aula8 - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos - Argolo

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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos -
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Prof. Tales Argolo Jesus
tales@cefetmg.br
Sala 303
CEFET-MG
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 1 / 25
Tipos de Representac¸a˜o de SLITs
Dom´ınio da Frequeˆncia vs. Dom´ınio do Tempo
Dom´ınio da Frequeˆncia → Resposta em Frequeˆncia, Func¸a˜o de
Transfereˆncia, Lugar das Ra´ızes, Diagrama de Nyquist, Diagrama de
Bode, etc.
Dom´ınio do Tempo → Equac¸o˜es Diferenciais, Equac¸o˜es de
Diferenc¸as, Integral de Convoluc¸a˜o, Somato´rio de Convoluc¸a˜o,
Modelo em Espac¸o de Estados, etc.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 2 / 25
Tipos de Representac¸a˜o de SLITs
Dom´ınio da Frequeˆncia vs. Dom´ınio do Tempo
Dom´ınio da Frequeˆncia → Resposta em Frequeˆncia, Func¸a˜o de
Transfereˆncia, Lugar das Ra´ızes, Diagrama de Nyquist, Diagrama de
Bode, etc.
Dom´ınio do Tempo → Equac¸o˜es Diferenciais, Equac¸o˜es de
Diferenc¸as, Integral de Convoluc¸a˜o, Somato´rio de Convoluc¸a˜o,
Modelo em Espac¸o de Estados, etc.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 2 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Noc¸a˜o F´ısica do Estado de um Sistema
O estado de um Sistema Dinaˆmico e´ um conjunto m´ınimo de quantidades
(grandezas f´ısicas) cuja especificac¸a˜o, juntamente com a especificac¸a˜o da
entrada, determina completamente a evoluc¸a˜o temporal do sistema, isto e´,
o comportamento da sa´ıda e desse pro´prio conjunto m´ınimo de quantidades
f´ısicas.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 3 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 4 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Representac¸a˜o Geral
~xk+1 =f (~xk , ~uk)
~yk =g(~xk , ~uk)
Dimeno˜es dos vetores e dos mapeamentos
~x ∈ Rn, ~u ∈ Rr , ~y ∈ Rp,
f : Rn ×Rr 7→ Rn
g : Rn × Rr 7→ Rp
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Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Considerac¸o˜es importantes
O nu´mero de varia´veis de estado determina a ordem do sistema
A noc¸a˜o de estado teve in´ıcio a partir da concepc¸a˜o mecaˆnica de
Newton.
O conhecimento das condic¸o˜es iniciais e das EDOs nos permite
determinar completamente a evoluc¸a˜o do sistema (demoˆnio de
Laplace).
Significado da palavra demoˆnio: mit esp´ırito sobrenatural que, na
crenc¸a grega, apresentava uma natureza entre a mortal e a divina,
frequentemente inspirando ou aconselhando os humanos.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 6 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Considerac¸o˜es importantes
O nu´mero de varia´veis de estado determina a ordem do sistema
A noc¸a˜o de estado teve in´ıcio a partir da concepc¸a˜o mecaˆnica de
Newton.
O conhecimento das condic¸o˜es iniciais e das EDOs nos permite
determinar completamente a evoluc¸a˜o do sistema (demoˆnio de
Laplace).
Significado da palavra demoˆnio: mit esp´ırito sobrenatural que, na
crenc¸a grega, apresentava uma natureza entre a mortal e a divina,
frequentemente inspirando ou aconselhando os humanos.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 6 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Considerac¸o˜es importantes
O nu´mero de varia´veis de estado determina a ordem do sistema
A noc¸a˜o de estado teve in´ıcio a partir da concepc¸a˜o mecaˆnica de
Newton.
O conhecimento das condic¸o˜es iniciais e das EDOs nos permite
determinar completamente a evoluc¸a˜o do sistema (demoˆnio de
Laplace).
Significado da palavra demoˆnio: mit esp´ırito sobrenatural que, na
crenc¸a grega, apresentava uma natureza entre a mortal e a divina,
frequentemente inspirando ou aconselhando os humanos.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 6 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Considerac¸o˜es importantes
O nu´mero de varia´veis de estado determina a ordem do sistema
A noc¸a˜o de estado teve in´ıcio a partir da concepc¸a˜o mecaˆnica de
