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Problemas de Geometria Para o Curso Ginasial

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• 
,. 
1 
E E., 
.• 
e u· R s o 
GIN-AS+AL ·. 
DE ACORDO COM O 
PROGRAMA 
OF I CIAL 
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ADMISSÃO: AO COLtGIO NAV.Al 
CURSOS PREPARATÓRIOS DE CADETES 
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CURSO NORMAL DOS 
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PROBLEMAS 
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A A TODO O CURSO GINASIAL, DE ACÕRDO COM O PROGRAMA 
M VIGOR, ELABORADO COM E~ECtALIDADE PARA OS CAN-
IDATOS AO C. NAVAL, E. PREPARATÓRIA DE CADETES DO AR, 
ADMISSÃO AO CURSO NORMAL ~ E. DA MARIJltHA MERCANTE. 
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ti E L :t M 
!tua 18 de Ma.lo, 468 
Telef1one : 18.S.S 
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v. Mal. Floriano, 22 • 1.º 
retefones: 23·3943/43-6(!64 
lloa B1trfto Guaratlba, 29 /81 
To l e fon@: 4 5 - 7 1. ;I! 8 
J.OZON+EDITOR 
F ORTALEZ A 
Rua Pedro Pere.lrw, 
813-Grupoõ 
Telefone : t,93ST 
NITERól 
Rua de: Conceição, 137 
Sala 009 - Tel. 7512 
SÃO PAULO 
Larso do Pa.isae..ndu. 111 
4. 0 andar - Grupo 411 
lo .o and1 • Grapoa 1501/2 Telef1>110: 35-11815 
À MEMÓRIA DE MINHA NETA 
MAR C I N H A, COM A SAUDADE 
IMENSA DE SEU AVÔ 
PAULO. 
A N G U LOS . COMPLEMENTO, SUPLEMENTO E 
REPLEMENTO DE UM ÂNGULO . DIVERSAS 
ESPÉCIES DE ÂNGULOS. MEDIDAS DE ÂNGULOS. 
Ângulo é a figura formada por <luas semi-relas que 
parlem do mesmo ponlo ou que Lêm a mesma origem. 
A origem ou ponto t:omum às e.luas semi-relas, é Q vér-
lice do· ângulo; as semi-retas são <>s lados do dngulo. 
Podemos olbter um ângulo se imprimümos a uma semi-
rela, um movimento de rotação em tôrno de uma de suas 
extremidades, em um sentido qualquer, de modo que ela não 
saia do plano. 
Assim sendo, podemos imprimir à semi-rela uma ro-
tação completa em 1ôrno do ponto e teremos um dngulo ele 
uma volta, DU um ângulo cheio, no yalor ele- 360º; podemos im-
primir um movimento que corresponda à uma metade de 
volta e leremos um ângulo de meia voilta cu um ângulo raw, 
correspondendo n 180°. O giro da séini-rela poderá corres-
]JOnder, apenas a 1 / -1. de volta e teremos um ângulo reto ou 
um ângulo de 90°, 
EvicTentemen te qu e a semi-reta em seu movimento de 
·roLH :ã o ocupa um sem número de posições intennediátúas, 
em relação às citadas e f orrnará âllgulos de diversos valôres 
que, em resumo, poderão ser menore que 90° e maiores 
que 90°. 
Teremos então: ângulos agudos, quando menores iue 
Wº e ânglAlos obtusos para os maiores que SOº. 
---0----ir---.a Ângulo de 1 / 2 volto ou rosa 
Ângulo obtuso 
JJ 
lf 
o Ângulo de 1 / 4 de volto ou reto 
li 
A ~. Âng ulo o Q u d o 
FIG. 1 
10 
.fogulus a'1jacenle6 ~ Uo.ki ângulos são adjacJ:n'l~ 
quando têm wn lado comum e os oub·o" dois lados d um 
lado e do outro, do lado comum. 
o 
FIG. 2 
O B é o lado comum. 
O.s ângulos AOB e BOC, são adjacentes. 
A.ngulos opostos pelo vértice - São dois ângulos tais que 
os lados de um dê1es são os prolongamentos dos lados do 
outro. 
FIG. 3 
Os ângul os AOB (' 
(iguais). 
DOC, são opostos pelo vértice 
Os ângulús AOD (' BOC, são opostos pelo vértice (iguais). 
Os IM!os do ângulo DOC, são os prolongamentos 
do ' ln dos B e OA, do ângulo AOB e vice-versa . 
11 
Dois ângulos opos tos pelu vértice são lguiis. 
Relação: 
ângulo A O B = ângulo D O C 
ângulo A O D . ângulo B O C 
ANGULOS C01l'IPLBMENTARES, SUPLEMENTARES 
E REPLEMENTARES 
Dois ângulos são: 
Oomplementares: quando sua sorna é 00° 
FIG. 4 
Os ângulos A O B e B O D adjacentes (lado O B 
comum) são complementares porque 
ângufo A O B +ângulo B O D = 9()0 ( 1/,t de volta) 
Suplementares: quando somados valem 180° ou c-iuando -
adj acentes os lados não comuns estão em linha reta. 
~e• 
~---------"""'"'!'º ____ __ 
FIG. 5 
12 
Os ângulos A O C (s) e C O B (r), adjacentes (lado 
comum OC) são suplementares, pcrque 
ângulo A O C + ângulo C O B = 180° (l/ ~ volta) 
Replemenlares: Quando somam 360º 
Bissetriz - Bissetriz de um ângulo é a semi-reta interior 
ao ângulo, com origem no vértice e que divide o ângulo ao 
meio. É também, o. lugar geométrico dos pontos que equidis-
tam dos lados do ângulo. 
(Entende-se por <Juy'a.r yeomélrico u um conjunto de 
pontos que gozam de uma mesma propriedade, que lhes é 
peculiar. 
A 
o 
B 
FIG. 6 
Na figura 6, A O B é o ângulo e O C a bisselriz. 
. . s poi;ilos O.' l\I, ?\ e P cc1üidistam dos lados do àngulo, 
1sl<> ', a distância de M ao lado A O é m e também é m a 
<fistân ia do ponto ~f ao lado O B. O mes mo poderíamos dizer 
pnrn o pontos X e P ou qualquer outro que pertencer a 
bi s~ l ri:r. do ângulo. 
13 
' 1 
1 
Teorema 2 
As biss·etrizes de dois ângulOiS adjacentes t;Upleinentares, 
são perpendiculares, isto é, cortam-se em ângulo rC'to. 
e 'N. ·-,,~./ 
() fJ 
FIG. 7 
Na figura 7 temos os ângulos adjacentes suplementares 
A O C e C O B; suas bissetrizes são respectivamente O M 
e ON. 
O ângulo M O N = 90° 
Teorema 3 
As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice estão 
em linha reta e cortam-se segundo um ângulo ác 90°. 
fJ 
l1 -
p 
1· 
10-
1'.: IG. 8 
1• 
1J 
( 
Na fiigu1·a 8, os ângulo~ .-\ O C e B O D, são op o..s tus p elo 
vértice. As bissetrizes dêl es ·ão O M e O N que é a linha 
reta MN . . 
O mesmo se poderá dizer <los ângulos A O B e C O D que 
também são opostos pelo vértice e cujas hissélrizes são O P e 
O Q, que formam a reta P Q. 
As retas M 1 ' e P Q. se cortam em ângulo reto, is to é, são 
perpendiculares. 
Teorema 4-
Todos os ftngulos retos são iguais . 
Medidas de ângulos 
Em virtude do teorema ·1 o àngulo relo é uma gl'andeza 
angular determinada podendo ser tornado como unidade 
para medida de ângulos e representado pela letra r. 
Como tôda unidade de medida tem múlt iplos (sem de-
signações especiais) e submúltiplos, dos qua1is o único CiJUe 
tem denominação é o que 1·epre~enta a centésima parte do 
ângulo reto (0,01 r) e que se chnma grado. que se ahrcvfa 
por g 011 gr. 
É o sistema decimal para medir ângulos. 
O sistema complexo também é empregado na medição 
dos ângulos e a unidade desse siistemn é o grau scxagesimad 
ou simplesmente grau e que se representa por um pequeno o 
sôbre e a direita do numero. 
Sabemos que o grou tem 60 minuto:.; (60') e o minuto 
60 segundos (60"). 
Do exposto conclui-se que 
1 reto = 90° = 100 a:r 
Um regra de três simples, permite transformar graus em 
grndo. on vice verso, como mostraremos opDrtunamente. 
15 
liJXERCfClOS RESOLVIDOS 
1) O àngu lo A = 80". Calcular: 
a) o seu ccNnpleme1110 
h) o seu suplemenlo 
e) o seu replemenlo 
Depois do que foi dito com relação a ângulos comple-
mentares, suvlementares e replementares, p octernos esc.rever: 
a) A + x = OOo (complementares) 
80 + X= 9()0 e X= 1()0 
li) A + y = 180° (suplemen lares) 
80 + y = J 80° e y = 100° 
e) A + z = 360º (replemenlares) 
80 + z = 360° e z = 280° 
2) Dado o ângulo A igua 1 a 73º 20' 18 ... adiar: 
a) o seu complemenlo 
b) o seu supleme11to 
e) o seu replemen lo 
Do mesmo inodo leremos: 
a) A + :-.. = f,Oº (complemenlares) 
73° 20' 18" + X= 9ü° 
Teremos: 
90°= 89° ;)n' 
A= 73º 2()' 
( compl c1nen lo) X= 16° 39' 
h) A + y = 180° (suplemen lares) 
73° '.20' 18" + y = 180° 
16 
(){)" 
18'' 
42" 
Teremos então : 
180º = 1.79" .)H' ti()". 
A= 73° 20' 18" 
(supJpmen lo) \' = 105° 39' l '.2" 
r,) A + z = 360° (replem('JJ i arre) 
73º :lO' lR'' + z = 3(i0° 
3()0° = 3:J0º 5\:l' ()()" 
A= 73° 20' 18" 
( rep1 cm en to) z = 286º 39' Ll2" 
~;) Dois ângulos são complc111enta res; calcular es 
gulos nos easos abaixo: 
a) o maio r é o triplo do menor 
b) um dê1es é <i qual'la parle do oulrn 
l') a diferença entre eles é de 12" 
a) Se um dos ângu los fór x o o ttlro será :1 x. 
Como são eomplemcntares: 
X + 3 X = t)'(Jº o li 
-1 X = f.-0º C X = 2.2º 30' 
O outroque é 3 , :erá 
b) 
J X 22° 3(}' = ()7º 3{)' 
X 
Se um dos ângulos fôr x o ou Iro se rá --
•1 
17 
Como são supl eme ntares : 
X 
X + - = l X(J' ' Ul.i 
4 
;) X = 72i)º e 
X = 144° 
O X ' outro - sera: 
4 
144° 
--= 36° 
4 
e) Se um deles fô;r x, o outro será: 
90 - x 
Corno a diferençn entre ê!es é 12°, ter emos: 
x - (90 - x) = 12 ou 
X - 90 + X = 12 OU 
2 X = 1()2 C X = 51 o 
O ou fl'o será: 
00º - 51° = 39'> 
4) Qual o ângulo que E·xcede o seu complem cnlo de 380? 
Se chamarmos o ângulo de x, o seu compl emento 
será 90-x. 
O problema penni te escrever : 
x- (90-x) = 3Sº 0112x = 12.8º e x = fi4° 
18 
!) ) Dois ângulos a<lja<.:en tes tem os lados ex teriol'es em 
linha reta. 
Cakular esses ângulos sabendo que êles são ex· 
pressos em graus, respectivamente por: 
10 X + 25º ,e 5 X + 5º 
Vimos no início do capítulo que dois ângulos adja-
centes nas condições do problema, não suplementa-
res; então: 
10 X+ 25º + 5 X+ 5º = 180º OU 
15 X = 150 e X = 10 
Os ângulos que, expressos em graus, valem 
10 x + 25 ou 10 X 10 + 25 = 125° e 
5x + 5 ou 5 X 10 +5 = 5;)º 
(i) Calcular dois ângulos opostos pelo vértice que, e111 
graU1S, são expressos respectiv~ment:e por 
8 X + 3° e 9 X - 2-<> 
Vim.os rio início do capítulo que dois ângu"los opostos 
pelo vértice são iguais; assim sendo: · 
8 X + 3º = 9 X - 2º C X = 5º 
como os ângulos são 
8 x + 3 e !J x - 2 teremos : 
19 
7) Em tôrno de um ponto <lc uma ·reta e do mesmo lado 
traçam-se três ângulos: o primeiro é expresso em 
gr~us por 2 x + 15, °' segundo, por 5 x - 5 e o ter-
ceiro por 6 x + 25. Calcular êsses ângulos. 
