Cálculo Numérico Aula 1

Prévia do material em texto

CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 1 
Prof. Luan de Campos Corrêa, M.Sc. 
26/07/2016 2 
Tópicos 
• Introdução 
• Critérios de arredondamento 
• Operações com algarismos significativos 
• Números no sistema decimal e binário 
• Conversão de números nos sistemas decimal e binário 
• Erros 
 
 
 
26/07/2016 3 
Introdução 
• O cálculo numérico tem por objetivo estudar esquemas numéricos 
(algoritmos numéricos) para resolução de problemas que podem ser 
representados por um modelo matemático. 
 
• Um esquema é eficiente quando este apresenta soluções de uma 
precisão desejada com custo computacional baixo: 
 tempo de execução + memória 
 
• Os esquemas numéricos nos fornecem aproximações para o que seria a 
solução exata do problema. 
26/07/2016 4 
Introdução 
• Os erros cometidos na aproximação são decorrentes da discretização 
do problema: 
passar do modelo matemático para o esquema numérico e 
da forma como as máquinas representam os dados numéricos. 
 
• Sendo assim, a obtenção de uma solução numérica para um 
problema físico 
por meio da aplicação de métodos numéricos 
nem sempre fornece valores que se encaixam dentro de limites 
razoáveis. 
26/07/2016 5 
Introdução 
• Como exemplo de discretização, temos o cálculo de uma aproximação 
para a derivada de uma função 𝑓(𝑥) num ponto 𝑥. 
• O modelo matemático é dado por: 
 
 
 
• Um esquema numérico para aproximar a derivada é dado por tomar ℎ 
“pequeno” e calcular: 
 
• Neste caso quanto menor o valor de ℎ mais preciso será o resultado, 
mas em geral, este esquema não fornecerá a solução exata. 
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 
ℎ
 
𝑓′ 𝑥 ≈
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 
ℎ
 
26/07/2016 6 
Introdução 
• A representação de números em máquinas digitais (calculadoras, 
computadores, etc.) é feita na forma de ponto flutuante com um 
número finito de dígito. 
• Logo, os números que tem representação infinita (ex: 1 3 , π, 2) são 
representados de forma truncada. 
 
• Em aritmética computacional é possível que para um dado A exista 
um 𝜀 ≠ 0 tal que A + 𝜀 = 𝐴 
 
• Analiticamente a expressão anterior é verdadeira se e somente se 𝜀 = 0. 
26/07/2016 7 
Introdução 
• Outro fator que pode influenciar no resultado é o tipo de máquina 
em que estamos trabalhando. 
 
• Em uma calculadora que represente os números com 7 dígitos teríamos: 
1 3 + 1 3 + 1 3 = 0,999999 
 
• Enquanto que em outras calculadoras poderíamos ter como resposta um 
falso 1, 
pois, internamente estas calculadoras trabalham com mais dígitos 
do que é apresentado no visor e 
antes do resultado ser apresentado este é arredondado. 
26/07/2016 8 
Introdução 
• Os esquemas numéricos são classificados como esquemas diretos e 
esquemas iterativos. 
 
• Os esquemas diretos são aqueles que fornecem a solução após um 
número finito de passos. 
• Os esquemas iterativos são aqueles que repetem um número de 
passos até que um critério de parada seja satisfeito. 
 
• Outro fator que pode influenciar nos resultados é a linguagem de 
programação usada na implementação dos algoritmos 
Pascal, Fortran, C++, MATLAB... 
26/07/2016 9 
Introdução 
• Deve-se apresentar noções sobre fontes de erros, 
para que seja possível controlá-los ou, idealmente, evitá-los. 
 
• Para facilitar a apresentação das fontes de erros, 
o processo de solução de um problema físico por meio da aplicação de 
métodos numéricos pode ser resumido como: 
Problema ou 
fenômeno 
Modelo 
matemático 
Solução 
Modelagem Resolução 
26/07/2016 10 
Introdução 
 
 
 
 
• Duas fases podem ser identificadas no diagrama acima: 
 
- Modelagem: é a fase de obtenção de um modelo matemático que 
descreve o comportamento do problema que se quer estudar. 
 
- Resolução: é a fase de obtenção da solução do modelo 
matemático através da aplicação de métodos numéricos. 
Problema ou 
fenômeno 
Modelo 
matemático 
Solução 
Modelagem Resolução 
26/07/2016 11 
Introdução 
• Os resultados finais ainda podem estar distantes do que se esperaria obter, 
mesmo com todas as fases de resolução realizadas corretamente. 
 
