Cálculo Numérico Aula 5

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 5 
 
 
 
Prof. Luan de Campos Corrêa, M.Sc. 
29/08/2016 2 
Da aula passada... 
Método de Newton-Raphson 
Ache a raiz de 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + ln⁡(𝑥) − 5 = 0, utilizando como critério de parada 
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ≤ 10
−5. A raiz desta função está no intervalo [1 ; 2], a partir deste 
intervalo encontre a raiz. 
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Método da Secante 
• Também conhecido como métodos das cordas. 
 
• Trata-se de uma modificação do método de Newton-Raphson. 
O método de Newton-Raphson tem a necessidade de se obter a derivada da 
função em análise, 
Além de calcular o valor numérico a cada iteração. 
 
• A equação da tangente é substituída pela equação da 
secante 
que corta a curva da função em dois pontos cujas abscissas definem um 
intervalo onde está contida a raiz. 
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Método da Secante 
• Do método de Newton-Raphson: 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘) 
 
 
• No método da Secante, substituímos a derivada de 𝑓 𝑥 por: 
 
𝑓′ 𝑥𝑘 ≅
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓 𝑥𝑘−1
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
 
 
𝑥𝑘 e 𝑥𝑘−1 são duas aproximações quaisquer para a raiz. 
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Método da Secante 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘) 
 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1)
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
 
 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 . 𝑓(𝑥𝑘)
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1)
 
• Substituindo 
𝑓′ 𝑥𝑘 ≅
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1)
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
 
• Em: 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘) 
 
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Método da Secante 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 . 𝑓(𝑥𝑘)
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1)
 
 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑥𝑘 . 𝑓 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1. 𝑓(𝑥𝑘)
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1)
 
 
𝑥𝑘+1 =
𝑥𝑘. 𝑓 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘. 𝑓(𝑥𝑘−1) − 𝑥𝑘. 𝑓 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1. 𝑓(𝑥𝑘)
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1)
 
 
 
𝒙𝒌+𝟏 =
𝒙𝒌−𝟏. 𝒇(𝒙𝒌) − 𝒙𝒌. 𝒇(𝒙𝒌−𝟏)
𝒇 𝒙𝒌 − 𝒇(𝒙𝒌−𝟏)
 
 
• Devemos ter duas aproximações iniciais (𝑥𝑘 e 𝑥𝑘−1) antes de começarmos a 
utilizar a equação acima. 
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Método da Secante 
𝑓(𝑥𝑘−1) 
𝑓(𝑥𝑘) 
𝑓(𝑥𝑘+1) 
𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 
𝑥𝑘+1 
𝑓(𝑥𝑘−1) 
𝑓(𝑥𝑘) 
𝑓(𝑥𝑘+1) 
𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 
𝑥𝑘+1 
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Método da Secante 
• Por semelhança de triângulos, 
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓 𝑥𝑘+1
=
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1⁡
𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑓 𝑥𝑘
 
 
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘
=
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1⁡
𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑓 𝑥𝑘
 
 
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 =
𝑥𝑘 . 𝑓 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1. 𝑓 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑓 𝑥𝑘
 
 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 +
𝑥𝑘 . 𝑓 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1. 𝑓 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑓 𝑥𝑘
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓 𝑥𝑘+1 → 0 
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Método da Secante 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 +
𝑥𝑘 . 𝑓 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1. 𝑓 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑓 𝑥𝑘
 
 
𝑥𝑘+1 =
𝑥𝑘 . 𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘 . 𝑓 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 . 𝑓 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1. 𝑓 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑓 𝑥𝑘
 
 
𝑥𝑘+1 =
𝑥𝑘 . 𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑥𝑘−1. 𝑓 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘−1 − 𝑓 𝑥𝑘
.
−1
−1
 
 
• Função de recorrência: 
𝒙𝒌+𝟏 =
𝒙𝒌−𝟏. 𝒇 𝒙𝒌 − 𝒙𝒌. 𝒇 𝒙𝒌−𝟏
𝒇 𝒙𝒌 − 𝒇 𝒙𝒌−𝟏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Método da Secante 
• Resolução: 
1. Devemos ter duas aproximações iniciais (𝑥𝑘 e 𝑥𝑘−1). 
 
2. Fazer 𝑥𝑘+1 =
𝑥𝑘−1.𝑓(𝑥𝑘)−𝑥𝑘.𝑓(𝑥𝑘−1)
𝑓 𝑥𝑘 −𝑓(𝑥𝑘−1)
 até atingirmos o critério de parada. 
 
• Critérios de parada: 
• Dada por um determinado valor de precisão (ℇ): 
Em que 𝑓(𝑥𝑘+1) ≤ ℇ 
• Dada pela diferença entre 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘: 
 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ≤ 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜⁡𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 
 
 
 
 
 
 
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Método da Secante 
• Observações: 
 
• Quando for muito complicado calcular derivadas e utilizar o 
Método de Newton-Raphson, 
podemos alternativamente usar o método da Secante. 
 
• Não exige que haja troca de sinal da função 𝑓(𝑥) no intervalo 
considerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Método da Secante 
1) Pelo método da secante, encontrar a raiz aproximada para a raiz da 
equação 𝑓 𝑥 = 𝑥 −⁡𝑥3+𝑥 − 0,4642 = 0, no intervalo de [1 ; 2]. Utilize como 
critério de parada |𝑓 𝑥𝑘 | ≤ 0,01. 
 
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Método da Secante 
2) Determinar uma aproximação para a raiz da equação⁡𝑥3−𝑥2 + 2𝑥 − 5 = 0, 
que atenda a precisão de |𝑓 𝑥𝑘 | ≤ 0,01, tendo como aproximações 𝑥0 = 1,0 e 
𝑥1 = 1,3. 
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Método da Secante 
3) Determinar a raiz de 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − cos 𝑥 + 1 − 3, através do método da 
Secante, utilizando como critério de parada 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ≤ 0,01, sabendo-se que 
a raiz encontra-se no intervalo [1 ; 2].