FIG. 9 
Vimos que os ângulos formados em torno de um 
ponto e do mesmo lado de uma reta é um ângulo 
raso ou de m eia volta e que v1ile 180º . 
Então: 
Então: 
2x + 15 + 5x-5 + ôx + 25 = 180º ou 
13 X + 35 = 180° e 
X= 145 = 11 o 9' 13" __!!_ 
13 13 
Ângulo A O B = 2 X ( 11° 9' 13" ~~ ) + 15º = 
= 22° 18' 
9 
'27 "- -+ 15º = 37º 18' 
13 
20 
9 
27"-
13 
OânguloBOC: =~ ( 11 º 9' 13'' 11 )··~ fio 
1 ;3 
= 55° 46' 9" ~ - 5° = 50º 46' 9" ~ 
13 . 13 
OânguloCOD = Ü (11º 9' 13" :~) + 25= 
1 1 
= 66º 55' 23" - + 25º = 91 o 55' 23" -
13 13 
8) Achar a medida no sistema decimal <lo ângulo 
de 40°. 
Já vimos que 
90º correspondem a 100 i:r 
Então 
90º - 1oo::r 
40° X 
100 x 4-0 
X = 4,44::r 
90 
9) Achar a medida no sistema decimal do ângttlo de 
37° 7' 30" 
21 
10) 
. Sahemo.s que 
90° = 3240()()" - 100 icr 
37º 7• 00" = 133650" X 
138650 X 100 X=------= 41;2.5 rr 
824000 
Achair a medida no si'S tema sexagesimal do ângulo 
de 42,508r•. 
Como nos exemplos anteriores 
90º 100 •• 
X 42,5()8 
90 X 42,508 
X - ----- = 38° 15' 2fl",92 
100 
11) Calcular o complemento do ângulo de 74,81 grados. 
O cornplemenlo é o que falta ao ângulo pa.ra 100 
g'ra<los; então 
100 - 74,81 = 25,l!)r•. 
12) Ah e ar o suplemento do ângulo de 127,4:-l gi-ados. 
O suplemento é o que falta ao ângulo para com~ 
pletar 200 grados; então : 
200 - 127,43 = 72,57 icr 
22 
. , 
. ( • 
EXERCfCIOS A RESOLVER 
l) O ângulo A = 53°: Calcular: 
2) 
3) 
a) o s·eu complemento 
b) o seu suplemento 
e) o seu r eplemento 
RESP.: a) 37°; b) 127° e) 'tff/º 
Dado o ângulo A = 87° 45' 37 ", achar : 
a) seu complemento 
b) seu suplemento 
c) o seu replemento r a) 2° 14' 23" 
J b) 9<w 14' 23 " R.ESP.: l ,:.. 
-l e) 272° 14' 23" 
Dois ângulos são suplementares; 'l'.akular esses ân-
gulos sabendo "1~ ·. 
1.º - o maior é o quádruplo do menor 
2.0 - um deles é 2/a do outro 
3.º - que su a d iJer ença é 23º lil' 15 " 
{ 
1.0 ) 36° ce 144" 
RESP.: 2. º) 108° e · 72<' 
3.0 ) 101º 35' 37",5 e 
78° 24' 22",5 
4) Qual o ângulo qu e excede o seu su'l>lemento de 
15º 28' 49". 
5) 
FlESP. : 97° :J4' 24 ",5 
O dôbro do complem en lu <le um ângulo, aumentado de 
32° é, igual ao se u suplemento. Qual é êsse ângufo? 
RESP.: 32° 
6) A soma de dois ângulos mede 42°. Um dêles é a têrça 
parte do complemento do outro. Calcular ês:ses 
7) 
' 8) 
9) 
• 10) 
ângulos. R . 18º 24º ESP.. C 
A düerença enlrc doü; ângulos complementares é de 
27° 32'. Calcular os dois ângulos. 
RESP.: 58° 4-6' e 31° 14' 
Dois ângulos opostos pelo vértice são expressos em 
gra-us re.spectivamente, por 5x + 2° e 2x + 44º. De-
terminar o v'nlor dêsses ângulos. RESP.: ""'ô5'1-
Dois ânguilos adjacentes 
linha re~a. Um dêles é 
2x + 5º e o outro por 
ângulos. 
'1~/' 
lem os lados exlernos em 
expresso em graus por 
x + 7°. De terminar ê$ses 
c-
RESP.: m 0 e 63° 
IMu~-o 
Em tórno d'e um ponlu e <lo m esmo lado de uma 
-reta, traçam.se lrês ângulos. O primeiro é expresso 
em grau•s por 2 x .+ 10°; o secrun<lo I)Ol" 3 x - 5° e o 
l . "' erce1ro, por 7 x + 7°. Determinar esses ângulos. 
HESP.: 38°; 37° e 105º 
tJ 11) Em tôrno de um ponlo sôbre um plano lraçam-se 
três ângulos expressos em grau·s respectivamente por: 
7 x .+ lü°; 6 x + 30º e 4 x - 20°. Calcular êsses três 
â•ngulos. H.EsP. : 150°; 150º e 60° 
12) Em tórno de um ponlo, sóbre um pla110> traçam-se 
os ângulos a, b, e, d. Calcularr êsses ângulos 
sabendo que a e e são complementares; que 
a diferença entre os outros do.js é 30º e que a é 
o dôbro de e. HESP.: a) 6()0; b) = 15(Jº; 
e) = ::io0 e d) = 120°. 
24 
~, 
13) 
14) 
15) 
t 16) 
/1 
Bm tôrno de um ponto traçam-se quatro ângulos 
a, b, e e d. O ângulo a é reto, o ângulo b tem mais 5º 
que o suplemento de d e o ângulo d é a soma dos 
ângulos b e e diminuída de 50°. Achar os ângulos 
b, e e d. 
RESP.: 75º; 85° e 110° 
Em tôrno de um ponto e do mesmo lado da reta, tra-
çam-se os â'Ilgulos a, b, e, e d. Calcular esses ângu~os 
:sabendo 1qrue a e e são complementares e que a dife-
rença entre os outros dois é de 40° 12' 27",8 e que 
e é o triplo de a. 
RESP.: Jlr ~ :a 
c = 67° 
d= 24° 
30' 
6' 13'',9 
30' 
53' 46'',1 
Em tôrno de um ponto estão formados quatro ân-
gulos proporciiooais aos números 2, 3, 5 e 8. Deter-
minar esses ângulos. 
RESP.: 40°; 60°; 100° e 160º 
Determinar a medida do ângulo formado pelas bis-
setrizes de dois ângulos adjacentes sabendo que o 
primeiro vale 1/ 4 do s·eu suplemento e o segundo 1 /s 
de seu replemento.-"' "' "; ~gºI& 1° 
 ~L º;t_" f:: X+:J I RESP.: ~ 
! -ti'º- ~'/ ~ pç -::. --_.~ z._ J ,,, ; - vj ' IQJ ÚÍ:: [ "' .j JI. ~ "' rtnl . ) 
Por '11f- ponf~-fo de urna reta M N traçam-se, do 
mesmo lado d~ ~eta, os segmentos O A e O B, :for-
mando os ângulos MOA, AOB e BON. As bisse. 
trizes dos ângulos formados são OP; OQ e OR. Cal-
cular os três ângulos sabendo que o ângulo MOQ = 
= 115° e o ângulo POR é igual a 105º. 
1 .... /) f o 
A+ ffh-~-t-r} -:::/OJ" 25 r z 
~:__J<---L.:.==-~~.!.!.-1-~--:» 
.!-1 o 
\ 
, 
18) 
+ 19) 
~~.J 
Achar a medida no sistema centesílfi11 do ângulo 
de 45°. 
· /} RESP. : 50 cr 
Jta,'u.,._f' 
Achar a medida no sistema cente'Wimal do ângulo de 
16º 36' 18". "'*"' n., ...... 
REsP.: 18,4&r C,./ 
+ 20) Achar a medida no sistema sexagesimal do ângulo 
de 33,676 gr. 
RESP.: 30° 118' 30",24 
21) Achar o compJ.emento do ângulo de 45 grados. 
RESP.: 55 grados 
22) Achar o suplemento do ângulo de 97,831 grados. 
+ 23) 
RESP.: 102,169 cr 
A sorna do complemento, do suplemento e do repie. 
n~en lo de u~ ângulo é 573,21 grados. Achar as me· 
d1das 5:~::"~~ e sexagesimal desse ângulo. 
.,,_,,,.,~ RESP.: ,~cr e 38º 2' ~ 
TRIANGULOS 
TriânquW é o poligono de tres lados ou uma parte do 
plano limitado por tres retas que se encontram duas a duas. 
É o mais simples dos polígonos. 
Seus elementos principais são: os tres ângulos. e os tres 
lados. Qualquer dos lados que fique para baixo é a base do 
triângulo. 
Os elementos secundáriossão: 
Anauzos ·externos - são os ângulos formados por um 
lado qualquer com o prolongamento de qualquer dos lados 
contíguos. 
Alturas - são os segmentos das perpendiculares traça-
das de cada vértice sôbre o lado oposto ou seu prolonga· 
mento. 
Medianas - são os segmentos que ligam os vértices a.os 
meios dos lados opostos. 
Biss.etrizes internas - são os segmentos das bissetrizes 
dos ângulos ·internos compreendido.s entre cada vértice e o 
ponto de encontro com o lado oposto. 
Bissetrizes externas - são os segmentos das bissetrizes 
dos ângulos externos compreendidos entre os vértices e os 
pontos de encontro com os prolongamentos dos lados 
opostos. 
' . 
Mediatrizes ~ são ~l:i perpendiculares kvantadas p~Jqs 
pontos médios dos lados do triângulo. 
Perlmetra.. - É a soma dos lados. 
De um modo geral, denominamos ceviana, qualquer seg-
mento de reta que liga um vértice do triângulo a um ponto 
qualquer do lado oposto. Assim sendo, as alturas, medianas e 
bissetrizes internas, são cevianas do triângulo. 
CLASSIFICAÇ.íf.O DOS TRJANGULOS 
Com relação aos lados, os triângulos podem ser: 
Equilátero: lados igua~s (tres â.:ngulos ci1guais; também 
chamada. equiângulo). 
Jsosceles. - dois lados iguais e um diferente (o 
lado desigual, geralmente é a base. Dois ângulo iguais e 
um düevenle). 
§scalen.JJ: trê3 lados diferentes. 
Com relação aos ângulos, os triângulos podem ser: 
Acutângulo - o que tem tres ângulos agudos. 
Retângulo - o que tem um ângulo reto. 
Obtusângulo - o que tem tun ângulo obtuso. 
No triângulo equilátero as alturas, bissetriz e mediana 
traçadas do mesmo vlértice, coincidem. 
No hiângulo isosceles, apenas ocorre aquela coi1I1Cidên-
cia com as cevianas relativas ao lado diferente. 
No triângulo retângulo os lados teern nomes especiais; 
os lados que formam o ângulo reto, são os catetos e 'º lado 
oposto ao ângulo reto é a hipotenusa 
CONGRUl:NCIA DE TRIANGULOS 
1.0 cas.o 
Dois triângulos são congruentes, ou iguais por super-
posição, quando teem um lado cigual, adjac.ente a dois ân-
28 
? 
gulos .respectivamente iguais. (ALA; Angulo, Lado e 
Angulo). 
2.0 caso 
Dois triângulos são congruentes, quando leem um ân-
gulo igual compreendido entr·e lados iguais respectiva· 
mente (LAL; Lado, Ângulo e Lado). 
3.0 caso 
- Dois triângulos são congruentes quando leem os tres 
lados iguais (LLL; Lado, Lado e Lado). 
Tratando-se de triângulos Tetângulos, além dos três 
cas,os apresentados e que, por serem gerais, se aplicam à êles, · 
existem ainda os .seguintes: io /;Lll .z,,,; i...l/t. .?!':,) 1...u. 
il;J Dois triângulos retângulos são congruentes quando têm 
a hip.otenusª igual e um cateto igual. 
5~ Dois triângulos retângulos são congruentes, quando 
têm hipotenusa igual e um ân ulo agudo ig21al. 
~oc.e i.q_· 
Em qualquer triângulo cada lado é menor que a soma 
dos outros dois ·e maior que sua diferença. 
1J 
~e 
FIG. l 
Na figura 1 
a, b e c - lados do triângulo. 
Relação 
a < L + e € c > a - ]) 
29 
Teorema 2 
Em qualquer triângulo, ao maior IadC> opõe-.se o maior 
ângulo. 
Na figura 1, o lado a é evidentemente, o maior; então · 
o ângulo A é o maior. 
Teorema 3 (Lei angular de Tales) 
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 
dois ângulos retos. 
/ 
Na figura 2, 
A, B e C - ângulos do triângulo. 
Relação 
A + B + C = 1800 
Coralario 1 
Cada ânguJo externo de um triângulo é igual à soma 
dos internos não adjacentes. 
