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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Matemática e Estatística 
Departamento de Matemática Aplicada 
Disciplina: Matemática Discreta 
Professor: Augusto César de Castro Barbosa 
7a lista de exercícios 
__________________________________________________________________ 
 
 
Princípio de Inclusão e Exclusão 
 
 
1 – Numa classe de 30 alunos, 14 falam inglês, 5 falam alemão e 7 falam francês. 
Sabendo-se que 3 falam inglês e alemão, 2 falam inglês e francês, 2 falam 
alemão e francês e que 1 fala as três línguas, determinar o número dos que falam 
pelo menos uma destas 3 línguas. 
 
2 – Quantas são as permutações das letras da palavra BRASIL em que o B ocupa 
o primeiro lugar, ou o R o segundo lugar, ou o L o sexto lugar? 
 
3 – Numa cidade em que são publicados os jornais A, B e C, foram obtidos os 
seguintes resultados numa pesquisa: 20% da população lê o jornal A, 16% o jornal 
B, 14% o jornal C; 8% lê A e B, 5% A e C e 4% B e C. Somente 2% da população 
lê os três jornais. Qual a porcentagem da população que não lê nenhum destes 
três jornais? 
 
4 – Dentre os inteiros de 1 a 1.000.000, inclusive, quantos, não são quadrados 
perfeitos, cubos perfeitos e nem quartas potências perfeitas? 
 
5 – Encontrar o número de soluções, em inteiros positivos de 
 
22xxxx 4321 =+++ , 
 
em que 7x1 ≤ , 6x 2 ≤ , 3x 9≤ e 8x 4 ≤ . 
 
6 – De quantas maneiras podemos permutar 3 a’s, 3 b’s e 3 c’s de tal modo que 3 
letras iguais nunca sejam adjacentes? 
 
7 – Encontrar o número de soluções de 
 
1xxxx 4321 =+++ , 
 
em inteiros entre -3 e 3 inclusive. 
 
 
Respostas 
 
 
1 – (a) 7n(A),5n(B)14,n(A) === 
 
20C)Bn(A =UU 
 
 
2 – →1A conjunto das permutações tendo o B em primeiro lugar 
 →2A conjunto das permutações tendo o R em segundo lugar 
 →3A conjunto das permutações tendo o L em sexto lugar 
 
294)AAn(A 321 =UU 
 
 
3 – %65
100
C)Bn(A
 1n =−= UU 
 
 
4 – }000.000.1,...,3,2,1{A = 
 
}perfeito quadrado éx |Ax{A1 ∈= 
}perfeito cubo éx |Ax{A2 ∈= 
}perfeita potência quarta éx |Ax{A3 ∈= 
 
998910)AAn(An(A)n 321 =−= UU 
 
 
5 – →A conjunto de soluções em inteiros positivos 
 
 →1A conjunto de soluções onde 7x1 > 
 →2A conjunto de soluções onde 6x 2 > 
 →3A conjunto de soluções onde 9x3 > 
 →4A conjunto de soluções onde 8x 4 > 
 
=−= )AAAn(An(A)n 4321 UUU 
3
4
3
7
3
6
3
5
3
8
3
13
3
12
3
15
3
14
3
21 CCCCCCCCCC +++++−−−−= 
 
 
6 – →A conjunto de permutações distintas 
 
 →1A conjunto de permutações nas quais 3 a’s são adjacentes 
 →2A conjunto de permutações nas quais 3 b’s são adjacentes 
 →3A conjunto de permutações nas quais 3 c’s são adjacentes 
 
1314)AAn(An(A)n 321 =−= UU 
 
 
7 – 3 316 9n C 4 C= − ⋅