Introdução ao EES

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Universidade Federal da Integração Latino-Americana
 Instituto Latino-Americano de Tecnologia, Infraestrutura e Território
 Engenharia de Energia
Minicurso:
Introdução ao software EES – Engineering Equation Solver
UNILA – Campus PTI
Foz do Iguaçu – PR
01.03.2018
Prof. Fabyo Luiz Pereira
fabyo.pereira@unila.edu.br
Introdução:
O software EES (pronuncia-se “ease”), acrônimo para Engineering Equation Solver (em tradução
literal, Solucionador de Equações de Engenharia), tem como função básica resolver conjuntos de equações
algébricas, incluindo equações não-lineares, equações diferenciais e equações com variáveis complexas. O
programa também é capaz de fazer otimizações, obter regressões lineares e não-lineares, gerar gráficos de
alta qualidade para publicações, simplificar análises de incertezas e fazer animações.
Desenvolvido para rodar em qualquer uma das versões do sistema operacional Windows, tanto 32
quanto 64 bits, também pode ser utilizado nos sistemas operacionais Linux e Macintosh através de
programas emuladores.
Existem duas principais diferenças entre o EES e os demais programas de resolução de equações
numéricas:
1. Ele identifica e agrupa automaticamente as equações que devem ser resolvidas simultaneamente, o
que simplifica o processo para o usuário e assegura que o solver sempre operará com máxima
eficiência.
2. Contém uma biblioteca embutida extremamente úteis para cálculos de engenharia, contendo
funções matemáticas; propriedades termofísicas em base molar ou mássica para centenas de
substâncias; equações de transferência de calor, de escoamento de fluidos e de projeto mecânico;
modelos matemáticos de equipamentos térmicos e de transferência de calor; além de permitir a
inserção de modelos customizados.
O uso do EES se mostra muito útil em todos os cursos de engenharia, e em especial para as
disciplinas de engenharia térmica e química, nas quais deve-se resolver problemas que exigem consultas
de tabelas de propriedades termofísicas. A grande vantagem do uso do EES é permitir que o usuário se
concentre na modelagem físico-matemática dos problemas, pois por mais complexa que a modelagem seja,
o software se encarrega da tarefa de resolver matematicamente o problema. Isto permite ao usuário usar o
tempo para estudar e compreender as particularidades do problema, seja realizando análises paramétricas
ou gerando gráficos, por exemplo.
Nesta introdução ao uso do EES, inicialmente é dada um enfoque na técnica de solução usada pelo
software, e na sequência são resolvidos alguns exemplos para apresentar suas potencialidades.
1
Método Numérico de Solução do EES:
O EES usa uma variante do método numérico de Newton-Raphson para resolver os sistemas de
equações algébricas. Este método tem como objetivo estimar as raízes de uma função, e para isto
necessita que seja atribuído um chute inicial para o valor da raiz. Os usuários do EES devem estar atentos
para uma “limitação” deste método numérico, pois se a função considerada for um polinômio de grau maior
ou igual a dois e possui mais de uma raiz real, a raiz determinada dependerá do chute inicial, ou seja, a
solução obtida pode não ser a desejada.
Felizmente, este problema pode ser facilmente contornado, pois o EES permite ao usuário:
• Especificar o valor do chute inicial de cada variável.
• Especificar o intervalo no domínio onde a solução deve estar localizada.
Logo, é importante revisar o método numérico de Newton-Raphson, de modo que os problemas
relativos à busca por raízes de polinômios sejam facilmente resolvidos. Aqui, a ideia é entender
geometricamente como funciona este método, e para isto deve-se escolher um polinômio qualquer de grau
maior ou igual a dois, por exemplo a função polinomial de segundo grau que possui como raízes reais os
valores x=2 e x=4:
f (x)=(x−2)⋅(x−4) → f (x)=x2−4 x−2x+8 → f (x )=x2−6 x+8 (1)
A primeira derivada desta função é:
f ' (x)=2 x−6 (2)
O gráfico deste polinômio é mostrado na figura abaixo:
Escolhendo um valor qualquer para o chute inicial da raiz, por exemplo x1=1, então o valor da
função e da primeira derivada para x1 é:
f (x1)=x1
2−6 x1+8 → f (1)=1
2−6⋅1+8 → f (1)=3
f ' (x1)=2 x1−6 → f '(1)=2⋅1−6 → f ' (1)=−4
A figura abaixo mostra: em vermelho o gráfico da função polinomial considerada, em azul a derivada
da função em x1=1, e em preto o ponto de tangencia da derivada em x1=1 na curva da função polinomial.