Na figura 2 
MAC é um ângulo externo. 
Relação 
ângulo MAC = B + C 
30 
Corolário 2 
Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são com-
plementares. 
Relação 
ângulo B + ângulo C = 90° 
] 1'eoirema i 
A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo forma 
com o lado oposto dois ângulos cuja diferença é igual à di-
ferença entre os outros dois ângulos do triângulo. 
FIG. 3 
Na figura 3 
ABC - triângulo 
AD - bissetriz do ângul10 A 
m e n - ângulos f armados pela bissetr.iz com o lado BC 
Relação 
n-m=B - C 
31 
rr~orema 51 
O ângulo formado pela bissetriz interna e pela altura 
que partem do mesmo vértice de um ângulo de um t~iângulo 
é igual à semi-dif el'ença dos outros dois ângulos <lo ti-.1ângulo. 
Na figura 4 
l'I 
e.. 4'-.l~--~-"-'--~ b 
s 
FIG . 4 
ABC - triângul-0 
AH - altura traçada do vértice A 
AS - bissetriz do ângulo A 
SAH - ângulo da altura com n bissetrjz 
R·elação 
B-C 
ângulo SAH = · 
2 
[] 'eoremaJ fl 
A mediana relativa à hipotenusa de· um triângulo re~ 
tângulo forma dois ângulos com a hipotenus~, sen<l:o cad:i 
um o dôbro de cada um do.s ângulos agudos do triângulo 
retângulo. 
32 
Na figura 5 
ABC - tl'iângulo retângulo 
AM - mediana relativa à hipotenusa 
m e n - ângulos dn mediana com a hipotenusa . 
• Relação 
n=2B e m=2C 
·1 Teorema 71 
O ângulo formado pelas bissehizes internas de dois ân-
gulos de um triângulo é igual a um ângulo reto (00º) mais 
a metade do ter-ceiro ângulo. 
Na figura 6 
ABC - ll'Íângnlo 
CN e AM - bis3etrizes dos ângulos A e C 
APC - ângulo for111ado pelas bissetrizes d A e C. 
Relação 
13 
ângulo APC = 90° + --
2 
33 
O ângulo f armado pelas hlssel ríz es extei·rias de do is ân-
gulos externos de um triâ~1gulo é igual a um ângulo reto 
(90°) menos a metade do terceiro ângulo. 
r::G . 7 
Na figura 7 
ABC - triângulo 
AM e BN - bissetrizes dos ângulos externos em A e B . 
APB - ângulo das bissetrizes acima mencionados. 
Relaçiio 
\Te.ore ma D-\ 
fi ng1ilo A PH = !10° --- -~ 
2 
O ângulo das alturn e mediana r elatiY1:1s i1 hip o lenusa 
é igual à diferença entrr os úngu los B e C. 
H "1 
FIG . 8 
Na t'igma 8 
ABC - triângulo retângulo 
AH - altura relativa à hipotenusa 
AM - mediana relativa à hipotenusa 
p - ângulo da altura com a mediana. 
Relação 
ângulo p = ângulo B - ângulo C 
FIG. 9 
Na figura D 
ABC - triâ·ngulo r etângulo; A = 9()0 
AH - altura relativa à hipotenusa 
AN - bissetriz do ângulo· reto A 
.A. ] • • 
m - ângulo da altura com a J1s-;clnz 
ângulo B - ângulo C 
â nguJ () m = ---------- -
2 
{Teorema 11 
A reta que une os meios dos lados de um 
paralela ao terceiro lado e igual à sua metade. 
])~ é 1 tt f~~~ 
FIG. 1 O a,. 
Na figura 10 
ABC - triângulo quaJ.quer 
Lr·iângulo é 
O~// 8c 
E e D - pontos médios <los lados AB e AC, respectiva-
mente 
DE - paralela a BC 
Relação: 
DE= BC 
2 
EXERCtCIOS · RESOLVI DOS 
1) Pode-se construir um triângulo lendo como lados., 
segmentos de 5 cm; 9 cm e 14 cm? 
REsP.: Não; um lado não é menor 
que a soma dos outros dois. 
2) Calcular os lados de um triângulo irnsceles cujo 
semi-perímelro m ede 7,5 m e cuja soma dos seus 
lndos iguais é o quá<lruplo da base. 
36 
'· 
3) 
Se Q semi-pel'im•lro é 7,5 m é. porqW.! o peJ.·imçt:fo é 
2 x 7,5 = 15 m. O . pé+irileti'o de um . triângulo · isós-
celes. pode ser expresso por 
a+2b 
que no caso é 15 m. Então 
a +C2.b = 15 
O problema diz que a soma dos lados iguais (b) é o 
quádruplo da base; então 
2b=4a e b=2a 
Então 
a + 4 a = 15 e a = 3 m. 
Os lados iguais são pois (junlos) 
15 m - 3 m = 12 rn e 
cada lado valerá 
12 -;-2 = 6m 
No triângulo ABC, o ânguio ~ mede 50º:· Cal~ular os 
outros dois ângulos do tnângu1o CHJa dil.ferença 
é 40° 
O teo·rema 3 diz que: 
A + B + C = 180º 
Se A= 50° 
B + C = l:iü° e como B - C = 10" 
Segue-se que 
B = 85º e C = 45° 
37 
1) :Calcular os àligttlo~ internos de um tdânguiu ABC 
sabendo qúe a soina de seus âng ulos externo·s B' e C' 
é igual a 230° e que a <lif.erença en tre os ângulos 
B e C é igual a 10°. 
R 
-~ a a 
O problema diz que B' e C', ângulos externos, so-
mados dão: 
B' + C' = 230º 
B-C = 100 
(1) e que 
(2) 
Considerando queB' = 180º - B e que C' = 180° - C, 
viem~ d~pois de substituirmos êsses valores em (1) 
Como 
180º - B + 180° - C = 230° 
360º - 230° = B + C 
130º = .R+ C 
B - C = 100 
segue-se que 
B = 70º e C = f>OO 
Consequen1em en te 
A = 180° - (B + C) = 
180° - 130º == 50º 
36 
, 
5) Num triângulo isosce-les o ângulo do vértice mede 
50°. Calcular os ângulos ex terinos da base. 
O tviângulo sendo isosceles, os ângulos B e C, são 
iguais. 
Como 
A + B + C = 180º ou 
A + J3 + B = 180º ou 
50° + 2 B = 1180º ou B = 65° 
Então 
C=65° 
Os ângulos B' e C', como suplementos de B e C res-
pectivamente, valem 
B' = C' = 180° - B = 180° - 65° := 115º 
6) Num triângulo ABC, o ângulo HAS fonnado pela 
altura AH com a bissetriz AS é de 10°. Calcular os 
ângulos internos do triângulo; saffeindo que a di-
ferença en tre os internos B e C é a terça parte de A. 
39 
O teo-rema 5 nos permite escrever 
B-C 
ângulo HAS ---
A 
10 = 
B-C 
2 
2 
O problema diz que · , 
' 1 . . 
B-C =--A, então 
3 , 
. ·-- - ' 
_l_ A = 20º e A = 60º 
3 
A lei angqls,tr _de '.fale~ . diz que 
. Sep.do 
' " ..... 
A + B + C = 18ô<>· : 
60º + B + O = 180° ou 
B.+ C = 12(!0 
t ~ • 
·, ··~ ' ~. • ' • ,, • • r 
B ~ C· = · 20° ler.emos ·: 
..l ! \ 
:B ··· 70º e C=50º . 
40 
7) No triâgulo ABC, o ângulo que as bissetrizes in-
ternas AS e CM formam entre si é de 1120°. Calcular 
o ângulo formado pela altura AH com a bissetriz AS, 
sabendo qué o ângulo A elo triângulo é o quíntuplo 
do ângulo c. 
O teorema 7 diz que 
B 
ângulo APC = 90° + --
2 
No caso do 'problema 
B 
120º = 90º + --
2 
B 
--·= 30° e B = 6()-0 · 
2 
Sabemos que 
A+ B + C = 180° 
De acôrdo com os dados do problema 
A = 5 C e então: 
5 e + Wo + e = 1so0 ou 
6 e = 12-0º e e = 20° 
41 
Finalmente 
A= 5C = 100° 
O ângulo· 
lemos: 
B-C 
HAS sendo - --
2 
60º-20º 
HAS = ---- = 20º 
2· 
8) Sendo dado o . triângulo ABC, tal que B = 30°, 
C = 80°, transportam-se sôbre AB, o·s comprimentos 
AD e AE, iguais a AC. Depois ligam-se os pontos 
E e D a C. CalcuJ.aros ângulos ADC e BEC. 
e 
C. Naval -1959. 
De acôrdo com os dados do problema os tr~ângulos 
ECA e CAD, são isosceles . 
Temos então que 
Mas 
_AEC :+ ECA = 180° - 70° = 110º 
AEC·= ECA então 
AEC + AEC = 110º e 
AEC = 55º 
42 
, 
· O f.rngulo ·BEC ~ s1tpH~!nenki dn AngulO'AEC, cHlâo 
BEC = 180° _:_ AEC = 180°' - 55° = 125º 
Por outro lado o ângulo CAD é suplem.cn to do ân-
gulo EAC (700) 
Então 
CAD = 180º - 70º = 110º 
Temos que 
A.CD = ADC e também: 
ACD + ADC = 180° - 110° . 70° 
2 ADC ·= 70° e 
70° 
ADC =-= 35° 
2 
9) No triângulo retângulo ABC a bissetriz do ângulo 
reto f.az com a hipotenusa dois ângulos cuja dife. 
rença é ·40°. Calcular os ângulos agudos do ttiângulo. 
O teorema 4 diz que . 1 • • 
n1 - n = B-C ou 
Atendendo a que B + C = 90º, por ser retângulo o 
triângulo, leremos 
B --:-_C . 40º . e 
. - . '~ . .. ·' 
B + e: ·h uo~ ~.rl<~ 
cuja solução dá 
B = 65° e C = 25° 
43 
....... ·· 
' _, 
1'-----
10) NuIU triângulo retângul<> A8C, a diferem;a e.nl1·e o~ 
ângulos ·agudós é de 38°. Calcule os dois ângulos for-
mados pela hipotenusa BC com a m ediana AM re-
lativa à hipotenusa. 
E.N.C. Dulra - 1953 
O problema diz que 
B - C = 38º 
Já vimos que 
B + C = 90° (no triângulo retângulo) 
Essas duas equações dão 
Como 
B = 64° e C = 26° 
A1 =~ 
2 
os triângulos MAB e MAC são isósceles. O ângulo B 
sendo 64º o ângulo BAM também será 64° e o ângulo 
AMB, terá para valô'r: 
AMB = 180° - 2 X 64° = 52º 
44 
31 
' f" 
....L-°il 
-r 
1' ( __.-;;, 
_J K 
Do mesmo modo, o ângulo C, senJo igual ao ângulo 
MAC, ambos val.em 26° e o â1ngulo AMC, valerá: 
AMC = 180º - 2 X 26 = 128° 
O resultado poderia i.er sido obtido se achássemos 
o suplemento do ângulQ AMB. 
EXERCfCIOS A RESOLVER 
1) Com os segmentos de 8m 5m ·e 12m, pode-se cons-
truir um triângulo? 
RESP.: Sim, porque 12 < 8 +5 
2) Os lres ângulos de um triàngulo medem em graus, 
resp-ectivamente x + 36°, 2 x - 15° e 3 x - 39°. Cal-
cular os tres ângulos . 
3) Num triângulo escaleno, cada ângulo agudo excede 
o precedente de 10º. Calcular os ângu~os do lriângu10,. 
RESP. : 50° 60' e 70° 
~ 4) Calcular os lados de um triângulo isosceles cujo 
semi·perímelro é 12m, sabendo que a soma da base 
oom um dos outros dois lados é igual ao triplo do 
terceiro lado. · 
REsP. : 6m; (im e 12m. 
5) No triângulo ABC o ângulo A mede 45°. Calcular os 
ângulo·s desse triângulo, sa1)encfo que o ângulo B é o 
quádruplo do ângulo C. 
HESP. : 27º e 108° 
45 
-----
- -~ ~--- -
6) Calcular os ângu los internos de · um triângulo ABC 
sabendo qu~ a soma dos exlemos .B' e C' é igual a. 
2z10° e que o · interno H é o tdplo do interno C. 
REsP.: A= 60°; B = 9·0° e C = 3()0 
7) Calcular os ângulos de um triângulo ABC sabendo 
que o externo B' excede C' de 300 e que o interno C 
é o triplo de B. 
RESP:: A= 120°; l3 = 15° e e= 45º 
8) Um ângulo externo da base de um triângulo isós-
celes vale 105°. Calcular o ângulo do vlértkc. 
