aula13 - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos - Argolo

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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos -
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Prof. Tales Argolo Jesus
tales@cefetmg.br
Sala 303
CEFET-MG
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 1 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 2 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
C (s) = G (s)D∗(s)E ∗(s)
Aplicando-se a transformada Z:
C (z) = G (z)D(z)E (z) (1)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
C (s) = G (s)D∗(s)E ∗(s)
Aplicando-se a transformada Z:
C (z) = G (z)D(z)E (z) (1)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
C (s) = G (s)D∗(s)E ∗(s)
Aplicando-se a transformada Z:
C (z) = G (z)D(z)E (z) (1)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
E (s) = R(s)− H(s)C (s) = R(s)− H(s)G (s)D∗(s)E ∗(s)
Aplicando-se a transformada Z:
E (z) = R(z)− GH(z)D(z)E (z) (2)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
E (s) = R(s)− H(s)C (s) = R(s)− H(s)G (s)D∗(s)E ∗(s)
Aplicando-se a transformada Z:
E (z) = R(z)− GH(z)D(z)E (z) (2)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 4 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
E (s) = R(s)− H(s)C (s) = R(s)− H(s)G (s)D∗(s)E ∗(s)
Aplicando-se a transformada Z:
E (z) = R(z)− GH(z)D(z)E (z) (2)
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
A equac¸a˜o (2) pode ser reescrita da seguinte forma:
E (z) =
R(z)
1 + D(z)GH(z)
(3)
Combinando-se as equac¸o˜es (1) e (3):
M(z) =
C (z)
R(z)
=
D(z)G (z)
1 + D(z)GH(z)
(4)
M(z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia de Malha Fechada!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 5 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
A equac¸a˜o (2) pode ser reescrita da seguinte forma:
E (z) =
R(z)
1 + D(z)GH(z)
(3)
Combinando-se as equac¸o˜es (1) e (3):
M(z) =
C (z)
R(z)
=
D(z)G (z)
1 + D(z)GH(z)
(4)
M(z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia de Malha Fechada!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 5 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
A equac¸a˜o (2) pode ser reescrita da seguinte forma:
E (z) =
R(z)
1 + D(z)GH(z)
(3)
Combinando-se as equac¸o˜es (1) e (3):
M(z) =
C (z)
R(z)
=
D(z)G (z)
1 + D(z)GH(z)
(4)
M(z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia de Malha Fechada!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 5 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
A equac¸a˜o (2) pode ser reescrita da seguinte forma:
E (z) =
R(z)
1 + D(z)GH(z)
(3)
Combinando-se as equac¸o˜es (1) e (3):
M(z) =
C (z)
R(z)
=
D(z)G (z)
1 + D(z)GH(z)
(4)
M(z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia de Malha Fechada!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 5 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
A equac¸a˜o (2) pode ser reescrita da seguinte forma:
E (z) =
R(z)
1 + D(z)GH(z)
(3)
Combinando-se as equac¸o˜es (1) e (3):
M(z) =
C (z)
R(z)
=
D(z)G (z)
1 + D(z)GH(z)
(4)
M(z) e´ a Func¸a˜o de Transfereˆncia de Malha Fechada!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 5 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
Projetando D(z) adequadamente, podemos realocar os po´los do sistema,
alterando-lhe a estabilidade, o desempenho, a velocidade de resposta, supri-
mir oscilac¸o˜es, etc. Os novos po´los sa˜o dados pela nova Equac¸a˜o Caracte-
r´ıstica:
1 + D(z)GH(z) = 0 .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 6 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Modelagem Matema´tica
A alterac¸a˜o no ganho dc e´ facilmente verifica´vel:
KMAdc = G (1)
KMFdc =
D(1)G (1)
1 + D(1)GH(1)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 7 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Exerc´ıcio 1
Para D(z) = Kp , o que acontece com K
MF
dc quando Kp →∞?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 8 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Exerc´ıcio 1
Se o sensor tiver ganho unita´rio, e se malha fechada permanecer
esta´vel com o aumento do ganho Kp do controlador proporcional,
enta˜o,
KMFdc = lim
Kp→∞
[
KpG (1)
1 + KpG (1)
]
= 1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 9 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Consideremos um motor cuja relac¸a˜o entrada-sa´ıda
(tensa˜o-velocidade) e´ dada por
Gp(s) =
KMA
τMAs + 1
.
