07 - Resolução de Sistemas Não Lineares

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07
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES
Dada uma função não linear F, o objetivo é encontrar as soluções para
F(x) = 0
ou
Usaremos a seguinte notação:
 e 
O vetor das derivadas parciais da função fi(x1, x2, ..., xn) é denominada vetor gradiente de fi(x) e será denotado por ( fi(x), i = 1, ..., n:
A matriz das derivadas parciais de F(x) é chamada matriz Jacobiana e será denotada por J(x):
EXEMPLO: Para o sistema não linear
a matriz Jacobiana será: 
Os métodos para resolução de sistemas não lineares são iterativos, isto é, a partir de um ponto inicial x(0), geram uma sequência 
 de vetores, tal que:
onde x* é a solução do sistema não linear.
Para estabelecer os critérios de parada, definimos a norma infinito:
Uma vez que na solução exata x* temos F(x*) = 0, um critério de parada consiste em verificar se todos os componentes de F(x(k)) tem módulo pequeno, ou seja, verificamos se 
.
Outro critério é verificar se 
 está próximo de zero, ou seja, 
Para se detectar divergência e interromper o processo de cálculos, estabelecemos um número máximo de iterações.
MÉTODO DE NEWTON
O método de Newton consiste em se construir um modelo local linear para o caso de um sistema de equações fi(x) em torno de x(k).
 i = 1, ..., n
E, portanto, o modelo local linear para F(x) em torno de x(k) fica:
A nova aproximação x(k+1) será o zero do modelo local linear Lk(x):
Se denotarmos 
 por 
 temos que 
, onde 
 é a solução do sistema linear:
Dado o ponto x(k), a matriz J(x(k)) é obtida avaliando-se J(x) em x(k) e, em seguida, o passo de Newton, S(k), é obtido a partir da resolução do sistema linear. Este sistema pode ser resolvido através de métodos diretos ou iterativos.
ALGORITMO:
Dados x0, (1 e (2, faça:
Passo 1: calcule F(x(k)) e J(x(k));
Passo 2: se 
, faça 
 e pare;
		caso contrário:
Passo 3: obtenha 
, solução do sistema linear: 
;
Passo 4: faça: 
;
Passo 5: se 
, faça 
 e pare;
		caso contrário:
Passo 6: k = k + 1
		volte ao passo 1.
EXEMPLO: Aplicar o método de Newton à resolução do sistema não linear F(x) = 0, onde F(x) é dado por:
 com 
 e (1 = (2 = 10-4 
K = 0
			
	(	
	(	
K = 1
			
	(	
	(
	(	
K = 2
			
	(	
	(
	(	
K = 3
			
	(	
	(
	(	
K = 4
			
	(	
	(
	(	
Logo, 
EXEMPLO: 
a) 
		com	
	e ( = 10-4 
Resposta: 
b) 
	com	
	e ( = 10-4 
Resposta: 
c) 
	com	
	e ( = 10-4 
Resposta: 
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