Cálculo Numérico Aula 3

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Da aula passada... Método da Bissecção 
• Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 2𝑥 + 1 utilizando o método da 
bissecção e critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,05: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 3 
 
 
 
Prof. Luan de Campos Corrêa, M.Sc. 
08/08/2016 3 
Fase II: Refinamento da raiz 
 
 
Método da Falsa Posição 
 
 
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Método da Falsa Posição 
• Seja a função 𝑓 𝑥 contínua no intervalo 𝑎, 𝑏 e tal que 𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑏 < 0. 
• Supor que o intervalo 𝑎, 𝑏 contenha uma única raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0. 
 
• Podemos esperar conseguir a raiz aproximada 𝑥 
usando as informações sobre os valores de 𝑓 𝑥 disponíveis a cada 
iteração. 
 
• No caso do método da bissecção, 𝑥 é simplesmente a média aritmética 
entre 𝑎 e 𝑏: 
𝑥𝑛 =
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
2
 
 
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Método da Falsa Posição 
• No exemplo da aula anterior vimos que para 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3, 
intervalo inicial 𝑎, 𝑏 = [0,1] e vimos que 𝑓 0 = 3 e 𝑓 1 = −5. 
• Como 𝑓 0 está mais próximo de zero que 𝑓 1 , 
é provável que a raiz esteja mais próximas de 0 do que de 1 
(pelo menos isto ocorre quando 𝑓 𝑥 é linear em 𝑎, 𝑏 ). 
• Assim, em vez de tomar a média aritmética entre 𝑎 e 𝑏, 
o método da posição falsa toma a média aritmética 
ponderada entre 𝑎 e 𝑏 com pesos 𝑓 𝑏 e 𝑓 𝑎 , respectivamente: 
𝑥 =
𝑎. 𝑓 𝑏 −b.𝑓 𝑎
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
 
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Método da Falsa Posição 
• Graficamente, este ponto 𝑥 é a intersecção entre o eixo 𝑜𝑥 e a reta r(x) 
que passa por (𝑎, 𝑓(𝑎)) e (𝑏, 𝑓(𝑏)): 
• E as iterações são feitas assim: 
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Método da Falsa Posição: Exemplo 1 
• Considere a mesma função 𝑓 𝑥 = 𝑥. log 𝑥 − 1, analisada na aula anterior. 
Considere o intervalo [2,3] e encontre uma aproximação para a raiz com 
precisão de 𝑓 𝑥 ≤ 0,002 utilizando o método da falsa posição. 
 
• A resolução é bastante semelhante ao do método da bissecção, exceto pela 
maneira de calcularmos os valores de 𝑥𝑛. 
• Agora calculamos através de: 
 
𝑥𝑛 =
𝑎𝑛. 𝑓 𝑏𝑛 −𝑏𝑛.𝑓 𝑎𝑛
𝑓 𝑏𝑛 −𝑓 𝑎𝑛
 
 
 
 
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Método da Falsa Posição: Exemplo 1 
• Considere a mesma função 𝑓 𝑥 = 𝑥. log 𝑥 − 1, analisada na aula anterior. 
Considere o intervalo [2,3] e encontre uma aproximação para a raiz com 
precisão de 𝑓 𝑥 ≤ 0,002 utilizando o método da falsa posição. 
 
 
 
• Bastou realizar duas iterações para determinar a raiz aproximada com a 
precisão requerida. 
• A raiz encontrada é: 2,50496. 
 
 
 
 
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 2,00000 -0,39794 3,00000 0,43136 2,47985 -0,02189 1,00000
2 2,47985 -0,02189 3,00000 0,43136 2,50496 -0,00102 0,52015
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Método da Falsa Posição: Exemplo 2 
• Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3 utilizando o método da 
falsa posição e as condições: 
Intervalo inicial, 𝐼 = [0,1] e critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 1𝑥10−3. 
 
• A resolução é bastante semelhante ao do método da bissecção, 
exceto pela maneira de calcularmos os valores de 𝑥𝑛. 
• Agora calculamos através de: 
𝑥 =
𝑎. 𝑓 𝑏 −b.𝑓 𝑎
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Método da Falsa Posição: Exemplo 2 
• Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3 utilizando o método da 
falsa posição e as condições: Intervalo inicial, 𝐼 = [0,1] e critério de parada 
𝑓 𝑥 ≤ 1𝑥10−3. 
 
