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• ,. 1 E E., .• e u· R s o GIN-AS+AL ·. DE ACORDO COM O PROGRAMA OF I CIAL •. ADMISSÃO: AO COLtGIO NAV.Al CURSOS PREPARATÓRIOS DE CADETES E ESCOLA. DE MARINHA MERCANTE AR T 1 G O 99 CURSO NORMAL DOS INSTITUTOS OE EDUCAÇÃO / ICA Com te . PAULO PESSOA PROBLEMAS D E 6EOMETR .IA A A TODO O CURSO GINASIAL, DE ACÕRDO COM O PROGRAMA M VIGOR, ELABORADO COM E~ECtALIDADE PARA OS CAN- IDATOS AO C. NAVAL, E. PREPARATÓRIA DE CADETES DO AR, ADMISSÃO AO CURSO NORMAL ~ E. DA MARIJltHA MERCANTE. '/ ti E L :t M !tua 18 de Ma.lo, 468 Telef1one : 18.S.S R I O v. Mal. Floriano, 22 • 1.º retefones: 23·3943/43-6(!64 lloa B1trfto Guaratlba, 29 /81 To l e fon@: 4 5 - 7 1. ;I! 8 J.OZON+EDITOR F ORTALEZ A Rua Pedro Pere.lrw, 813-Grupoõ Telefone : t,93ST NITERól Rua de: Conceição, 137 Sala 009 - Tel. 7512 SÃO PAULO Larso do Pa.isae..ndu. 111 4. 0 andar - Grupo 411 lo .o and1 • Grapoa 1501/2 Telef1>110: 35-11815 À MEMÓRIA DE MINHA NETA MAR C I N H A, COM A SAUDADE IMENSA DE SEU AVÔ PAULO. A N G U LOS . COMPLEMENTO, SUPLEMENTO E REPLEMENTO DE UM ÂNGULO . DIVERSAS ESPÉCIES DE ÂNGULOS. MEDIDAS DE ÂNGULOS. Ângulo é a figura formada por <luas semi-relas que parlem do mesmo ponlo ou que Lêm a mesma origem. A origem ou ponto t:omum às e.luas semi-relas, é Q vér- lice do· ângulo; as semi-retas são <>s lados do dngulo. Podemos olbter um ângulo se imprimümos a uma semi- rela, um movimento de rotação em tôrno de uma de suas extremidades, em um sentido qualquer, de modo que ela não saia do plano. Assim sendo, podemos imprimir à semi-rela uma ro- tação completa em 1ôrno do ponto e teremos um dngulo ele uma volta, DU um ângulo cheio, no yalor ele- 360º; podemos im- primir um movimento que corresponda à uma metade de volta e leremos um ângulo de meia voilta cu um ângulo raw, correspondendo n 180°. O giro da séini-rela poderá corres- ]JOnder, apenas a 1 / -1. de volta e teremos um ângulo reto ou um ângulo de 90°, EvicTentemen te qu e a semi-reta em seu movimento de ·roLH :ã o ocupa um sem número de posições intennediátúas, em relação às citadas e f orrnará âllgulos de diversos valôres que, em resumo, poderão ser menore que 90° e maiores que 90°. Teremos então: ângulos agudos, quando menores iue Wº e ânglAlos obtusos para os maiores que SOº. ---0----ir---.a Ângulo de 1 / 2 volto ou rosa Ângulo obtuso JJ lf o Ângulo de 1 / 4 de volto ou reto li A ~. Âng ulo o Q u d o FIG. 1 10 .fogulus a'1jacenle6 ~ Uo.ki ângulos são adjacJ:n'l~ quando têm wn lado comum e os oub·o" dois lados d um lado e do outro, do lado comum. o FIG. 2 O B é o lado comum. O.s ângulos AOB e BOC, são adjacentes. A.ngulos opostos pelo vértice - São dois ângulos tais que os lados de um dê1es são os prolongamentos dos lados do outro. FIG. 3 Os ângul os AOB (' (iguais). DOC, são opostos pelo vértice Os ângulús AOD (' BOC, são opostos pelo vértice (iguais). Os IM!os do ângulo DOC, são os prolongamentos do ' ln dos B e OA, do ângulo AOB e vice-versa . 11 Dois ângulos opos tos pelu vértice são lguiis. Relação: ângulo A O B = ângulo D O C ângulo A O D . ângulo B O C ANGULOS C01l'IPLBMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTARES Dois ângulos são: Oomplementares: quando sua sorna é 00° FIG. 4 Os ângulos A O B e B O D adjacentes (lado O B comum) são complementares porque ângufo A O B +ângulo B O D = 9()0 ( 1/,t de volta) Suplementares: quando somados valem 180° ou c-iuando - adj acentes os lados não comuns estão em linha reta. ~e• ~---------"""'"'!'º ____ __ FIG. 5 12 Os ângulos A O C (s) e C O B (r), adjacentes (lado comum OC) são suplementares, pcrque ângulo A O C + ângulo C O B = 180° (l/ ~ volta) Replemenlares: Quando somam 360º Bissetriz - Bissetriz de um ângulo é a semi-reta interior ao ângulo, com origem no vértice e que divide o ângulo ao meio. É também, o. lugar geométrico dos pontos que equidis- tam dos lados do ângulo. (Entende-se por <Juy'a.r yeomélrico u um conjunto de pontos que gozam de uma mesma propriedade, que lhes é peculiar. A o B FIG. 6 Na figura 6, A O B é o ângulo e O C a bisselriz. . . s poi;ilos O.' l\I, ?\ e P cc1üidistam dos lados do àngulo, 1sl<> ', a distância de M ao lado A O é m e também é m a <fistân ia do ponto ~f ao lado O B. O mes mo poderíamos dizer pnrn o pontos X e P ou qualquer outro que pertencer a bi s~ l ri:r. do ângulo. 