A func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada e´
M(s) =
Ω(s)
Ωd(s)
=
D(s)G (s)
1 + D(s)G (s)H(s)
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 10 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Consideremos um motor cuja relac¸a˜o entrada-sa´ıda
(tensa˜o-velocidade) e´ dada por
Gp(s) =
KMA
τMAs + 1
.
A func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada e´
M(s) =
Ω(s)
Ωd(s)
=
D(s)G (s)
1 + D(s)G (s)H(s)
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 10 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Admitindo-se que se dispo˜e de um sensor ideal, tem-se que H(s) = 1.
Considerando-se um controlador proporcional apenas, tem-se que
D(s) = Kp.
Portanto,
M(s) =
Ω(s)
Ωd (s)
=
KpG (s)
1 + KpG (s)
=
KpKMA
τMAs + 1 + KpKMA
=
KpKMA
1+KpKMA
τMA
1+KpKMA
s + 1
.
A constante de tempo de malha fechada e o ganho dc de malha
fechada sa˜o:
τMF =
τMA
1 + KpKMA
e KMF =
KpKMA
1 + KpKMA
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 11 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Admitindo-se que se dispo˜e de um sensor ideal, tem-se que H(s) = 1.
Considerando-se um controlador proporcional apenas, tem-se que
D(s) = Kp.
Portanto,
M(s) =
Ω(s)
Ωd (s)
=
KpG (s)
1 + KpG (s)
=
KpKMA
τMAs + 1 + KpKMA
=
KpKMA
1+KpKMA
τMA
1+KpKMA
s + 1
.
A constante de tempo de malha fechada e o ganho dc de malha
fechada sa˜o:
τMF =
τMA
1 + KpKMA
e KMF =
KpKMA
1 + KpKMA
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 11 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Admitindo-se que se dispo˜e de um sensor ideal, tem-se que H(s) = 1.
Considerando-se um controlador proporcional apenas, tem-se que
D(s) = Kp.
Portanto,
M(s) =
Ω(s)
Ωd (s)
=
KpG (s)
1 + KpG (s)
=
KpKMA
τMAs + 1 + KpKMA
=
KpKMA
1+KpKMA
τMA
1+KpKMA
s + 1
.
A constante de tempo de malha fechada e o ganho dc de malha
fechada sa˜o:
τMF =
τMA
1 + KpKMA
e KMF =
KpKMA
1 + KpKMA
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 11 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Admitindo-se que se dispo˜e de um sensor ideal, tem-se que H(s) = 1.
Considerando-se um controlador proporcional apenas, tem-se que
D(s) = Kp.
Portanto,
M(s) =
Ω(s)
Ωd (s)
=
KpG (s)
1 + KpG (s)
=
KpKMA
τMAs + 1 + KpKMA
=
KpKMA
1+KpKMA
τMA
1+KpKMA
s + 1
.
A constante de tempo de malha fechada e o ganho dc de malha
fechada sa˜o:
τMF =
τMA
1 + KpKMA
e KMF =
KpKMA
1 + KpKMA
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 11 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Para o casoespec´ıfico de Kp = 1V.s/rad, KMA = 1 rad/(s.V) e
τMA = 10 s, tem-se que
M(s) =
Ω(s)
Ωd (s)
=
0,5
5s + 1
.
Portanto, ocorre uma reduc¸a˜o no ganho dc de malha fechada e na
constante de tempo de malha fechada.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 12 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Para o caso espec´ıfico de Kp = 1V.s/rad, KMA = 1 rad/(s.V) e
τMA = 10 s, tem-se que
M(s) =
Ω(s)
Ωd (s)
=
0,5
5s + 1
.
Portanto, ocorre uma reduc¸a˜o no ganho dc de malha fechada e na
constante de tempo de malha fechada.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 12 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Em termos de estabilidade do sistema de controle, note que
sMF = − 1
τMF
= −1 + KpKMA
τMA
.
Portanto, 0 < Kp <∞, o sistema sempre sera´ esta´vel!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 13 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Em termos de estabilidade do sistema de controle, note que
sMF = − 1
τMF
= −1 + KpKMA
τMA
.
Portanto, 0 < Kp <∞, o sistema sempre sera´ esta´vel!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 13 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Consideremos um motor cuja relac¸a˜o entrada-sa´ıda
(tensa˜o-velocidade) e´ dada por
Gp(s) =
KMA
τMAs + 1
.