H.ESP.: 30° 
9) Num triângulo retângulo, um ângulo agudo é o dobro 
d'o outro. Calcular os ângulos agudos do triângulo. 
R.EsP. : 30° e 60º 
• . 10) Num triângulo isósceles o ângulo do vértice é 4/ 5 de 
um ângulo externo da base. Calcular os ângulos dêsse 
triângulo. 
HEsP.: A = 120º; B = e= 30° 
11) A razão entre os ângulos agudos de um triângulo re-
tângulo é 2/3. Calcular êsses ângulos. 
~ 12) 
RESP. : 36° e 54° 
Num triângulo ABC, o âugulo HAS formado pela 
altura AH com bisselriz interna A<;;, é de 10°. Cal-
cular os ângulos inte11nos do Lriàngnlo sendo o ân-
gulo c igual a ~1~ do ângulo 13. 
HESP.: A=80; B = (i0° e C = 40" 
46 
o 
• 
*· J 8) :No lriàngulo ABC cakular o â:nguJo fol'mado pela 
altura AH com a bissetriz AS, quando a diferença 
entre os ângulos que a bissetriz AS forma com o ladu 
oposto BC é de 20º. RESP.: 10º 
-Jt- 14) Nnm triângulo relâuguLo isósceles calcular o âu-
~ 
gulo que formam ns bissetrizes internas de dois ân-
gulos desiguais. 
E.N.C. Dulra - HJ51 RESP.: 112° 30' 
15) ~um lriângnlo isoscelcs ABC o ângulo externo cm 
(A) é igual a um quinto da soma do·s o:utros dois 
ângulos externos (cm B e em C). Calcular os ângulos 
internos dêsse triângulo. 
E .N.C. Dutra - 1953 REsP.: 120°; 30º; 30° 
~16) Na figura abaixo CD é a bissetriz do ângulo ACB. 
Qual o valor do âng11J.o x 
• 
17) 
E.P.C.Ar. - 11951 HESP. : X = 80° 
O ângulo das bissetrizes d.as ~ju;el1+~@ 1;; <l.os ângulos 
da base de um triângulo isosceles é igual ao lriplo 
do ângulo do vértice. Qual o valôr dêsse ângulo em 
graus. 
C. Naval - 1959 RESP.: 36" 
18) Na figura ABC e DBC são triângulos isósceles. O ân-
gulo BAC é o quádrnplo do ângulo ACD. Calcular 
47 
" 
+ 
- .. -• ----
.Q ângulo HA ' saL 11<.l o. se que ~ soma dos ângules 
da base do triâ_ngµl o DRC vale 00°. 
B IC--------3. e 
C. Naval - 1961 RESP.: 80° 
19) Os âingulos inlernos de um triângulo medem 80º, '10º . 
e 600. Calcular os ângulos internos do triângulo for· 
mado pelos suportes das bissetrizes externas 
do triângulo dado. 
c. Naval - 1963 H.ESP.: 50º; G(r e 70º 
20) No triângulo ABC as bissetrizes internas AS e CM, 
formam wn ângulo de 118° 15' 37" e o ângulo c 
do triângulo é a têrça parte do ângulo A. Calcular 
o ângulo que a bissetriz externa AT faz oom a altura 
1 AH do tr1iângnlo. " HEsP.: ~ jV 31 ",25 f = '7'1º10 11,3// l! &: 2ief.,c """" Ci/lLõ 
2_!) Num ~â1~lo retângulo ABC a mediana AM faz 
com a hipotenusa dois ângulos cuja diferença é de 
4Q<>. Calcular os ângulo:; agudos do tdânanlo. 
22) 
RESP.: 55º e 35° 
Num triângulo retângulo a allura e a bissetrizdo ân-
gulo relo formam enh'e si um ângulo de 200. Cal-
cular os ângulos agudo~ do triângulo retângulo. 
HESP.: 25º e 65° 
48 
'! 
ll 
• ~0) , :?'\a figura, exprimir . ü . à ngulo x, em função d ç, ân-
gulo m , n e p. · 
24) 
' . 
HESl'. : X= 111 + ll - p 
Num. kJângulo ABC, 0 ângulo B = 35° e o ângulo 
C = 75°, as alturas relativas aos lados AB e AC cor-
tam- e em I. Calcular o ângulo BIC. 
"' ,.. 8-+-C "/do" 
HESP.: 110° 
+ 25) Na figura os segmon los Al\l e AN são iguais. Expri-
miro ângulo~: CTT. função de a e b. 
49 
e 
K"-b 
RESP. : X = - ---
2 
<!.- Ir 
Jt-- -
- '%.-
( go0 - ( â. + Ú) 
2.. 
t 26) Num triâp.gulo acii1àngulo isosceles tLJn àngulo é o 
quádruplo do outro. Qual o m enor ângulo do 
triângulo? 
C. Naval - 1957 HESP.: 20º 
27) Qual 'O ângulo formado pelas bjsselrizes dos ângulos 
agudos de um triângulo retângulo? 
C. Naval - 1957 RESP.: 135° 
so 
11. 
PARALELAS 
Dua'S retas sã<0 · para(elus quando, situadas no mesmo 
plano, não tem ponto comum. 
{ Teor~ma t} 
Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas. 
M 
A. ,. e 
90º 
B D 
FIG. l 
Na figura 1 
AC e BD - retas perpeiudicuJares à MN. 
Conclusão 
AC e BD são rela~ paralelas. 
Postulado de Euclides 
Por um p onto fora de uma rda só podemos Lra çar uma 
paralela a essa reta. 
Conseqüência 
Duas relas paral elas a urna terceira são paralelas 
entre si. 
Concluimos que : desde que várias retas sejam paralelas 
a uma reta da da, são paralel as entre si e constituem um 
feixe de para/elas. 
l Teorema 2J 
Quando duas r-eías para l~las são cortadas por uma lrans-
v_erbsal qualquer,. os quatro ângulos agudos são iguais entre 
s1, em como os quatro obtusos. 
M 
p' 
FIG. 2 
Na figura 2 
MM' e N N' - r e tas paralelas 
PP" - t ransYersal 
a , e, p, m - ângulos ag udos ( iguais) 
h, d , n , q - â ngulos oblusos (igua is) 
Sl 
N' 
allernos intcmos : li e q; e ·e m (são iguais) 
alternos externos: a e p; d e n (são igll li is ) 
'CO<laterais inlemos: ·b e m ; e e q (sup1 em entates) 
colaterais externos: a e n; d e p ('suplemen tares) 
correspondentes: a e m; b e n; d e q; c e p (são 
iguais) 
É preciso noiar que as relações acima estabelecidas só 
se verificam 1s·e as relas iMIM' e NN' forem paralelas. No caso 
de não serem .paralelas, os nomes dos ângulos são os mesmos 
mas, repetimos, não são ,1guais: os alternos externos; ou os 
alternos internos nem <>S correspondentes, assün como os cola-
l·erais internos ou externos, não 1são suplementares. 
/ Teorema 3] 
Dois segmentos paralelos compreeJ;ldidos entre retas 
paralelas são iguais. 
A B M 
e N 
FIG. 3 
Na figura 3 
M e N são duas retas paralelas 
AC e BD - scgm r nt os pa ralelos compreeindi~os · entre 
paralelas. 
Conclu.~ão 
AC= BD. 
53 
APJ:.-lCAÇÃO . DA TEORIA DOS PARAf .. ELOS, AQS 
ÂNGULOS 
Ângulos de lqdos Jlaralelos 
-
_._1 _T_e_o-re_n_1_a_4~\ 
.. · Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são 
iguais quando agudos e suple1J1.enta1'es, q;uando um é agudo 
e i0 outro obtuso. 
/\ /1 
1.• ô= e>' 
0 1 L-L------- D 
º'--L-------'õ 
FIG. 4 
A /\ iJ o 
o+o'=./oo 
FIG. 5 
Na figura (4) temos os ângulos AOB e co~n com ·os lados 
OA paralelo a O'C e OB p·aralelo a O'D. Como os ângulos são 
menores que 90°; são agudos. 
Relação 
ângulo AOB =ângulo CO'D 
Na figura 5 temos os ângulos PQQ e NMR com os lados 
OP e MN paralelos, assim como os lados OQ e MR. Conw .. 1up: 
dos ângulos é agudo (POC) e o outro obtuso (NMR) temos a · 
Relação 
ângulo POQ + ângulo NMR = 18(Y> 
54 
1 • 
Anaulo.s de lados nerpendiculares 
ITeoremiJ] - = · · · · 
· · Dois ângulos de lados respectivamente p erp endicular~s 
são iguais se ambos forem aguld<?s e suplementare& se um for 
agudo e outro obtu's.o. 
A A " O I o -:: 1.0 caso 
o ..:......JL------ f) 
FIG. 6 
2.0 caso 
~o' 
;\ " .1 -o o +-0'::::7 80 
o F 
FIG. 7 N 
l 'T'' . Os ângulos AOB e CO'D da figma 6 têm os lados AO e 
CO' perpendiculares, assim como os lados OB e O'D. Como 
são ambos agudos temos a 
Relação, 
ângulo AOB = âng1:1lo CO'D 
55 
No caso da figura 7 os ângulos EOF e MO'N teem os 
la<los OE e O'M perP'endicuiares, assim como os lados OF e 
O'N. Como o primeiro é agudo e o segundo obtU'so, temos a 
Relação 
ângulo EOF + ângulo MO'N = 180º 
EXERCtCIOS · RESOLVIDOS 
1) Duas paralelas cortadas por uma transversal, for-
mam qua1tro ângulos agudos e quatro obtusos. A 
soma dos ângulos agudo'S é 201° 22' 8 ". Calcular 
um dos â1ngulois obh.Jsos. 
e. 
. o teorema 2 diz que os ângulos a, e, m e p são iguais. 
Como a soma dêles é 201° 22' 8", cada uni dêles 
valerá a quarta parte da S'Qma ou 
a = e = m = p = 50° 20' 32" 
Por outro l'ado os ângulos a e n, são colaterais exter-
nos; b em são colaterais internos; d e p e e e q idem 
e, p·ortanto, são suplementares. 
Então: 
a .+ n = b + m = d + p = e + q = 180º 
(S1Uplementos de ângulos igÚais; a, e, m e-p) e 
b =d= ll = q = 18()º - 50° 20' 32" -;-
= 129° 39' 28" 
56 
2) Duas paralelas cortadas por uma transver'Sal, for-
mam ângulos internos d-0 mesmo lado do.s quais um 
excede o outro de 30º 27'. Determinar esS'es ângulos. 
Internos do mesmo lado, são colaterais internos, que 
vimos serem suplementares. 
Então o problema passa a ser: "determinar dois ân-
gulos suplementares, cuja diferença é 30° 27' 
Assim sendo: 
X - (180 - X) = 3()0 27' OU 
x= 105° 13' 30" e 74° 46' 30" 
3) Calcular os ângulos externo's do mesmo lado, forma-
mados por duas paralelas cortadas por uma trans-
versal, sabendo-se que a soma dos ângulos agudos 
formados por essas retas é igual a 160°. 
Se os quatro ângulos agudos somam 160°, cada um 
valerá 40°. 
O problema se refere a ângulos externos do mesmo 
lado, que são 1os colaterais externos, que vimos se-
rem suplementares . 
Então; o outro ângulo procurado é 
180° - 40º = 140º 
4) Duas paralelas, cortadas por uma transversal, for-
mam um ângulo de 37°. Determinar todos os ângulos 
da figura. 
O teorema 4 diz que são quatro ângulos agudos e 
quatro obtusos, iguais respectivamente. 
Pelos dado~ do problema, quatro valem 37°, resta-
-nos determinar os outros quatro, que são iguais. No 
problema 1 vimos que um agudo e um obtuso são 
suplementares, então os obtus06 serão de 
180° - 37° = 143° cada um. 
57 
5) D uas paralelas, cortada~ por uma transversal, f ot-
mam angul•os, alternos mternos expressos em graus 
por~ x - ~º e 3 x + 2°, respectivamente. Determi-
nar esses angulos. 
Vimos que os ângulos alll'n10s-inlernos são igua.is. 
Então 
5 X - 4o = 3 X + 2º e 
x=3º 
Os ângulos serão : 
5 x 4º, substituindo x por 3, isto é 
5 X 3 - 4° = 11º 
A substituição de x por seu valor em 3 x + 2º d · · 11 o · t ' ' , ana 
, vis o que os ângulos são iguais. 
6) :puas ·retas, cortadas por uma transversal, formam 
a~gulos correspondentes expressos em graus p·or 
2 + 3 ~ e 4 x - _ 7~, res·pectivamente. Para que aG 
retas seJam paralelas, quanto deve mediT êsses ân-
gulos? 
Para que as retas. sejam paralelas, os ângulos cor-
respondentes prec1s(lm ser iguais. 