13 ' 1 1 Teorema 2 As biss·etrizes de dois ângulOiS adjacentes t;Upleinentares, são perpendiculares, isto é, cortam-se em ângulo rC'to. e 'N. ·-,,~./ () fJ FIG. 7 Na figura 7 temos os ângulos adjacentes suplementares A O C e C O B; suas bissetrizes são respectivamente O M e ON. O ângulo M O N = 90° Teorema 3 As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice estão em linha reta e cortam-se segundo um ângulo ác 90°. fJ l1 - p 1· 10- 1'.: IG. 8 1• 1J ( Na fiigu1·a 8, os ângulo~ .-\ O C e B O D, são op o..s tus p elo vértice. As bissetrizes dêl es ·ão O M e O N que é a linha reta MN . . O mesmo se poderá dizer <los ângulos A O B e C O D que também são opostos pelo vértice e cujas hissélrizes são O P e O Q, que formam a reta P Q. As retas M 1 ' e P Q. se cortam em ângulo reto, is to é, são perpendiculares. Teorema 4- Todos os ftngulos retos são iguais . Medidas de ângulos Em virtude do teorema ·1 o àngulo relo é uma gl'andeza angular determinada podendo ser tornado como unidade para medida de ângulos e representado pela letra r. Como tôda unidade de medida tem múlt iplos (sem de- signações especiais) e submúltiplos, dos qua1is o único CiJUe tem denominação é o que 1·epre~enta a centésima parte do ângulo reto (0,01 r) e que se chnma grado. que se ahrcvfa por g 011 gr. É o sistema decimal para medir ângulos. O sistema complexo também é empregado na medição dos ângulos e a unidade desse siistemn é o grau scxagesimad ou simplesmente grau e que se representa por um pequeno o sôbre e a direita do numero. Sabemos que o grou tem 60 minuto:.; (60') e o minuto 60 segundos (60"). Do exposto conclui-se que 1 reto = 90° = 100 a:r Um regra de três simples, permite transformar graus em grndo. on vice verso, como mostraremos opDrtunamente. 15 liJXERCfClOS RESOLVIDOS 1) O àngu lo A = 80". Calcular: a) o seu ccNnpleme1110 h) o seu suplemenlo e) o seu replemenlo Depois do que foi dito com relação a ângulos comple- mentares, suvlementares e replementares, p octernos esc.rever: a) A + x = OOo (complementares) 80 + X= 9()0 e X= 1()0 li) A + y = 180° (suplemen lares) 80 + y = J 80° e y = 100° e) A + z = 360º (replemenlares) 80 + z = 360° e z = 280° 2) Dado o ângulo A igua 1 a 73º 20' 18 ... adiar: a) o seu complemenlo b) o seu supleme11to e) o seu replemen lo Do mesmo inodo leremos: a) A + :-.. = f,Oº (complemenlares) 73° 20' 18" + X= 9ü° Teremos: 90°= 89° ;)n' A= 73º 2()' ( compl c1nen lo) X= 16° 39' h) A + y = 180° (suplemen lares) 73° '.20' 18" + y = 180° 16 (){)" 18'' 42" Teremos então : 180º = 1.79" .)H' ti()". A= 73° 20' 18" (supJpmen lo) \' = 105° 39' l '.2" r,) A + z = 360° (replem('JJ i arre) 73º :lO' lR'' + z = 3(i0° 3()0° = 3:J0º 5\:l' ()()" A= 73° 20' 18" ( rep1 cm en to) z = 286º 39' Ll2" ~;) Dois ângulos são complc111enta res; calcular es gulos nos easos abaixo: a) o maio r é o triplo do menor b) um dê1es é <i qual'la parle do oulrn l') a diferença entre eles é de 12" a) Se um dos ângu los fór x o o ttlro será :1 x. Como são eomplemcntares: X + 3 X = t)'(Jº o li -1 X = f.-0º C X = 2.2º 30' O outroque é 3 , :erá b) J X 22° 3(}' = ()7º 3{)' X Se um dos ângulos fôr x o ou Iro se rá -- •1 17 Como são supl eme ntares : X X + - = l X(J' ' Ul.i 4 ;) X = 72i)º e X = 144° O X ' outro - sera: 4 144° --= 36° 4 e) Se um deles fô;r x, o outro será: 90 - x Corno a diferençn entre ê!es é 12°, ter emos: x - (90 - x) = 12 ou X - 90 + X = 12 OU 2 X = 1()2 C X = 51 o O ou fl'o será: 00º - 51° = 39'> 4) Qual o ângulo que E·xcede o seu complem cnlo de 380? Se chamarmos o ângulo de x, o seu compl emento será 90-x. O problema penni te escrever : x- (90-x) = 3Sº 0112x = 12.8º e x = fi4° 18 !) ) Dois ângulos a<lja<.:en tes tem os lados ex teriol'es em linha reta. Cakular esses ângulos sabendo que êles são ex· pressos em graus, respectivamente por: 10 X + 25º ,e 5 X + 5º Vimos no início do capítulo que dois ângulos adja- centes nas condições do problema, não suplementa- res; então: 10 X+ 25º + 5 X+ 5º = 180º OU 15 X = 150 e X = 10 Os ângulos que, expressos em graus, valem 10 x + 25 ou 10 X 10 + 25 = 125° e 5x + 5 ou 5 X 10 +5 = 5;)º (i) Calcular dois ângulos opostos pelo vértice que, e111 graU1S, são expressos respectiv~ment:e por 8 X + 3° e 9 X - 2-<> Vim.os rio início do capítulo que dois ângu"los opostos pelo vértice são iguais; assim sendo: · 8 X + 3º = 9 X - 2º C X = 5º como os ângulos são 8 x + 3 e !J x - 2 teremos : 19 7) Em tôrno de um ponto <lc uma ·reta e do mesmo lado traçam-se três ângulos: o primeiro é expresso em gr~us por 2 x + 15, °' segundo, por 5 x - 5 e o ter- ceiro por 6 x + 25. Calcular êsses ângulos. FIG. 9 Vimos que os ângulos formados em torno de um ponto e do mesmo lado de uma reta é um ângulo raso ou de m eia volta e que v1ile 180º . Então: Então: 2x + 15 + 5x-5 + ôx + 25 = 180º ou 13 X + 35 = 180° e X= 145 = 11 o 9' 13" __!!