Na figura acima podemos identificar geometricamente onde se encontram x1, f(x1) e f'(x1),
2
marcando-os de modo a obter o gráfico abaixo (observe que o ângulo θ é menor que 90º, portanto a
tangente de θ deve ser positiva, o que só é satisfeito se tg θ=-f'(x1)=4).
Assim, por inspeção visual se identifica que:
tgθ =−f '(x1)=
f (x1)
Δ x
→ Δ x=−
f (x1)
f ' (x1)
(3)
x2=x1+Δ x → x2=x1−
f (x1)
f '(x1)
(4)
Observe que a equação (4) permite estimar um novo valor para o chute inicial, x2, que é corrigido
levando em consideração o quociente entre o valor da função em x1 e o valor da derivada da função em x1,
o qual geometricamente é igual ao valor Δx. Como uma das raízes do polinômio é x=2, também se observa
geometricamente que quando f(x2) for calculado usando a equação (1), o valor da função estará mais
próximo de zero, ou seja, o novo chute inicial x2 indica que a busca pela raiz está se aproximando da
solução correta. Se o processo continuar indefinidamente, usando x2 para calcular f(x2) e f'(x2) e estimar um
valor x3, depois usar x3 para calcular f(x3) e f'(x3) e estimar um valor x4, etc, a convergência será obtida.
Entretanto, é impossível implementar o processo indefinidamente, pois a precisão dos
computadores é limitada, e mesmo que fosse ilimitada a solução só seria obtida após passar um período
infinito de tempo. Logo, deve-se atribuir um critério de convergência baseado na comparação do valor
absoluto da diferença entre o valor calculado da função entre dois chutes sequenciais (erro ε):
ε=|f (x2)−f (x1)| (5)
Em geral o critério de convergência deve ser inferior à menor casa numérica que será usada
(considerando todas as variáveis que serão calculadas). Se são usados 3 algarismos significativos e a
variável que resulta no menor valor numérico tem seu primeiro algarismo significativo na casa dos
milésimos, por exemplo 0,00123, o critério de convergência deve ser no mínimo ε≤0,00001, para que o erro
fique restrito à quinta casa à direita da vírgula.
Assim, pode-se listar os passos do algoritmo iterativo de solução usado pelo método numérico de
Newton-Raphson:
1. Atribuir um valor qualquer para o chute inicial xi.
2. Determinar f(xi) e f'(xi) usando as equações da função e de sua derivada.
3. Calcular um novo valor para o chute inicial, xi+1, usando a forma generalizada da equação (4):
x i+1=x i−
f (x i)
f '(x i)
(6)
4. Determinar a diferença (erro ε) entre f(xi+1) e f(xi) usando a forma generalizada da equação (5):
ε=|f (xi+1)−f (x i)| (7)
3
5. Comparar ε com o critério de convergência selecionado:
◦ Caso o critério seja satisfeito, a convergência foi atingida e assume-se que xi+1 é a raiz
procurada.
◦ Caso o critério não seja satisfeito, considera-se que xi+1 é o novo xi, retorna-se ao passo 3 e o
processo continua até a convergência ser obtida.
Aplicando o método de Newton-Raphson para a função polinomial dada como exemplo,
considerando que o critério de convergência é ε≤1,0e-6, obtém-se a seguinte tabela, onde se observa que a
convergência é rapidamente obtida após apenas 5 iterações, resultando na raiz x=2.
Iteração xi f(xi) = xi2-6xi+8 f'(xi) = 2xi-6 xi+1 ε
1 1 3 -4 1,75 7,5e-1
2 1,75 0,5625 -2,5 1,975 2,3e-13 1,975 0,050625 -2,05 1,999695 2,5e-2
4 1,999695 0,000610 -2,000610 2,000000 3,1e-4
5 2,000000 0,000000 -2,000000 2,000000 4,7e-8
Repetindo a aplicação do método de Newton-Raphson, mas agora considerando que o chute inicial
é xi=5, observa-se que a raiz encontrada é x=4, que é a outra raiz real do polinômio considerado.
Iteração xi f(xi) = xi2-6xi+8 f'(xi) = 2xi-6 xi+1 ε
1 5 3 4 4,25 7,5e-1
2 4,25 0,5625 2,5 4,025 2,3e-1
3 4,025 0,050625 2,05 4,000305 2,5e-2
4 4,000305 0,000610 2,000610 4,000000 3,1e-4
5 4,000000 0,000000 2,000000 4,000000 4,7e-8
Sugestões:
1. Usando um aplicativo de planilha eletrônica, implemente o algoritmo do método numérico de
Newton-Raphson para o polinômio usado como exemplo e obtenha os resultados numéricos
mostrados nas tabelas acima. Se o chute inicial para o polinômio usado como exemplo fosse xi=3, o
que acontece? E se o chute inicial for xi=2,9999999999999? Interprete os resultados.