Então: 
2º + 3 X = 4 X - 7o e X = 9º 
E o ângulo será 
2° + 3° X 9 = 29º 
7) As ~issetrizes dos ângulos B e C de um triânguk> 
acutangulo ABC formam um ângulo de 128º. Deter-
5-S 
minar os ângulos formados l)~l~s · aitt~Tas traçadas 
dos vértices B e C. 
A U......-.l.----~---------=--C 
H 
Na figura, BM e CM' são as bissetrizes dos ângulos 
B e C, que formam o ângulo BPC = 128°. 
BH e CIP são• as alturas traçadas dos vértices B e C, 
cuj os ângulos BRC e HRC, queremos calcular. 
Vimos, no capítulo, triângulos, que 
A 
ângnlo BPC = 90° + -- e 
2' 
A 
128º = 90º + -- e 
2 
A=76° 
Os ângulos BAC e HRC tem os lados perpendi-
culares (BH perpendicnlara AC e CH' perpendicular 
a AB). 
O teorema 5 diz que esses âng ulos são igua is; então 
HRC =A= 76° 
O ângulo BRC s•erá 
180° - 76° = 104° 
59 
_EXERCfCIOS A RESOL-VER 
1) Um dos ângulos formado por uma transversal com 
duas paralelas mede 38º 15'. Calcular todos os 
outros ângulos. 1,<çte 
REsP.: 141° 45' 
,i.l .:U- ..J-f o ~ .J- / 
2) A diferença entre dois ângulos colaterais internos 
formados por duas para:elas c.om uma transversal é 
de 60° 23' 32". Calcular todos os ângulos da figura. 
RESP.: 120° 11' 46" e 590 48' 14" 
4tá ?" 'f ç4- ~ 
3) Calcular os ângulos externos do mesmo lado forma· 
dos por duas pa-ralelas cortadas por uma transversal, 
sabendo-se que a soma dos ângulos agudos é de 204°. 
REsP.: 51° e 129° 
4) Duas paralelas cortadas por uma transver3al, formam 
um ângulo de 153° 29' 15". Determinar os outros 
ângulos da figura. li- 4-
RESP. : 26° 30' 45" 
.L- 'I µ._ / r-:r .2.. "/" 1.r,, 
5) Duas paralelas cortadas por uma transversal, for-
mam dois ângulos colaterais internos expressos em 
graus por 5x + 25° e 2x - 20°, respectivamente 
Calcular os ângulos da figura. 
REsP.: 30° e 150° 
6) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal 
formam dois ângulos colateráis internos que podem 
ser representados por 3x - 50° e 2x + 100. Cal-
cule o me11or dêsses ângulos. ~ 
1.E. - 1951 RESP. : 82° 
7) Dois ângulos são cola erais internos e um dêles tem 
mais 64° 42' que o outro. Calcular os dois ângulos. 
RESP. : 1220 21' e 57° 39' 
60 
8) 
9) 
No triângulo ABC o ângulo que as bissetrizes AS e 
CM formam entre si é de 120°. Calcular os ângulos 
que as alturas traçadas dos• vértices A e C fazem 
entre si. 
RESP.: 60° e 120° 
As retas r e s- são paralelas. Cakule os ângul-os x, Y 
e z, sabendo que 
2 X + y + Z = 240º 
J.C. -1951 REsP.: x = 30°; y = 1500 e z = 30º 
61 
POL1GONOS. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E 
EXTERNOS. DIAGONAIS. PARALELOGRAMOS. 
'.I'RAPÉZIO. 
Polígono é a superfície plana limitada por linhas retas 
que se encontram duas a duas. A·s lin\has se chamam i/.ados 
do polígono. 
Os pontos de encontro de duas lii111has se chamam vértices 
do polígono. 
Os segmentos de retas que unem do.i·s vértices não con-
secutivos, são as diagonais do polígono. Os p-olígonos podem 
ser regulares ou irregulare-s; convexos ou não convexos tam-
bém chamados côncavos e entrelaçados 
Regulares: são os que têm os lados iguais e os ângulos 
iguais. 
Irregulares: são o.s que nã.o têm todos os lados iguais 
ou todO'S os ângulos igua1is. 
Convexos: são os que têm todos os ângulos salientes, 
Tôdas as suas diagonais são interiores. 
Não convexos Oll côncavo: são os que tem um ou mais 
ângulos reentrantes. Suas diagonais podem. ter partes inte-
riore'S •e parte exteriiorcs ou totalmente c:deri·orci:;. 
Entrelaçadas: são os que têm um dos se us lados cortado 
por outro. 
llm, polígono entrelaçado d sempre não conexo. 
Os polígonos se cu racterizam também pelo númcr-0 . de 
seus lados e muit.cs <lêl cs têm nomes e3peciais, dependendo 
daquele número de ladüs . Assim é que o polígono de: 
3 lad os é o triângulo 
-1 " " quadrilátero 
5 ,, ,, " pentágono 
6 ,, ,, " hexágono 
7 ,, ,, " heptágono 
8 " ,, ,, octógono 
9 " " _eneágono 
10 " ,, ,, decágono 
11 ,. ,, " undecágono 
12 ,, ,, " dodecágono 
15 ,, " " pentadecágono 
20 " " icoságono. 
No caso d·e ter um número de lados diferente dos citados 
não tem nome especial; são denominados: polígono de treze 
lados; polígono de quarenta lados; etc. No caso do polígono 
ter todos os lados iguais é dito equilábero. Se apenas os ân-
gulos forem iguais, e chamado equiângu[O; 
Ângu lo interno. de um polígono ou ângulo de um poli -
gono, é o ângulo formado p or dois lados consecutiV'OS 
do polígono, na superficie por êle limitada. Seu valôr, no 
caso do polígono ser equiângulo é: 
180 (n - 2) . (ângulo interno). i = , sendo n o numero 
n 
de lados do polígono. 
Ân ulo externo de um 'JO/í o·no é o ângulo formado P'or 
um de seus a •os e o prolongamento elo lado adjacente. 
63 
Seu valor, no caso do polígono ser equiângulo é . 
360º (ângulo externo) e=-·----, sendo· no número cfo 
n 
lados do polígono. 
T,eorema 1 
A soma dos ânguJ.os internos de qualquer poligono con-
vexo é igual a tanta> vêzes dois ângulos retos (180°) quantos 
são os lados menos dois. 
Relaç·ão 
Teorema 2 
Em todo polígono convexo a soma dos ângulos externos 
é igual a quatro ângulos retos. 
Relação 
s. = 36()0 
Teorema 3.. 
Em qualquer polígono a soma dos ângulos interno e ex-
terno é 180°. 
Relação 
i +e= 18()<> 
Teorema 4 
A soma de todos os ângulos externos e .internos de um 
polígono é igual ao número de lados do polígono, multipli· 
cado por dois ângulos retos. 
Relação 
Si + S. = n X 180° 
64 
'.l'eorema 5 
O número de diagonais distintas de um polígono é igual 
à metade do número de lados multiplicado pelo número de 
lados menos três. 
Relação 
Teorema 6 
n (n-3) 
(n.º de diagonais) D = ----
2 
De um mesmo vértice podemos traçar tantas diagonais 
quant·os frorem os lados do polígono, menos três. 
/ 
/ 
/ 
/ 
Na figura 1 
/ 
/ 
ABCDE - pentágono irregular convexo. 
A, B, C, D, E - vértioes dr0 polígono 
AB, BC, GD, DE, EA - lados do polígono 
65 
. ----- --- - -
p , q, l', s, l -- ângulo~ internos do polígoJHl 
· p ', q', r', s', t' - ângulos externos do polígono 
AD, AC - <fiagonais traçadas <lo vértice A. 
Relação 
n.0 de diagonais de um vértice = n - 3 
Poligono não convexo (fig .2) 
e 
FIG. 2 
POiígono l"11frelaçllt/o (fig. 3) 
FIG. 3 
66 
QUADRILATEROS 
Paralelogramo 
D 
Na figura 4, temos 
ABCD - paralelogramo 
FIG. 4 
AB, BC, CD e AD - lados do paralelogramo 
AH - altura do paralelogramo 
AC e BD - diagonais do paralelogramo 
A, B, C e D - vértices do pam!elogramo • 
1 - interseçã-o das diagonais é o centro de simetria do 
paralelogramo. 
[Teornma 1 L 
Os lados opostos de um paralelogramo são iguais e os 
ângulos opostos também. 
Relação 
\Teorema 2 l 
lados AB = CD e AD= BC 
ângulos A = C e B = D. 
As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao 1neio e 
são diferentes. 
Relação 
Al = lC e lB = l l> 
AC # RD 
,., 
{~eoçemn f} 
Qualquer diagonal de um paralelogramo divide-o em doi s 
ti·iângulos iguais. 
Relação 
l Te-0rema 4] 
tdângulo ADB = triângulo BDC ou 
triângulo ADC = triângulo ABC 
A soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é 
igual à sorna dos quadrados dos diagonais. 
R.elação (fig. 4) 
AB2 + BC2 +· CD2 + AD2 = AO + BDZ 
O retângulo o losango e o quadrado são paralelogramos 
eispeciais, que gozam das propriedades anteriores (teoremas 
1, 2 e 3) e mais as seguintes·: 
R etdngu.lo 
FIG. 5 
Na figura 5 
ABCD - retângulo 
AB, BC, CD e AD - lados do retângulo 
A, B, C e D - ,~é rtices do retângulo 
AC e BD - diagonais (ir1uais) 
Ângulos A, B, C e D - r otos. 
61 
Na figura 6 
ABCD - losango 
A 
e 
FIG. 6 
AB, BC, CD e AD - lados do losango (iguais.) 
AC e BD - diagonais (diferentes e se cortando em ân-
gulo reto. São bissetrizes dos ângulos). 
MN - altura do losango 
Quadrado 41 
D"------~c 
FIG. 7 
Na figura 7 
ABCD - quadrado 
AB, BC, CD, AD - lados do quadrado (iguais) 
A, B, C, D - vériic1C's do quadrado 
69 
""' 
. AC e .Bb - diagonais Jo quadrado são iguais, e se cortam 
formando um ângulo de 90°. São bissetrizes dos ângulos do 
quadrado). 
A, B, C; D - ângulos do quadrado (retos) 
'!:_rapézia .. 
lsosceles 
(d) 
Retângulo 
(b) 
l!scal~I'º 
( e: ) 
FIG. 8 
70 
Na figura 8 
Temos os três tipos de trapézio: Isósceles (a); retângulo 
(b) é escaleno (e). 
Em todos 
AB e CD - são os bases do trapézio 
AD e BC - são as contra-bases ( 1 a-~ ~ f~)AC e BD - são os diagonais 
MN é a base média do trapézio expressa por: 
MN.= AB+DC 
2 
Ela divide ao meio as contra-bases. 
PQ - segmento de reta que une os meios das diagonais. 
É paralela às bases AB e CD e tem para valôr 
PQ=DC-AB 
2 
No trapézio isosceles (a) as contra-bases são iguais. 
Os ângulos da base são iguais. D= ê e Ã. = Í3. 
No trapézio retângulo (b) uma das contra bases faz ân-
gulos de 900 com as bases AB e CD que são paralelas. 
No trapézio escaleno (e), as contra bases são diferentes. 
AH e AD são as altul'as dos trapézios. 
]'eqrema 5 } 
A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é 
igual a soma dos quadrados dos lados não paralelos, mais 
duas vezes o produto dos Jados paralelos. 
-l-
?? ~ 11 
e 
- ~ - -
Relação 
AO + BD2 = AD2 + BO + 2 AB X DC. 
/ '[;_e.orema 6lE\i'fer) / 
>f' A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero 
qualquer é igual à soma dos quadrados das diagonais, mais 
quatro vêzes o quadrado dá reta qu·e une o meio das diagonais. 
A 
e 
.D 
FIG. 9 
Na figura 9 .. 
ABCD --=-- quadrilátero qualquer. 
AB, Bc, ·cn e :AD;__ lados do quadrilátero 
AC ,e BD ~ diagonais 
· ·EF - rela que Une .os meios .das diag<mais. 
Relação 
AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2 + 4EF' 
l teorema z1 
As diagonais de um pentágono regular se cor!am em mé-
dia e extrema razão. · 
72 
; 
FIG. 10 
Na figura 10 
M~ 5'..e~ -~~ 
ABCDE - pentágono regular 
AC e BE - duas de suas diagonais 
M - ponto de inle1'Seção das diagonais. 
R edação 
( .:\1C2 = AC X Al\II e {se= CM 
EXERCíÇIOS RESOLVIDOS 
1) Quanto mede o ângulo intern.o de um pentadecágono 
.regular? · 
A fórmula que dá o ângulo interino de um poligono é: 
180 (n-2) L=----- então: 
n 
180 (15- 2) 180 X 13 
! = ------
15 15 
= 12 X 13 = 1:56º 
2) Quanto mede o ângulo externo de um icoságono 
regular? 
