aula11 - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos - Argolo

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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos -
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Prof. Tales Argolo Jesus
tales@cefetmg.br
Sala 303
CEFET-MG
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 1 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Sistema de Controle de Orientac¸a˜o de uma Antena
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 2 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Diagrama de Blocos do Sistema
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 3 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Aˆngulo de Guinada da Antena
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 4 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Diagrama de Blocos do Sistema Amostrado
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 5 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Sinal Amostrado sem Reconstruc¸a˜o
Esse sinal e´ adequado para ser aplicado como comando ao sistema de posi-
cionamento da antena?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 6 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Sinal Amostrado e Sinal Reconstru´ıdo
Reconstruc¸a˜o do sinal por meio do uso de um segurador de ordem zero
(interpolac¸a˜o com polinoˆmio de grau 0).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 7 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
e¯(t) =e(0)[1(t) − 1(t − T )] + e(T )[1(t − T )− 1(t − 2T )]+
e(2T )[1(t − 2T )− 1(t − 3T )] + . . .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 8 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
Aplicando-se a transformada de Laplace:
E¯ (s) =e(0)
[
1− e−Ts
s
]
+ e(T )
[
e−Ts − e−2Ts
s
]
+
e(2T )
[
e−2Ts − e−3Ts
s
]
+ . . .
E¯ (s) =
[
1− e−Ts
s
] [
e(0) + e(T )e−Ts + e(2T )e−2Ts + . . .
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 9 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
Aplicando-se a transformada de Laplace:
E¯ (s) =e(0)
[
1− e−Ts
s
]
+ e(T )
[
e−Ts − e−2Ts
s
]
+
e(2T )
[
e−2Ts − e−3Ts
s
]
+ . . .
E¯ (s) =
[
1− e−Ts
s
] [
e(0) + e(T )e−Ts + e(2T )e−2Ts + . . .
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 9 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
Aplicando-se a transformada de Laplace:
E¯ (s) =e(0)
[
1− e−Ts
s
]
+ e(T )
[
e−Ts − e−2Ts
s
]
+
e(2T )
[
e−2Ts − e−3Ts
s
]
+ . . .
E¯ (s) =
[
1− e−Ts
s
] [
e(0) + e(T )e−Ts + e(2T )e−2Ts + . . .
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 9 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
Escrevendo de uma forma mais compacta:
E¯ (s) =
[
1− e−Ts
s
][ ∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 10 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
Escrevendo de uma forma mais compacta:
E¯ (s) =
[
1− e−Ts
s
][ ∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 10 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
E¯ (s) = GZOH(s)E
∗(s) ,
em que
GZOH(s) =
1− e−Ts
s
e´ a func¸a˜o de transfereˆncia do retentor de ordem zero e
E ∗(s) =
∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
e´ a transformada estrelada do sinal e(kT ).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 11 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
E¯ (s) = GZOH(s)E
∗(s) ,
em que
GZOH(s) =
1− e−Ts
s
e´ a func¸a˜o de transfereˆncia do retentor de ordem zero e
E ∗(s) =
∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
e´ a transformada estrelada do sinal e(kT ).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 11 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
E¯ (s) = GZOH(s)E
∗(s) ,
em que
GZOH(s) =
1− e−Ts
s
e´ a func¸a˜o de transfereˆncia do retentor de ordem zero e
E ∗(s) =
∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
e´ a transformada estrelada do sinal e(kT ).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 11 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Modelagem Matema´tica da Amostragem e Reconstruc¸a˜o
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 12 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Uma pergunta importante...
Qual e´ a func¸a˜o de transfereˆncia do amostrador?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 13 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Sabe-se que
E ∗(s) =
∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
= e(0) + e(T )e−Ts + e(2T )e−2Ts + . . . .
Aplicando-se a transformada de Laplace Inversa:
e∗(t) =L−1 {E ∗(s)}
= L−1
{
∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
}
=
∞∑
k=0
e(kT )L−1
{
e−kTs
}
= e(0)δ(t) + e(T )δ(t − T ) + e(2T )δ(t − 2T ) + . . . .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 14 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Sabe-se que
E ∗(s) =
∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
= e(0) + e(T )e−Ts + e(2T )e−2Ts + . . . .