A func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada e´
M(z) =
Ω(z)
Ωd(z)
=
D(z)G (z)
1 + D(z)GH(z)
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 14 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Consideremos um motor cuja relac¸a˜o entrada-sa´ıda
(tensa˜o-velocidade) e´ dada por
Gp(s) =
KMA
τMAs + 1
.
A func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada e´
M(z) =
Ω(z)
Ωd(z)
=
D(z)G (z)
1 + D(z)GH(z)
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 14 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Admitindo-se que se dispo˜e de um sensor ideal, tem-se que
G (z) = GH(z).
Considerando-se um controlador proporcional apenas, tem-se que
D(z) = Kp .
Portanto,
M(z) =
Ω(z)
Ωd (z)
=
KpG (z)
1 + KpG (z)
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 15 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Admitindo-se que se dispo˜e de um sensor ideal, tem-se que
G (z) = GH(z).
Considerando-se um controlador proporcional apenas, tem-se que
D(z) = Kp .
Portanto,
M(z) =
Ω(z)
Ωd (z)
=
KpG (z)
1 + KpG (z)
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 15 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Admitindo-se que se dispo˜e de um sensor ideal, tem-se que
G (z) = GH(z).
Considerando-se um controlador proporcional apenas, tem-se que
D(z) = Kp .
Portanto,
M(z) =
Ω(z)
Ωd (z)
=
KpG (z)
1 + KpG (z)
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 15 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Para o caso digital, faz-se necessa´rio o ca´lculo da func¸a˜o de
transfereˆncia pulsada G (z). Como Gp(s) e´ um sistema de primeira
ordem, e´ imediato que:
G (z) = KMA
(
1− e−T/τMA
z − e−T/τMA
)
.
Assim, tem-se a expressa˜o de malha fechada
M(z) =
Ω(z)
Ωd(z)
=
KpKMA(1− e−T/τMA)
z − e−T/τMA + KpKMA(1− e−T/τMA)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 16 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Para o caso digital, faz-se necessa´rio o ca´lculo da func¸a˜o de
transfereˆncia pulsada G (z). Como Gp(s) e´ um sistema de primeira
ordem, e´ imediato que:
G (z) = KMA
(
1− e−T/τMA
z − e−T/τMA
)
.
Assim, tem-se a expressa˜o de malha fechada
M(z) =
Ω(z)
Ωd(z)
=
KpKMA(1− e−T/τMA)
z − e−T/τMA + KpKMA(1− e−T/τMA)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 16 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
O ganho dc de malha fechada e´:
KMF = lim
z→1
M(z) =
KpKMA
1 + KpKMA
.
Para a constante de tempo, basta que se fac¸a τMF = − 1sMF ,
considerando-se que sMF =
ln(zMF )
T
e
zMF = e
−T/τMA − KpKMA(1− e−T/τMA).
Portanto:
τMF = − T
ln
(
e−T/τMA − KpKMA(1− e−T/τMA)
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 17 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
O ganho dc de malha fechada e´:
KMF = lim
z→1
M(z) =
KpKMA
1 + KpKMA
.
Para a constante de tempo, basta que se fac¸a τMF = − 1sMF ,
considerando-se que sMF =
ln(zMF )
T
e
zMF = e
−T/τMA − KpKMA(1− e−T/τMA).
Portanto:
τMF = − T
ln
(
e−T/τMA − KpKMA(1− e−T/τMA)
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 17 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
O ganho dc de malha fechada e´:
KMF = lim
z→1
M(z) =
KpKMA
1 + KpKMA
.
Para a constante de tempo, basta que se fac¸a τMF = − 1sMF ,
considerando-se que sMF =
ln(zMF )
T
e
zMF = e
−T/τMA − KpKMA(1− e−T/τMA).
Portanto:
τMF = − T
ln
(
e−T/τMA − KpKMA(1− e−T/τMA)
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 17 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Para o caso espec´ıfico de Kp = 1V.s/rad, KMA = 1 rad/(s.V),
τMA = 10 s e T = 1 s, tem-se que
G (z) =
0,0952
z − 0,9048 e M(Z ) =
Ω(z)
Ωd (z)
=
0,0952
z − 0,8096 ,
e os valores de paraˆmetros da malha fechada sa˜o
τMF = 4,73 s e KMF = 0,5 .
