Mecanica dos Fluidos Aula 7

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Mecânica dos fluidos 
AULA 07: EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Aula 07: Equações de Navier-Stokes 
Mecânica dos fluidos 
AULA 07: EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES 
Temas/objetivos desta aula 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES 
DE NAVIER-STOKES 
1 
CONTINUIDADE 
2 
QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO LINEAR 
3 
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• A hidrodinâmica é governada pelas equações de Navier-Stokes; 
• Descrevem como as velocidades e as propriedades de um fluido em um campo de escoamento 
variam no espaço e tempo; 
• Utilizadas para estimar perfis de velocidades; 
• Antes só estudávamos quando os escoamentos pudessem ser admitidos como unidimensionais. 
Equações de Navier - Stokes 
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Dedução das equações de Navier - Stokes 
Equação de continuidade: 
• Para o volume de controle mostrado na Figura em um sistema de coordenadas cartesianas, o 
vetor posição é (x,y,z) e o vetor velocidade é (u,v,w). 
 
z 
y 
x 
dy 
dz 
dx 
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Equação de continuidade: 
• Aplicando a conservação de massa no volume de controle: 
 
 
 
• Onde a massa do volume de controle é: 
• Dividindo por dxdydz e aplicando o limite quando tendo a 0: 
Dedução das equações de Navier - Stokes 
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Dedução das equações de Navier - Stokes 
Equação de continuidade: 
• Para um fluido incompressível e em regime estacionário, a equação de continuidade é: 
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Dedução das equações de Navier - Stokes 
Princípio da quantidade de movimento para o volume de controle diferencial 
• O princípio de quantidade de movimento já foi estudado no caso macroscópico. Foi obtido pela 
segunda lei de Newton como: 
 
• Lembrando: 
 
 
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Dedução das equações de Navier - Stokes 
• Para o volume de controle diferencial: 
 
 
• Multiplicando por: 
 
• E aplicando limite temos: 
 
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Dedução das equações de Navier - Stokes 
• Definição de derivada parcial (tópico de cálculo II): 
 
 
• Aplicando regra da derivada do produto: 
 
 
 
 (I) 
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• Por outro lado: 
 
 (II) 
 
 
 
 
 
• O último termo é a equação de continuidade! ∂P/∂t 
 
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Dedução das equações de Navier - Stokes 
• Serão considerados três tipos de forças — gravitacionais, pressão e viscosas: 
 
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Dedução das equações de Navier - Stokes 
Finalmente, combinando todos esses termos, obtêm-se as equações diferenciais de movimento linear 
segundo os três eixos coordenados: 
• Para x: 
 
• Para y: 
 
• Para z: 
 
São equações diferenciais parciais e não têm solução analítica! Precisam de programação 
computacional CFD. 
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Saiba mais 
• Assista aos seguintes vídeos: 
https://www.youtube.com/watch?v=Ls5HS2MLXpg&list=PLX
p_V92sLlFW2NqHLopp26qUYsSrhk8xD 
https://www.youtube.com/watch?v=rQaPuKdffgE 
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Soluções para escoamento laminar; 
 
Camada limite numa placa plana. 
AVANCE PARA FINALIZAR 
A APRESENTAÇÃO.