md_aula6_2014_1

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2.4 – Combinações Simples 
 
 
Definição 2.3 
 
 Combinações simples de n elementos tomados p a p , onde 1n ≥ e p é 
um número natural tal que np ≤ , são todas as escolhas não ordenadas de p 
desses n elementos. 
 
 
Notação 
 
→





==
p
n
CC pnpn, combinação de n p a p 
 
 
 Como pn,C representa o número de agrupamentos que diferem entre si 
apenas pela natureza dos elementos no agrupamento, temos que 
 
p)!(np!
n!
p!
A
C pn,pn,
−
== . 
 
 
 
Exemplo 2.16 
 
 Determine o número de subconjuntos de 3 elementos que podem ser 
formados a partir do conjunto }{1,2,3,4,5=A . 
 
Solução 
 
10
3)!(53!
5!
3!
A
C 5,35,3 =
−
== 
 
 
 
Exemplo 2.17 
 
De quantas maneiras se pode escalar um time de basquete num plantel de 
15 jogadores? 
 
 
 
Solução 
 
 
3003
12345
1112131415
!10!5
!15
5)!(155!
15!C15,5 =
××××
××××
==
−
= 
 
 
 
2.5 – Combinações Complementares 
 
 
Definição 2.4 
 
 Consideremos n objetos distintos. O número de maneiras de escolhermos 
p objetos é idêntico ao número de maneiras de escolhemos p)(n − objetos. 
Logo, 
 
pnn,pn, CC −= , 
 
onde pnn,C − é chamada combinação complementar de pn,C . 
 
 
 
Exemplo 2.18 
 
 De quantas maneiras podemos arrumar em fila 5 sinais (-) e 7 sinais (/)? 
 
Solução 
 
 Podemos considerar o problema como equivalente ao de se ter 12 lugares 
para serem preenchidos com 5 sinais (-) e 7 sinais (/). Neste caso, tanto faz 
escolhermos 5 lugares dentre os 12 para colocarmos os sinais (-) e colocarmos os 
7 sinais (/) nas posições que sobraram, ou escolhermos 7 lugares dentre os 12 
para colocarmos os sinais (/) e nos que sobrarem colocarmos os 5 sinais (-). 
Temos então que 
 
792
5!7!
12!CC 12,712,5 === . 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.19 
 
Numa sala há 10 cavalheiros e 20 senhoras. Quantas comissões podemos 
formar com 2 cavalheiros e 5 senhoras? 
 
Solução 
 
Grupos de dois cavalheiros: 10,2C 
Grupos de 5 senhoras: 20,5C 
 
 
6976801550445
!15!5
!20
!8!2
!10
)!520(!5
!20
)!210(!2
!10CCN 20,510,2 =×=×=
−
×
−
=×= 
 
 
 
Exemplo 2.20 
 
 De quantas maneiras pode-se escolher 3 números distintos do conjunto 
,50}{1,2,3,...A = de modo que sua soma seja um múltiplo de 3? 
 
Solução 
 
 Sejam os conjuntos: 
 
,48}{3,6,9,...1,2,3,...}k 3k,x|A{xB ===∈= 
 
...,49}{1,4,7,10,1,2,3,...},0k 1,3kx|A{xC ==+=∈= 
 
...,50}{2,5,8,11,1,2,3,...},0k 2,3kx|A{xD ==+=∈= 
 
 
Assim, temos que 
 
16n(B) = 
17n(C) = 
17n(D) = 
 
 
 
 
 
 
Encontramos múltiplos de 3 se realizamos as seguintes somas: 
 
a) 3 números quaisquer pertencentes a B � 560
!13!3
!16C16,3 == 
 
 
b) 3 números quaisquer pertencentes a C � 680
!14!3
!17C17,3 == 
 
c) 3 números quaisquer pertencentes a D � 680
!14!3
!17C17,3 == 
 
d) 1 elemento de cada conjunto � 4624171716CCC 17,117,116,1 =⋅⋅=⋅⋅ 
 
 
 Podemos escolher 3 números distintos de A , de modo a obter um múltiplo 
de 3, de 
 
6544CCCCCC 17,117,116,117,317,316,3 =⋅⋅+++ 
 
maneiras. 
 
 
 
Exemplo 2.21 
 
 Quantos são os anagramas formados por 2 vogais e 3 consoantes 
escolhidas dentre 18 consoantes e cinco vogais? 
 
Solução 
 
 A escolha das vogais pode se dar de 5,2C maneiras diferentes, A escolha 
das consoantes pode se dar de 18,3C . Portanto, 
 
 
979200
6
161718
2
45!5
!15!3
!18
!3!2
!5!5CC5!n 5,218,3 =
⋅⋅
⋅
⋅
⋅=== . 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.22 
 
 Quantos anagramas da palavra UNIFORMES começam por consoante e 
terminam com vogal? 
 
Solução 
 
 A palavra dada possui 4 vogais e 5 consoantes. Podemos escolher uma 
consoante para começar a palavra e uma vogal para terminá-la de 4,15,1CC 
maneiras. As outras 7 letras podem ocupar qualquer uma das 7 posições. 
Portanto, 
 
 
10080045!7
!3!1
!4
!4!1
!5!7CC!7n 4,15,1 =⋅⋅=== .