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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Matemática e Estatística 
Departamento de Matemática Aplicada 
Disciplina: Matemática Discreta 
Professor: Augusto César de Castro Barbosa 
5a lista de exercícios 
__________________________________________________________________ 
 
Princípios Aditivo e Multiplicativo 
 
1 – Dados os conjuntos {1,2,3}A = e f}e,d,c,b,{a,B = , quantas são as 
aplicações injetoras de A em B? 
 
2 – Numa sala há 7 pessoas e 9 cadeiras enfileiradas, de quantas maneiras se 
podem sentar as pessoas? 
 
3 – Quantos são os números naturais de quatro algarismos distintos que existem 
no sistema decimal? 
 
4 – Quantos números naturais de três algarismos, maiores que 300, é possível 
formar com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 sem repeti-los? 
 
5 – Quantas são as aplicações bijetoras de A em B, sendo dados os conjuntos 
,6}{1,2,3,4,5A = e f}e,d,c,b,{a,B = ? 
 
6 – De quantos modos se podem arrumar as letras da palavra VESTIBULAR de 
modo que se mantenham juntas, numa ordem qualquer, as letras VES? 
 
7 – Se dispusermos em ordem crescente todos os números naturais de algarismos 
distintos que se obtém permutando os algarismos do número 52781, que lugar ele 
ocupa? 
 
8 – Numa casa há oito janelas. De quantas maneiras poderá ser aberta? 
 
9 – Quantas são as comissões de 5 pessoas que se podem formar entre 8 
rapazes e 4 moças de modo que figurem, pelo menos, duas moças? 
 
10 – Simplifique: 
 
(a) 
n!
1)!(n +
 
 
(b) 
2)!(n
n!
+
 
 
 
(c) 
1)!(n
1)!(n
−
+
 
 
(d) )!2r(n
r)!(n
−−
−
 
 
11 – Prove as identidades: 
 
(a) 1p1,npn, nCpC −−= 
 
(b) 1p1,npn, C1n
1C
1p
1
+++
=
+
 
 
12 – Sabendo-se que em uma reunião todos os presentes apertaram as mãos 
entre si e que ao todo foram feitos 66 cumprimentos. Calcule o número de 
pessoas presentes à reunião. 
 
13 – Determine o valor de n se: 
 
(a) 72A2n = 
 
(b) 2n4n A42A = 
 
(c) 32n2n A4A = 
 
(d) 2nn C12P = 
 
(e) 1
C
C
5
1n
6
n
=
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
 
1 – Elementos disponíveis: 6, 6n = 
 Números de elementos que compõem a sucessão: 3, 3p = 
 
201456
3!
6!
3)!(6
6!A4,3 =××==
−
= 
 
2 – Elementos disponíveis: 9, 9n = 
 Número de elementos de cada grupo: 7, 7p = 
 
1814403456789
2!
9!
7)!(9
9!A9,7 =××××××==
−
= 
 
3 – Elementos disponíveis: 10, 10n = 
 Elementos que entram na formação de cada número: 4, 4p = 
 
Total dos números naturais de 4 algarismos: 
 
504078910
6!
10!
4)!(10
10!A10,4 =×××==
−
= 
 
Números naturais de quatro algarismos que iniciam por zero: 
 
504789
6!
9!
3)!(9
9!A9,3 =××==
−
= 
 
Números naturais de 4 algarismos distintos: 
 
4536AA 9,310,4 =− 
 
4 – Total de números de 3 algarismos começando com o 3: 
 
1234
2!
4!
2)!(4
4!A4,2 =×==
−
= 
 
Total de números de 3 algarismos começando com o 4, 5 ou 6: 
 
 36123A3 4,2 =×=× 
 
Total desejado: 
 
48AA3N 4,24,2 =+×= 
 
5 – 720123456!6P6 =×××××== 
 
6 – O agrupamento VES comporta-se como se fosse uma só letra. Portanto, 
teríamos a permutação de 8 elementos se as letras V, E e S permanecessem 
sempre nesta ordem. Como essas letras podem ficar em qualquer ordem, 
devemos também permutá-la dentro do grupo. Logo, pelo princípio da 
multiplicação, 
 
241920403206!8!3PPN 83 =×=×=×= 
 
7 – Em ordem crescente, todos os números que iniciam por 1 ou por 2 precedem 
ao número 52781. Da mesma forma os números que iniciam por 51 precedem ao 
número considerado, como também os que iniciam por 521 e 5271. Temos então 
que: 
 
total dos números que iniciam por um ou por 2 4P2 ×→ 
total dos números que iniciam por 51 3P→ 
total dos números que iniciam por 521 2P→ 
total dos números que iniciam por 5271 1→ 
 
571!2!3!421PPP2N 234 =+++×=+++×= 
 
 Como 57 números precedem ao número 52781, ele ocupa na ordem 
crescente o 58o lugar. 
 
8 – Podemos ter uma só janela aberta, ou duas janelas abertas, ou três, etc.. 
Logo, 
 
255CCCCCCCCN 8,88,78,68,58,48,38,28,1 =+++++++= 
 
9 – Tipos de comissões que podemos formar: 
 
2 moças e 3 rapazes: 8,34,2 CC × 
3 moças e 2 rapazes: 8,24,3 CC × 
4 moças e 1 rapazes: 8,14,4 CC × 
 
 O número total de comissões é 
 
456CCCCCCN 8,14,48,24,38,34,2 =×+×+×= 
 
10 – (a) 1n + 
(b) 
1)n(2)n(
1
++
 
(c) 1)n(n + 
(d) )1rr)(n(n −−− 
 
12 – 12 
 
13 – (a) 9 
(b) 9 
(c) não existe n 
(d) 5 
(e) 6