• Os resultados obtidos dependem também: 
• da precisão dos dados de entrada 
• da forma como esses dados são representados 
• das operações numéricas efetuadas 
26/07/2016 12 
Critérios de arredondamento 
Norma ABNT NBR 5891 - Regras de arredondamento na numeração decimal 
1. OBJETIVO 
Esta norma tem por fim estabelecer as regras de arredondamento na 
Numeração Decimal. 
2. REGRAS DE ARREDONDAMENTO 
2.1 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo 
a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado 
permanecerá sem modificação. 
Exemplo: 
1,3333 arredondado a primeira decimal: 1, 3 333 = 1,3 
3,5144 arredondado a terceira decimal: 3,514 4 = 3,514 
26/07/2016 13 
Critérios de arredondamento 
Norma ABNT NBR 5891 
2.2 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo 
a ser conservado for superior a 5, o último algarismo a ser conservado 
deverá ser aumentado de uma unidade. 
 
Exemplo: 
1,6666 arredondados a segunda decimal: 1,66 66 = 1,67 
2,710198 arredondado a quinta decimal: 2,71019 8 = 2,71020 
 
26/07/2016 14 
Critérios de arredondamento 
Norma ABNT NBR 5891 
2.3 Quando o algarismo seguinte ao último algarismo a ser 
conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o 
algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. 
 
Se o último a ser retirado for ímpar, aumentará uma unidade, 
Exemplo: 
4,5500 arredondados a primeira decimal: 4, 5 500 = 4,6 
Se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem 
modificação. 
Exemplo: 
4,8500 arredondados a primeira decimal: 4, 8 500 = 4,8 
26/07/2016 15 
Critérios de arredondamento 
Norma ABNT NBR 5891 
2.2... 
ou, 
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a 
ser conservado for 5 
e seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, 
o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma 
unidade. 
Exemplo: 
4,8505 arredondados a primeira decimal: 4, 8 505 = 4,9 
3,32501 arredondados a segunda decimal: 3,32 501 = 3,33 
 
 
26/07/2016 16 
Operações com algarismos significativos 
• A necessidade de fazer operações com algarismos significativos 
vem da necessidade de medir várias grandezas físicas (iguais ou 
diferentes) com aparelhos de precisão diferentes, 
e reuni-las através de uma equação matemática 
de forma a obter o valor da grandeza procurada. 
 
• Adição: O resultado da adição de várias medidas é obtido 
arredondando-se a soma da casa decimal da parcela mais pobre em 
decimais, após efetuar a operação. 
Exemplos: 27, 8 +, 1,326 + 0,06 = 29, 7 86 → 29,8 
 11,45 +, 93, 1 + 0,333 = 104, 8 83 → 104,9 
 
 
26/07/2016 17 
Operações com algarismos significativos 
• Subtração: A subtração é um caso particular da adição, adotando-se 
o mesmo critério apresentado. 
 
 
 
• Multiplicação: O produto de duas ou mais medidas deve possuir, 
em geral, o mesmo número de algarismos significativos da medida mais 
pobre em significativos. 
Exemplos: 18,2476− 16,72 = 1,52 76 → 1,53 
 127,36 − 68,297 = 59,06 3 → 59,06 
 
 
Exemplos: 3,27251 ∗ 1,32 = 4,31 97132 → 4,32 
 0,452 ∗ 2671 = 1207 , 292 → 1,21𝑥103 = 12,1𝑥102 = 121𝑥10 
 
 
26/07/2016 
Operações com algarismos significativos 
• Divisão: A divisão é simplesmente um caso particular do produto, 
portanto, aplica-se a regra anterior. 
Exemplos: 
63,72 
23,1 
= 2,75 8441558 → 2,76 
 
0,451 
2001 
= 0,000225 3873 → 2,25𝑥10−4 = 0,225𝑥10−3 = 22,5𝑥10−5 
 
952,003 
2,1 
= 45 3,334761905 → 4,5𝑥102 
 
 
 
26/07/2016 19 
Conversão de números nos sistemas decimal e binário 
• Com o objetivo de fornecer uma ideia do que ocorre no processo de 
mudança de base de um número, 
apresenta-se a conversão do sistema decimal para o binário e vice-
versa, 
 
• Para depois abordar o sistema de aritmética de ponto flutuante que as 
máquinas utilizam para representar os números. 
26/07/2016 20 
Um número num sistema de bases 
• Em geral qualquer número pode ser decomposto numa soma dos dígitos 
que o constitui (𝑑) vezes potências da sua base (𝛽) 
 
(𝑁)𝐵= 𝑑𝑛 𝑑𝑛−1 𝑑𝑛−2…𝑑0 𝑑1 𝑑2 𝑑−𝑚 𝛽 
 
(𝑁)𝐵= 𝑑𝑛𝛽
𝑛 + 𝑑𝑛−1𝛽
𝑛−1 + 𝑑𝑛−2𝛽
𝑛−2 +⋯𝑑0𝛽
0 + 𝑑−1𝛽
−1 + 𝑑−2𝛽
−2 ±𝑚𝛽−𝑚 
 
 
Onde os dígitos 𝑑𝑗 pertencem ao números naturais e satisfazem a condição: 
0 ≤ 𝑑𝑗 ≤ (𝛽 -1) 
 
 
 
 
 
26/07/2016 21 
Números na base 10 
 
 
 
 
• Nesse caso todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos 
com potências de 10. 
 