Aplicando-se a transformada de Laplace Inversa:
e∗(t) =L−1 {E ∗(s)}
= L−1
{
∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
}
=
∞∑
k=0
e(kT )L−1
{
e−kTs
}
= e(0)δ(t) + e(T )δ(t − T ) + e(2T )δ(t − 2T ) + . . . .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 14 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Sabe-se que
E ∗(s) =
∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
= e(0) + e(T )e−Ts + e(2T )e−2Ts + . . . .
Aplicando-se a transformada de Laplace Inversa:
e∗(t) =L−1 {E ∗(s)}
= L−1
{
∞∑
k=0
e(kT )e−kTs
}
=
∞∑
k=0
e(kT )L−1
{
e−kTs
}
= e(0)δ(t) + e(T )δ(t − T ) + e(2T )δ(t − 2T ) + . . . .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 14 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Escrevendo em uma forma mais compacta:
e∗(t) =
∞∑
k=0
e(kT )δ(t − kT ) .
e∗(t) e´ um trem de impulsos cujos pesos sa˜o os valores do sinal e(t)
nos instantes de amostragem t = kT , k ∈ Z.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 15 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Escrevendo em uma forma mais compacta:
e∗(t) =
∞∑
k=0
e(kT )δ(t − kT ) .
e∗(t) e´ um trem de impulsos cujos pesos sa˜o os valores do sinal e(t)
nos instantes de amostragem t = kT , k ∈ Z.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 15 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Escrevendo em uma forma mais compacta:
e∗(t) =
∞∑
k=0
e(kT )δ(t − kT ) .
e∗(t) e´ um trem de impulsos cujos pesos sa˜o os valores do sinal e(t)
nos instantes de amostragem t = kT , k ∈ Z.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 15 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 16 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Note que:
e∗(t) =
∞∑
k=0
e(kT )δ(t − kT ) = e(t)
∞∑
k=0
δ(t − kT ).
Definindo-se δT (t) =
∑
∞
k=0 δ(t − kT ), tem-se que:
e∗(t) = e(t)δT (t) .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 17 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Note que:
e∗(t) =
∞∑
k=0
e(kT )δ(t − kT ) = e(t)
∞∑
k=0
δ(t − kT ).
Definindo-se δT (t) =
∑
∞
k=0 δ(t − kT ), tem-se que:
e∗(t) = e(t)δT (t) .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 17 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Note que:
e∗(t) =
∞∑
k=0
e(kT )δ(t − kT ) = e(t)
∞∑
k=0
δ(t − kT ).
Definindo-se δT (t) =
∑
∞
k=0 δ(t − kT ), tem-se que:
e∗(t) = e(t)δT (t) .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 17 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Note que:
e∗(t) =
∞∑
k=0
e(kT )δ(t − kT ) = e(t)
∞∑
k=0
δ(t − kT ).
Definindo-se δT (t) =
∑
∞
k=0 δ(t − kT ), tem-se que:
e∗(t) = e(t)δT (t) .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 17 / 31Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 18 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Aplicando-se a Transformada de Laplace:
L{e∗(t)} = L{e(t)δT (t)} .
L{e∗(t)} = L{e(t)} ∗ L {δT (t)} .
E ∗(s) = E (s) ∗∆T (s) .
O amostrador ideal na˜o e´ matematicamente representa´vel por uma
func¸a˜o de transfereˆncia!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 19 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Aplicando-se a Transformada de Laplace:
L{e∗(t)} = L{e(t)δT (t)} .
L{e∗(t)} = L{e(t)} ∗ L {δT (t)} .
E ∗(s) = E (s) ∗∆T (s) .
O amostrador ideal na˜o e´ matematicamente representa´vel por uma
func¸a˜o de transfereˆncia!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 19 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Aplicando-se a Transformada de Laplace:
L{e∗(t)} = L{e(t)δT (t)} .
L{e∗(t)} = L{e(t)} ∗ L {δT (t)} .
E ∗(s) = E (s) ∗∆T (s) .
O amostrador ideal na˜o e´ matematicamente representa´vel por uma
func¸a˜o de transfereˆncia!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 19 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Aplicando-se a Transformada de Laplace:
L{e∗(t)} = L{e(t)δT (t)} .
L{e∗(t)} = L{e(t)} ∗ L {δT (t)} .
E ∗(s) = E (s) ∗∆T (s) .