_ 13 13 Ângulo A O B = 2 X ( 11° 9' 13" ~~ ) + 15º = = 22° 18' 9 '27 "- -+ 15º = 37º 18' 13 20 9 27"- 13 OânguloBOC: =~ ( 11 º 9' 13'' 11 )··~ fio 1 ;3 = 55° 46' 9" ~ - 5° = 50º 46' 9" ~ 13 . 13 OânguloCOD = Ü (11º 9' 13" :~) + 25= 1 1 = 66º 55' 23" - + 25º = 91 o 55' 23" - 13 13 8) Achar a medida no sistema decimal <lo ângulo de 40°. Já vimos que 90º correspondem a 100 i:r Então 90º - 1oo::r 40° X 100 x 4-0 X = 4,44::r 90 9) Achar a medida no sistema decimal do ângttlo de 37° 7' 30" 21 10) . Sahemo.s que 90° = 3240()()" - 100 icr 37º 7• 00" = 133650" X 138650 X 100 X=------= 41;2.5 rr 824000 Achair a medida no si'S tema sexagesimal do ângulo de 42,508r•. Como nos exemplos anteriores 90º 100 •• X 42,5()8 90 X 42,508 X - ----- = 38° 15' 2fl",92 100 11) Calcular o complemento do ângulo de 74,81 grados. O cornplemenlo é o que falta ao ângulo pa.ra 100 g'ra<los; então 100 - 74,81 = 25,l!)r•. 12) Ah e ar o suplemento do ângulo de 127,4:-l gi-ados. O suplemento é o que falta ao ângulo para com~ pletar 200 grados; então : 200 - 127,43 = 72,57 icr 22 . , . ( • EXERCfCIOS A RESOLVER l) O ângulo A = 53°: Calcular: 2) 3) a) o s·eu complemento b) o seu suplemento e) o seu r eplemento RESP.: a) 37°; b) 127° e) 'tff/º Dado o ângulo A = 87° 45' 37 ", achar : a) seu complemento b) seu suplemento c) o seu replemento r a) 2° 14' 23" J b) 9<w 14' 23 " R.ESP.: l ,:.. -l e) 272° 14' 23" Dois ângulos são suplementares; 'l'.akular esses ân- gulos sabendo "1~ ·. 1.º - o maior é o quádruplo do menor 2.0 - um deles é 2/a do outro 3.º - que su a d iJer ença é 23º lil' 15 " { 1.0 ) 36° ce 144" RESP.: 2. º) 108° e · 72<' 3.0 ) 101º 35' 37",5 e 78° 24' 22",5 4) Qual o ângulo qu e excede o seu su'l>lemento de 15º 28' 49". 5) FlESP. : 97° :J4' 24 ",5 O dôbro do complem en lu <le um ângulo, aumentado de 32° é, igual ao se u suplemento. Qual é êsse ângufo? RESP.: 32° 6) A soma de dois ângulos mede 42°. Um dêles é a têrça parte do complemento do outro. Calcular ês:ses 7) ' 8) 9) • 10) ângulos. R . 18º 24º ESP.. C A düerença enlrc doü; ângulos complementares é de 27° 32'. Calcular os dois ângulos. RESP.: 58° 4-6' e 31° 14' Dois ângulos opostos pelo vértice são expressos em gra-us re.spectivamente, por 5x + 2° e 2x + 44º. De- terminar o v'nlor dêsses ângulos. RESP.: ""'ô5'1- Dois ânguilos adjacentes linha re~a. Um dêles é 2x + 5º e o outro por ângulos. '1~/' lem os lados exlernos em expresso em graus por x + 7°. De terminar ê$ses c- RESP.: m 0 e 63° IMu~-o Em tórno d'e um ponlu e <lo m esmo lado de uma -reta, traçam.se lrês ângulos. O primeiro é expresso em grau•s por 2 x .+ 10°; o secrun<lo I)Ol" 3 x - 5° e o l . "' erce1ro, por 7 x + 7°. Determinar esses ângulos. HESP.: 38°; 37° e 105º tJ 11) Em tôrno de um ponlo sôbre um plano lraçam-se três ângulos expressos em grau·s respectivamente por: 7 x .+ lü°; 6 x + 30º e 4 x - 20°. Calcular êsses três â•ngulos. H.EsP. : 150°; 150º e 60° 12) Em tórno de um ponlo, sóbre um pla110> traçam-se os ângulos a, b, e, d. Calcularr êsses ângulos sabendo que a e e são complementares; que a diferença entre os outros do.js é 30º e que a é o dôbro de e. HESP.: a) 6()0; b) = 15(Jº; e) = ::io0 e d) = 120°. 24 ~, 13) 14) 15) t 16) /1 Bm tôrno de um ponto traçam-se quatro ângulos a, b, e e d. O ângulo a é reto, o ângulo b tem mais 5º que o suplemento de d e o ângulo d é a soma dos ângulos b e e diminuída de 50°. Achar os ângulos b, e e d. RESP.: 75º; 85° e 110° Em tôrno de um ponto e do mesmo lado da reta, tra- çam-se os â'Ilgulos a, b, e, e d. Calcular esses ângu~os :sabendo 1qrue a e e são complementares e que a dife- rença entre os outros dois é de 40° 12' 27",8 e que e é o triplo de a. RESP.: Jlr ~ :a c = 67° d= 24° 30' 6' 13'',9 30' 53' 46'',1 Em tôrno de um ponto estão formados quatro ân- gulos proporciiooais aos números 2, 3, 5 e 8. Deter- minar esses ângulos. RESP.: 40°; 60°; 100° e 160º Determinar a medida do ângulo formado pelas bis- setrizes de dois ângulos adjacentes sabendo que o primeiro vale 1/ 4 do s·eu suplemento e o segundo 1 /s de seu replemento.-"' "' "; ~gºI& 1°  ~L º;t_" f:: X+:J I RESP.: ~ ! -ti'º- ~'/ ~ pç -::. --_.