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aula7 - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos - Argolo

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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos -
Transformada Z -
Ana´lise de SLITs Discretos
Prof. Tales Argolo Jesus
tales@cefetmg.br
Sala 303
CEFET-MG
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 1 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta
Para que um sistema seja invert´ıvel, a sua func¸a˜o de transfereˆncia
discreta H(z) deve ser invert´ıvel.
H(z) sempre e´ invert´ıvel, mas a questa˜o que deve ser respondida e´ a
seguinte: H−1(z) e´ causal? Como responder a essa pergunta?
Aplicando-se o me´todo da se´rie de poteˆncias!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 2 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta
Para que um sistema seja invert´ıvel, a sua func¸a˜o de transfereˆncia
discreta H(z) deve ser invert´ıvel.
H(z) sempre e´ invert´ıvel, mas a questa˜o que deve ser respondida e´ a
seguinte: H−1(z) e´ causal? Como responder a essa pergunta?
Aplicando-se o me´todo da se´rie de poteˆncias!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 2 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta
Para que um sistema seja invert´ıvel, a sua func¸a˜o de transfereˆncia
discreta H(z) deve ser invert´ıvel.
H(z) sempre e´ invert´ıvel, mas a questa˜o que deve ser respondida e´ a
seguinte: H−1(z) e´ causal? Como responder a essa pergunta?
Aplicando-se o me´todo da se´rie de poteˆncias!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 2 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta
Seja o SLIT discreto:
H(z) =
1
z − 1
.
Mostre que se trata de um sistema causal.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 3 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Invertibilidade e Causalidade a partir da Func¸a˜o de Transfereˆncia Discreta
Seja o SLIT discreto:
H
−1(z) = z − 1.
Mostre que se trata de um sistema na˜o-causal.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 4 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Entrada → Torque τ(t)
Sa´ıda → Velocidade angular do eixo ω(t)
Paraˆmetros → Momento de ine´rcia J; coeficiente de atrito viscoso b
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 5 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir
da 2a Lei de Newton tem-se que:
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode
ser reescrita da seguinte maneira:
Jω˙(t) = τ(t)− bω(t)
Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um
computador digital. O que deve ser feito para tanto?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir
da 2a Lei de Newton tem-se que:
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode
ser reescrita da seguinte maneira:
Jω˙(t) = τ(t)− bω(t)
Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um
computador digital. O que deve ser feito para tanto?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir
da 2a Lei de Newton tem-se que:
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode
ser reescrita da seguinte maneira:
Jω˙(t) = τ(t)− bω(t)
Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um
computador digital. O que deve ser feito para tanto?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir
da 2a Lei de Newton tem-se que:
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode
ser reescrita da seguinte maneira:
Jω˙(t) = τ(t)− bω(t)
Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um
computador digital. O que deve ser feito para tanto?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Considerando-se exclusivamente a parte mecaˆnica do motor, a partir
da 2a Lei de Newton tem-se que:
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)
Considerando-se que θ˙(t) = ω(t), a equac¸a˜o diferencial acima pode
ser reescrita da seguinte maneira:
Jω˙(t) = τ(t)− bω(t)
Suponha que se queira simular esse sistema dinaˆmico em um
computador digital. O que deve ser feito para tanto?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 6 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a
aproximac¸a˜o de Euler:
ω˙(t) = lim
∆t→0
ω(t +∆t)− ω(t)
∆t
≈
ω(k + 1)− ω(k)
T
.
Portanto, tem-se que:
J
(
ωk+1 − ωk
T
)
= τk − bωk
Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as:
ωk+1 = aωk + cτk ,
em que a = (1− bT/J) e c = T/J.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a
aproximac¸a˜o de Euler:
ω˙(t) = lim
∆t→0
ω(t +∆t)− ω(t)
∆t
≈
ω(k + 1)− ω(k)
T
.