A fórmula que dá o valor do ângulo externo é: 
360 
e=--, então 
n 
360 
e=--= 18° 
20 . 
31 
3) O ângulo interno de um polígono regular é -- do 
2 
4) 
externo. Qual é o poligono? 
O problema nos permite escrever: 
. 3 
1 =--X e ou 
2 
180 (n -2) a 360 
- ----=-- X -- ou 
n 2 n 
3 
180 (n - 2) = - X 360 ou 
2 
n-2=3 e n=5. 
O polígono é o de cinco lados, .isto é, o pentágon-0. 
Determinar o valor do ângulo formado pelos prolon-
gamentos dos lados AB e CD de um dodecágono 
regular. · 
X"a figunt t"!i láu i·e_p.reserilaâos apenos 3 lados d6) 
dodecágono e os prolongamentos dos lados AB e CD, 
que se encontram t>m M. Vamos calcular o ângulo 
AMD. 
O ângulo interno d-0 polígono vale : 
180 (n - 2) 180 X 10 
i = = = 1500 
n 12 
Conseqüentemente o ângulo MBC e MCB, que são 
iguais, porque o triângulo BMC é isosceles, vale: 
180° - 150° = 30° 
A lei angular de Thales aplicada ao triângulo BMC 
dá: 
ângulo M = 180° - 2 X 30° = 120º 
5) As bissetrizes internas AM e CM dos ângulos de um 
polígono regular ABCD ... , se encontram no ponto 
M. Calcular o número de lados do poligono, 
· sabendo que o ângulo M é igual ao ângulo interno 
do polígono. 
A 
:Br-_____ c 
/ 
/ 
/ 
/ 
---+-1M 
:\la figura, ABCM é um quadrilátero, no qual o ân-
gulo M é igual ao ângulo B (interno). Os ângulos 
:.vrAB e MCB são metade do ângulo interno do polí-
gono cujo número de lados queremos calcular. 
75 
A soma (tos ft ng lll.t)S i.p.IC' t·n.os (lo. qtHHlrüútc.ro ABCJ\I 
·é 360º. Então · . · · · · · · 
(ângulos) MAB + ABC + BCM + AMC = 360° 
i . i . 
-- + l +-- + l = 360 ou . 
2 2 
36()<> 
3i = 360º e .i = -- = 120° 
3 
. 180 (n-2) l = ----- teremos 
n 
l20º = 180(n -2) .·· 
n 
ou 
120°n = 1800n - 360° ou :3.60° = 60ºn e 
360º 
n = ---=Ô 
60º 
O p olígono é pois o hexágono. 
6) Prolongando-se os lados AB e CD de um polígono 
regular convexo ABCD .... encontra-se em ângulo 
de 6()0. Qual é o polígono ? 
M 
6 
// 60° ', 
/ \ 
.B /" ' e 
A 
76 
1 
7) 
Pelo enunciado do problema, o ângulo ~1 é 00°. Por 
ser regular o poligono, MB e MC sã-o iguais e o triân-
rtnlo MBC é, em princípio, isósceles. Sendo assim os 
ângulos MBC e MCB são iguais e valem juntos (lei 
angular de Thales). 
Cada um deles valerá pois 
120º -7- 2 = 6()0 
Vemos assim que o triângulo MBC é equ.ilálero. 
O ângulo interno B ou C do pol1gono va lerá 
180° - 60° = 120º 
Teremos então: 
180 (n - 2) 
1'..::-0º = 
Jl 
n =6 
e 
O polígono é entã•o. o hexágono. 
Dois polígonos regulares. P e Q têm respectiva-
mente n e n + 1 lados. O ângulo interno do polí-
gono P excede o ângulo externo ao polígono Q de 
95º. Qua·is são os polígonos. 
O ângulo interno do polígono P é expresso por: 
180 ( n-2) 
i =-----
p n 
O ângulo externo do po lí gono Q é r eprcscn tado por: 
·36() 
E:' =---
Q · 11 + 1 
77 
--
- -.. - -·- ~----
Corno a diferenca entre eles é 95º teremos · 
. ' . 
180 (n - 2) 360 
- --- = 95° ou 
n n+l 
180 (n + 1) (n - 2) - 360 n = 95 (n) (n+l) ou 
36 (n2 - n - 2) - 72n = 19 n 2 + 19 n ou 
17 n2 - 127 n - 72 = O 
cujas raízes são: 
18 
--- (que não serve) 
14 
O polígono P tendo 8 lados o polígono Q lerá 8 + 1 
ou 9 lados. São, portanto, o octógono e o eneágónó. 
8) Dois polígonos P e Q são tais que o ângulo externo ?e P é igual à vigé'Sima .parte da soma dos ângulos 
iinternos de Q e o ângulo interno de P é o triplo do 
ângulo externo de Q. Diga quais são êsses polí-
gonos (Thiré). 
Chamemos de p e q os números de lados dos polí-
gonos P e Q respectiV'!lmente. 
O problema diz que: 
360 1 
--= - X 180 (q-2) (A) e 
p 20 . 
180 (p - 2) 360 
- - - - -= 3X -- (B) 
p q 
As equações {A) e (B) formam um. sistema qne re-
solvido dá o valôre de p e q. 
Assi.D~,, a.$ equ~-0-~s (A) ti (B) · p.odem to.mar os 
aspectos: 
j~ = 180(q -2) Ull p 20 
1 180 (p ~ 2) -:: ~ Oll 
l p q 
ou ai nela : 
{
-W = ·~q-2~) 
pq - ~q = 5p Oll 
(C) 
(p - 2) q =fl p 
q = 6,p 
p-2 
(D) 
e 
Substituindo o valor de q da equação (D) , na equação 
( C) teremos: 
40.= p X 
6p 
-2p 
p - 2 
• 
10 = 
6p 
- 2p ( 111 
p - 2 
4Up - 80 = 6p2 - 2p2 -\- 4p 
4 p2 - 36 p + 80 = () ()11 
p '.! - 9 p + zo = o ,. 
P1 = 4 e P2 = -
Com êsses valôres em D, vemos: 
011 
6X4 24 
·q, = = --= 12 
4-2 2 
6X 5 30 
q ~ = =--= 10 
5-2 3 
79 
ou 
e 
. Os polígonos . são pois: qlL~~~ra(.jp .r '-hi~l.~~ágcmo ou 
'· · pentágôno e decágono. 
9) A soma dos ângulos internos de um polígono t;On-
vexo é 9000. Calcule -o número de diagonais dêsse 
polígono. 
10) 
Como queremos saber 
pregamos a fórmula 
capítulo. 
D= n (n-3) .. 
2 
o número de diagonais, em. 
apresentada no início ·do 
(1) 
Verificamos, então, ser necessano o valor de n, nú-
mern de lados do polígono e para- calculá-lo veremos 
.que é dada a soma dos ângulos intel11os que é: 
S; = 180 (n - 2), então 
900 = 180 (n - 2) e 
Agora então levamos ê ·se valór em (1) e leremos: 
7 (7-3) . . 
D =-----= 1-1. drngona1s 
2 
Qual é o polígono em que o número de lados é igu~l 
ao número de diagonais? 
Sendo n o número de lados e D o ele diagonais, o 
problema nos 'Pem1ite escrever: 
n = D ou 
n (n - 3) 
11 = ou 
2 
n-3 
1 = --- ou 
2 
n = 5, isto e'·: o pentágono. 
80 
r 
. Dois polígonos P e Q, leem pa1:a númel'o de lados 
· doís números · ·inteiros e consecutivôs. A dife-
rença entre os números de diagonais ·dêsses polí-
gonos é 4. Quai'S são os polígonos. 
Podemos. dizer que um polígono tendo n lados o 
outro terá n + 1, lados. O que tem maior número de 
lados tem mais diagonais então o número «te dia-
gonais do que tem n + 1 lados será: 
(n + 1) (n + 1 - 3) 
D1 = ou 
2 
Di = 
(n. + 1) (n - 2) 
2 
O uúmero d e diagonais do de n lados é: 
n (n -3) 
D2 = 
2 
O problema diz qnecn lão 
(n+ l)(n - 2) n (n - :{) 
--------
2 2 
n'.! - n - 2 - n:: + 3n = 8 011 
2n = 10 e 11 = 5 (JJentúgono) 
Consequentemente o outro lerá 
n + l ou 5 + l = () (.hexágono) 
-- 1 ()li 
12) A soma e.la soma e.los ângulos .internos e ex ternos de 
um polígono é 1440°. Quantas diagonais podemos 
traçar nesse polígono? 
81 
Como queremos saber o númere de diagop.a~s, e.n1:-
pr~garernos a fórmula 
n = _n_(_n_-_3_) 
2 
Verificamos então preoisar conhecer 11 . Vimos tam-
bém que: 
S; + Se = 180 X n 
1440 = 1180 X u ou 
1440 . 
n =-- -= 8 
180 
Depois disso: 
então 
8 (8-3) D = = 20 diagonais. 
2 
13) Num paralelogramo, um ângulo obluso é cinco vêze-; 
um agudo. Calcular º'"' ângulos do paralelogramo . 
Um paralelogramo tem dois ângulos obtusos e dois 
agüdos, iguais respectivamente. Se chamamos o 
agudo de x, o obtuso ser á 5 x e então poderemos 
,escrever: 
x + 5x + x + 5x = 360° ou 
12 X. = 36()0 e X = 3()0 
.::onseqüentem en le 
5 X = 5 X 30º = 150º 
82 
14) Num paralelogramo ABCD, a diagonal AC forma com 
o lado AD um ângul<0> de 80° e com o lado AB um 
ângulo de 400. Calcular os ângulos do ·paralelo-
gramo. 
15) 
,__ _______ _.;yc 
Os ângulos A e C são iguais, hem oomo B e D. 
(Teorema 4) 
O ângulo A, valendo 80º + 40° = 1Wo, o C também 
valerá 
Como os quatro ângulüs valem 360° e A + C = 24-00. 
segue-se que B + D = 120° e como são iguais, cada 
um valerá 6()0. 
Os ângulos do paralelogramo são pois: 
60°, 60'1>, 120° e 1200 
Uma diagonal de um retângulo forma com um dos 
lados um ângulo de 36º. Calcular os ângulos que as 
diagonais formam ,entre si. 
Como os ângulos do r e tângulo são retos, se o ângulo 
DAC é 36°, o ângulo CAB será: 
90° - 36° = 54º 
83 
Por se cortarem ao meio as diagonais e serem iguais. 
os triângulos AMD e AMB são isósceles. Então o:s 
ângulO'.s DAM e MDA são iguais e valem 36° ca<la um. 
A lei angular de Thalcs nos permite calcu.lat o ân-
gulo AMD. 
AMD = 180° - 36° - 36º = :1.08° 
Como os ângulos AMD e AMB são suplementares, 
segue-se que o ângulo 
AMB = 180º - 108º = 72º 
Esise resultado po<léria :ser obtido alravés do triân-
gulo i'sósceles AlVIB cujos ângulos MAB e MRA são 
iguais a 54°, ficando para o ângulo 
AiMB = lWº -54°- 54° = 7 -º 
16) A altura de um losango forma com a diagonal menor, 
um ângulo de 40°; calcular os ângulos do losango. 
Na f.igura 6 do capítulo, o ângulo MOD ou BON é 
40°. Como os triângulos OMD e ONB são retângulos 
os ângulos MDO e NBC valem 500. Como· as diago-
nais do losango são bissetrizes dos ângulos, segue-se 
que os ângulos ADC e ABC valem 
2 X 50° = 100º, 
cada um. Os quatm ângulos valendo 360° e <loís va-
lendo 200° segue-se que os outros dois valerão 160° 
e como são iguais, por serem opostos, cada um me-
dirá SO°. 
Os ângulos do losango s:io pois: 
84 
. 1.7) 
I 
Um d.o.S ângulos . i.u lt>roos <le um. trapézio isósculcs 
é a metade du soma dos outros teês. Calc.ule os ân· 
gulos do trapézio. 
r 
Viimos que no trapézio isósceles, os ângu.Ios da base 
são iguais. 
O enunoiado do problema permite escrever: 
x+2y 
X =--- ou 
2 
2x = X + 2y OU 
x=2y 
Temos também: 
x + x + y + y = 3()() on 
2 X+ 2 y = ;:lf,() e X+)'= 180 
Oomo x = 2 y, te reinos : 
2y + y = 180 ou 
3 y = 180 e y = 60° 
Sendo 
x=2y, 
X = 2 X 60º = 120º 
Os ângulos são1 pois: 
85 
I ' 
· t8) A allui'a de um L1·apézio isósceles fo1·ma com w.m 
dos lados não paraleÍOs um ângulo de 30º. Ca l ~ular 
os ângulos dêssc trapézio. 
