md_aula3_2014_1

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Exemplo 1.2 
 
 Prove, usando o princípio da indução matemática, que, sendo x um 
número real não-nulo diferente de 1, então 
 
1x
1x
x...xx1x
1n
n2
n
0i
i
−
−
=++++=
+
=
∑ . 
 
Demonstração 
 
O passo inicial é verificar se a expressão dada é verdadeira para 1n = . 
Considerando 1n = , obtemos 
 
x1x
1
0i
i +=∑
=
 
 
e 
 
x1
1)(x
1)1)(x(x
1x
1x 2
+=
−
+−
=
−
−
 . 
 
Portanto, a afirmação é verdadeira para 1n = . 
 
Hipótese de indução: a fórmula é válida para kn = , isto é, 
 
1x
1x
x
1kk
0i
i
−
−
=
+
=
∑ . 
 
Devemos mostrar que ela é válida para 1kn += . Temos que 
 
1kk32
1k
0i
i xx...xxx1x +
+
=
+++++=∑ 
1k
k
0i
i xx +
=
+=∑ 
1k
1k
x
1x
1x ++ +
−
−
= 
1x
)1x(x1x 1k1k
−
−+−
=
++
 
1x
1x 2k
−
−
=
+
 
1x
1x 11)(k
−
−
=
++
 . 
 
Assim, pelo PIM, conclui-se que, para qualquer inteiro 1n ≥ , 
 
1x
1x
x
1nn
0i
i
−
−
=
+
=
∑ . 
 
 
 
Exemplo 1.3 
 
 Prove, usando o princípio de indução matemática, que 
 
2n n
3
i 1 i 1
i i
= =
 
=  
 
∑ ∑ . 
Observação 
 
2
1)n(ni
n
1i
+
=∑
=
 
 
Demonstração 
 
Devemos provar que 
 
4
1)(nni
22n
1i
3 +
=∑
=
 . 
 
O passo inicial é verificar se a expressão dada vale para 1n = . Nesse caso, temos 
 
11i 3
1
1i
3
==∑
=
 e 1
4
4
4
1)(11 22
==
+
 
 
e, portanto, a igualdade é verdadeira. 
 
Hipótese de indução: a igualdade se verifica para kn = , isto é, 
 
 
4
1)(kki
22k
1i
3 +
=∑
=
 . 
 
Temos que 
 
4
1)(kk1)(ki1)(ki
22
3
k
1i
33
1k
1i
3 +++=++= ∑∑
=
+
=
 
 
4
1)(kk1)4(k 223 +++
= 
 
4
]k1)[4(k1)(k 22 +++
= 
 
4
2)(k1)(k 22 ++
= , 
 
que é a fórmula para 1kn += . Pelo princípio de indução matemática, concluímos 
que 
 
22n n
3
i 1 i 1
n(n 1)i i
2
= =
 + 
= =      
∑ ∑ . 
 
 
 
Exemplo 1.4 
 
 Prove, usando o princípio de indução matemática, que, para qualquer 
número natural n , 
 
m
n
1i
i
n
1i
m
i aa 





= ∏∏
==
 . 
 
Demonstração 
 
Primeiro passo: verificar a igualdade para 1n = . Nesse caso, 
 
m1
1i
i
m
1
1
1i
m
i aaa 





== ∏∏
==
, 
 
donde a igualdade é verdadeira. 
 
Hipótese de indução: a igualdade se verifica para kn = , isto é, 
 
mk
1i
i
k
1i
m
i aa 





= ∏∏
==
 . 
 
Devemos verificar se a fórmula dada é válida para 1kn += . Temos que 
 












= ∏∏∏
=
+
+=
+
=
k
1i
m
i
1k
1ki
m
i
1k
1i
m
i aaa 
 
mk
1i
i
m
1k aa 





= ∏
=
+ 
 
mk
1i
i1k aa 











= ∏
=
+ 
 
m1k
1i
ia 





= ∏
+
=
. 
 