 
 
 
 
• Bastou realizar três iterações para determinar a raiz aproximada com a 
precisão requerida. 
• A raiz encontrada é: 0,33764. 
 
 
 
 
 
 
 
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 0,00000 3,00000 1,00000 -5,00000 0,37500 -0,32227 1,00000
2 0,00000 3,00000 0,37500 -0,32227 0,33862 -0,00879 0,37500
3 0,00000 3,00000 0,33862 -0,00879 0,33764 -0,00023 0,33862
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Fase II: Refinamento da raiz 
 
 
Método do Ponto Fixo 
(ou método da iteração linear ou método das aproximações sucessivas) 
 
 
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Método do ponto fixo 
• A sequência de aproximações de zero 𝛼 de uma função 𝑓(𝑥) é obtida através de 
uma relação de recorrência da forma: 
 
𝑥𝑛+1 = 𝜑(𝑥𝑛) 
 
• O ponto 𝑥0 será considerado uma aproximação inicial do zero 𝛼 da função 𝑓(𝑥) 
e φ(𝑥) é uma função que tem 𝛼 como ponto fixo, isto é, 𝛼 = φ(𝛼). 
 
• Dada uma função 𝑓(𝑥) com zero 𝛼, como encontrar uma função φ(𝑥) que tenha 
𝛼 como ponto fixo? 
Manipulamos a equação 𝑓 𝑥 = 0 em uma equação equivalente 𝑥 = φ(𝑥). 
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Método do ponto fixo 
• Manipulamos a equação 𝑓 𝑥 = 0 em uma equação equivalente 𝑥 = φ(𝑥). 
 
• Temos que tomar cuidado para que φ(𝑥) esteja definido em 𝛼 
e que 𝛼 pertença ao intervalo considerado. 
 
• Depois que gerarmos as funções de ponto fixo, 
temos que gerar sequências aproximadas do zero 𝛼 de 𝑓 𝑥 . 
 
• Algumas vezes, dependendo das transformações 𝑥 = φ(𝑥) escolhidas, 
a relação de recorrência 𝑥𝑛+1 = 𝜑(𝑥𝑛) não fornece uma sequência 𝑥𝑛 
convergente. 
 
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Método do ponto fixo – Exemplo 1 
Seja a função: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 6, considere como estimativa inicial para a raiz 
𝑥𝑜 = 1,5, use o método do ponto fixo para encontrar a raiz com critério de parada 
𝑓 𝑥 ≤ 0,0025. 
 
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 
 
𝑥 = 6 − 𝑥2 
 
𝜑1 = 6 − 𝑥
2 
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 
 
𝑥2 = 6 − 𝑥 
 
𝑥 = 6 − 𝑥 
 
𝜑2 = 6 − 𝑥 
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 
 
𝑥2
𝑥
=
6
𝑥
−
𝑥
𝑥
 
 
𝑥 =
6
𝑥
− 1 
 
𝜑3 =
6
𝑥
− 1 
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 
 
𝑥 𝑥 + 1 = 6 
 
𝑥 =
6
𝑥 + 1
 
 
𝜑4 =
6
𝑥 + 1
 
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Método do ponto fixo – Exemplo 1 
Seja a função: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 6, considere como estimativa inicial para a raiz 𝑥𝑜 = 1,5, 
use o método do ponto fixo para encontrar a raiz com critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,0025. 
Usando: 𝜑1 = 6 − 𝑥
2: 
 
𝑥1 = 𝜑1 𝑥0 = 𝜑1 1,5 = 3,75 𝑓 𝑥1 = 𝑓 3,75 = 11,8125 
𝑥2 = 𝜑1 𝑥1 = 𝜑1 3,75 = −8,0625 𝑓 𝑥2 = 𝑓 −8,0625 = 50,9414 
𝑥3 = 𝜑1 𝑥2 = 𝜑1 −8,0625 = −59,0039 𝑓 𝑥3 = 𝑓 −59,0039 = 3416,4563 
𝑥4 = 𝜑1 𝑥3 = 𝜑1 −59,0039 = −3475,4609 𝑓 𝑥4 = 𝑓 −3475,4609 = 12075347,00 
 
• Não está convergindo, 
• (𝑓 𝜑1 𝑥𝑛 está se distanciando cada vez mais de zero. 
 