O amostrador ideal na˜o e´ matematicamente representa´vel por uma
func¸a˜o de transfereˆncia!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 19 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Amostrador Ideal
Aplicando-se a Transformada de Laplace:
L{e∗(t)} = L{e(t)δT (t)} .
L{e∗(t)} = L{e(t)} ∗ L {δT (t)} .
E ∗(s) = E (s) ∗∆T (s) .
O amostrador ideal na˜o e´ matematicamente representa´vel por uma
func¸a˜o de transfereˆncia!
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Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
O Retentor de Ordem Zero
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 20 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Func¸a˜o de Transfereˆncia do Retentor de Ordem Zero
Resposta ao impulso:
gZOH(t) = 1(t)− 1(t − T ).
Aplicando-se a Transformada de Laplace:
GZOH(s) =
1− e−Ts
s
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 21 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Func¸a˜o de Transfereˆncia do Retentor de Ordem Zero
Resposta ao impulso:
gZOH(t) = 1(t)− 1(t − T ).
Aplicando-se a Transformada de Laplace:
GZOH(s) =
1− e−Ts
s
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 21 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Func¸a˜o de Transfereˆncia do Retentor de Ordem Zero
Resposta ao impulso:
gZOH(t) = 1(t)− 1(t − T ).
Aplicando-se a Transformada de Laplace:
GZOH(s) =
1− e−Ts
s
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 21 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Func¸a˜o de Transfereˆncia do Retentor de Ordem Zero
Resposta ao impulso:
gZOH(t) = 1(t)− 1(t − T ).
Aplicando-se a Transformada de Laplace:
GZOH(s) =
1− e−Ts
s
.
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Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Forma Fechada da Transformada Estrelada
Sabe-se que:
e∗(t) = e(t)δT (t)⇐⇒ E
∗(s) = E (s) ∗∆T (s)
A partir da integral de convoluc¸a˜o complexa, chega-se a:
E ∗(s) =
∑
nos po´los de E(λ)
Res
[
E (λ)
1
1− e−T (s−λ)
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 22 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Forma Fechada da Transformada Estrelada
Sabe-se que:
e∗(t) = e(t)δT (t)⇐⇒ E
∗(s) = E (s) ∗∆T (s)
A partir da integral de convoluc¸a˜o complexa, chega-se a:
E ∗(s) =
∑
nos po´los de E(λ)
Res
[
E (λ)
1
1− e−T (s−λ)
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 22 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Exerc´ıcio 1 - Forma Fechada da Transformada Estrelada
Determine a transformada estrelada de e(t) = 1(t) (degrau unita´rio).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 23 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Exerc´ıcio 1 - Forma Fechada da Transformada Estrelada
E ∗(s) =
1
1− e−Ts
=
eTs
eTs − 1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 24 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Exerc´ıcio 2 - Forma Fechada da Transformada Estrelada
Determine a transformada estrelada de e(t) = r(t) (rampa de inclinac¸a˜o
unita´ria).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 25 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Exerc´ıcio 2 - Forma Fechada da Transformada Estrelada
E ∗(s) =
TeTs
(eTs − 1)2
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 26 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Exerc´ıcio 3 - Forma Fechada da Transformada Estrelada
Determine a transformada estrelada de e(t) = eat .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 27 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Exerc´ıcio 3 - Forma Fechada da Transformada Estrelada
E ∗(s) =
1
1− e−T (s−a)
=
eTs
eTs − eaT
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 28 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Exerc´ıcio 4 - Forma Fechada da Transformada Estrelada
Dado o sinal E (s) = 1(s+3)(s+4) , encontre o sinal resultante apo´s um proce-
dimento de amostragem ideal.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 29 / 31
Amostragem e Reconstruc¸a˜o de Sinais
Exerc´ıcio 4 - Forma Fechada da Transformada Estrelada
E ∗(s) =
1
1− e−T (s+3)
−
1
1− e−T (s+4)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 30 / 31
Exerc´ıcios do livro-texto
Digital Control System Analysis and Design (Phillips and Nagle)
3a edic¸a˜o: 3.1, 3.3, 3.4 a 3.7, 3.11 e 3.12.
4a edic¸a˜o: 3.2-1, 3.4-1 a 3.4-4, 3.4-6 e 3.4-7.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 11 31 / 31
	Introdução