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Exemplo 5.7 Encontrar a função geradora para a seqüência = ,... !4 1 , !3 1 , !2 1 , !1 1 ,1)(a r . Solução Como ... r! x ... 4! x 3! x 2! x x1e r432 x +++++++= , a função procurada é xe . Observação Seja a função f infinitamente diferenciável em um intervalo aberto J e seja a um número em J . Então, a série de Taylor para f em a é a série de potências k 0k k a)(xC −∑ ∞ = onde k! (a)fC (k) k = , para ... 3, 2, 1, 0, k = . xe f(x) = em 0 a = xiv x x x x e (x)f e (x)''f' e (x)'f' e (x)f' e f(x) = = = = = 1(0)f' 1(0)''f' 1(0)'f' 1(0)f' 1ef(0) v 0 = = = = == Série de Taylor K+−+−+−+−+= 30302000 0)(xe 4! 1)0(xe 3! 10)(xe 2! 1)0(xe 1! 1 ef(x) ∑ ∞ = = 0k k k! x . A série de Taylor para f em 0 a = é chamada de série de Maclaurin para f . Exemplo 5.8 Encontrar a seqüência cuja função geradora ordinária é x32 exx ++ . Solução Como +++++++=++ ... 4! x 3! x 2! x x1xxexx 432 32x32 ... 5! x 4! x x 3! 11x 2! 11x1 54 32 +++ ++ +++= , a seqüência gerada por esta função é ++= ,... !r 1 ,..., !5 1 , !4 1 , !3 11, !2 11,1,1)(a r . Exemplo 5.9 Encontrar a função geradora ordinária para a seqüência = r! 2)(a r r . Solução Substituímos x por 2x em ... r! x ... 4! x 3! x 2! x x1e r432 x +++++++= . Temos nesse caso que ... r! (2x) ... 4! (2x) 3! (2x) 2! (2x) x21e r432 2x +++++++= ...x r! 2 ...x 4! 2 x 3! 2 x 2! 2 x 1! 21 r r 4 4 3 3 2 21 + ++ + + + += . Isso mostra que 2xe é a função geradora procurada. Exemplo 5.10 Qual o coeficiente de 23x na expansão de 695 )xx(1 ++ ? Solução Como são 6 fatores iguais a )xx(1 95 ++ , devemos escolher dois fatores, tomando 9x em ambos, e um no qual escolhemos 5x ; nos demais escolhemos 1. Como podemos fazer isso de 14 2 6CC maneiras diferentes, este é o coeficiente de 23x . Observação 695 )xx(1 ++ é a função geradora para o número de soluções inteiras não-negativas de 23xxxxxx 654321 =+++++ , com a restrição {0,5,9}x i ∈ . Teorema 5.1 Sendo f(x) e g(x) as funções geradoras das sequências )(a r e )(br , respectivamente, temos: (i) Bg(x)Af(x) + é a função geradora de )Bb(Aa rr + . (ii) ∑ ∑ ∞ = = − = 0n n n 0k knk x)b(af(x)g(x) . (iii) A função geradora para )a...aa(a r210 ++++ é igual a ...)f(x)xx(1 2 +++ . (iv) A função geradora para )(ra r é igual a (x)xf' , onde (x)f' é a derivada de f com respeito a x . (v) ∑∫ ∞ = + + = 0n 1nn x 1n af(x)dx . Exemplo 5.11 Encontrar a função geradora para ra r = . Solução Como a função geradora para a seqüência )(1,1,1,... é ...x...xxxx1 x1 1f(x) r432 +++++++= − = , e utilizando o item (iv) do teorema 5.1, a função geradora é (x)xf' . De fato, ...rx...x5x4x3x21 x)(1 1(x)f' 1r4322 +++++++= − = − e ...rx...x4x3x2x x)(1 x(x)xf' r4322 ++++++= − = . Portanto, (x)xf' é a função geradora para a seqüência r)(a(r) = . Exemplo 5.12 Encontrar a função geradora para 2r ra = . Solução Do exemplo anterior, ...rx...x4x3x2x x)(1 x(x)xf' r4322 ++++++= − = . Para que o coeficiente de rx seja 2r , devemos tomar a derivada desta função e multiplicá-la por x . Temos assim que 3 / 2 x)(1 x)x(1 x)(1 x x − + = − ...)xr...x4x3x2x(1 1r232222 ++++++= − ...xr...x4x3x2x1 r24232222 ++++++= Temos que a função geradora para a sequência 2r ra = é (x))'x(xf' , onde x1 1f(x) − = .
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