A 
A 
.D \-\ 
O .• ângulo DAH = 30° e o trapézio é isó~celes. O 
triangulo AHD é retângulo, logo o ângulo ADH vale 
900 - 30° = 60° 
(.os ângwlos agudos de um triângulo retângulo, são 
complementares). 
Sendo isósceles o trapézio, o ângulo C também vale 
60° e os ângulos A e B, que são iguais valerão: 
360º - 60° - 60º 
A= B = = 120º 
2 
19) Em um trapézio e:scaleno ABCD, cuja base maior é 
A~, o ângulo D é o dôbro do A e o ângulo B é a 
qumta parte do C. Calcule os ângulos do trapézio. 
O problema nos diz que: 
D = 2 A e B = ~ ou C = 5 B 
5 
86 
Sabemos que 
A+ B + C +D= 360° ou 
A + B + 5B + 2A = 360° ou 
3A + 6B = 360° 
A+ 2B = 120° (1) 
A figura CDEA é um paralelogramo e por isso os ân-
gulos C e E são iguais, assim como os ângulos A e 
CDE. 
Como ·o ângulo CDB é igual a 2A e o ângulo CDE é 
igual a A, ·segue-se que o ângulo EDB =A. 
Por outro lado o ângulo DEB é igual a 180-E ou 
180-C (E= C) 
No triângul•o DEB, .sabemos que: 
D + E + B = 180° (lei angular de Thales) 
Teremos então substituindo-se D e E pelQ,s seus 
valôres: 
A.+ 180 - C + B = 180 ou 
A + 180 - 5B + B = 180 
A=4B 
ou 
Sub:; liluindo-sc esse valôr em (1 ) , vem: 
4-B + 2B = 120° e· B = 20° 
Com esse Yalor Leremos: 
C = 5 B = 5 X 20° = 100° 
Na equação 
A + B + C + D = 360° ou 
A + 20 !- 100 + D= 360º ou 
A + D = ~40° 
87 
.W) 
Mas como D =2A 
A + 2 A = 240° e A = 80º e como 
D = 2 A teremos 
D = 2 X 80º = 160º 
A ba.se média de um trapézio tem 20 m e o perí-
metro 56 m. Calcular os dois lados não paralel·os sa-
bendo que a sua diferença é igual a 4 m. 
Sabemos que a base média é a semi-soma das bases; 
então: 
chamado B e b as bases do trapézio. Então: 
B+h=40m 
e como o perímetro é 56 m m; lados não paralelos 
medirão: ' 
56-40=16m. 
Se chamarmos um lado de x e outro de y, p oderemos 
escrever: 
x+y=16 e 
x-y = 4 
Teremos assim um sistema que resolvido dá: 
x = 10 m e y = 6 m. 
21) Em um trapézio isósceles ABCD, cujas hases AB e 
CD medem respectivamente 24 m e 16 m , pede-se cal-
88 
\ 
cular a base média e o segmento da base média com-
preendido entre as diagonais. 
A base média é: 
MN= AB+CD 
2 
MN= 24+16 
2 
ou 
=20m 
O segunda. elemento a determinar é: 
PQ= AB-CD ou 
2 
24-16 
PQ = =4m 
2 
22) Os lados de um quadrilátero medem 48 cm, 40 cm, 
30 cm e 14 cm respectivamente; uma diagonal mede 
40 cm e o segmento, que une os meios d~s diagonais 
15 cm. Calcular a outra diagonal. 
O teorema 5, de Eüler (do presente capítulo) nGs 
deu a relação: 
AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + 
+ BD2 + 4EF2 
No caso pres·ente, teremos: 
482 + 402 + 302 + 142 = 402 + BD2 + 
+ 4 X 152 ou 
2304 + 1600 + 900 + 196 = 1600 + 
+ BD2 + 900 ou 
5000 = 2500 + BD2 OU! 
BD2 = 2.500 e BD = 50 m 
89 
rp;' EXERCtCIOS A RESOLVER 
1 Quanto mede o ângulo interno de um polígono de 
14 lados, regular? 4 
RESP.: 154º 17' 8" --
7 
2) Quanto mede o ângulo externo de um octógono 
regular? RESP.: 45° 
3) 
4) 
5) 
O ângulo externo de um polígono regular é igual ao 
interno. Qual é o polígono? R Q d d ESP.: ua ra o 
Um polígono regular convexo tem para valor de um 
ângulo interno 157° ·30•; qual é o número de seus 
lados? RESP.: 16 
O ângulo interno de um polígono é igual ao triplo 
do ângulo externo. Qual é o polígono? 
REsP. : Octóg0ino 
6) Determinar o valor do ângulo formado pelos pro· 
longamentos dos lados AB e CD de um octógono. 
REsP.: 90° 
7) Qual é o polígono convexQ em que a soma dos ângu-
los internos é igual à soma dos ângulos externos? 
E.N .C. Dutra - 1952 REsP.: Quadrilátero 
8) A soma dos ângulos internos de um polígono regular 
é igual a 12600. Determinar o valor do ângllilo 
externo. 
9) 
C. Naval - 1951 RESP.: 40° 
Quanto vale o ângulo interno de um polígono regu· 
lar de nove lados? 
e. Naval -1952 RESP.: 140° 
'º 
, 
10) 
11) 
12) 
Quantos lados tem um polígono r-egu1ar cu.jo ân-
gulo exterior mede 15°? 
C. Naval - 1952 REsP. : 24 lados 
Trlês ângulos internos :le um pentágono convexo 
medem respectivamente, 108°, 100° 20' e 91° 40'. Cal-
cule o maior dos outros dois ângulos sabendo que 
êle tem 20º mais que o outro. 
I. E. - 1951 REsP.: 130º 
As bissetrizes AMe CM dos ângulos internos de um 
polígono regular ABCDEF ... , encontram-se no ponto 
M. Calcular o númevo de lados ao polígono, sa.oendo 
2 
que o ângulo M é igual a -- do ângulo interno. 
3 
RESP.: 8 lados 
13) Prolongando.se <>s lados AB e CD de um polígono 
regular convexo ABCD . . . obtem-se um ângulo de 
120º. Quantos lados tem eS!se poligono? 
RESP. : 12 lados 
.ifct.;r. 
ú'14) Os polígonos P e Q regulares, têm n e n + 1 lados, 
respectivamente. Dizer quais são os polígonos, sa-
bendo que o ângulo interno do polígono P mais o 
ângulo externo do 'Polígono Q, valem 168°. 
REsP.: pentágono e hexágono 
3 J'di.-' . 
15{ Três · polígonos têm respectivamente n, n + 1 e 
n + 2 la·dos. A sorna dos ângulos externos des~·es po-
ligonos é 2220. Quantos lados têm os polígonos. 
RESP. : 4, 5 e 6 
91 
17) 
• 18) 
Dois polígon-0s P · Q são tais que o ângulo e.1der110 
1 de P é igual a -- da soma dos üllernos de Q e o 
12 
ângulo interno de P é igual ao dôbro do externo de 
Q. Dizer quais são êsses polígonos. 
Calcular o 
Resp.: quadrado e octógono 
4x;J . ...e ~~ 
número de diagoííais do hexagouo. 
fu:SP.: 9 
Quantas diagonais ·podemos traçar do. mesmo vértice 
ue um ue~ág1.mo t 
fu:SP.: 7 
\.(,ua, o polig :. no LO qual se podem traçar 12 cLago-
na1s uo mesmo vér...i.ce t 
REsP.: pentadecágono 
2-0) Qual o va:or do ângulo externo de um polígono re-
guiar que tem 5 ciiag-..nais? 
e. Naval - 1957 RESP.: 72º 
) A diferença entre o ângulo intern'() e o externo de um 
polígono regu..ar é de 60°. Quantos lados tem o 
polígono? 
c. Naval - 1957 fu:SP.: 6 
Quantas diagonais tem ·o. poligono regular convexo 
cuja d.ferença entre o ângulo interno e o ângulo 
externo é 36°. 
C. Naval -1958 fu:SP.: 5 
92 
.,..24) 
( 
25) 
A s·oma dos ângulos internos de um polígono convexo 
é 1080°. Calcule o número de diagonais dêsse 
:polígono. 
I.E. - 1951 
fiESP.: 20 
Qual é o polígono em que o número de diagonais é 
o triplo do número de lados? 
l.E. -1952 REsP.: eneágono 
Qual é o polígono cujo número de lados é igual a 
1 / 6 do número de diagonais. 
E.N.C. Dutra - 1948 fu:sP.: pentadecágono 
Os números de lados de dois polígonos são dois 
números inteiros e consecuLl.vos. A diferença entre 
os números de diagonais desses polígonos é 10. 
Quaiis são esses polígonos? 
RESP.: undecágono e dodecágono 
Dois .p·olígonos 1P e Q te-em respectivamente n e 
n + 5 lados. Di:wr quais são os polígonos sabendo 
que os dois têm juntos 40 diagonais. 
RESP.: pentágono e decágono. 
~D . ' 28) A soma da soma dos ângulos internos e externos de 
r J-U- um polígono é 3.600°. Quantas diagonais se podem 
traçar nesse polígono? RES . 170 d" 's 
, f.<, VQ!Jfe4>~ ~ P.. iagona1 
2 Num paralelogramo o ângulo obtuso é igual à soma 
dos agudos. Quais sãos os ângulos do paralelogramo. 
RESP.: 60º, 60°, 120° e 120° 
Num paralelogramo ABCD, o diagonal BD forma 
com o lado BC um ângulo de 40° e com o lado DC 
um ângulo de 200. Calcular os ângulos do parale-
lo.gramo. 
RESP.: 60°, 6()0, 120° e 120° 
93 
1 . 
~1) Uma diagonal de Lun retângulo ifaz com um dos lados 
um ângulo de 50°. Calcular o:s ângulos que os diago-
/ nais formam entre si. 
/ 
32) 
33) 
5) 
RESP.: 80° e 1()()0 
As diagonais de um retângulo fazem entre si um 
ângulo de 70°. Determinar o ângulo que as diagonais 
fazem com os lados. 
RESP. : 55° e 35° 
Num losango uma diagonal forma com um lado um 
ângulo de 2.5°. Achar os ângulos do losango. 
RiESP.: 50°, 50°, íl.30° e 130° 
Num paralelogramo ABCD, com 60 cm de perímetro, 
o ângulo A = 100° e a bissetriz do ângulo D passa 
pelo ponto médio M do lado; AB. Calcular os lados 
desse paralelogramo e o'S ângulos do triângulo CMD. 
RESP.: 10 cm , 20 cm, 400, 50°, 90° 
A altura de um losango forma com a diagonal ma~or, 
um ângulo de 60°. Calcular os ângulos do losango•. 
RESP.: 00°, 6()0, 120° e 12(}1' 
Um dos ângulos internos de um trapézio isósceles é 
onze vezes menor que a soma dos outros três. Cal-
cule os ângulos do trapézio. 
R.EsP. :· 30º, 30°, 150° e 150º 
37) A altura de um trapézio isósc,eles f omna com um dos 
lados não paralelos um ângulo de .10°. Calcular os 
ângulos do trapézio. 
REsP.: !10°, fiOº , 130º e 130° 
94 
38) Num trapézio ABCD 0::1 ângulos da. base m&iQr 
medem 30° e 45°, rcspectivamen te. Calcular os outros 
dois ângulos do trapézio. 
RESP.: 1500 e 135º 
~ 39) Num trapézio retângulo ABCD, o ângulo formado 
pelas bissetrizes d'os ângulos internos A e C medem 
:2,o 0 jJP. Achar os ângulos do trapézio . 
~ R ESP.: 50° e 130° 
40) 
41) 
A base média de um trapézio tem 10 pés e o peri-
metl'o 28 pés. Calcular o maior dos lados não para-
lelos, sabendo que a sua diferença é igual a dois pés. 
C. Naval - 1951 RESP. : 5 pés 
Em um trapéz1io escaleno cujas bases AB e CD, me-
dem respectivamente 20 m e 12 m, pede-se o valôr da 
base média compreendida entre as diagona is. 
REsP.: 16m e 4m 
Os lados de um quadrilátero medem 2-1 m; ~Om; 
15 m e 7 m r espectivamente. Uma diagonal vale 20 m 
e a outra 25m. C.alctll ar o segmento que une os meios 
das diagonais . 
R ESP. : 7,5 m 
Urna diagonal <le wn quaurilálero divide êsse qua-
drilátero em um triângulo equilátero e um isósceles, 
cuja base é es~n diagonal. A :-orn a dos dois ângulos 
do quarlrilálerri opostos a .e~a diagonal, é igual 
a 7 / 8 da soma dos outros dois ângulos do quadrilá-
tero. Calcule os ângulos do triângulo isósceles. 