(1537)10= 1𝑥10
3 + 5𝑥102 + 3𝑥101 + 7𝑥100 
(1537)10= 1𝑥1000 + 5𝑥100 + 3𝑥10 + 7𝑥1 
(1537)10= 1537 
 
(36,189)10= 3𝑥10
1 + 6𝑥100 + 1𝑥10−1 + 8𝑥10−2 + 9𝑥10−3 
(36,189)10= 3𝑥10 + 6𝑥1 + 1𝑥0,1 + 8𝑥0,01 + 9𝑥0,001 
(36,189)10= 36,189 
 
(6,032𝑥1023)10= 6𝑥10
23 + 0𝑥1022 + 3𝑥1021 + 2𝑥1020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26/07/2016 22 
Números na base 2 
 
 
 
 
• Nesse caso todos os múltiplos e submúltiplos de um número são escritos 
com potências de 2. 
 
(10111)2= 1𝑥2
4 + 0𝑥23 + 1𝑥22 + 1𝑥21 + 1𝑥20 
(10111)2= 1𝑥16 + 0𝑥8 + 1𝑥4 + 1𝑥2 + 1𝑥1 
(10111)2= 23 
 
(10,1)2= 1𝑥2
1 + 0𝑥20 + 1𝑥2−1 
(10,1)2= 1𝑥2 + 0𝑥1 + 1𝑥
1
2
 
(10,1)2= 2,5 
 
 
 
(10111)2= 1𝑥𝟏𝟎
1 + 6𝑥100 + 1𝑥10−1 + 8𝑥10−2 + 9𝑥10−3 
 
(6,032𝑥1023)10= 6𝑥10
23 + 0𝑥1022 + 3𝑥1021 + 2𝑥1020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26/07/2016 23 
Conversão de números nos sistemas decimal e binário 
• Para convertermos um número decimal para um número binário devemos 
aplicar: 
• um método para a parte inteira (divisões sucessivas) 
• e um método para a parte fracionária, se houver (multiplicações 
sucessivas). 
 
• Parte inteira 
• Divide-se sucessivamente a parte inteira 
do número de base 10 por 2, até que 
o último quociente seja igual a 1. 
26/07/2016 24 
Conversão de números nos sistemas decimal e binário 
• Parte fracionária 
• Utiliza-se o método das multiplicações sucessivas, que consiste em: 
 a) multiplicar o número fracionário por 2; 
 b) deste resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do 
 número na base 2 
e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2. 
26/07/2016 25 
Conversão de números nos sistemas decimal e binário 
• Parte fracionária 
• Um número real entre 0 e 1 pode ter representação finita no 
sistema decimal, 
mas representação infinita no sistema binário. 
 
• Isso pode acarretar a ocorrência de erros aparentemente 
inexplicáveis em cálculos efetuados em sistemas computacionais 
binários 
26/07/2016 26 
Exercício 
• Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: 
 
a) 37 
b) 0,217 (com cinco dígitos fracionários) 
 
 
 
26/07/2016 27 
Exercício 
• Converta os seguintes números binários para sua forma decimal: 
 
a) 101101 2 
b) 0,1101 2 
 
 
26/07/2016 28 
Sistema de ponto flutuante normalizado 
• Muitas máquinas utilizam o sistema de aritmética de ponto flutuante 
para representar os números e executar as operações. 
• Um número real na base 𝛽 em aritmética de ponto flutuante de 𝑡 dígitos, 
tem a forma geral: 
 
• Onde: 
 𝑑𝑖′𝑠 dígitos da parte fracionária 
 𝑑1𝑑2𝑑3…𝑑𝑡 é a mantissa 
 𝑡 é o número de dígitos na mantissa; 
 𝛽 é a base em que a máquina opera (em geral, 2 ou 10); 
 𝑒 é o expoente no intervalo 
±0, 𝑑1𝑑2𝑑3…𝑑𝑡 𝑥 𝛽
𝑒 
 
26/07/2016 29 
Sistema de ponto flutuante normalizado 
• O primeiro algarismo após a vírgula deve ser diferente de zero. 
 
