aula4 - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos - Argolo

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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos -
Sinais e Sistemas em Tempo Discreto -
Convoluc¸a˜o Discreta
Prof. Tales Argolo Jesus
tales@cefetmg.br
Sala 303
CEFET-MG
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 1 / 23
Convoluc¸a˜o DIscreta
Representando sinais arbitra´rios a partir do Impulso Unita´rio
u(k) =
∞∑
j=−∞
u(j)δ(k − j) (1)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 2 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Sa´ıda y(k) de um Sistema Dinaˆmico em Func¸a˜o de sua Entrada u(k)
y(k) = H{u(k)} (2)
Combinando-se as equac¸o˜es (1) e (2), tem-se que:
y(k) = H


∞∑
j=−∞
u(j)δ(k − j)


Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 3 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Sa´ıda y(k) de um Sistema Dinaˆmico em Func¸a˜o de sua Entrada u(k)
y(k) = H{u(k)} (2)
Combinando-se as equac¸o˜es (1) e (2), tem-se que:
y(k) = H


∞∑
j=−∞
u(j)δ(k − j)


Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 3 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Sa´ıda y(k) de um Sistema Dinaˆmico em Func¸a˜o de sua Entrada u(k)
Explorando-se a propriedade de linearidade:
y(k) =
∞∑
j=−∞
u(j)H {δ(k − j)} =
∞∑
j=−∞
u(j)hj (k)
hj(k) e´ a resposta ao impulso unita´rio aplicado no instante j .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 4 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Sa´ıda y(k) de um Sistema Dinaˆmico em Func¸a˜o de sua Entrada u(k)
Explorando-se a propriedade de linearidade:
y(k) =
∞∑
j=−∞
u(j)H {δ(k − j)} =
∞∑
j=−∞
u(j)hj (k)
hj(k) e´ a resposta ao impulso unita´rio aplicado no instante j .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 4 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Sa´ıda y(k) de um Sistema Dinaˆmico em Func¸a˜o de sua Entrada u(k)
Explorando-se a proprieade de invariaˆncia no tempo:
y(k) =
∞∑
j=−∞
u(j)h(k − j) (3)
Essa expressa˜o e´ o chamado Somato´rio de Convoluc¸a˜o do Sistema
Linear Invariante no Tempo (SLIT) dado pelo operador H{.}.
Se h(k) e´ conhecida, e´ sempre poss´ıvel determinar a sa´ıda y(k) a
partir da entrada u(k).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 5 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Sa´ıda y(k) de um Sistema Dinaˆmico em Func¸a˜o de sua Entrada u(k)
Explorando-se a proprieade de invariaˆncia no tempo:
y(k) =
∞∑
j=−∞
u(j)h(k − j) (3)
Essa expressa˜o e´ o chamado Somato´rio de Convoluc¸a˜o do Sistema
Linear Invariante no Tempo (SLIT) dado pelo operador H{.}.
Se h(k) e´ conhecida, e´ sempre poss´ıvel determinar a sa´ıda y(k) a
partir da entrada u(k).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 5 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Sa´ıda y(k) de um Sistema Dinaˆmico em Func¸a˜o de sua Entrada u(k)
Explorando-se a proprieade de invariaˆncia no tempo:
y(k) =
∞∑
j=−∞
u(j)h(k − j) (3)
Essa expressa˜o e´ o chamado Somato´rio de Convoluc¸a˜o do Sistema
Linear Invariante no Tempo (SLIT) dado pelo operador H{.}.
Se h(k) e´ conhecida, e´ sempre poss´ıvel determinar a sa´ıda y(k) a
partir da entrada u(k).
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Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 6 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Exerc´ıcio 1
Considere um sistema tal que h(k) = ak1(k). Determine y(k) para u(k) =
1(k).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 7 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Resposta para o Exerc´ıcio 1 com exponencial de base a
y(k) =
{
1
1−a
(
1− ak+1
)
, k ≥ 0
0, k < 0
O valor de a esta´ intimamente relacionado com a estabilidade do
sistema h(k)!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 8 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Resposta para o Exerc´ıcio 1 com a = 0,8→ Esta´vel
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
k
y(k
)
a = 0.8
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 9 / 23
Convoluc¸a˜o Discreta
Resposta para o Exerc´ıcio 1 com a = 1,2→ Insta´vel