2. Estude o método de Newton-Raphson a partir de um livro de métodos numéricos (por exemplo
Robert W. Hornbeck, “Numerical Methods”, Editora Quantum Publishers, 1975), e observe que o
método é deduzido não a partir de análise geométrica como explicado aqui, mas a partir de uma
expansão em série de Taylor do tipo:
f (xi+1)=f (x i)+(x i+1−x i)⋅f ' (x i)+
(x i+1−x i)
2
2!
⋅f ' ' (xi)+...
Tomando como ponto de partida a série de Taylor acima, obtenha a equação (6).
4
Menus e Principais Comandos:
Por padrão, o programa inicializa abrindo a janela de equações (“Equations Window”). Observa-se a
presença da barra de menus com as opções listadas na tabela abaixo.
Nome Descrição Nome Descrição
“File”
Comandos para carregar, mesclar, 
salvar e imprimir.
“Calculate”
Comandos de checagem, formatação 
e resolução de equações.
“Edit”
Comandos de edição para copiar, 
cortar e colar.
“Tables”
Comandos para definir e alterar 
tabelas de pesquisa e paramétricas.
“Search” Comandos de procura e substituição. “Plot”
Comandos para criar ou modificar um 
gráfico.
“Options”
Comandos para estimar valores e 
limites de variáveis; sistema de 
unidades; informações; preferências
e acesso à biblioteca de funções.
“Windows”
Comandos para alternar e organizar 
as janelas.
“Help”
Comandos para acessar o manual do 
programa ou ajuda.
A barra de ferramentas se encontra logo abaixo da barra de menus e permite acessar de maneira
rápida alguns dos comandos mais frequentemente utilizados da barra de menus. A tabela abaixo mostra e
descreve alguns dos principais comandos que constam na barra de ferramentas, além de indicar os
respectivos ícones e atalhos de teclado que podem ser utilizados para acessá-los.
Ícone Nome (Atalho) Descrição
Variable Info
(F9)
Mostra as variáveis que aparecem na sintaxe da rotina 
computacional, e permite atribuir ou alterar suas unidades.
Function Info
(Ctrl+Alt+F) Permite adicionar funções matemáticas e termofísicas.
Unit System
(Ctrl+Alt+U) Permite alterar o sistema de unidades padrão.
Check Equations
(Ctrl+K)
Permite verificar se o número de equações e de incógnitas é igual, 
e também verificar se há erros na sintaxe.
Solve (F2) Resolve as equações.
Solve Table (F3) Resolve as equações paramétricas.
Min/Max (F4) Permite fazer análises de otimização.
New Parametric Table Permite criar tabelas paramétricas para realizar estudos de sensibilidade.
New Plot Window Permite obter um gráfico relacionando duas variáveis quaisquer deuma tabela paramétrica.
Overlay Plot Permite adicionar curvas a um gráfico já obtido.
Property Plot Permite obter gráficos de propriedades termodinâmicas das substâncias que constam na biblioteca do EES.
Equations Window
(Ctrl+E)
Janela principal do programa, pois é onde deve ser escrita a 
sintaxe da rotina computacional.
Formatted Equations
(F10)
Janela que mostra a sintaxe da rotina computacional na forma de 
notação matemática, ideal para impressão.
Solution Window
(Ctrl+U)
Janela que mostra os valores de todas as variáveis obtidas depois 
da resolução do conjunto de equações.
Parametric Table
(Ctrl+no) Mostra as tabelas paramétricas já criadas.
Plot Window
(Ctrl+Alt+no) Mostra os gráficos já criados.
Diagram Window
(Ctrl+D)
Permite desenvolver uma interface gráfica para o problema que a 
sintaxe da rotina computacional resolve.
5
Regras de Formatação no EES:
As equações devem ser inseridas na janela “Equations Window”, e devem obedecer as seguintes
regras de formatação:
• Letras maiúsculas ou minúsculas são consideradas como iguais.
• Linhas em branco e espaços podem ser inseridos à vontade, pois são ignorados.
• Comentários devem ser inserido entre chaves { } ou entre aspas duplas “ ”. Os comentários podem 
ocupar quantas linhas se desejar. Na janela “Formatted Equations”, comentários entre chaves são 
ocultados, enquanto comentários entre aspas duplas são mostrados.