• Um número não poderá ser representado na máquina com sistema 
de aritmética de ponto flutuante 
se o expoente 𝑒 estiver fora dos limites 𝑒𝑚í𝑛 e 𝑒𝑚á𝑥. 
 
• Ocorrerá “underflow” se resultar 𝑒 < 𝑒𝑚í𝑛 
• E “overflow” se 𝑒 > 𝑒𝑚á𝑥. 
26/07/2016 30 
Sistema de ponto flutuante normalizado 
• Um sistema de ponto flutuante 𝐹 depende das variáveis: 
β, 𝑡, 𝑒𝑚í𝑛 e 𝑒𝑚á𝑥 
 
• Pode ser representado pela função: 
𝐹 = 𝐹(𝛽, 𝑡, 𝑒𝑚í𝑛, 𝑒𝑚á𝑥) 
 
• Onde a precisão da máquina com o sistema 𝐹 é definida pelo 
número de dígitos da mantissa 𝑡. 
26/07/2016 31 
Exercício 
• Considere uma aritmética de ponto flutuante 𝐹(10 , 2, −5 , 5) 
 
a) Sejam 𝑥 = 875 e 𝑦 = 3172. Calcular 𝑥 ∗ 𝑦 
b) Sejam 𝑥 = 0,0064 e 𝑦 = 7312. Calcular 𝑥 ÷ 𝑦 
c) Sejam 𝑥 = 4,32 e 𝑦 = 0,064. Calcular 𝑥 + 𝑦 
d) Sejam 𝑥 = 372 e 𝑦 = 371. Calcular 𝑥 − 𝑦 
e) Sejam 𝑥 = 691 e 𝑦 = 2,71. Calcular 𝑥 − 𝑦 
 
 
 
26/07/2016 32 
Erros na fase de modelagem 
• Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de 
um modelo matemático, 
raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. 
 
• Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico 
para que se tenha um modelo matemático com o qual se possa 
trabalhar. 
26/07/2016 33 
Erros na fase de resolução 
• Para a resolução de modelos matemáticos, 
muitas vezes torna-se necessária a utilização de instrumentos de 
cálculo que necessitam que sejam feitas certas aproximações. 
 
• Tais aproximações podem gerar erros 
e os principais estão relacionados aos erros de: 
• erro absoluto 
• erro relativo 
• erro de truncamento 
• erro de arredondamento 
26/07/2016 34 
Erros na fase de resolução – erro absoluto e erro relativo 
• A partir do momento em que se calcula um resultado por 
aproximação, 
é preciso saber como estimar ou delimitar o erro cometido na 
aproximação. 
• Para estimar o erro, recorre-se a dois conceitos: 
erro absoluto e erro relativo. 
 
• Seja 𝑥 um valor aproximado para uma quantidade cujo valor exato é 𝑥. 
• Erro absoluto 𝐸𝐴 = |𝑥 − 𝑥 | 
• Erro relativo 𝐸𝑅 = |
𝑥−𝑥 
𝑥
| 
 
26/07/2016 35 
Erros na fase de resolução – erro absoluto e erro relativo 
• Então se define: 
• Erro absoluto 𝐸𝐴 = |𝑥 − 𝑥 | 
• Erro relativo 𝐸𝑅 = |
𝑥−𝑥 
𝑥
| 
 
• O erro relativo é frequentemente dado como uma porcentagem. 
 
• O que se faz é obter um limitante superior ou uma estimativa para o 
módulo do erro. 
26/07/2016 36 
Exercício 
• Calcule os erros absoluto e relativo para os itens a seguir: 
 
a) 𝑥 = 7,6 e 𝑥 = 7,598 
 
b) 𝑦 = 1532 e 𝑦 = 1537 
 
c) 𝑧 = 0,000513 e 𝑧 = 0,00064526/07/2016 37 
Erros na fase de resolução 
• Erro de arredondamento 
Um erro de arredondamento é a diferença entre a aproximação calculada 
de um número e o seu valor matemático exato. 
 
• Erro de truncamento 
É um erro inerente ao método numérico. Surge cada vez se substitui um 
processo matemático infinito por um processo finito ou discreto. 
 
• Sendo 200 3 = 66,666666… , deseja-se expressar o número com duas 
casas decimais após a vírgula. 
Arredondamento: 66,67 Truncamento: 66,66 
 
26/07/2016 38 
Erros na fase de resolução 
• Represente os números que seguem em ponto flutuante com cinco casas 
decimais usando a base 10 utilizando truncamento e utilizando 
arredondamento. 
Mostre também o valor obtido com uma calculadora (mais de cinco casas). 
 
a) 7 
b)
200
3
 
c)
3
7000