 
 
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Método do ponto fixo – Exemplo 1 
Seja a função: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 6, considere como estimativa inicial para a raiz 
𝑥𝑜 = 1,5, use o método do ponto fixo para encontrar a raiz com critério de 
parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,0025. 
Usando 𝜑2 = 6 − 𝑥: 
 
𝑥1 = 𝜑2 𝑥0 = 𝜑2 1,5 = 2,12132 𝑓 𝑥1 = 𝑓 2,12132 = 0,62132 
𝑥2 = 𝜑2 𝑥1 = 𝜑2 2,12132 = 1,96944 𝑓 𝑥2 = 𝑓 1,96944 = −0,15187 
𝑥3 = 𝜑2 𝑥2 = 𝜑2 1,96943 = 2,00762 𝑓 𝑥3 = 𝑓 2,00762 = 0,03816 
𝑥4 = 𝜑2 𝑥3 = 𝜑2 2,00762 = 1,99809 𝑓 𝑥4 = 𝑓 1,99809 = −0,00955 
𝑥5 = 𝜑2 𝑥4 = 𝜑2 1,99809 = 2,00048 𝑓 𝑥5 = 𝑓 2,00048 = 0,00240 
𝑥6 = 𝜑2 𝑥5 = 𝜑2 2,00048 = 1,99988 𝑓 𝑥6 = 𝑓 1,99988 = −0,00060 
• Está convergindo (𝑓 𝜑2 𝑥𝑛 ) → 0 e a raiz aproximada é 1,99988. 
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Métodos do ponto fixo 
• Como saber se a função 𝑥 = φ(𝑥) converge? 
 
• Seja 𝛼 um zero de uma função 𝑓 𝑥 , contida em um intervalo I = [a, b], 
e seja φ(𝑥) uma função tal que φ 𝑥 = 𝛼, 
teremos uma sequência convergente se: 
 
• φ(𝑥) e φ′(𝑥) forem contínuas no intervalo 𝐼, 
 
• Se 𝑥0 estiver dentro do intervalo em que φ
′(𝑥) < 1 
 
• 𝑥0 ∈ 𝐼 e 𝑥𝑛+1 = 𝜑 𝑥𝑛 ∈ 𝐼 
 
 
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Método do ponto fixo – Exemplo 2 
Seja a função: 𝑓 𝑥= 𝑥3 − 9𝑥 + 3, considere 𝑥𝑜 = 0,5 e critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,001. 
 
𝑥3 − 9𝑥 + 3 = 0 
9𝑥 = 𝑥3 + 3 
𝑥 =
𝑥3
9
+
1
3
 
 
𝜑1 =
𝑥3
9
+
1
3
 
𝜑′1 =
𝑥2
3
 
 
• i) φ(𝑥) e φ′(𝑥) forem contínuas no intervalo 𝐼, → OK! 
 
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Método do ponto fixo – Exemplo 2 
Seja a função: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3, considere 𝑥𝑜 = 0,5 e critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,001. 
 
𝜑1 =
𝑥3
9
+
1
3
 
𝜑′1 =
𝑥2
3
 
 
• ii) Se 𝑥0 estiver dentro do intervalo em que φ
′(𝑥) < 1 
𝑥2
3
< 1 
− 3 < 𝑥 < 3 
−1,732 < 𝑥 < 1,732 
 
 
 
 
08/08/2016 20 
Método do ponto fixo – Exemplo 2 
Seja a função: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3, considere 𝑥𝑜 = 0,5 e critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,001. 
 
𝜑1 =
𝑥3
9
+
1
3
 
 
• iii) 𝑥0 ∈ 𝐼 e 𝑥𝑛+1 = 𝜑 𝑥𝑛 ∈ 𝐼 
 
𝑥1 = 𝜑1 𝑥0 = 𝜑1 0,5 = 0,34722 𝑓 𝑥1 = 𝑓 0,34722 = −0,08312 
𝑥2 = 𝜑1 𝑥1 = 𝜑1 0,34722 = 0,33798 𝑓 𝑥2 = 𝑓 0,33798 = −0,00325 
𝑥3 = 𝜑1 𝑥2 = 𝜑1 0,33798 = 0,33762 𝑓 𝑥3 = 𝑓 0,33762 = −0,00009 
 
• Raiz aproximada para a função é 0,33762. 
 
 
 
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Método do ponto fixo – Exemplo 3 
Seja a função: 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 3𝑥 + 1, considere 𝑥𝑜 = 1,0 e critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,001.