Newton.
O conhecimento das condic¸o˜es iniciais e das EDOs nos permite
determinar completamente a evoluc¸a˜o do sistema (demoˆnio de
Laplace).
Significado da palavra demoˆnio: mit esp´ırito sobrenatural que, na
crenc¸a grega, apresentava uma natureza entre a mortal e a divina,
frequentemente inspirando ou aconselhando os humanos.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 6 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Demoˆnio de Laplace
“Podemos considerar o presente estado do universo como resultado de seu
passado e a causa do seu futuro. Se um intelecto em certo momento tiver
conhecimento de todas as forc¸as que colocam a natureza em movimento,
e a posic¸a˜o de todos os itens dos quais a natureza e´ composta, e se esse
intelecto for grandioso o bastante para submeter tais dados a` ana´lise, ele
incluiria numa u´nica fo´rmula os movimentos dos maiores corpos do universo
e tambe´m os do a´tomo mais diminutos; para tal intelecto nada seria incerto
e o futuro, assim como o passado, estaria ao alcance de seus olhos.”(Pierre-
Simon Laplace)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 7 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor
Entrada → Forc¸a f (t)
Sa´ıda → Posic¸a˜o x(t)
Paraˆmetros → Massa m; constante de rigidez da mola k ; coeficiente
de atrito viscoso c
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 8 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor
Em se tratando de um sistema mecaˆnico, a partir da 2a Lei de
Newton tem-se que:
mx¨(t) = F (t)− Fat(t)− Fel(t)
Considerando-se que Fel(t) = kx(t) e que Fat(t) = cx˙(t), a equac¸a˜o
diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira:
mx¨(t) + cx˙(t) + kx(t) = F (t),
ou
mx¨ + cx˙ + kx = F
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 9 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor
Em se tratando de um sistema mecaˆnico, a partir da 2a Lei de
Newton tem-se que:
mx¨(t) = F (t)− Fat(t)− Fel(t)
Considerando-se que Fel(t) = kx(t) e que Fat(t) = cx˙(t), a equac¸a˜o
diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira:
mx¨(t) + cx˙(t) + kx(t) = F (t),
ou
mx¨ + cx˙ + kx = F
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 9 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor
Em se tratando de um sistema mecaˆnico, a partir da 2a Lei de
Newton tem-se que:
mx¨(t) = F (t)− Fat(t)− Fel(t)
Considerando-se que Fel(t) = kx(t) e que Fat(t) = cx˙(t), a equac¸a˜o
diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira:
mx¨(t) + cx˙(t) + kx(t) = F (t),
ou
mx¨ + cx˙ + kx = F
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 9 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor
Em se tratando de um sistema mecaˆnico, a partir da 2a Lei de
Newton tem-se que:
mx¨(t) = F (t)− Fat(t)− Fel(t)
Considerando-se que Fel(t) = kx(t) e que Fat(t) = cx˙(t), a equac¸a˜o
diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira:
mx¨(t) + cx˙(t) + kx(t) = F (t),
ou
mx¨ + cx˙ + kx = F
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 9 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor
Em se tratando de um sistema mecaˆnico, a partir da 2a Lei de
Newton tem-se que:
mx¨(t) = F (t)− Fat(t)− Fel(t)
Considerando-se que Fel(t) = kx(t) e que Fat(t) = cx˙(t), a equac¸a˜o
diferencial acima pode ser reescrita da seguinte maneira:
mx¨(t) + cx˙(t) + kx(t) = F (t),
ou
mx¨ + cx˙ + kx = F
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 9 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Uma pergunta essencial...
Dada uma forc¸a qualquer, e´ poss´ıvel prever a evoluc¸a˜o temporal do
sistema a partir de quais informac¸o˜es?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 10 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de EstadoResposta
Posic¸a˜o (x) e velocidade (x˙)!!! Essas sa˜o as 2 varia´veis de estado do
oscilador, que e´ um sistema de 2a ordem! Ou seja:
x1 = x
x2 = x˙
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 11 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor


