14 - PVC-Diferenças Finitas

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PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO – MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
A forma mais geral dos problemas de contorno aos quais nos referimos é:
onde 
, 
, 
, 
, 
 e 
 são constantes reais conhecidas, tais que nem 
 e 
, nem 
 e 
 sejam nulas ao mesmo tempo.
A idéia básica do método das diferenças finitas é transformar o problema de resolver uma equação diferencial num problema de resolver um sistema de equações algébricas, usando para isto aproximações das derivadas que aparecem na equação, por diferenças finitas.
Faremos 
, 
 e dividiremos o intervalo [a, b] em n partes iguais de comprimento 
, cada.
Assim,
e
As aproximações mais usadas para a primeira derivada no ponto 
 são:
a) 
 ( diferença avançada
b) 
 ( diferença atrasada
c) 
 ( diferença centrada
Do ponto de vista geométrico temos:
Obviamente estaremos cometendo um erro quando usamos (a), (b) ou (c) para aproximar 
. Podemos usar a fórmula de Taylor para medir o erro cometido.
Expandindo y(x) em torno de xi:
no ponto 
Assim,
Então
Utilizando novamente a Série de Taylor, deduziremos a aproximação mais típica para a derivada segunda, bem como a expressão do erro para ela.
Para 
:
 (A)
Para 
:
 (B)
Fazendo A + B:
Portanto
EXEMPLO: (PVC Linear)
Fixando n, o espaçamento h será 1/n e o intervalo [a, b] será dividido em 
, 
, ..., 
, ..., 
 e 
. Como conhecemos 
 e 
, teremos como incógnitas 
, 
, ..., 
 e assim, para cada i = 1, ..., (n–1) usaremos as aproximações:
 e 
Para cada i, a equação discretizada fica:
ou seja:
e como xi = ih,
Agora, para i = 1, usando a condição inicial 
 e 
, a primeira equação é:
Analogamente, para i = n – 1, a última equação é:
Assim, para determinar 
, 
, ..., 
, teremos de resolver o sistema de equações algébricas lineares:
			
	
 2 ( i ( (n – 2)
		
que é um sistema de ordem (n – 1) com matriz A tridiagonal, dada por:
onde
		1 ( i ( (n – 1)
		1 ( i ( (n – 2)
		2 ( i ( (n – 1)
( para h = 0,05 
 portanto 1 ( i ( 19, e o sistema será
–1,9975y1 + 1,05y2 = 0,000125
0,95y1 – 1,9975y2 + 1,05y3 = 0,00025
0,95y2 – 1,9975y3 + 1,05y4 = 0,000375
0,95y3 – 1,9975y4 + 1,05y5 = 0,0005
0,95y4 – 1,9975y5 + 1,05y6 = 0,000625
0,95y5 – 1,9975y6 + 1,05y7 = 0,00075
0,95y6 – 1,9975y7 + 1,05y8 = 0,000875
0,95y7 – 1,9975y8 + 1,05y9 = 0,001
0,95y8 – 1,9975y9 + 1,05y10 = 0,001125
0,95y9 – 1,9975y10 + 1,05y11 = 0,00125
0,95y10 – 1,9975y11 + 1,05y12 = 0,001375
0,95y11 – 1,9975y12 + 1,05y13 = 0,0015
0,95y12 – 1,9975y13 + 1,05y14 = 0,001625
0,95y13 – 1,9975y14 + 1,05y15 = 0,00175
0,95y14 – 1,9975y15 + 1,05y16 = 0,001875
0,95y15 – 1,9975y16 + 1,05y17 = 0,002
0,95y16 – 1,9975y17 + 1,05y18 = 0,002125
0,95y17 – 1,9975y18 + 1,05y19 = 0,00225
0,95y18 – 1,9975y19 = 1,052375
Resolvendo o sistema linear
x0 = 0,0		y0 = 0
x1 = 0,05		y1 = –0,1428
x2 = 0,1		y2 = –0,2715
x3 = 0,15		y3 = –0,3870
x4 = 0,20		y4 = –0,4903
x5 = 0,25		y5 = –0,5821
x6 = 0,30		y6 = –0,6632
x7 = 0,35		y7 = –0,7342
x8 = 0,40		y8 = – 0,7959
x9 = 0,45		y9 = –0,8489
x10 = 0,50		y10 = –0,8938
x11 = 0,55		y11 = –0,9310
x12 = 0,60 		y12 = –0,9612
x13 = 0,65		y13 = –0,9848
x14 = 0,70		y14 = –1,0023
x15 = 0,75		y15 = –1,0140
x16 = 0,80		y16 = –1,0204
x17 = 0,85		y17 = –1,0219
x18 = 0,90		y18 = –1,0188
x19 = 0,95		y19 = –1,0114
x20 = 1,0 		y20 = –1
( para h = 0,1 
 portanto 1 ( i ( 9, e o sistema será
–1,99y1 + 1,1y2 = 0,001
0,9y1 – 1,99y2 + 1,1y3 = 0,002
0,9y2 – 1,99y3 + 1,1y4 = 0,003
0,9y3 – 1,99y4 + 1,1y5 = 0,004
0,9y4 – 1,99y5 + 1,1y6 = 0,005
0,9y5 – 1,99y6 + 1,1y7 = 0,006
0,9y6 – 1,99y7 + 1,1y8 = 0,007
0,9y7 – 1,99y8 + 1,1y9 = 0,008
0,9y8 – 1,99y9 = 1,109
Resolvendo o sistema linear
x0 = 0,0		y0 = 0
x1 = 0,1		y1 = –0,2720
x2 = 0,2		y2 = –0,4911
x3 = 0,3		y3 = –0,6641
x4 = 0,4		y4 = –0,7969
x5 = 0,5		y5 = –0,8947
x6 = 0,6		y6 = –0,9620
x7 = 0,7		y7 = –1,0029
x8 = 0,8		y8 = – 1,0208
x9 = 0,9		y9 = –1,0190
x10 = 1,0		y10 = –1
EXEMPLO: (PVC Não Linear)
Neste exemplo, as incógnitas são
, 
, ..., 
 usaremos:
 para 1 ( i ( (n – 1)
Assim, para cada i, a equação discretizada fica:
e, usando o fato que xi = ih, teremos
O sistema (n – 1)x(n – 1) de equações não lineares a ser resolvido será::
 2 ( i ( (n – 2)
As condições de contorno poderiam ter sido dadas de forma diferente. Se em vez de 
 (PVC Linear) tivéssemos 
, então teríamos como incógnitas 
, 
, ..., 
, n incógnitas, portanto.
Uma idéia para resolver este problema é usar a aproximação por diferença avançada para 
, ou seja, 
 e assim a condição inicial dada fica 
, donde
 e 
Substituindo este valor na primeira equação, continuamos com o sistema
(n – 1)x(n–1) anterior, só que com a seguinte equação como primeira equação:
xi+1
xi
xi-1
(a)
(b)
xi-1
xi
xi+1
(c)
xi-1
xi
xi+1
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