RESP.: 108°, 36º e 36° 
) Num trapézio isósceles os ângulos agudos C e D são 
expressos respectivamente por 6x + 4° e 8x - 9º. 
Calcular os valores dos ângulos A, B, C e D. 
E.P.C.Ar. - 1963 RESP.: 43° e 137º' 
95 
CÍRCULO 
Circunferência de circulo ou circunferência é o lugar 
geométrico dos pontos de um plano, equidistantes cte um 
ponto do mesmo plano, chamado centro. 
A c;ircun[ erência é uma ~inha e o ~ uma superfície. 
Raio é a distância constante de qualquer ponto da cir-
cunferência ao centro. 
Arco de circunferência é qualquer porção de uma cir-
cunf erenoiã.""" 
Çorda é um segmento de rela que liga as extremidades 
de um arco. 
Diâmetro é a maior corda que se pode traçar numa cir-
cunferência; é representado por D ou 2 R. 
Flexa é o segmento do ddâmetro compreendido entre os 
pontos médios da corda e do arco subtendido pela corda. 
FIG. 1 
Na figura l, t~lllQ5 ! 
Circunferência de centro o 
AB - diâmet110 (D ou 2 R) 
OA-raio (R) 
CD-corda 
CBD- e CAD - arcos 
FB-flexa 
Tangente - é a reta perpendicular à extremidade de um 
diâmetro. 
Secante - é a reta que intercepta a circunferência em 
dois pontos. . 
'fii.1:ma.I - é a perpendicular à tangente no. ponto de 
tang n01a. 
No caso em questão a normal à circunferência em um 
ponto é a reta qtie contém o raio que passa por êsse ponto. 
N 
T 
FIG. 2 
Na figura 2 
AT - tangente (perpendicular ao raio) 
MN -secante . 
CB - normal à circunferência no . ponfo B. 
97 
.Segmento circulgr ,.... é a parte d.a · sJ!.Rerficie do circulu 
compreendida entre um arco e a respectiva corda. 
Setor circular - é a porção da superficie do circulo 
compreendida entre dois raios e o arco por êles interceptado. 
Coroa Circular - é a parte da superfície compreendida 
l'ntl'e dois círculos de Tàfós clfferentes e mesm o centro. 
o B 
FIG. 3 FIG. 4 
Na figura 3 
1 - segmento circular 
2 - setor circufar 
Na Ugura 4 
Parte tracejada - coroa circular . 
AB - largura <la coroa. 
. 98 
Proprieaade 1 
o diâmetro perpendicular a uma corda divide esta corda 
e os dois arcos por ela subtendidos em duas parles iguais. 
Propriedade 2 
Por três pontos não em linha reta pode-se sempre fazer 
passar uma circunferência. 
POSIÇôES RELATIVAS DE DOIS CIRCULOS 
1.ª posição: secante3 
lJ =FIG. 5 
Na figura 5 
00' - linha dos centros (d) 
AB - corda comum (perpendicular a 00') · 
r - r ' < d < r + r' 
" 
FIG: 6 
• I' - • 
FIG. 7 · 
FIG. 8 
. , 
FIG. 9 
2.ª posição : 
tangentes exteriores 
OO'=d = R+r 
3.'ª posição : 
f<l!llgentes interiores 
00'= d=R - r 
4- .~' posição : 
Exteriores 
00' = d > R + e 
5.ª posição : 
Interiores 
00' = d<R-r 
Quando os cenfros coincidem as circuillf'erências são 
d = 00' = zero: 
100 
~-XERClClOS,. · R.-&SOJ, VIJ)OS 
1) Qual a posição relativa de duas circunferências de 
raios respectivamente iguais a 4 cm e 6 cm, sendo a 
distância dos centros igual a 8 ·cln. 
Pelo que foi mostrad_o no . inicio do capítulo as J.'e-
lações entre a distância dos oentros d e os raios R e r, 
caracterizam as posições de duas circunferências. 
No problema, aquela distância é 8; menor que a 
soma dos raios e maior do que a sua diferença. 
6-4<8<6 + 4 
Conclue-se então 'que $.!> circunferências s~o 
secantes. 
2) No mesmo problema 1, sendo 10 cm a distância dos 
cenwos. 
Depois do que foi dito no problema 1, vemos que 
d = R + r, ou 10 = 6 + 4 
que caracteriza duas circunferências tangentes 
exteriOII'es. 
3) Qual a posição relativa de duas circunferências de 
raios 7 cm e 13 cm, sendo a distância dos centros 
6cm . 
É fácil verificar que 
d= R-r ou 6 = 13-7 
e que as circunfel'ências ' são tangentes inter ioJ.·es. 
4) No problema anterior, se a distância entre os c.en-
tr<>6 fôr 23 cm, como serão as circunferências? 
É fácil verificar que 
d>R + r, isto é 23>!13 + 7 
indicando assim serem ex-teriores as oircunf erências. 
.\01 
5) Qual a -p<>Sição -relativa de .duas . circunferências de 
raios 7 cm e 13 <Cm sendo a distância dos centros 
4cm. 
Verificij..-se que · 
d < R - r, isto é 4 < 13 - 7 
e que, portanto, as circunferências são interiores. 
6) Três círculos tangentes entre si, dois a dois, exte-
riormente, têm para raios 2 cm, 5 cm e 7 cm. 
Determinar os lados _do triângulo obtido ligando-se 
dois a dois os centros dos círculos. 
e 
102 
• 
- Os círculos de centro A ·e B, cujos raios são 2 e 5 
têm para distância dos centros 2 + 5 = 7, por serem 
tangentes exteriores. Raciocinando-se d a mesma ma-
neira vê-se que os lados do triângulQ são : 
7 cm ; 9 cm e 12 cm 
7) Dois circulas de centro B e C são tangentes exterio· 
res. Ambos sã-o tangentes interiormente de um cír-
culo de centro A. Sabendo-<Se que ~B = 6 cm; 
BC = 14 cm e AC= 10 cm, achar os raios dos três 
círculos A, B e C. 
Façamos AD = R; BF-= r; FC= r1 
J-fÍ. .,t fl1 = lf/ 
:1~~~ ~~1~ 
I O -f )l.1 -: t, +11.. 
!Jf-
A - n.,::: ~ 
h.-+ L 1 = lf' l 
:2n,, == I !S 
fl, =1 
i, -::: 1<{-'j : S 
'R.- ~ 6 .j- rz_ 
-::::: e; -'- r :;/ 
Os círculos B e C por ·serem · tangentes exterioree a 
distância enb-e seus centros é ·· 
d = BC·= r + ri = 14 
103 
Os círculos .A e ·B iSencto.: ·tangentes interiiores, a dis-
tância= entre seus centros AB = R.- r =1 ~ énl. O 
mesmo- ocorre oom os· círculos A e C, ou1a distância 
entre centros AC = R - r 1 = 10. 
Temos as equações 
{
r+r1=14 
R-r=~(, 
R-r1 =10 
formando um sistema, que resolvido dá : 
,~ q S-
R =~cm; r = ~ cm e ri = & cm 
EXERCtCIOS A RESOLVER 
1) Qual a posição relativa de duas circunferências de 
rafo~ 8 cm ê' 4 cm, sendo 3 cm a distância entre os 
centros. · 
RESP.: [uteriores 
2) Qual a posl]çao relativa de duas circunferências de 
raios 7 cm e 5 cm e a distância entre ·os centros 
:sendo 10 cm. 
3) 
4) 
REsP.: Secantes 
Duas circunferências secantes lêm respE:ctivamente 
8 cm -e 9 cm de raios. Entre que valôres está compre-
endida a distância dos centros? 
RESP.: 1 cm < d < 17 cm 
Duas circunferências -de .raios r e r' (r > r') e cen-
tros o e d para serem secantes, que relação deve 
existir? · . 
C. Naval - 1~ ,.- : - - REsÍ>.: r-r' < d< r + r' 
104 .. 
. mas; 8:· distânci~ - .entre · os-c.entros ·é ~rnla. Como são 
· as (jl,fcunf e:rêncrns? · : · , . 
RESP.: concêntricas 
,,.... ' 1 
6) A distância de um ponto exterior ao ponto que lhe 
..__) é i;nai~ afastado da circunferência mede 18 cm. Se o 
traio tiver 5 cm, qual será a distância do ponto à cir-
cunferência·? 
RESP.: 8cm 
7) Numa circunferência de raio 20 cm, pode existir 
uma oorda d·e 3,08 cm? 
RESP.: Sim, porque é me-
nor que 'O diâmetro 
8) Achar o diâmetro de uma circunferência, onde a 
distância de um ponto exterior ao centro é de 15 cm 
e a distância do mesmo ponto à circunferência é 
de 1,2 cm. 
REsP.: · 6cm 
9) Duas ciircunferências são tangentes exteriores. O 
diâmetro da primeira mede 12 cm e a distância d<0s 
centros é de 11 cm. Calcular o diâmetro da segunda. 
~ * 10) 
7 
11') 
RESP.: 10cm 
Duas circunferências são tangentes interiores. O diâ-
;metro da menor mede 12 dm e a distância dos cen-
. tros é de 2 dm. Calcular o diâmetro da maior. 
REsP.: 
Os lados de um triângulo são 4 cm; 6 cm e 8 cm. 
Achar os raios das três circunferências que têm para 
centro os vértices desse triângulo e são tangentes entre 
si, exterioo.mente, doi·s a doiis. 
RESP. : 1 cm; 3 cm e 5 cm 
105 
12) Dado o triângulo de lados AB = 13 cm; AC= 9 e.a 
e BC= 8 cm, traçam-se clrcunferênCias de centros 
A, B e C tangentes duas a duas ·exteriormente. Cal· 
cu1e o menor dos raros das circunferências. 
C. Naval - 1960 RESI'. : 2 cm 
Duas circunferências concêntrjcas têm para raios 
8 dm e 12 dm respectivamente. Determinar os raios 
dos círculos tangentes 'às duas circunferências con-
cêntricas. 
REsP.: 2 dm e 10 dm 
14) Dois círculos do mesmo raio 5 cm são taiis,que, cada 
um deles passa, pelo centro do outro. Es'Ses clrcUilos 
cortam-se em M e N e interceptam a , linha dos cen-
tros em P e Q. Calc.ular o perimetro do quadrilátero 
MPNQ. 
C. Naval. - 1961 REsP.: 20 cm 
106 
MEDIDAS DOS ANGULOS 
o 
FIG. 1 
Ânquto central AOB é o que tem o vértice no centro da 
circunferência e cujos lados são raios. Tem por medida a 
mesmn medida do arco AB compreendido entre seus lados 
(raios da circunferência) (fig. 1) . 
R·eilaçiio : 
ângulo AOB:.. arco AB 
FIG. 2 
Ângalo inscrita ABC ·é ~ que teln. parã lados duas cordas 
que partem de um ponto qualquer da circunferência, fi-
cando seu vértice, portanto, sôbre a circunferência. Tem para 
medida a metade do aroo AC compreendido entre seus lados (fig. 2). .. 
Relação: 
arco AC ângulo ABC=-----
2 
Por isso, todo ângulo inscrito num semi círculo é reto. 
FIG. 3 
e .f.":' . - .: .. 
10~ . 
... . . . 
.... 
Ân ulo d ' e ment ABC é o formado p_or uma corda e a 
tangente à cn'.cunf erência traçada por uma de suas extre-
midades (fig. 3). ' 
Tem para medida a metade do arco AB subtendido 
pela corda AB. 
Relação: 
.. ! 
" ' 
arco AB 
ângulo ABC · - - - -
2 ·. 
FIG. -4 
AnguJlo excêntrico interno AtMC, é o formado por duas 
cordas que se cortam no mtetior da circunferência em. um 
ponto que não seja o centro da mesma. (fdg. -4) Tem para 
medida a semi-soma dQS are.os BD e AC compreendido:s entre 
seus lados (AM e MC) e seus prolongament<>s (DM e BM). 
Relação: 
arco AC+ arco BD ângulo AMC = --- -----
2 
109 
FIG. 5 
'1ngulo excêrztljco externo AMD, é o formado por duas 
secantes à uma circunferência, que se encontram fora dela. 
(fig. 5) 
Tem paira medida a metade da dife rença dos arcos AD 
e BC, compreendidos entre seus lados. 
Relação : 
arco AD - w:co BC 
ângulo AMD = - -------
2 
Pode também ser formado por uma secante e uma tan-
gente (à um circunferência) , que se encontram (füg. 6), ân-
gulo AMC. 
FIG. 6 
no 
' 
\ 
Sua· medida 3er• -tambéJU : 
.. . . . arc0 AC - arco BC 
ângulo AMC = - -------
2 
FIG. 7 
Anuulo circunscrito ABC é wn ângulo excêntrico exte-
rior; seus

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