Portanto, tem-se que:
J
(
ωk+1 − ωk
T
)
= τk − bωk
Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as:
ωk+1 = aωk + cτk ,
em que a = (1− bT/J) e c = T/J.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a
aproximac¸a˜o de Euler:
ω˙(t) = lim
∆t→0
ω(t +∆t)− ω(t)
∆t
≈
ω(k + 1)− ω(k)
T
.
Portanto, tem-se que:
J
(
ωk+1 − ωk
T
)
= τk − bωk
Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as:
ωk+1 = aωk + cτk ,
em que a = (1− bT/J) e c = T/J.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a
aproximac¸a˜o de Euler:
ω˙(t) = lim
∆t→0
ω(t +∆t)− ω(t)
∆t
≈
ω(k + 1)− ω(k)
T
.
Portanto, tem-se que:
J
(
ωk+1 − ωk
T
)
= τk − bωk
Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as:
ωk+1 = aωk + cτk ,
em que a = (1− bT/J) e c = T/J.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Pode-se utilizar uma aproximac¸a˜o para derivadas, como a
aproximac¸a˜o de Euler:
ω˙(t) = lim
∆t→0
ω(t +∆t)− ω(t)
∆t
≈
ω(k + 1)− ω(k)
T
.
Portanto, tem-se que:
J
(
ωk+1 − ωk
T
)
= τk − bωk
Manipulando-se a expressa˜o, chega-se a` equac¸a˜o de diferenc¸as:
ωk+1 = aωk + cτk ,
em que a = (1− bT/J) e c = T/J.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 7 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a
transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema!
Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} .
z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z)
Ω(z)(z − a) = cτ(z)
H(z) =
Ω(z)
τ(z)
=
c
z − a
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a
transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema!
Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} .
z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z)
Ω(z)(z − a) = cτ(z)
H(z) =Ω(z)
τ(z)
=
c
z − a
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a
transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema!
Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} .
z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z)
Ω(z)(z − a) = cτ(z)
H(z) =
Ω(z)
τ(z)
=
c
z − a
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a
transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema!
Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} .
z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z)
Ω(z)(z − a) = cτ(z)
H(z) =
Ω(z)
τ(z)
=
c
z − a
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Como determinar a func¸a˜o de transfereˆncia H(z)? → aplicando-se a
transformada Z a` equac¸a˜o de diferenc¸as do sistema!
Z {ωk+1} = Z {aωk}+ Z {cτk} .
z [Ω(z)− ω(0)] = aΩ(z) + cτ(z)
Ω(z)(z − a) = cτ(z)
H(z) =
Ω(z)
τ(z)
=
c
z − a
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 8 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Determine a reposta ao impulso h(k) desse sistema e esboce seu
gra´fico.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 9 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
h(k) = c(a)k−11(k − 1)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 10 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Determine a reposta ao degrau unita´rio desse sistema e esboce seu
gra´fico.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 11 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
ω(k) =
c
1− a
(
1− ak
)
1(k)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 12 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
E se na˜o houvesse atrito (isto e´, b = 0)? Qual seria a resposta ao
degrau unita´rio?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 13 / 15
Ana´lise de SLITs Discretos
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Desafio: obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia discreta para o mesmo
sistema considerando que a entrada e´ o torque τ(t) e a sa´ıda e´ o
aˆngulo de giro do eixo θ(t).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 14 / 15
Primeira etapa do trabalho da disciplina (duplas ou trios)
Etapa 1 - Escolha de um sistema dinaˆmico
Escolha um sistema dinaˆmico cont´ınuo esta´vel que seja de ordem
maior ou igual a dois.
Apresente uma descric¸a˜o detalhada do sistema, juntamente com sua
modelagem matema´tica via equac¸a˜o diferencial e func¸a˜o de
transfereˆncia.
Demonstre, via simulac¸a˜o computacional, que o sistema escolhido e´
linear e invariante no tempo.
Data de entrega do relato´rio via moodle: 13/09/2017.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 7 15 / 15
	Introdução

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