~ z._ J ,,, ; - vj ' IQJ ÚÍ:: [ "' .j JI. ~ "' rtnl . ) Por '11f- ponf~-fo de urna reta M N traçam-se, do mesmo lado d~ ~eta, os segmentos O A e O B, :for- mando os ângulos MOA, AOB e BON. As bisse. trizes dos ângulos formados são OP; OQ e OR. Cal- cular os três ângulos sabendo que o ângulo MOQ = = 115° e o ângulo POR é igual a 105º. 1 .... /) f o A+ ffh-~-t-r} -:::/OJ" 25 r z ~:__J<---L.:.==-~~.!.!.-1-~--:» .!-1 o \ , 18) + 19) ~~.J Achar a medida no sistema centesílfi11 do ângulo de 45°. · /} RESP. : 50 cr Jta,'u.,._f' Achar a medida no sistema cente'Wimal do ângulo de 16º 36' 18". "'*"' n., ...... REsP.: 18,4&r C,./ + 20) Achar a medida no sistema sexagesimal do ângulo de 33,676 gr. RESP.: 30° 118' 30",24 21) Achar o compJ.emento do ângulo de 45 grados. RESP.: 55 grados 22) Achar o suplemento do ângulo de 97,831 grados. + 23) RESP.: 102,169 cr A sorna do complemento, do suplemento e do repie. n~en lo de u~ ângulo é 573,21 grados. Achar as me· d1das 5:~::"~~ e sexagesimal desse ângulo. .,,_,,,.,~ RESP.: ,~cr e 38º 2' ~ TRIANGULOS TriânquW é o poligono de tres lados ou uma parte do plano limitado por tres retas que se encontram duas a duas. É o mais simples dos polígonos. Seus elementos principais são: os tres ângulos. e os tres lados. Qualquer dos lados que fique para baixo é a base do triângulo. Os elementos secundáriossão: Anauzos ·externos - são os ângulos formados por um lado qualquer com o prolongamento de qualquer dos lados contíguos. Alturas - são os segmentos das perpendiculares traça- das de cada vértice sôbre o lado oposto ou seu prolonga· mento. Medianas - são os segmentos que ligam os vértices a.os meios dos lados opostos. Biss.etrizes internas - são os segmentos das bissetrizes dos ângulos ·internos compreendido.s entre cada vértice e o ponto de encontro com o lado oposto. Bissetrizes externas - são os segmentos das bissetrizes dos ângulos externos compreendidos entre os vértices e os pontos de encontro com os prolongamentos dos lados opostos. ' . Mediatrizes ~ são ~l:i perpendiculares kvantadas p~Jqs pontos médios dos lados do triângulo. Perlmetra.. - É a soma dos lados. De um modo geral, denominamos ceviana, qualquer seg- mento de reta que liga um vértice do triângulo a um ponto qualquer do lado oposto. Assim sendo, as alturas, medianas e bissetrizes internas, são cevianas do triângulo. CLASSIFICAÇ.íf.O DOS TRJANGULOS Com relação aos lados, os triângulos podem ser: Equilátero: lados igua~s (tres â.:ngulos ci1guais; também chamada. equiângulo). Jsosceles. - dois lados iguais e um diferente (o lado desigual, geralmente é a base. Dois ângulo iguais e um düevenle). §scalen.JJ: trê3 lados diferentes. Com relação aos ângulos, os triângulos podem ser: Acutângulo - o que tem tres ângulos agudos. Retângulo - o que tem um ângulo reto. Obtusângulo - o que tem tun ângulo obtuso. No triângulo equilátero as alturas, bissetriz e mediana traçadas do mesmo vlértice, coincidem. No hiângulo isosceles, apenas ocorre aquela coi1I1Cidên- cia com as cevianas relativas ao lado diferente. No triângulo retângulo os lados teern nomes especiais; os lados que formam o ângulo reto, são os catetos e 'º lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa CONGRUl:NCIA DE TRIANGULOS 1.0 cas.o Dois triângulos são congruentes, ou iguais por super- posição, quando teem um lado cigual, adjac.ente a dois ân- 28 ? gulos .respectivamente iguais. (ALA; Angulo, Lado e Angulo). 2.0 caso Dois triângulos são congruentes, quando leem um ân- gulo igual compreendido entr·e lados iguais respectiva· mente (LAL; Lado, Ângulo e Lado). 3.0 caso - Dois triângulos são congruentes quando leem os tres lados iguais (LLL; Lado, Lado e Lado). Tratando-se de triângulos Tetângulos, além dos três cas,os apresentados e que, por serem gerais, se aplicam à êles, · existem ainda os .seguintes: io /;Lll .z,,,; i...l/t. .?!':,) 1...u. il;J Dois triângulos retângulos são congruentes quando têm a hip.otenusª igual e um cateto igual. 5~ Dois triângulos retângulos são congruentes, quando têm hipotenusa igual e um ân ulo agudo ig21al. ~oc.e i.q_· Em qualquer triângulo cada lado é menor que a soma dos outros dois ·e maior que sua diferença. 