• Os nomes das variáveis devem começar com uma letra e podem conter qualquer caractere do 
teclado, exceto os seguintes: ( ) ´ | * / + - ^ { } : “ ;. O tamanho máximo de um nome de variável é de 
30 caracteres.
• Múltiplas equações podem ser digitadas na mesma linha, desde que sejam separadas por dois 
pontos. Uma linha pode conter no máximo 255 caracteres.
• Para elevar uma variável a uma potência, pode-se usar ^ ou **. Exemplo: y=x^2 ou y=x**2.
• A ordem na qual as equações são inseridas não importa.
• A posição das variáveis conhecidas e incógnitas nas equações não importa.
• As unidades de constantes podem ser inseridas entre colchetes logo depois da inserção da 
constante. Exemplo: g=9,81[m/s^2].
• Pode-se adicionar caracteres subscritos ou sobrescritos nas variáveis, respectivamente usando os 
símbolos _ ou |. Exemplo: m_1 e m|1, respectivamente aparecem na janela “Formatted Equations” 
como m1 e m1.
• Para inserir variáveis em termos de taxas deve-se utilizar a sintaxe _dot. Exemplo: m_dot_1 
aparece na janela “Formatted Equations” como ṁ1.
• Nomes de símbolos gregos são substituídos, na janela “Formatted Equations”, pelos caracteres 
gregos. Exemplo: eta resulta em η.
• A sintaxe das letras do alfabeto grego são mostradas na tabela abaixo.
Alfabeto grego em minúsculas Alfabeto grego em maiúsculas
Sintaxe Símbolo Sintaxe Símbolo Sintaxe Símbolo Sintaxe Símbolo
alpha α nu μ ALPHA n.d.3 NU n.d.3
beta β xi ξ BETA n.d.3 XI Ξ
gamma γ omicron n.d.1 GAMMA Γ OMICRON n.d.3
delta δ pi n.d.2 DELTA Δ PI n.d.3
epsilon ε rho ρ EPSILON n.d.3 RHO n.d.3
zeta ζ sigma σ ZETA n.d.3 SIGMA Σ
eta η tau τ ETA n.d.3 TAU n.d.3
theta θ upsilon υ THETA Θ UPSILON n.d.3
iota ι phi ϕ IOTA n.d.3 PHI Φ
kappa κ chi χ KAPPA n.d.3 CHI n.d.3
lambda λ psi ψ LAMBDA Λ PSI Ψ
mu ν omega ω MU n.d.3 OMEGA Ω
Notas: 1- Não disponível.
2- Não disponível, pois a sintaxe pi está reservada para a constante π=3,141592654.
3- Não disponível, pois retorna o mesmo símbolo em minúsculo.
6
Exemplos:
Exemplo 1: Solução de um Sistema de Equações Não Lineares:
Resolva o seguinte sistema de equações:
{x . ln x= y
3
√x= 1y
(8)
Solução no EES:
Digite na janela “Equations window” do EES a seguinte sintaxe:
x*ln(x)=y^3
sqrt(x)=1/y
O único cuidado que se deve ter é garantir que o número de equações e de incógnitas sejam iguais.
Neste caso, temos duas equações e duas incógnitas (x e y), e portanto o EES conseguirá resolver o
problema.
Pressione o ícone ou a tecla de atalho F2 para resolver o sistema.
Aparecerá uma janela chamada “Calculations Completed”, que informa o número de equações, o
tempo decorrido para solucionar o sistema, o erro residual máximo e a alteração máxima das variáveis.
Clique em continue e aparecerá a janela “Solution”, contendo as respostas para o sistema:
x=1,467
y=0,8255
Na janela “Solution”, pode-se alterar o formato numéricoe a unidade das variáveis clicando com o
botão direito do mouse sobre ela.
Observação: O EES não é case sensitive, ou seja, não importa se as variáveis são digitadas em
letras maiúsculas ou minúsculas. Desta forma, caso fosse digitado o sistema de equações abaixo, o
programa continuaria identificando a presença das mesmas duas variáveis x e y, e as respostas obtidas
seriam as mesmas:
{X . ln x= y
3
√x= 1Y
(9)
Exemplo 2: Conversões de Unidades
Usando o EES, resolva os seguintes exemplos de conversão de unidades:
a) Pressão de 10 bar para mmHg.
b) Área de 100.000 yd2 para in2.
c) Energia de 12.000 BTU para kWh.
d) Temperatura de 21,5ºC para ºF.