Portanto, ocorre uma reduc¸a˜o no ganho dc de malha fechada e na
constante de tempo de malha fechada.
Em relac¸a˜o ao sistema de controle analo´gico, a constante de tempo
de malha fechada do caso digital e´ menor! Por queˆ?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 18 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Para o caso espec´ıfico de Kp = 1V.s/rad, KMA = 1 rad/(s.V),
τMA = 10 s e T = 1 s, tem-se que
G (z) =
0,0952
z − 0,9048 e M(Z ) =
Ω(z)
Ωd (z)
=
0,0952
z − 0,8096 ,
e os valores de paraˆmetros da malha fechada sa˜o
τMF = 4,73 s e KMF = 0,5 .
Portanto, ocorre uma reduc¸a˜o no ganho dc de malha fechada e na
constante de tempo de malha fechada.
Em relac¸a˜o ao sistema de controle analo´gico, a constante de tempo
de malha fechada do caso digital e´ menor! Por queˆ?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 18 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Para o caso espec´ıfico de Kp = 1V.s/rad, KMA = 1 rad/(s.V),
τMA = 10 s e T = 1 s, tem-se que
G (z) =
0,0952
z − 0,9048 e M(Z ) =
Ω(z)
Ωd (z)
=
0,0952
z − 0,8096 ,
e os valores de paraˆmetros da malha fechada sa˜o
τMF = 4,73 s e KMF = 0,5 .
Portanto, ocorre uma reduc¸a˜o no ganho dc de malha fechada e na
constante de tempo de malha fechada.
Em relac¸a˜o ao sistema de controle analo´gico, a constante de tempo
de malha fechada do caso digital e´ menor! Por queˆ?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 18 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Em termos de estabilidade do sistema de controle, note que
zMF = e
−T/τMA − Kp(1− e−T/τMA)
.
A condic¸a˜o de estabilidade e´ |zMF | < 1.
Para o caso espec´ıficode τMA = 10 s e T = 1 s, a condic¸a˜o torna-se
|0,9048 − 0,0952Kp | < 1, que se traduz em
−1 < Kp < 20
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 19 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Em termos de estabilidade do sistema de controle, note que
zMF = e
−T/τMA − Kp(1− e−T/τMA)
.
A condic¸a˜o de estabilidade e´ |zMF | < 1.
Para o caso espec´ıfico de τMA = 10 s e T = 1 s, a condic¸a˜o torna-se
|0,9048 − 0,0952Kp | < 1, que se traduz em
−1 < Kp < 20
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 19 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
Em termos de estabilidade do sistema de controle, note que
zMF = e
−T/τMA − Kp(1− e−T/τMA)
.
A condic¸a˜o de estabilidade e´ |zMF | < 1.
Para o caso espec´ıfico de τMA = 10 s e T = 1 s, a condic¸a˜o torna-se
|0,9048 − 0,0952Kp | < 1, que se traduz em
−1 < Kp < 20
.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 19 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
E´ comum que o ganho de um controlador seja sempre positivo e e´
prefer´ıvel que o po´lo de malha fechada seja positivo (por queˆ???), isto
e´, 0 < zMF < 1 portanto, a faixa ideal para o ganho do controlador e´
0 < Kp < 9,5
.
Note que ha´ um limitante superior para os valores de Kp que tornam
o sistema esta´vel, diferentemente do caso analo´gico!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 20 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistema de Controle Digital em Malha Fechada
E´ comum que o ganho de um controlador seja sempre positivo e e´
prefer´ıvel que o po´lo de malha fechada seja positivo (por queˆ???), isto
e´, 0 < zMF < 1 portanto, a faixa ideal para o ganho do controlador e´
0 < Kp < 9,5
.
Note que ha´ um limitante superior para os valores de Kp que tornam
o sistema esta´vel, diferentemente do caso analo´gico!