1J ~e FIG. l Na figura 1 a, b e c - lados do triângulo. Relação a < L + e € c > a - ]) 29 Teorema 2 Em qualquer triângulo, ao maior IadC> opõe-.se o maior ângulo. Na figura 1, o lado a é evidentemente, o maior; então · o ângulo A é o maior. Teorema 3 (Lei angular de Tales) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. / Na figura 2, A, B e C - ângulos do triângulo. Relação A + B + C = 1800 Coralario 1 Cada ânguJo externo de um triângulo é igual à soma dos internos não adjacentes. Na figura 2 MAC é um ângulo externo. Relação ângulo MAC = B + C 30 Corolário 2 Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são com- plementares. Relação ângulo B + ângulo C = 90° ] 1'eoirema i A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo forma com o lado oposto dois ângulos cuja diferença é igual à di- ferença entre os outros dois ângulos do triângulo. FIG. 3 Na figura 3 ABC - triângulo AD - bissetriz do ângul10 A m e n - ângulos f armados pela bissetr.iz com o lado BC Relação n-m=B - C 31 rr~orema 51 O ângulo formado pela bissetriz interna e pela altura que partem do mesmo vértice de um ângulo de um t~iângulo é igual à semi-dif el'ença dos outros dois ângulos <lo ti-.1ângulo. Na figura 4 l'I e.. 4'-.l~--~-"-'--~ b s FIG . 4 ABC - triângul-0 AH - altura traçada do vértice A AS - bissetriz do ângulo A SAH - ângulo da altura com n bissetrjz R·elação B-C ângulo SAH = · 2 [] 'eoremaJ fl A mediana relativa à hipotenusa de· um triângulo re~ tângulo forma dois ângulos com a hipotenus~, sen<l:o cad:i um o dôbro de cada um do.s ângulos agudos do triângulo retângulo. 32 Na figura 5 ABC - tl'iângulo retângulo AM - mediana relativa à hipotenusa m e n - ângulos dn mediana com a hipotenusa . • Relação n=2B e m=2C ·1 Teorema 71 O ângulo formado pelas bissehizes internas de dois ân- gulos de um triângulo é igual a um ângulo reto (00º) mais a metade do ter-ceiro ângulo. Na figura 6 ABC - ll'Íângnlo CN e AM - bis3etrizes dos ângulos A e C APC - ângulo for111ado pelas bissetrizes d A e C. Relação 13 ângulo APC = 90° + -- 2 33 O ângulo f armado pelas hlssel ríz es extei·rias de do is ân- gulos externos de um triâ~1gulo é igual a um ângulo reto (90°) menos a metade do terceiro ângulo. r::G . 7 Na figura 7 ABC - triângulo AM e BN - bissetrizes dos ângulos externos em A e B . APB - ângulo das bissetrizes acima mencionados. Relaçiio \Te.ore ma D-\ fi ng1ilo A PH = !10° --- -~ 2 O ângulo das alturn e mediana r elatiY1:1s i1 hip o lenusa é igual à diferença entrr os úngu los B e C. H "1 FIG . 8 Na t'igma 8 ABC - triângulo retângulo AH - altura relativa à hipotenusa AM - mediana relativa à hipotenusa p - ângulo da altura com a mediana. Relação ângulo p = ângulo B - ângulo C FIG. 9 Na figura D ABC - triâ·ngulo r etângulo; A = 9()0 AH - altura relativa à hipotenusa AN - bissetriz do ângulo· reto A .A. ] • • m - ângulo da altura com a J1s-;clnz ângulo B - ângulo C â nguJ () m = ---------- - 2 {Teorema 11 A reta que une os meios dos lados de um paralela ao terceiro lado e igual à sua metade. ])~ é 1 tt f~~~ FIG. 1 O a,. Na figura 10 ABC - triângulo quaJ.quer Lr·iângulo é O~// 8c E e D - pontos médios <los lados AB e AC, respectiva- mente DE - paralela a BC Relação: DE= BC 2 EXERCtCIOS · RESOLVI DOS 1) Pode-se construir um triângulo lendo como lados., segmentos de 5 cm; 9 cm e 14 cm? REsP.: Não; um lado não é menor que a soma dos outros dois. 2) Calcular os lados de um triângulo irnsceles cujo semi-perímelro m ede 7,5 m e cuja soma dos seus lndos iguais é o quá<lruplo da base. 36 '· 3) Se Q semi-pel'im•lro é 7,5 m é. porqW.! o peJ.·imçt:fo é 2 x 7,5 = 15 m. O . pé+irileti'o de um . triângulo · isós- celes. pode ser expresso por a+2b que no caso é 15 m. Então a +C2.b = 15 O problema diz que a soma dos lados iguais (b) é o quádruplo da base; então 2b=4a e b=2a Então a + 4 a = 15 e a = 3 m. Os lados iguais são pois (junlos) 15 m - 3 m = 12 rn e cada lado valerá 12 -;-2 = 6m No triângulo ABC, o ânguio ~ mede 50º:· Cal~ular os outros dois ângulos do tnângu1o CHJa dil.ferença é 40° O teo·rema 3 diz que: A + B + C = 180º Se A= 50° B + C = l:iü° e como B - C = 10" Segue-se que B = 85º e C = 45° 37 1) :Calcular os àligttlo~ internos de um tdânguiu ABC sabendo qúe a soina de seus âng ulos externo·s B' e C' é igual a 230° e que a <lif.erença en tre os ângulos B e C é igual a 10°. R -~ a a O problema diz que B' e C', ângulos externos, so- mados dão: B' + C' = 230º B-C = 100 (1) e que (2) Considerando queB' = 180º - B e que C' = 180° - C, viem~ d~pois de substituirmos êsses valores em (1) Como 180º - B + 180° - C = 230° 360º - 230° = B + C 130º = .R+ C B - C = 100 segue-se que B = 70º e C = f>OO Consequen1em en te A = 180° - (B + C) = 180° - 130º == 50º 36 , 5) Num triângulo isosce-les o