7
Solução no EES:
a) Digite na janela “Equations window” do EES a seguinte sintaxe (observe que pode-se inserir a
unidade das variáveis conhecidas usando colchetes):
P_b=10[bar]
P_Hg=P_b*convert(bar;mmHg)
A função convert faz parte da biblioteca do EES, a qual pode ser acessada clicando em “Options”, e
depois em “Function Info”, ou usando o atalho Ctrl+Alt+F. A lista de unidades que o EES utiliza pode ser
acessada clicando em “Options”, e depois em “Unit Conversion Info”.
Pressione a tecla de atalho F2 para resolver o sistema. Na janela “Solution” aparecerá:
Pb=10[bar]
PHg=7501[mmHg]
Observe que a unidade de PHg está em cor púrpura, e abaixo dos valores numéricos das variáveis
aparecem duas frases: uma em verde dizendo que “Não foram detectados problemas de unidades”, e outra
em púrpura, dizendo que o “EES sugeriu as unidades (mostradas em púrpura) para P_Hg”. Este é o sistema
de checagem das unidades das variáveis que está integrado ao programa. Clique com o botão direito do
mouse na variável PHg e depois clique em Ok para atribuir a unidade mmHg sugerida à variável, e observe
que a mensagem de sugestão de unidade desaparece.
Alternativamente, pode-se fazer a mesma conversão de unidades usando a seguinte sintaxe:
P=10[bar]*convert(bar;mmHg)
b) Digite na janela “Equations window” do EES a seguinte sintaxe:
A_yd=100000[yd^2]
A_in=A_yd*convert(yd^2;in^2)
Pressione a tecla de atalho F2 para resolver o sistema. Na janela “Solution” aparecerá:
Ayd=100000[yd2]
Ain=1,296E+08[in2]
c) Digite na janela “Equations window” do EES a seguinte sintaxe:
E=12000[BTU]*convert(BTU;kWh)
Pressione a tecla de atalho F2 para resolver o sistema. Na janela “Solution” aparecerá:
E=3,517[kWh]
d) Digite na janela “Equations window” do EES a seguinte sintaxe:
T_C=21,5[C]
T_F=converttemp(C;F;T_C)
Pressione a tecla de atalho F2 para resolver o sistema. Na janela “Solution” aparecerá:
TC=21,5[C]
TF=70,7
Observe que não foi atribuída uma unidade para a temperatura TF, e além disto há uma frase em
vermelho dizendo que “1 potencial problema de unidade foi detectado”. Para resolver este problema, clique
8
com o botão direito do mouse sobre TF, e no campo “Unit” digite F e clique em Ok.
Exemplo 3: Minimização de Área de Lata Cilíndrica
Muitos gêneros alimentícios, como bebidas, molhos e conservas, são
comercializados em embalagens cilíndricas metálicas. Um problema clássico do
cálculo diferencial é o da minimização da área externa de um cilindro para um
volume constante, que será objeto de estudo neste exemplo. Considere uma lata
cilíndrica típica de bebida, com diâmetro d e altura h, a área lateral é AL e a área
da base é AB, conforme mostrado na figura ao lado. Usando o EES, pede-se:
a) Determinar os valores de h e d para que a área externa da lata
cilíndrica seja mínima, sabendo que o volume deve ser V=0,00036 m3. Determine
também o valor da área mínima.
b) Analise como a área externa da lata cilíndrica varia em função do diâmetro.
Solução analítica:
Por inspeção geométrica, temos que a área lateral é dada pelo produto do comprimento da
circunferência pela altura e a área da base do cilindro é dada pela área de uma circunferência:
A L=π⋅d⋅h e AB=
π⋅d2
4
(10)
Assim, a área externa total do cilindro é dada pela soma da área lateral, da área da tampa superior
e da área da tampa inferior, ou seja:
A=AL+2⋅AB=π⋅d⋅h+2⋅
π⋅d2
4
=π⋅d⋅h+ π⋅d
2
2
→ A (h ,d)=π⋅d⋅(h+ d2 ) (11)
O volume é dado pelo produto da área da base pela altura:
V=AB⋅h=
π⋅d2
4
⋅h → V=π⋅d
2⋅h
4
(12)
De acordo com o enunciado, o volume não é uma variável, e sim uma constante igual a 0,00036 m3.