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 20 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
0 5 10 15 20 25 30
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
t (s)
ω
(t)
, ω
k
 
 
Sistema de Controle Analógico
Sistema de Controle Digital
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 21 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico e Digital em Malha
Fechada
E´ poss´ıvel repetir a mesma ana´lise comparativa de sistemas de controle
analo´gico e digital em malha fechada para o motor considerando que a
entrada e´ o torque e a sa´ıda e´ a posic¸a˜o angular.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 22 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Para o caso analo´gico, tem-se as seguintes func¸o˜es de transfereˆncia de
malha aberta e de malha fechada:
Gp(s) =
1
s(10s + 1)
=
0,1
s(s + 0,1)
M(s) =
θ(s)
θd(s)
=
0,1Kp
s2 + 0,1s + 0,1Kp
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Para o caso analo´gico, tem-se as seguintes func¸o˜es de transfereˆncia de
malha aberta e de malha fechada:
Gp(s) =
1
s(10s + 1)
=
0,1
s(s + 0,1)
M(s) =
θ(s)
θd(s)
=
0,1Kp
s2 + 0,1s + 0,1Kp
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Para o caso espec´ıfico de Kp = 1, tem-se:
M(s) =
0,1
s2 + 0,1s + 0,1
=
ω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
Portanto,
ζ =
√
10
10
≈ 0,3162
ωn =
√
10
20
≈ 0,1581 rad/s
.
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Para o caso espec´ıfico de Kp = 1, tem-se:
M(s) =
0,1
s2 + 0,1s + 0,1
=
ω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
Portanto,
ζ =
√
10
10
≈ 0,3162
ωn =
√
10
20
≈ 0,1581 rad/s
.
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Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Para o caso espec´ıfico de Kp = 1, tem-se:
M(s) =
0,1
s2 + 0,1s + 0,1
=
ω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
Portanto,
ζ =
√
10
10
≈ 0,3162
ωn =
√
10
20
≈ 0,1581 rad/s
.
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
= 20 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 60,47%
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
= 20 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 60,47%
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
= 20 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 60,47%
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico em Malha Fechada
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
= 20 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 60,47%
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Para o caso digital, tem-se as seguintes func¸o˜es de transfereˆncia de
malha aberta e de malha fechada (com Kp = 1):
G (z) = Z
{
Gp(s)
s
}
(1− z−1) = 0,04837z + 0,04679
z2 − 1,905z + 0,9048
M(z) =
θ(z)
θd (z)
=
0,04837z + 0,04679
z2 − 1,856z + 0,9516
Po´los de malha aberta: z1 = 1 e z2 = 0,9048
Po´los de malha fechada: z1,2 = 0,928 ± j0,3007
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Para o caso digital, tem-se as seguintes func¸o˜es de transfereˆncia de
malha aberta e de malha fechada (com Kp = 1):
G (z) = Z
{
Gp(s)
s
}
(1− z−1) = 0,04837z + 0,04679
z2 − 1,905z + 0,9048
M(z) =
θ(z)
θd (z)
=
0,04837z + 0,04679
z2 − 1,856z + 0,9516
Po´los de malha aberta: z1 = 1 e z2 = 0,9048
Po´los de malha fechada: z1,2 = 0,928 ± j0,3007
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Para o caso digital, tem-se as seguintes func¸o˜es de transfereˆncia de
malha aberta e de malha fechada (com Kp = 1):
G (z) = Z
{
Gp(s)
s
}
(1− z−1) = 0,04837z + 0,04679
z2 − 1,905z + 0,9048
M(z) =
θ(z)
θd (z)
=
0,04837z + 0,04679
z2 − 1,856z + 0,9516
Po´los de malha aberta: z1 = 1 e z2 = 0,9048
Po´los de malha fechada: z1,2 = 0,928 ± j0,3007
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Para o caso digital, tem-se as seguintes func¸o˜es de transfereˆncia de
malha aberta e de malha fechada (com Kp = 1):
G (z) = Z
{
Gp(s)
s
}
(1− z−1) = 0,04837z + 0,04679
z2 − 1,905z + 0,9048
M(z) =
θ(z)
θd (z)
=
0,04837z + 0,04679
z2 − 1,856z + 0,9516
Po´los de malha aberta: z1 = 1 e z2 = 0,9048Po´los de malha fechada: z1,2 = 0,928 ± j0,3007
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Sabendo-se que eTs = z e que s1,2 = −ζωn ± ωn
√
1− ζ2:
z1,2 = e
−ζωnT+jωnT
√
1−ζ2 = e−ζωnT∠±ωn
√
1− ζ2 = r∠±θ
Por fim:
r = e−ζωnT
θ = ωnT
√
1− ζ2 ⇔
ζ = −ln r√
ln
2 r+θ2
ωn =
1
T
√
ln
2 r + θ2
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Sabendo-se que eTs = z e que s1,2 = −ζωn ± ωn
√
1− ζ2:
z1,2 = e
−ζωnT+jωnT
√
1−ζ2 = e−ζωnT∠±ωn
√
1− ζ2 = r∠±θ
Por fim:
r = e−ζωnT
θ = ωnT
√
1− ζ2 ⇔
ζ = −ln r√
ln
2 r+θ2
ωn =
1
T
√
ln
2 r + θ2
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Sabendo-se que eTs = z e que s1,2 = −ζωn ± ωn
√
1− ζ2:
z1,2 = e
−ζωnT+jωnT
√
1−ζ2 = e−ζωnT∠±ωn
√
1− ζ2 = r∠±θ
Por fim:
r = e−ζωnT
θ = ωnT
√
1− ζ2 ⇔
ζ = −ln r√
ln
2 r+θ2
ωn =
1
T
√
ln
2 r + θ2
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Sabendo-se que eTs = z e que s1,2 = −ζωn ± ωn
√
1− ζ2:
z1,2 = e
−ζωnT+jωnT
√
1−ζ2 = e−ζωnT∠±ωn
√
1− ζ2 = r∠±θ
Por fim:
r = e−ζωnT
θ = ωnT
√
1− ζ2 ⇔
ζ = −ln r√
ln
2 r+θ2
ωn =
1
T
√
ln
2 r + θ2
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Paraˆmetros dinaˆmicos ζ e ωn:
ζ = 0,0789 ωn = 0,2143 rad/s
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
=
−T
ln r
= 40 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 77,98%
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 28 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Paraˆmetros dinaˆmicos ζ e ωn:
ζ = 0,0789 ωn = 0,2143 rad/s
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
=
−T
ln r
= 40 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 77,98%
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Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Paraˆmetros dinaˆmicos ζ e ωn:
ζ = 0,0789 ωn = 0,2143 rad/s
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
=
−T
ln r
= 40 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 77,98%
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Paraˆmetros dinaˆmicos ζ e ωn:
ζ = 0,0789 ωn = 0,2143 rad/s
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
=
−T
ln r
= 40 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 77,98%
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Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Paraˆmetros dinaˆmicos ζ e ωn:
ζ = 0,0789 ωn = 0,2143 rad/s
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
=
−T
ln r
= 40 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 77,98%
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 28 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Digital em Malha Fechada
Paraˆmetros dinaˆmicos ζ e ωn:
ζ = 0,0789 ωn = 0,2143 rad/s
Constante de tempo de malha fechada:
τMF =
1
ζωn
=
−T
ln r
= 40 s
Percentual de overshoot (sobressinal):
PO = 100 e−ζpi/
√
1−ζ2 = 77,98%
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 28 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
Resposta Temporal de Sistemas de Controle Analo´gico e Digital em Malha
Fechada
O que se podera´ dizer, em ambos os casos, em relac¸a˜o ao comportamento
do sistema em regime permamente?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 29 / 32
Sistemas de Tempo Discreto em Malha Fechada
0 50 100 150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
t (s)
θ(t
), θ
k
 
 
Sistema de Controle Analógico
Sistema de Controle Digital
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 30 / 32
Exerc´ıcios do livro-texto
Digital Control System Analysis and Design (Phillips and Nagle)
3a edic¸a˜o: 5.12 a 5.15, 6.1, 6.4 a 6.9.
4a edic¸a˜o: 5.3-12 a 5.3-15, 6.2-1 6.2-4 a 6.2-7, 6.4-1 e 6.4-2.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 31 / 32
Terceira etapa do trabalho da disciplina (duplas ou trios)
Etapa 3 - Func¸a˜o de Transfereˆncia Pulsada e Sistema de Controle Analo´gico
vs. Sistema de Controle Digital
Obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia pulsada (FTP) e compare, via
simulac¸a˜o, o comportamento do sistema original e do sistema
discretizado.
Repita o procedimento comparativo dos sistemas de controle
analo´gico e digital vistos nessa aula considerando que o Gp(s) e´ o seu
sistema. Gere gra´ficos de simulac¸a˜o para ambos os casos (analo´gico e
digital) e analise os resultados obtidos.
Data limite de entrega do relato´rio via moodle: 18/10/2017
(quarta-feira).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 13 32 / 32
	Introdução