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
50
100
150
200
250
k
y(k
)
a = 1.2
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 10 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
1. Conexa˜o paralela de sistemas
y(k) = [h1(k) + h2(k)] ∗ u(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 11 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
2. Conexa˜o em cascata de sistemas
y(k) = [h1(k) ∗ h2(k)] ∗ u(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 12 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
3. Sistemas sem Memo´ria
y(k) = h(k) ∗ u(k) =
∞∑
j=−∞
u(j)h(k − j) =
∞∑
j=−∞
h(j)u(k − j)
y(k) deve depender somente de u(k), e na˜o de u(k − j), para j 6= 0.
Ou seja, h(j) = 0 para j 6= 0 → h(k) = cδ(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 13 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
3. Sistemas sem Memo´ria
y(k) = h(k) ∗ u(k) =
∞∑
j=−∞
u(j)h(k − j) =
∞∑
j=−∞
h(j)u(k − j)
y(k) deve depender somente de u(k), e na˜o de u(k − j), para j 6= 0.
Ou seja, h(j) = 0 para j 6= 0 → h(k) = cδ(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 13 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
Exerc´ıcio 2
Obtenha a expressa˜o geral para a sa´ıda y(k) de um sistema sem memo´ria.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 14 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
4. Sistemas causais
y(k) = h(k) ∗ u(k) =
∞∑
j=−∞
h(j)u(k − j) =
∞∑
j=0
h(j)u(k − j)
Um sistema causal na˜o responde antes que uma entrada lhe seja
aplicada.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 15 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
5. Sistemas esta´veis
|y(k)| = |h(k) ∗ u(k)| =
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=−∞
h(j)u(k − j)
∣∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
j=−∞
|h(j)||u(k − j)|
Considerando-se que a entrada seja limitada, ou seja,
|u(i)| ≤ Mu < ∞, ∀i , tem-se que
|y(k)| ≤ Mu
∞∑
j=−∞
|h(j)|
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Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
5. Sistemas esta´veis
|y(k)| = |h(k) ∗ u(k)| =
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=−∞
h(j)u(k − j)
∣∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
j=−∞
|h(j)||u(k − j)|
Considerando-se que a entrada seja limitada, ou seja,
|u(i)| ≤ Mu < ∞, ∀i , tem-se que
|y(k)| ≤ Mu
∞∑
j=−∞
|h(j)|
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 16 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
5. Sistemas esta´veis
|y(k)| = |h(k) ∗ u(k)| =
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=−∞
h(j)u(k − j)
∣∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
j=−∞
|h(j)||u(k − j)|
Considerando-se que a entrada seja limitada, ou seja,
|u(i)| ≤ Mu < ∞, ∀i , tem-se que
|y(k)| ≤ Mu
∞∑
j=−∞
|h(j)|
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 16 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
5. Sistemas esta´veis
Num sistema esta´vel, |y(k)| ≤ My < ∞, condic¸a˜o essa que sera´
satisfeita se a resposta ao impulso unita´rio for absolutamente soma´vel:
∞∑
j=−∞
|h(j)| < ∞
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 17 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
5. Sistemas esta´veis
Num sistema esta´vel, |y(k)| ≤ My < ∞, condic¸a˜o essa que sera´
satisfeita se a resposta ao impulso unita´rio for absolutamente soma´vel:
∞∑
j=−∞
|h(j)| < ∞
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 17 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
6. Sistemas invert´ıveis e desconvoluc¸a˜o
u(k) = (h(k) ∗ h−1(k)) ∗ u(k)→ h(k) ∗ h−1(k) = δ(k)
Aplicac¸o˜es: sistemas de comunicac¸a˜o, sistemas de controle ideais.
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Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
7. Resposta ao Degrau
y(k) = h(k) ∗ u(k) =
∞∑
j=−∞
h(j)u(k − j)
Obtenha a resposta ao degrau unita´rio do sistema h(k) a partir do
somato´rio de convoluc¸a˜o.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 19 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
7. Resposta ao Degrau
y(k) =
k∑
j=−∞
h(j)
A resposta ao degrau unita´rio e´ a “integral”da resposta ao impulso
