a seguir apresenta gráficos da relação entre a força F aplicada a uma mola e o alongamento 
x dessa mola para cinco tipos diferentes de molas (I, II, III, IV, V). 
 
 
F (N)
x(m)1 x =21 3 x =420
1
2
3
4
v
 
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A mola que apresenta maior constante elástica é 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
05. Estica-se certa mola com uma força F, que depende do deslocamento conforme o diagrama abaixo. 
O trabalho realizado pela força aplicada, entre as posições x = 0 metros e x = 1,21 metros será, em 
joules, de : 
 
 
 
a) 12,5 
b) 24,9 
c) 6,23 
d) 11,5 
 
06. Um corpo de massa m se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força
F
 , cujo módulo é 
representado no gráfico a seguir, em função do módulo do deslocamento. Tanto a força 
F
 quanto o 
deslocamento x possuem a mesma direção e o mesmo sentido. 
 
 
 
A partir da análise do gráfico, pode-se afirmar que o trabalho realizado pela força ao deslocar o corpo 
desde a origem até a posição x' é 
a) 
'x'F
2
1
 
b) F’x’ 
c) 2F’x’ 
d) (F’x’)2 
e) (F’x’)1/2 
 
10,3
F(N)
x (m)1,210
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07. Uma massa m = 40 kg, encontra-se suspensa ao conjunto de molas ilustrado na figura abaixo, 
 
 
Suas constantes elásticas são k1 = k2 = 30N/m. 
a) Calcule a constante elástica total equivalente do conjunto; 
b) Calcule adeformação do sistema no equilíbrio; 
c) Calcule a energia potencial elástica do sistema. 
 
08. Num conjunto arco e flecha, a energia potencial elástica é transformada em energia cinética da flecha 
durante o lançamento. A força da corda sobre a flecha é proporcional ao deslocamento x, como 
ilustrado na figura. 
 
 
a) Quando a corda é solta, o deslocamento é x = 0,6 m e a força é de 300 N. Qual a energia potencial 
elástica nesse instante? 
b) Qual será a velocidade da flecha ao abandonar a corda? A massa da flecha é de 50 g. Despreze a 
resistência do ar e a massa da corda. 
 
09. Sensores de dimensões muito pequenas têm sido acoplados a circuitos microeletrônicos. Um 
exemplo é um medidor de aceleração que consiste de uma massa m presa a uma micromola de 
constante elástica k. Quando o conjunto é submetido a uma aceleração 
a
 , a micro-mola se deforma, 
aplicando uma força 
elF
 na massa (ver diagrama abaixo). O gráfico ao lado do diagrama mostra o 
módulo da força aplicada versus a deformação de uma micro-mola utilizada num medidor de 
aceleração. 
 
 
 
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a) Qual é a constante elástica k da micro-mola? 
b) Qual é a energia necessária para produzir uma compressão de 0,10 m na micromola? 
c) O medidor de aceleração foi dimensionado de forma que essa micromola sofra uma deformação de 
0,50 m quando a massa tem uma aceleração de módulo igual a 25 vezes o da aceleração da 
gravidade. Qual é o valor da massa m ligada à micromola? 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BASSALO, J.M.F. A Evolução do Conceito de Calor: Fogo, Flogístico, Calórico e Forma de Movimento. 
Disponível em: < http://www.seara.ufc.br/folclore/folclore143.htm.> Disponível em: < 
BUCUSSI, A. A. Introdução ao Conceito de Energia. Textos de Apoio ao Professor de Física, v.17, n.3, 
Instituto de Física, UFRS, Porto Alegue, 2006. Disponível em: < 
http://www.if.ufrgs.br/tapf/v17n3_Bucussi.pdf> 
GASPAR, Alberto. Física – Mecânica, Ed. Ática, São Paulo, SP, 2002. 
HEWITT, PAUL G. – Física Conceitual. 9ª. Edição, Bookman Companhia Editora, Porto Alegre, RS, 2002. 
NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica - 1 Mecânica. 4ª. ed, ed. Edgard Blücher Ltda, São 
Paulo, SP, 2002.