Assim, da equação anterior pode-se expressar h=h(d) ou d=d(h). Por simplificação, visto que o diâmetro
está elevado ao quadrado, escolhe-se expressar h=h(d):
V=π⋅d
2⋅h
4
→ h= 4⋅V
π⋅d2
(13)
O objetivo do exemplo é minimizar a área dada pela equação (11), mas claramente tem-se que
A=A(h,d), entretanto se inserirmos a equação (13) na equação (11), tem-se A=A(d):
A (h ,d )=π⋅d⋅(h+ d2)=π⋅d⋅( 4⋅Vπ⋅d2+ d2 ) → A(d)= 4⋅Vd +π⋅d
2
2 (14)
Derivando a equação (14) em relação a d, tem-se:
9
A ' (d)=−4⋅V
d2
+π⋅d (15)
Igualando a derivada a zero, acha-se o diâmetro que garante a menor área externa do cilindro:
A ' (d)=−4⋅V
d2
+π⋅d=0 → π⋅d= 4⋅V
d2
→ d3=4⋅Vπ → d=
3√ 4⋅Vπ (16)
Inserindo V=0,00036 m3 na equação (16), obtém-se o diâmetro que garante a menor área externa
do cilindro:
d=
3√ 4⋅Vπ = 3√ 4⋅0,00036π → d=0,0771m (17)
Inserindo V=0,00036 m3 e d=0,0771 m na equação (13), obtém-se o diâmetro que garante a menor
área externa do cilindro:
h= 4⋅V
π⋅d2
=4⋅0,00036
π⋅0,07712
→ h=0,0771m (18)
Ou seja, a área mínima de um cilindro é obtida quando a altura e o diâmetro tem a mesma
magnitude. Finalmente, a área mínima é determinada levando os valores de V, d e h na equação (14):
Amín(d )=
4⋅V
d
+π⋅d
2
2
=4⋅0,00036
0,0771
+ π⋅0,0771
2
2
→ Amín(0,0771)=0,0280m
2 (19)
Solução no EES:
Digite na janela “Equations window” do EES a seguinte sintaxe:
V=0,00036[m^3]
A=pi#*d*(h+d/2)
V=pi#*d^2*h/4
Observe que na sintaxe acima temos 3 equações e 4 variáveis (V, A, d e h), e portanto se tentarmos
resolver o problema pressionando F2 será retornada uma mensagem de erro dizendo que “Há 3 equações e
4 variáveis. O problema está subespecificado e não pode ser resolvido. Mostrar informação de Debug?”.
Clique em “No”.
Isto ocorre porque este é um problema de otimização. Para resolvê-lo, clique em “Calculate”, e
depois em “Min/Max”, ou pressione a tecla de atalho F4. Queremos minimizar a área externa da lata, e
portanto selecione no canto superior esquerdo “Minimize” e na janela de seleção abaixo selecione “A”. Na
janela de seleção à direita deve-se selecionar uma variável independente. Selecione “d” e clique no botão
“Bounds” para especificar a faixa do domínio do diâmetro: em “Lower” digite 0 e em “Upper” digite 1, clique
em “Apply” e depois em “Ok”. Há dois métodos de otimização de uma variável disponíveis (observação: no
EES há mais métodos de otimização para múltiplas variáveis), e por padrão usaremos o método “Quadratic
Approximations”, que já está selecionado. Clique em “Ok” e aparecerá a janela “Calculations Completed”,
onde constarão os valores otimizados A=0,02801 e d=0,0771. 
Clique em “Continue” e aparecerá a janela “Solution” com os seguintes valores:
A=0,02801
d=0,0771
10
h=0,0771
V=0,00036[m3]
Clique com o botão direito do mouse sobre as variáveis “A”, “d” e “h” e atribua as unidades
pertinentes:
A=0,02801[m2]
d=0,0771[m]
h=0,0771[m]
V=0,00036[m3]
Vamos agora gerar um gráfico da área em função do diâmetro, objetivando verificar o ponto de
mínimo calculado. Só é possível gerar um gráfico de dados a partir de uma tabela paramétrica. Assim,
clique em “Tables”, e depois em “New Parametric Table”. Na janela que abriu, selecione na caixa de seleção
à esquerda as variáveis “A” e “d”, e clique em “Add”. As variáveis escolhidas aparecerão na caixa de
seleçãoà direita. Em “No of runs”, digite 200. Clique em “Ok”. Aparecerá a tabela paramétrica contendo
duas colunas (“A” e “d”). Clique e segure em “d” e arraste a coluna para a esquerda, para inverter a posição
das colunas. Cloique com o botão direito em “d”, e depois em “Alter values”. Em “First Value” digite 0,001 e
em “Last (linear)” digite 0,5, e clique em “Ok”. Clique agora na seta verde que consta no canto superior
esquerdo da tabela, e a tabela será resolvida.