ângulo do vértice mede 50°. Calcular os ângulos ex terinos da base. O tviângulo sendo isosceles, os ângulos B e C, são iguais. Como A + B + C = 180º ou A + J3 + B = 180º ou 50° + 2 B = 1180º ou B = 65° Então C=65° Os ângulos B' e C', como suplementos de B e C res- pectivamente, valem B' = C' = 180° - B = 180° - 65° := 115º 6) Num triângulo ABC, o ângulo HAS fonnado pela altura AH com a bissetriz AS é de 10°. Calcular os ângulos internos do triângulo; saffeindo que a di- ferença en tre os internos B e C é a terça parte de A. 39 O teo-rema 5 nos permite escrever B-C ângulo HAS --- A 10 = B-C 2 2 O problema diz que · , ' 1 . . B-C =--A, então 3 , . ·-- - ' _l_ A = 20º e A = 60º 3 A lei angqls,tr _de '.fale~ . diz que . Sep.do ' " ..... A + B + C = 18ô<>· : 60º + B + O = 180° ou B.+ C = 12(!0 t ~ • ·, ··~ ' ~. • ' • ,, • • r B ~ C· = · 20° ler.emos ·: ..l ! \ :B ··· 70º e C=50º . 40 7) No triâgulo ABC, o ângulo que as bissetrizes in- ternas AS e CM formam entre si é de 1120°. Calcular o ângulo formado pela altura AH com a bissetriz AS, sabendo qué o ângulo A elo triângulo é o quíntuplo do ângulo c. O teorema 7 diz que B ângulo APC = 90° + -- 2 No caso do 'problema B 120º = 90º + -- 2 B --·= 30° e B = 6()-0 · 2 Sabemos que A+ B + C = 180° De acôrdo com os dados do problema A = 5 C e então: 5 e + Wo + e = 1so0 ou 6 e = 12-0º e e = 20° 41 Finalmente A= 5C = 100° O ângulo· lemos: B-C HAS sendo - -- 2 60º-20º HAS = ---- = 20º 2· 8) Sendo dado o . triângulo ABC, tal que B = 30°, C = 80°, transportam-se sôbre AB, o·s comprimentos AD e AE, iguais a AC. Depois ligam-se os pontos E e D a C. CalcuJ.aros ângulos ADC e BEC. e C. Naval -1959. De acôrdo com os dados do problema os tr~ângulos ECA e CAD, são isosceles . Temos então que Mas _AEC :+ ECA = 180° - 70° = 110º AEC·= ECA então AEC + AEC = 110º e AEC = 55º 42 , · O f.rngulo ·BEC ~ s1tpH~!nenki dn AngulO'AEC, cHlâo BEC = 180° _:_ AEC = 180°' - 55° = 125º Por outro lado o ângulo CAD é suplem.cn to do ân- gulo EAC (700) Então CAD = 180º - 70º = 110º Temos que A.CD = ADC e também: ACD + ADC = 180° - 110° . 70° 2 ADC ·= 70° e 70° ADC =-= 35° 2 9) No triângulo retângulo ABC a bissetriz do ângulo reto f.az com a hipotenusa dois ângulos cuja dife. rença é ·40°. Calcular os ângulos agudos do ttiângulo. O teorema 4 diz que . 1 • • n1 - n = B-C ou Atendendo a que B + C = 90º, por ser retângulo o triângulo, leremos B --:-_C . 40º . e . - . '~ . .. ·' B + e: ·h uo~ ~.rl<~ cuja solução dá B = 65° e C = 25° 43 ....... ·· ' _, 1'----- 10) NuIU triângulo retângul<> A8C, a diferem;a e.nl1·e o~ ângulos ·agudós é de 38°. Calcule os dois ângulos for- mados pela hipotenusa BC com a m ediana AM re- lativa à hipotenusa. E.N.C. Dulra - 1953 O problema diz que B - C = 38º Já vimos que B + C = 90° (no triângulo retângulo) Essas duas equações dão Como B = 64° e C = 26° A1 =~ 2 os triângulos MAB e MAC são isósceles. O ângulo B sendo 64º o ângulo BAM também será 64° e o ângulo AMB, terá para valô'r: AMB = 180° - 2 X 64° = 52º 44 31 ' f" ....L-°il -r 1' ( __.-;;, _J K Do mesmo modo, o ângulo C, senJo igual ao ângulo MAC, ambos val.em 26° e o â1ngulo AMC, valerá: AMC = 180º - 2 X 26 = 128° O resultado poderia i.er sido obtido se achássemos o suplemento do ângulQ AMB. EXERCfCIOS A RESOLVER 1) Com os segmentos de 8m 5m ·e 12m, pode-se cons- truir um triângulo? RESP.: Sim, porque 12 < 8 +5 2) Os lres ângulos de um triàngulo medem em graus, resp-ectivamente x + 36°, 2 x - 15° e 3 x - 39°. Cal- cular os tres ângulos . 3) Num triângulo escaleno, cada ângulo agudo excede o precedente de 10º. Calcular os ângu~os do lriângu10,. RESP. : 50° 60' e 70° ~ 4) Calcular os lados de um triângulo isosceles cujo semi·perímelro é 12m, sabendo que a soma da base oom um dos outros dois lados é igual ao triplo do terceiro lado. · REsP. : 6m; (im e 12m. 5) No triângulo ABC o ângulo A mede 45°. Calcular os ângulo·s desse triângulo, sa1)encfo que o ângulo B é o quádruplo do ângulo C. HESP. : 27º e 108° 45 ----- - -~ ~--- - 6) Calcular os ângu los internos de · um triângulo ABC sabendo qu~ a soma dos exlemos .B' e C' é igual a. 2z10° e que o · interno H é o tdplo do interno C. REsP.: A= 60°; B = 9·0° e C = 3()0 7) Calcular os ângulos de um triângulo ABC sabendo que o externo B' excede C' de 300 e que o interno C é o triplo de B. RESP:: A= 120°; l3 = 15° e e= 45º 8) Um ângulo externo da base de um triângulo isós- celes vale 105°. Calcular o ângulo do vlértkc. H.ESP.: 30° 9) Num triângulo retângulo, um ângulo agudo é o dobro d'o outro. Calcular os ângulos agudos do triângulo. R.EsP. : 30° e 60º • . 