x1 = x
x2 = x˙
u = F
y = x
=⇒


x˙1 = x2
x˙2 = −
k
m
x1 −
c
m
x2 +
1
m
u
y = x1
Reescrevendo em formato matricial:
[
x˙1
x˙2
]
=
[
0 1
− k
m
− c
m
] [
x1
x2
]
+
[
0
1
m
]
u
y =
[
1 0
] [ x1
x2
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 12 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor


x1 = x
x2 = x˙
u = F
y = x
=⇒


x˙1 = x2
x˙2 = −
k
m
x1 −
c
m
x2 +
1
m
u
y = x1
Reescrevendo em formato matricial:
[
x˙1
x˙2
]
=
[
0 1
− k
m
− c
m
] [
x1
x2
]
+
[
0
1
m
]
u
y =
[
1 0
] [ x1
x2
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 12 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor


x1 = x
x2 = x˙
u = F
y = x
=⇒


x˙1 = x2
x˙2 = −
k
m
x1 −
c
m
x2 +
1
m
u
y = x1
Reescrevendo em formato matricial:
[
x˙1
x˙2
]
=
[
0 1
− k
m
− c
m
] [
x1
x2
]
+
[
0
1
m
]
u
y =
[
1 0
] [ x1
x2
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 12 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo“pra´tico” - Modelagem de um Oscilador Massa-Mola-Amortecedor


x1 = x
x2 = x˙
u = F
y = x
=⇒


x˙1 = x2
x˙2 = −
k
m
x1 −
c
m
x2 +
1
m
u
y = x1
Reescrevendo em formato matricial:
[
x˙1
x˙2
]
=
[
0 1
− k
m
− c
m
] [
x1
x2
]
+
[
0
1
m
]
u
y =
[
1 0
] [ x1
x2
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 12 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Modelo em Espac¸o de Estados Geral para SLITs Cont´ınuos
Todo SLIT cont´ınuo pode ser representado pelo seguinte modelo em
varia´veis de estado:
~˙x = A~x + B~u
~y = C~x + D~u
~x ∈ Rn, ~u ∈ Rr , ~y ∈ Rp
A ∈ Rn × Rn, B ∈ Rn × Rr
C ∈ Rp × Rn, D ∈ Rp × Rr
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 13 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Modelo em Espac¸o de Estados Geral para SLITs Discretos
Todo SLIT discreto pode ser representado pelo seguinte modelo em
varia´veis de estado:
~xk+1 = A~xk + B~uk
~yk = C~xk + D~uk
~xk ∈ R
n, ~uk ∈ R
r , ~yk ∈ R
p
A ∈ Rn × Rn, B ∈ Rn × Rr
C ∈ Rp × Rn, D ∈ Rp × Rr
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 14 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Interpretando as matrizes A, B, C e D
A matriz A codifica a dinaˆmica do sistema, sendo func¸a˜o dos
paraˆmetros que o caracterizam.
A matriz B codifica a informac¸a˜o do tipo de atuador dispon´ıvel (ou
forma de atuac¸a˜o).
A matriz C codifica a informac¸a˜o do tipo de sensor dispon´ıvel.
A matriz D codifica a relac¸a˜o esta´tica entre a entrada a sa´ıda. E´
tambe´m chamada de matriz de transmissa˜o direta.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 15 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Interpretando as matrizes A, B, C e D
A matriz A codifica a dinaˆmica do sistema, sendo func¸a˜o dos
paraˆmetros que o caracterizam.
A matriz B codifica a informac¸a˜o do tipo de atuador dispon´ıvel (ou
forma de atuac¸a˜o).
A matriz C codifica a informac¸a˜o do tipo de sensor dispon´ıvel.
A matriz D codifica a relac¸a˜o esta´tica entre a entrada a sa´ıda. E´
tambe´m chamada de matriz de transmissa˜o direta.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 15 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Interpretando as matrizes A, B, C e D
A matriz A codifica a dinaˆmica do sistema, sendo func¸a˜o dos
paraˆmetros que o caracterizam.
A matriz B codifica a informac¸a˜o do tipo de atuador dispon´ıvel (ou
forma de atuac¸a˜o).
A matriz C codifica a informac¸a˜o do tipo de sensor dispon´ıvel.
A matriz D codifica a relac¸a˜o esta´tica entre a entrada a sa´ıda. E´
tambe´m chamada de matriz de transmissa˜o direta.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 15 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Interpretando as matrizes A, B, C e D
A matriz A codifica a dinaˆmica do sistema, sendo func¸a˜o dos
paraˆmetros que o caracterizam.
A matriz B codifica a informac¸a˜o do tipo de atuador dispon´ıvel (ou
forma de atuac¸a˜o).
A matriz C codifica a informac¸a˜o do tipo de sensor dispon´ıvel.
A matriz D codifica a relac¸a˜o esta´tica entre a entrada a sa´ıda. E´
tambe´m chamada de matriz de transmissa˜o direta.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 15 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Entrada → Torque τ(t)
Sa´ıdas → Velocidade angular ω(t) e aˆngulo de giro do eixo θ(t)
Paraˆmetros → Momento de ine´rcia J; coeficiente de atrito viscoso b
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 16 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)


x1 = θ
x2 = θ˙
u = τ
y =
[
θ
θ˙
] =⇒


x˙1 = x2
x˙2 = −
b
J
x2 +
1
J
u
y =
[
x1
x2
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 17 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
J θ¨(t) = τ(t)− bθ˙(t)


