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�PAGE � �PAGE �100� 11 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - 1 Uma solução de uma equação diferencial ordinária é uma função da variável independente que satisfaça a equação. Assim, i) tem y(x) = aex, a ( ( como solução ii) u´´´ = 0 é satisfeita para u(x) = p2(x), onde p2(x) é qualquer polinômio de grau 2. Uma equação diferencial possui uma família de soluções e não apenas uma. A figura a seguir mostra uma família de soluções para e de . Como uma equação diferencial não possui solução única, para individualizar uma solução temos que impor condições suplementares. Em geral, uma equação de ordem m requer m condições adicionais a fimde ter uma única solução. Se, dada uma equação de ordem m, a função, assim como suas derivadas até ordem m –1, são especificadas em um mesmo ponto, então temos um problema de valor inicial, PVI. Se, em problemas envolvendo equações diferenciais ordinárias de ordem m, m ( 2, as m condições fornecidas para busca de solução única não são todas dadas num mesmo ponto, então temos um problema de valor de contorno, PVC. Os métodos que estudaremos a seguir se baseiam em: dado o problema: construímos x1, x2, ..., xn igualmente espaçados, ou seja, h = xi+1 – xi, i = 0, 1, ..., e calculamos as aproximações yi ( y(xi) nestes pontos, usando informações anteriores. Se, para calcular yj usamos apenas yj-1 teremos um método de passo simples. Porém, se usarmos mais valores, teremos um método de passo múltiplo. MÉTODOS DE PASSO SIMPLES Método de Euler Um método numérico que podemos aplicar à solução aproximada de um problema do tipo y´ = f(x, y), y(x0) = y0, é o método de Euler, que consiste em: como conhecemos x0 e y0 = y(x0), sabemos calcular y´(x0) = f(x0, y0). Assim, a reta que passa por (x0, y0) com coeficiente angular y´(x0), r0(x) é conhecida: Escolhido , , ou seja, O raciocínio é repetido com (x1, y1) e y2 = y1 + hf(x1, y1) e assim, sucessivamente, o método de Euler nos fornece: , k = 0, 1, 2, ... Graficamente: Métodos de Série deTaylor A expansão em Série de Taylor de uma função y(x) em torno de x = xn é dada por: (x entre xn e x Assim, Se yn(j) representa a aproximação para a j–ésima derivada da função y(x) em xn: y(j)(xn) e h =xn+1 – xn, teremos: e o erro de truncamento é dado por: Observamos que, se y(x) tem derivada de ordem (k+1) contínua num intervalo fechado I que contém os pontos sobre os quais estamos fazendo a discretização, então existe ; assim teremos um majorante para o erro de truncamento, pois Um método numérico é dito de ordem p se existe uma constante C tal que onde C pode depender das derivadas da função que define a equação diferencial. Portanto, os métodos de série de Taylor são de ordem k. Para aplicar o método de Taylor de ordem k: temos que calcular , , ..., Agora, Então em uma notação simplificada Assim, por exemplo, o método de série de Taylor de 2ª ordem é n = 0, 1, ... (A) Analogamente, , em notação simplificada Assim, A terceira derivada já mostra a dificuldade nos cálculos. Consideremos o método da Série de Taylor de ordem k = 1, ou seja, onde Conforme vemos, este é o método de Euler; concluímos que o método de Euler é um método de Série de Taylor de ordem 1. EXEMPLO: Dado o problema y´ = y, y(0) = 1. Trabalhando com quatro casas decimais, use o método de Euler para aproximar y(0,04) com ( ( 5x10-4. Solução: Neste caso podemos verificar que a solução analítica é y(x) = ex. O erro é dado por: fazendo teremos Como queremos trabalhar com pontos igualmente espaçados, podemos usar h = 0,02, pois queremos y(x) para x = 0,04. Assim, x0 = 0 e y(x0) = y(0) = y0 = 1 x1 = 0,02 x2 = 0,04 ( y(0,04) = 1,0404 EXEMPLO: Calcule y(2,1) usando a Série de Taylor de 2ª ordem para o problema Solução: Como não temos condições de calcular M2, não há como definir o erro cometido. a2 > a1 a2 y(x) x a3 a1 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� a1 a3 x y(x) a2 a2 > a1 r0(x) ex P1 x0 = 0 y0 = 1 x1 = x0 + h y(x1) ( y1 x y _1137329898.unknown _1137330818.unknown _1137331886.unknown _1137332362.unknown _1137332526.unknown _1137332863.unknown _1137332886.unknown _1137332664.unknown _1137332492.unknown _1137332138.unknown _1137332212.unknown _1137331905.unknown _1137330955.unknown _1137331569.unknown _1137330935.unknown _1137330091.unknown _1137330560.unknown _1137330617.unknown _1137330365.unknown _1137329940.unknown _1137330021.unknown _1137329919.unknown _1137326278.unknown _1137328409.unknown _1137328926.unknown _1137329849.unknown _1137328699.unknown _1137327982.unknown _1137328163.unknown _1137327704.unknown _1137325779.unknown _1137325929.unknown _1137326048.unknown _1137325883.unknown _1137324092.unknown _1137324400.unknown _1137324507.unknown _1137324100.unknown _1062745651.unknown _1137323863.unknown _1062748320.unknown _1062745106.unknown
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