Para gerar o gráfico, clique em “Plots”, depois em “New Plot Window” e por fim em “X-Y Plot”.Na
janela que abrirá, na primeira caixa de seleção deve-se selecionar a variável independente (eixo X), que é
“d”, e na segunda caixa de seleção a variável dependente (eixo Y), que é “A”. A escala do eixo X não
precisa ser alterada, entretanto a escala do eixo Y deve ser de 0 a 0,5, com intervalo de 0,05. Clique em
“Ok” e o gráfico abaixo será gerado, onde pode-se observar que o ponto de mínimo se encontra entre 0,07 e
0,08.
Exemplo 4: Modelagem de uma Turbina a Vapor Ideal
Uma turbina a vapor, representada na figura ao lado, é um dispositivo
no qual vapor a potência térmica do vapor a alta temperatura e pressão é
parcialmente convertida em potência mecânica em um eixo, através da queda
da pressão do vapor (expansão). Em uma turbina a vapor ideal, uma vazão
mássica de 56,73 kg/s de vapor entra a 540ºC e 14.000 kPa e sai a 45ºC.
Usando o EES, pede-se:
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a) Determinar o trabalho específico (wt) e a potência (Ẇt) gerados no eixo pela turbina, bem como o
título do vapor na saída da turbina.
b) Analise o que acontece com o trabalho específico e a potência quando a pressão do vapor na
entrada da turbina varia de 5.000 a 22.000 kPa, mantendo a temperatura do vapor na entrada da turbina
constante e igual a 540ºC.
c) Analise o que acontece com o trabalho específico e a potência quando a temperatura do vapor na
entrada da turbina varia de 350 a 600ºC, mantendo a pressão do vapor na entrada da turbina constante e
igual a 14.000 kPa.
d) Analise o que acontece com a potência quando a pressão do vapor na entrada da turbina varia
de 5.000 a 22.000 kPa e a temperatura do vapor na entrada da turbina varia de 350 a 600ºC.
Solução analítica:
a) O processo de expansão na turbina é modelado como sendo em regime permanente e
isentrópica (adiabática e reversível). Assim, considerando a turbina como volume de controle:
• Aplicando a equação da conservação da massa tem-se:
m˙1=m˙2=m˙ → m˙=56,73kg /s (20)
• Aplicando a primeira lei da termodinâmica em termos de grandezas específicas tem-se:
w t=h1−h2 (21)
• Aplicando a primeira lei da termodinâmica em termos de taxas tem-se:
W˙ t=m˙⋅(h1−h2) (22)
Consultando as tabelas termodinâmicas da água, tem-se:
• Para o vapor na condição de entrada da turbina, com T1=540ºC e P1=14.000 kPa:
h1=3.431,57 kJ /kg e s1=6,5326kJ /kg .K (23)
• Para o vapor na condição de saída da turbina, com T2=45ºC e s2=s1=6,5326 kJ/kg.K (a expansão é
isentrópica):
h2=2.063,86 kJ /kg e x2=0,7831 (24)
Logo, levando os valores numéricos das equações (20), (23) e (24) nas equações (21) e (22),
determinam-se tanto o trabalho específico quanto a potência gerados no eixo pela turbina:
w t=h1−h2=3.431,57−2.063,86 → w t=1.367,71kJ /kg (25)
W˙ t=m˙⋅(h1−h2)=56,73⋅(3.431,57−2.063,86) → W˙ t=77.590,19kW (26)
Solução no EES:
a) Primeiramente, digite na “Equations window” as variáveis conhecidas do enunciado do exemplo:
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m_dot=56,73[kg/s]
T[1]=540[C]
P[1]=14000[kPa]
T[2]=45[C]
Neste exemplo será necessário usar duas funções termofísicas que constam na biblioteca do EES:
a de entalpia específica e a de entropia específica. Para acessá-las, use o atalho Ctrl+Alt+F, clique em
“Thermophysical properties”, e depois em “Real fluids”. Na coluna de seleção à direita, selecione o fluido de
trabalho, que no caso é o vapor denominado “Steam_IAPWS” (observe que há quatro “tipos” de vapor:
“Steam”, “Steam_IAPWS”, “Steam_NBS” e “Water”, entretanto o “Steam_IAPWS” é a compilação de dados
termofísicos da água mais recentes, e por esta razão o utilizamos).