10) Num triângulo isósceles o ângulo do vértice é 4/ 5 de um ângulo externo da base. Calcular os ângulos dêsse triângulo. HEsP.: A = 120º; B = e= 30° 11) A razão entre os ângulos agudos de um triângulo re- tângulo é 2/3. Calcular êsses ângulos. ~ 12) RESP. : 36° e 54° Num triângulo ABC, o âugulo HAS formado pela altura AH com bisselriz interna A<;;, é de 10°. Cal- cular os ângulos inte11nos do Lriàngnlo sendo o ân- gulo c igual a ~1~ do ângulo 13. HESP.: A=80; B = (i0° e C = 40" 46 o • *· J 8) :No lriàngulo ABC cakular o â:nguJo fol'mado pela altura AH com a bissetriz AS, quando a diferença entre os ângulos que a bissetriz AS forma com o ladu oposto BC é de 20º. RESP.: 10º -Jt- 14) Nnm triângulo relâuguLo isósceles calcular o âu- ~ gulo que formam ns bissetrizes internas de dois ân- gulos desiguais. E.N.C. Dulra - HJ51 RESP.: 112° 30' 15) ~um lriângnlo isoscelcs ABC o ângulo externo cm (A) é igual a um quinto da soma do·s o:utros dois ângulos externos (cm B e em C). Calcular os ângulos internos dêsse triângulo. E .N.C. Dutra - 1953 REsP.: 120°; 30º; 30° ~16) Na figura abaixo CD é a bissetriz do ângulo ACB. Qual o valor do âng11J.o x • 17) E.P.C.Ar. - 11951 HESP. : X = 80° O ângulo das bissetrizes d.as ~ju;el1+~@ 1;; <l.os ângulos da base de um triângulo isosceles é igual ao lriplo do ângulo do vértice. Qual o valôr dêsse ângulo em graus. C. Naval - 1959 RESP.: 36" 18) Na figura ABC e DBC são triângulos isósceles. O ân- gulo BAC é o quádrnplo do ângulo ACD. Calcular 47 " + - .. -• ---- .Q ângulo HA ' saL 11<.l o. se que ~ soma dos ângules da base do triâ_ngµl o DRC vale 00°. B IC--------3. e C. Naval - 1961 RESP.: 80° 19) Os âingulos inlernos de um triângulo medem 80º, '10º . e 600. Calcular os ângulos internos do triângulo for· mado pelos suportes das bissetrizes externas do triângulo dado. c. Naval - 1963 H.ESP.: 50º; G(r e 70º 20) No triângulo ABC as bissetrizes internas AS e CM, formam wn ângulo de 118° 15' 37" e o ângulo c do triângulo é a têrça parte do ângulo A. Calcular o ângulo que a bissetriz externa AT faz oom a altura 1 AH do tr1iângnlo. " HEsP.: ~ jV 31 ",25 f = '7'1º10 11,3// l! &: 2ief.,c """" Ci/lLõ 2_!) Num ~â1~lo retângulo ABC a mediana AM faz com a hipotenusa dois ângulos cuja diferença é de 4Q<>. Calcular os ângulo:; agudos do tdânanlo. 22) RESP.: 55º e 35° Num triângulo retângulo a allura e a bissetrizdo ân- gulo relo formam enh'e si um ângulo de 200. Cal- cular os ângulos agudo~ do triângulo retângulo. HESP.: 25º e 65° 48 '! ll • ~0) , :?'\a figura, exprimir . ü . à ngulo x, em função d ç, ân- gulo m , n e p. · 24) ' . HESl'. : X= 111 + ll - p Num. kJângulo ABC, 0 ângulo B = 35° e o ângulo C = 75°, as alturas relativas aos lados AB e AC cor- tam- e em I. Calcular o ângulo BIC. "' ,.. 8-+-C "/do" HESP.: 110° + 25) Na figura os segmon los Al\l e AN são iguais. Expri- miro ângulo~: CTT. função de a e b. 49 e K"-b RESP. : X = - --- 2 <!.- Ir Jt-- - - '%.- ( go0 - ( â. + Ú) 2.. t 26) Num triâp.gulo acii1àngulo isosceles tLJn àngulo é o quádruplo do outro. Qual o m enor ângulo do triângulo? C. Naval - 1957 HESP.: 20º 27) Qual 'O ângulo formado pelas bjsselrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo? C. Naval - 1957 RESP.: 135° so 11. PARALELAS Dua'S retas sã<0 · para(elus quando, situadas no mesmo plano, não tem ponto comum. { Teor~ma t} Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas. M A. ,. e 90º B D FIG. l Na figura 1 AC e BD - retas perpeiudicuJares à MN. Conclusão AC e BD são rela~ paralelas. Postulado de Euclides Por um p onto fora de uma rda só podemos Lra çar uma paralela a essa reta. Conseqüência Duas relas paral elas a urna terceira são paralelas entre si. Concluimos que : desde que várias retas sejam paralelas a uma reta da da, são paralel as entre si e constituem um feixe de para/elas. l Teorema 2J Quando duas r-eías para l~las são cortadas por uma lrans- v_erbsal qualquer,. os quatro ângulos agudos são iguais entre s1, em como os quatro obtusos. M p' FIG. 2 Na figura 2 MM' e N N' - r e tas paralelas PP" - t ransYersal a , e, p, m - ângulos ag udos ( iguais) h, d , n , q - â ngulos oblusos (igua is) Sl N' allernos intcmos : li e q; e ·e m (são iguais) alternos externos: a e p; d e n (são igll li is ) 'CO<laterais inlemos: ·b e m ; e e q (sup1 em entates) colaterais