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2.2 – Permutações Simples Definição 2.1 Uma permutação de n objetos distintos é qualquer agrupamento ordenado desses objetos, de modo que, se denominarmos nP o número das permutações simples dos n objetos, então n!12...2)1)(nn(nPn =⋅⋅⋅−−= . Exemplo 2.8 Quantos são os anagramas da palavra BRASIL? Solução 720123456!6P6 =×××××== Observação Anagramas são palavras distintas, com ou sem significado, formadas com as mesmas letras de outra palavra dada. Exemplo 2.9 Quantas permutações podem ser formadas com as letras da palavra QUERIDA que comecem com a letra U? Solução Como a letra U deve ser sempre a inicial, os anagramas serão formados através da permutação das 6 letras restantes. Daí, 720123456!6P6 =×××××== Exemplo 2.10 Quantos são os anagramas da palavra QUERIDA que começam e terminam por I ou A? Solução Há os anagramas que começam por I e terminam em A e os que começam por A e terminam em I. Logo, há duas maneiras de iniciar e terminar os anagramas. Então, 2401202P2N 5 =×=×= Exemplo 2.11 Quantos subconjuntos possui o conjunto c}b,{a,A = ? Solução Subconjuntos de A : c}b,{a,c},{b,c},{a,b},{a,{c},{b},{a},,φ . Para o elemento a temos duas possibilidades quanto à sua presença no subconjunto – aparecer ou não aparecer. O mesmo acontece com os elementos b e c . Portanto, segundo o princípio multiplicativo, temos 8222 =⋅⋅ subconjuntos de A . Exemplo 2.12 De quantas maneiras podemos distribuir n objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia? Solução Cada objeto pode ser distribuído de 2 maneiras diferentes e como são n objetos diferentes, temos n22...22 =⋅⋅⋅ maneiras desses objetos serem distribuídos de forma aleatória, incluindo a possibilidade de todos os objetos irem para a mesma caixa (uma fica vazia). Como são duas caixas, devemos excluir os dois casos onde uma delas fica vazia. Portanto , há 22n − maneiras de se distribuir n objetos em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma delas fique vazia. Exemplo 2.13 De quantas maneiras podemos distribuir n objetos diferentes em duas caixas iguais, de modo que nenhuma caixa fique vazia? Solução Para cada 2 maneiras de distribuirmos os n objetos diferentes em duas caixas diferentes, sem que nenhuma caixa fique vazia, há 1 maneira de distribuirmos os n objetos diferentes em duas caixas iguais, de modo que nenhuma caixa fique vazia. Portanto, basta tomarmos a metade dos casos obtidos no exemplo 2.12, ou seja, 12 2 22 1nn −= − − . 2.3 – Arranjos Simples Definição 2.2a Arranjos simples de n elementos tomados p a p , onde 1n ≥ e p é um número natural tal que np ≤ , são todos os grupos de p elementos distintos, que diferem entre si pela ordem e pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo. Definição 2.2b Dado um conjunto A com p elementos e um conjunto B com n elementos distintos e sendo pn ≥ , chama-se arranjo simples dos n elementos tomados p a p , a imagem de qualquer aplicação injetora de A em B. O número de todos os arranjos simples de n elementos distintos tomados p a p, onde *Npn, ∈ e pn ≥ , é dado por p)!(n n!1))(p2)...(n1)(nn(nA pn, − =−−−−= . Demonstração Considere um conjunto A com p elementos e um conjunto B com n elementos. Aplicações de A em B: escolha da imagem do elemento n1 → possibilidades escolha da imagem do elemento 1n2 −→ possibilidades escolha da imagem do elemento 2n3 −→ possibilidades ...................................................................................................... escolha da imagem do elemento 1)p(np −−→ possibilidades Pelo princípio da multiplicação, temos 1))(p2)...(n1)(nn(nA pn, −−−−= , que pode também ser escrito na forma =−−−−= 1))(p2)...(n1)(nn(nA pn, 123...))2p()(n)1p(p)(n(n 123...))2p()(n)1p(p)(n(n1))(p2)...(n1)(nn(n ⋅⋅⋅⋅+−+−− ⋅⋅⋅⋅+−+−− −−−−= p)!(n n! − = Exemplo 2.14 Quantos anagramas de 2 letras diferentes podemos formar com um alfabeto de 26 letras? Solução 6502526)!226( !26A226 =⋅= − = Exemplo 2.15 Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Quantos números distintos, superiores a 100 e inferiores a 1000, podemos formar se : (a) o número é par? (b) o número é ímpar? (c) o número é par ou ímpar? Solução Os números a serem considerados têm 3 dígitos, o que equivale a pensar que há três posições a serem preenchidas. (a) Se o número é par, a terceira posição pode ser preenchida ou com o algarismo 2 ou com o algarismo 4. Tomando um deles para ocupar essa posição, para o preenchimento das outras duas posições, temos à disposição os 4 algarismos restantes. Esse preenchimento pode se dar de 1234)!24( !4A24 =⋅= − = maneiras. Portanto, tem-se 24122A2 24 =⋅=⋅ maneiras diferentes de preencher as 3 posições. (b) Se o número é ímpar, a terceira posição pode ser preenchida ou com o algarismo 1, ou com o algarismo 3, ou com o algarismo 5. Tomando um deles para ocupar essa posição, para o preenchimento das outras duas posições, temos à disposição os 4 algarismos restantes. Esse preenchimento pode se dar de 1234)!24( !4A24 =⋅= − = maneiras. Portanto, 36123A3 24 =⋅=⋅ é o número de maneiras diferentes de preencher as 3 posições. (c-1) Uma vez que temos a quantidade de números pares e ímpares, calculados nos itens (a) e (b), podemos formar 60345A5A3A2 242424 =⋅⋅=⋅=⋅+⋅ números distintos. (c-2) Podemos preencher qualquer uma das 3 posições – não há restrições. A primeira posição tem 5 maneiras possíveis de ser preenchida. Após seu preenchimento, a segunda posição 4 maneiras diferentes de ser preenchida e, após seu preenchimento, a terceira posição pode ser preenchida de 3 maneiras diferentes. Portanto, pelo princípio multiplicativo, há 60345 =⋅⋅ diferentes de ser preencher sucessivamente as 3 posições. Observação pn,A representa o número de agrupamentos que diferem entre si pela natureza e pela ordem de colocação dos elementos no agrupamento.
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