Pelo PIM, concluímos que 
 
m
n
1i
i
n
1i
m
i aa 





= ∏∏
==
 . 
Exemplo 1.5 
 
 Prove, usando o princípio de indução matemática, que, para todo número 
natural 1n ≥ , 
 
1FF 2n
n
1i
i −= +
=
∑ . 
 
 
Demonstração 
 
Primeiro passo: 1FF 1
1
1i
i ==∑
=
 e 1121F1F 321 =−=−=−+ 
 
Logo, a suposição é válida para 1n = . 
 
Hipótese de indução: A fórmula é válida para kn = 
 
1FF 2k
k
1i
i −= +
=
∑ 
 
Devemos provar que a fórmula vale para 1kn += . Temos que 
 
1FFF1FFFF 1k2k1k2k1k
k
1i
i
1k
1i
i −+=+−=+= +++++
=
+
=
∑∑ , 
 
onde usamos a hipótese de indução. Como, por definição, 
 
1k2k3k FFF +++ += , 
 
temos então que 
 
1F1FF 2)1(k3k
1k
1i
i −=−= +++
+
=
∑ , 
 
que é a nossa suposição para 1kn += . Logo, pelo PIM, podemos afirmar que 
 
1FF 2n
n
1i
i −= +
=
∑ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segunda Forma do Princípio da Indução 
 
 Existem situações em que é mais conveniente utilizar a segunda forma do 
princípio de indução, como, por exemplo, no caso da seqüência, acerca da qual 
deseja-se demonstrar alguma propriedade, é definida recursivamente de modo 
que o n-ésimo termo depende de dois ou mais termos anteriores. 
 Seja P(n) uma propriedade relativa aos inteiros. Se 
 
i - P(n) é verdadeira para 1n = e 
ii- P(n) verdadeira para kn1 ≤< implica que 1)P(k + é verdadeira, 
 
então P(n) é verdadeira para todo inteiro 1n ≥ . 
 
 
Exemplo 1.6 
 
Provar, pelo princípio da indução matemática, que para todo inteiro positivo 
n , 
 
n
n 4
7F 





< . 
 
Demonstração 
 
Seja P(n) a desigualdade 
n
n 4
7F 





< . 
 
Passo inicial: verificar a desigualdade para 1n = e 2n = . 
 
4
71F1 <= e 
2
2 4
71F 





<= . 
 
Donde P(1) e P(2) são verdadeiras. 
 
Hipótese de indução: consideremos válida a sentença para kn1 ≤< , isto é 
 
n
n 4
7F 





< , 
 
para kn1 ≤< . Precisamos provar que isto implica que 
1k
1k 4
7F
+
+ 





< . 
 
 
 
Observação 
 
 1kF + depende de kF e 1kF − . 
 
 
 












=





+





<+=
−−
−+ 4
11
4
7
4
7
4
7FFF
1k1kk
1kk1k 
 
e, como 
2
4
7
4
11






< , então 
 
1k21k1k
1k 4
7
4
7
4
7
4
11
4
7F
+−−
+ 





=











<











< , 
 
que é a inequação que precisávamos obter. 
 
 
Exemplo 1.7 
 
Provar, pelo princípio da indução matemática, que todo inteiro maior do que 
1 é primo ou produto de primos. 
 
Demonstração 
 
Seja P(n) a sentença “ n ” é primo ou produto de primos. 
 
Passo inicial: verificar a sentença para 2n = . P(2) é verdadeira, pois 2 é primo. 
 
Hipótese de indução: considerar a sentença válida para kn2 ≤< , isto é, n é 
primo ou produto de primos. 
 
 Precisamos provar que isto implica que 1)P(k + é verdadeira, isto é, que 
1k + é primo ou produto de primos. Temos duas possibilidades: 
 
 
i) 1k + é primo. Então, 1)P(k + é verificada. 
 
ii) 1k + não é primo. Então, 
 
ba1k ⋅=+ , 
 
onde 1ka1 +<< e 1kb1 +<< . Supondo que P(2) , P(3) , ..., P(k) são 
verdadeiras (hipótese de indução), então P(a) e P(b) são verdadeiras. Neste 
caso, a e b são primos ou produtos de primos e, portanto, 
 
ba1k ⋅=+ 
 
é produto de primos.