Para o estado termodinâmico 1 (entrada da turbina), na coluna de seleção à esquerda selecione
“Enthalpy [kJ/kg]”. Em “Independent properties”, na caixa de seleção à esquerda selecione “Temperature
[C]”, e na caixa de seleção à direita selecione “Pressure [kPa]”. Clique em “Paste” e a sintaxe da função
será inserida na “Equations Window”. Repita o procedimento deste parágrafo selecionando agora a função
“Entropy [kJ/kg-K]”.
Para o estado termodinâmico 2 (saída da turbina), na coluna de seleção à esquerda selecione
“Enthalpy [kJ/kg]”. Em “Independent properties”, na caixa de seleção à esquerda selecione “Temperature
[C]”, e na caixa de seleção à direita selecione “Spec. Entropy [kJ/kg-K]”. Clique em “Paste” e a sintaxe da
função será inserida na “Equations Window”. O processo de expansão da turbina será modelado como
isentrópico, e portanto a entropia específica na saída da turbina é a mesma da entrada.
Agora devemos inserir as equações (21) e (22), que calculam respectivamente o trabalho específico
gerado pela turbina e a potência mecânica gerada pela turbina.
A sintaxe que deverá aparecer na “Equations window” é:
m_dot=56,73[kg/s]
T[1]=540[C]
P[1]=14000[kPa]
T[2]=45[C]
h[1]=Enthalpy(Steam_IAPWS;T=T[1];P=P[1])
s[1]=Entropy(Steam_IAPWS;T=T[1];P=P[1])
h[2]=Enthalpy(Steam_IAPWS;T=T[2];s=s[2])
s[2]=s[1]
w_t=h[1]-h[2]
W_dot_t=m_dot*w_t
Clique em F2 e na janela “Solution” aparecerá:
ṁ=56,73[kg/s]
Ẇt=77761[kJ/s]
wt=1371[kJ/kg]
Confirme/altere as unidades sugeridas:
ṁ=56,73[kg/s]
Ẇt=77761[kW]
wt=1371[kJ/kg]
Observe que as entalpias e entropias dos estados 1 e 2 não constam nesta janela. Como a sintaxe
utilizada para se referir a estes estados foi de números entre colchetes, o EES cria uma tabela matricial
denominada “Arrays Table” e aloca nela todos os dados referidos com números entre colchetes, que pode
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ser acessada usando o atalho Ctrl+Y. Clique com o botão direito sobre h i e confirme a unidade sugerida.
Faça o mesmo com si.
b) Crie uma nova tabela paramétrica, e selecione e adicione as variáveis P1, wt e Ẇt. Em “No. of
runs” digite 200. Clique em “Ok”. Na tabela, clique com o botão direito em P 1 e em “Alter Values”. Digite
como valor mínimo 5000, máximo 22000 e clique em “Ok”. Clique no botão verde. Uma janela de erro
aparecerá dizendo que a variável P[1] já possui um valor atribuído na “Equations Window” ou na “Diagram
Window”. Vá até a “Equations Window” e comente a variável P[1], colocando-a entre aspas duplas:
“P[1]=14000[kPa]” 
Volte à tabela e clique no botão verde, e então a tabela será calculada. Gere um gráfico de wt = f(P1)
e outro de Ẇt = f(P1), que 
c) O procedimento é análogo ao da letra (b), entretanto a tabela paramétrica deve conter as
variáveis T1, wt e Ẇt, e a variável T1 deve variar de 350 a 600ºC. O gráfico gerado será:
d) O procedimento é análogo aos das letras (b) e (c), com a diferença que agora deve-se criar uma tabela
com as variáveis P1, T1 e Ẇt. Na tabela, clique com o botão direito em P1, e em “Alter Values” insira como
valor mínimo 5000, máximo 22000 e marque o seletor em frente a “Repeat pattern every”. Clique em “Ok”.
Clique com o botão direito em T1, e em “Alter Values” insira como valor mínimo 350, máximo 600 e marque
o seletor em frente a “Repeat pattern every”, porém selecione “Apply pattern every”. Clique em “Ok”.
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Comente P1 e T1 na “Equations Window”, e de volta à tabela clique no botão verde. Agora iremos gerar um
gráfico 3D, clicando em “Plots”, depois “New Plot Window” e em “X-Y-Z Plot”. Em “X-Axis“ selecione P[1],
em “Y-Axis” selecione T[1], e antes de selecionar o eixo Z, na lista de seleção abaixo selecione “3-D
Surface”, e agoraselecione W_dot_t na lista de seleção “Z-Axis variable”. Certifique-se que na caixa de
seleção à direita está selecionado “Bi-quadratic polynomial”, e clique em “Ok”. O seguinte gráfico será
gerado:
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Anotações:
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