x1 = θ
x2 = θ˙
u = τ
y =
[
θ
θ˙
] =⇒


x˙1 = x2
x˙2 = −
b
J
x2 +
1
J
u
y =
[
x1
x2
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 17 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Reescrevendo em formato matricial:
[
x˙1
x˙2
]
=
[
0 1
0 −b
J
] [
x1
x2
]
+
[
0
1
J
]
u
y =
[
1 0
0 1
] [
x1
x2
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 18 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Reescrevendo em formato matricial:
[
x˙1
x˙2
]
=
[
0 1
0 −b
J
] [
x1
x2
]
+
[
0
1
J
]
u
y =
[
1 0
0 1
] [
x1
x2
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 18 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Modelagem de um Motor Ele´trico
Reescrevendo em formato matricial:
[
x˙1
x˙2
]
=
[
0 1
0 −b
J
] [
x1
x2
]
+
[
0
1
J
]
u
y =
[
1 0
0 1
] [
x1
x2
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 18 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo de Sistema com D 6= ~0 - Circuito RL
vs(t)
R
L
iL(t)
vL(t)
−
+
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 19 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo de Sistema com D 6= ~0 - Circuito RL


x1 =
∫ t
−∞
vL(τ)dτ
x˙1 = vL(t)
u = vs(t)
y = vL(t)
=⇒


x˙1 = −
R
L
x1 + u
y˙ = −R
L
x1 + u
A = C = −
R
L
, B = D = 1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 20 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo de Sistema com D 6= ~0 - Circuito RL
Obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia do circuito RL a partir da
expressa˜o G (s) = C (sI − A)−1B + D.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 21 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Roboˆ diferencial de duas rodas
x
y
θ
v
Entradas → Velocidade de translac¸a˜o v(t) e velocidade angular ω(t)
Sa´ıdas e estados → Coordenadas x e y e aˆngulo de atitude θ(t)
Paraˆmetros → Raio das rodas R; distaˆncia entre as rodas L
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 22 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Roboˆ diferencial de duas rodas

x1 = x
x2 = y
x3 = θ
u1 = v
u2 = ω
~y = [x y θ]T
=⇒


x˙1 = u1cos(x3)
x˙2 = u1sen(x3)
x˙3 = u2
~y = [x1 x2 x3]
T
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 23 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Roboˆ diferencial de duas rodas
Reescrevendo em formato matricial:

 x˙1x˙2
x˙3

 =

 0 0 00 0 0
0 0 0



 x1x2
x3

+

 cos(x3) 0sen(x3) 0
0 1

[ u1
u2
]
y =

 1 0 00 1 0
0 0 1



 x1x2
x3


Como B na˜o e´ constante, infere-se que este e´ um sistema na˜o-linear!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 24 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Roboˆ diferencial de duas rodas
Reescrevendo em formato matricial:

 x˙1x˙2
x˙3

 =

 0 0 00 0 0
0 0 0



 x1x2
x3

+

 cos(x3) 0sen(x3) 0
0 1

[ u1
u2
]
y =

 1 0 00 1 0
0 0 1



 x1x2
x3


Como B na˜o e´ constante, infere-se que este e´ um sistema na˜o-linear!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 24 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Roboˆ diferencial de duas rodas
Reescrevendo em formato matricial:

 x˙1x˙2
x˙3

 =

 0 0 00 0 0
0 0 0



 x1x2
x3

+

 cos(x3) 0sen(x3) 0
0 1

[ u1
u2
]
y =

 1 0 00 1 0
0 0 1



 x1x2
x3


Como B na˜o e´ constante, infere-se que este e´ um sistema na˜o-linear!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 24 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Roboˆ diferencial de duas rodas
Reescrevendo em formato matricial:

 x˙1x˙2
x˙3

 =

 0 0 00 0 0
0 0 0



 x1x2
x3

+

 cos(x3) 0sen(x3) 0
0 1

[ u1
u2
]
y =

 1 0 00 1 0
0 0 1



 x1x2
x3


Como B na˜o e´ constante, infere-se que este e´ um sistema na˜o-linear!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 24 / 25
Representac¸o˜es em Varia´veis de Estado
Exemplo pra´tico - Roboˆ diferencial de duas rodas


v = (ωr+ωl )R2
ω = (ωr−ωl )R
L
⇐⇒


ωr =
2v+ωL
2R
ωl =
2v−ωL
2R
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 8 25 / 25
	Introdução