unita´rio.
y(k)− y(k − 1) = h(k)
A resposta ao impulso unita´rio e´ a “derivada”da resposta aodegrau
unita´rio.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 20 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
7. Resposta ao Degrau
y(k) =
k∑
j=−∞
h(j)
A resposta ao degrau unita´rio e´ a “integral”da resposta ao impulso
unita´rio.
y(k)− y(k − 1) = h(k)
A resposta ao impulso unita´rio e´ a “derivada”da resposta ao degrau
unita´rio.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 20 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
7. Resposta ao Degrau
y(k) =
k∑
j=−∞
h(j)
A resposta ao degrau unita´rio e´ a “integral”da resposta ao impulso
unita´rio.
y(k)− y(k − 1) = h(k)
A resposta ao impulso unita´rio e´ a “derivada”da resposta ao degrau
unita´rio.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 20 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
7. Resposta ao Degrau
y(k) =
k∑
j=−∞
h(j)
A resposta ao degrau unita´rio e´ a “integral”da resposta ao impulso
unita´rio.
y(k)− y(k − 1) = h(k)
A resposta ao impulso unita´rio e´ a “derivada”da resposta ao degrau
unita´rio.
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Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
8. Resposta Senoidal em Estado Estaciona´rio
Considere que u(k) = e jΩk . Logo:
y(k) = h(k) ∗ u(k) =
∞∑
i=−∞
h(i)u(k − i) =
∞∑
i=−∞
h(i)e jΩ(k−i)
y(k) = e jΩk
∞∑
i=−∞
h(i)e−jΩi = H(e jΩ)e jΩk ,
em que H(e jΩ) =
∑
∞
i=−∞ h(i)e
−jΩi e´ a Resposta em Frequeˆncia do
SLIT h(k).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 21 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
8. Resposta Senoidal em Estado Estaciona´rio
Considere que u(k) = e jΩk . Logo:
y(k) = h(k) ∗ u(k) =
∞∑
i=−∞
h(i)u(k − i) =
∞∑
i=−∞
h(i)e jΩ(k−i)
y(k) = e jΩk
∞∑
i=−∞
h(i)e−jΩi = H(e jΩ)e jΩk ,
em que H(e jΩ) =
∑
∞
i=−∞ h(i)e
−jΩi e´ a Resposta em Frequeˆncia do
SLIT h(k).
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Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
8. Resposta Senoidal em Estado Estaciona´rio
Considere que u(k) = e jΩk . Logo:
y(k) = h(k) ∗ u(k) =
∞∑
i=−∞
h(i)u(k − i) =
∞∑
i=−∞
h(i)e jΩ(k−i)
y(k) = e jΩk
∞∑
i=−∞
h(i)e−jΩi = H(e jΩ)e jΩk ,
em que H(e jΩ) =
∑
∞
i=−∞ h(i)e
−jΩi e´ a Resposta em Frequeˆncia do
SLIT h(k).
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Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
8. Resposta Senoidal em Estado Estaciona´rio
y(k) =
∣∣∣H(e jΩ)∣∣∣ e j arg{H(e jΩ)}e jΩk = ∣∣∣H(e jΩ)∣∣∣ e j(Ωk+arg {H(e jΩ)}).
Para um entrada senoidal, a sa´ıda tambe´m sera´ senoidal com
mudanc¸as de amplitude e de fase em func¸a˜o da frequeˆncia Ω.
Demonstre que um sistema excitado pela senoide u(k) = cos(Ωk)
apresenta como resposta a mesma senoide com amplitude e fase
modificadas.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 22 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
8. Resposta Senoidal em Estado Estaciona´rio
y(k) =
∣∣∣H(e jΩ)∣∣∣ e j arg{H(e jΩ)}e jΩk = ∣∣∣H(e jΩ)∣∣∣ e j(Ωk+arg {H(e jΩ)}).
Para um entrada senoidal, a sa´ıda tambe´m sera´ senoidal com
mudanc¸as de amplitude e de fase em func¸a˜o da frequeˆncia Ω.
Demonstre que um sistema excitado pela senoide u(k) = cos(Ωk)
apresenta como resposta a mesma senoide com amplitude e fase
modificadas.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 4 22 / 23
Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
8. Resposta Senoidal em Estado Estaciona´rio
y(k) =
∣∣∣H(e jΩ)∣∣∣ e j arg{H(e jΩ)}e jΩk = ∣∣∣H(e jΩ)∣∣∣ e j(Ωk+arg {H(e jΩ)}).
Para um entrada senoidal, a sa´ıda tambe´m sera´ senoidal com
mudanc¸as de amplitude e de fase em func¸a˜o da frequeˆncia Ω.
Demonstre que um sistema excitado pela senoide u(k) = cos(Ωk)
apresenta como resposta a mesma senoide com amplitude e fase
modificadas.
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Propriedades da resposta ao impulso de SLITs discretos
Exerc´ıcio 3 - Conta corrente
Determine a resposta ao impulso de uma conta corrente ideal.
Determine a resposta ao degrau de uma conta corrente ideal.
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	Introdução