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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos - Transformada Z - Ana´lise de SLITs Discretos Prof. Tales Argolo Jesus tales@cefetmg.br Sala 303 CEFET-MG Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 1 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta Para que um sistema seja invert´ıvel, a sua func¸a˜o de transfereˆncia discreta H(z) deve ser invert´ıvel. H(z) sempre e´ invert´ıvel, mas a questa˜o que deve ser respondida e´ a seguinte: H−1(z) e´ causal? Como responder a essa pergunta? Aplicando-se o me´todo da se´rie de poteˆncias! Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 2 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta Para que um sistema seja invert´ıvel, a sua func¸a˜o de transfereˆncia discreta H(z) deve ser invert´ıvel. H(z) sempre e´ invert´ıvel, mas a questa˜o que deve ser respondida e´ a seguinte: H−1(z) e´ causal? Como responder a essa pergunta? Aplicando-se o me´todo da se´rie de poteˆncias! Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 2 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta Para que um sistema seja invert´ıvel, a sua func¸a˜o de transfereˆncia discreta H(z) deve ser invert´ıvel. H(z) sempre e´ invert´ıvel, mas a questa˜o que deve ser respondida e´ a seguinte: H−1(z) e´ causal? Como responder a essa pergunta? Aplicando-se o me´todo da se´rie de poteˆncias! Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 2 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta Seja o SLIT discreto: H(z) = 1 z − 1 . Mostre que se trata de um sistema causal. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 3 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta Seja o SLIT discreto: H −1(z) = z − 1. Mostre que se trata de um sistema na˜o-causal. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 4 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Entrada → Torque τ(t) Sa´ıda → Velocidade angular do eixo ω(t) Paraˆmetros → Momento de ine´rcia J; coeficiente de atrito viscoso b Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 5 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir da 2a Lei de Newton tem-se que: J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t) Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira: Jω˙(t) = τ(t)− bω(t) Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um computador digital. O que deve ser feito para tanto? Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir da 2a Lei de Newton tem-se que: J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t) Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira: Jω˙(t) = τ(t)− bω(t) Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um computador digital. O que deve ser feito para tanto? Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir da 2a Lei de Newton tem-se que: J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t) Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira: Jω˙(t) = τ(t)− bω(t) Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um computador digital. O que deve ser feito para tanto? Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir da 2a Lei de Newton tem-se que: J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t) Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira: Jω˙(t) = τ(t)− bω(t) Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um computador digital. O que deve ser feito para tanto? Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir da 2a Lei de Newton tem-se que: J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t) Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira: Jω˙(t) = τ(t)− bω(t) Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um computador digital. O que deve ser feito para tanto? Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a aproximac¸a˜o de Euler: ω˙(t) = lim ∆t→0 ω(t +∆t)− ω(t) ∆t ≈ ω(k + 1)− ω(k) T . Portanto, tem-se que: J ( ωk+1 − ωk T ) = τk − bωk Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as: ωk+1 = aωk + cτk , em que a = (1− bT/J) e c = T/J. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a aproximac¸a˜o de Euler: ω˙(t) = lim ∆t→0 ω(t +∆t)− ω(t) ∆t ≈ ω(k + 1)− ω(k) T . Portanto, tem-se que: J ( ωk+1 − ωk T ) = τk − bωk Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as: ωk+1 = aωk + cτk , em que a = (1− bT/J) e c = T/J. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a aproximac¸a˜o de Euler: ω˙(t) = lim ∆t→0 ω(t +∆t)− ω(t) ∆t ≈ ω(k + 1)− ω(k) T . Portanto, tem-se que: J ( ωk+1 − ωk T ) = τk − bωk Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as: ωk+1 = aωk + cτk , em que a = (1− bT/J) e c = T/J. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a aproximac¸a˜o de Euler: ω˙(t) = lim ∆t→0 ω(t +∆t)− ω(t) ∆t ≈ ω(k + 1)− ω(k) T . Portanto, tem-se que: J ( ωk+1 − ωk T ) = τk − bωk Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as: ωk+1 = aωk + cτk , em que a = (1− bT/J) e c = T/J. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a aproximac¸a˜o de Euler: ω˙(t) = lim ∆t→0 ω(t +∆t)− ω(t) ∆t ≈ ω(k + 1)− ω(k) T . Portanto, tem-se que: J ( ωk+1 − ωk T ) = τk − bωk Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as: ωk+1 = aωk + cτk , em que a = (1− bT/J) e c = T/J. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema! Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} . z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z) Ω(z)(z − a) = cτ(z) H(z) = Ω(z) τ(z) = c z − a Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema! Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} . z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z) Ω(z)(z − a) = cτ(z) H(z) =Ω(z) τ(z) = c z − a Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema! Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} . z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z) Ω(z)(z − a) = cτ(z) H(z) = Ω(z) τ(z) = c z − a Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema! Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} . z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z) Ω(z)(z − a) = cτ(z) H(z) = Ω(z) τ(z) = c z − a Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema! Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} . z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z) Ω(z)(z − a) = cτ(z) H(z) = Ω(z) τ(z) = c z − a Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Determine a reposta ao impulso h(k) desse sistema e esboce seu gra´fico. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 9 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico h(k) = c(a)k−11(k − 1) Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 10 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Determine a reposta ao degrau unita´rio desse sistema e esboce seu gra´fico. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 11 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico ω(k) = c 1− a ( 1− ak ) 1(k) Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 12 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico E se na˜o houvesse atrito (isto e´, b = 0)? Qual seria a resposta ao degrau unita´rio? Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 13 / 15 Ana´lise de SLITs Discretos Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico Desafio: obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia discreta para o mesmo sistema considerando que a entrada e´ o torque τ(t) e a sa´ıda e´ o aˆngulo de giro do eixo θ(t). Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 14 / 15 Primeira etapa do trabalho da disciplina (duplas ou trios) Etapa 1 - Escolha de um sistema dinaˆmico Escolha um sistema dinaˆmico cont´ınuo esta´vel que seja de ordem maior ou igual a dois. Apresente uma descric¸a˜o detalhada do sistema, juntamente com sua modelagem matema´tica via equac¸a˜o diferencial e func¸a˜o de transfereˆncia. Demonstre, via simulac¸a˜o computacional, que o sistema escolhido e´ linear e invariante no tempo. Data de entrega do relato´rio via moodle: 13/09/2017. Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 15 / 15 Introdução
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