externos: a e n; d e p ('suplemen tares) correspondentes: a e m; b e n; d e q; c e p (são iguais) É preciso noiar que as relações acima estabelecidas só se verificam 1s·e as relas iMIM' e NN' forem paralelas. No caso de não serem .paralelas, os nomes dos ângulos são os mesmos mas, repetimos, não são ,1guais: os alternos externos; ou os alternos internos nem <>S correspondentes, assün como os cola- l·erais internos ou externos, não 1são suplementares. / Teorema 3] Dois segmentos paralelos compreeJ;ldidos entre retas paralelas são iguais. A B M e N FIG. 3 Na figura 3 M e N são duas retas paralelas AC e BD - scgm r nt os pa ralelos compreeindi~os · entre paralelas. Conclu.~ão AC= BD. 53 APJ:.-lCAÇÃO . DA TEORIA DOS PARAf .. ELOS, AQS ÂNGULOS Ângulos de lqdos Jlaralelos - _._1 _T_e_o-re_n_1_a_4~\ .. · Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são iguais quando agudos e suple1J1.enta1'es, q;uando um é agudo e i0 outro obtuso. /\ /1 1.• ô= e>' 0 1 L-L------- D º'--L-------'õ FIG. 4 A /\ iJ o o+o'=./oo FIG. 5 Na figura (4) temos os ângulos AOB e co~n com ·os lados OA paralelo a O'C e OB p·aralelo a O'D. Como os ângulos são menores que 90°; são agudos. Relação ângulo AOB =ângulo CO'D Na figura 5 temos os ângulos PQQ e NMR com os lados OP e MN paralelos, assim como os lados OQ e MR. Conw .. 1up: dos ângulos é agudo (POC) e o outro obtuso (NMR) temos a · Relação ângulo POQ + ângulo NMR = 18(Y> 54 1 • Anaulo.s de lados nerpendiculares ITeoremiJ] - = · · · · · · Dois ângulos de lados respectivamente p erp endicular~s são iguais se ambos forem aguld<?s e suplementare& se um for agudo e outro obtu's.o. A A " O I o -:: 1.0 caso o ..:......JL------ f) FIG. 6 2.0 caso ~o' ;\ " .1 -o o +-0'::::7 80 o F FIG. 7 N l 'T'' . Os ângulos AOB e CO'D da figma 6 têm os lados AO e CO' perpendiculares, assim como os lados OB e O'D. Como são ambos agudos temos a Relação, ângulo AOB = âng1:1lo CO'D 55 No caso da figura 7 os ângulos EOF e MO'N teem os la<los OE e O'M perP'endicuiares, assim como os lados OF e O'N. Como o primeiro é agudo e o segundo obtU'so, temos a Relação ângulo EOF + ângulo MO'N = 180º EXERCtCIOS · RESOLVIDOS 1) Duas paralelas cortadas por uma transversal, for- mam qua1tro ângulos agudos e quatro obtusos. A soma dos ângulos agudo'S é 201° 22' 8 ". Calcular um dos â1ngulois obh.Jsos. e. . o teorema 2 diz que os ângulos a, e, m e p são iguais. Como a soma dêles é 201° 22' 8", cada uni dêles valerá a quarta parte da S'Qma ou a = e = m = p = 50° 20' 32" Por outro l'ado os ângulos a e n, são colaterais exter- nos; b em são colaterais internos; d e p e e e q idem e, p·ortanto, são suplementares. Então: a .+ n = b + m = d + p = e + q = 180º (S1Uplementos de ângulos igÚais; a, e, m e-p) e b =d= ll = q = 18()º - 50° 20' 32" -;- = 129° 39' 28" 56 2) Duas paralelas cortadas por uma transver'Sal, for- mam ângulos internos d-0 mesmo lado do.s quais um excede o outro de 30º 27'. Determinar esS'es ângulos. Internos do mesmo lado, são colaterais internos, que vimos serem suplementares. Então o problema passa a ser: "determinar dois ân- gulos suplementares, cuja diferença é 30° 27' Assim sendo: X - (180 - X) = 3()0 27' OU x= 105° 13' 30" e 74° 46' 30" 3) Calcular os ângulos externo's do mesmo lado, forma- mados por duas paralelas cortadas por uma trans- versal, sabendo-se que a soma dos ângulos agudos formados por essas retas é igual a 160°. Se os quatro ângulos agudos somam 160°, cada um valerá 40°. O problema se refere a ângulos externos do mesmo lado, que são 1os colaterais externos, que vimos se- rem suplementares . Então; o outro ângulo procurado é 180° - 40º = 140º 4) Duas paralelas, cortadas por uma transversal, for- mam um ângulo de 37°. Determinar todos os ângulos da figura. O teorema 4 diz que são quatro ângulos agudos e quatro obtusos, iguais respectivamente. Pelos dado~ do problema, quatro valem 37°, resta- -nos determinar os outros quatro, que são iguais. No problema 1 vimos que um agudo e um obtuso são suplementares, então os obtus06 serão de 180° - 37° = 143° cada um. 57 5) D uas paralelas, cortada~ por uma transversal, f ot- mam angul•os, alternos mternos expressos em graus por~ x - ~º e 3 x + 2°, respectivamente. Determi- nar esses angulos. Vimos que os ângulos alll'n10s-inlernos são igua.is. Então 5 X - 4o = 3 X + 2º e x=3º Os ângulos serão : 5 x 4º, substituindo x por 3, isto é 5 X 3 - 4° = 11º A substituição de x por seu valor em 3 x + 2º d · · 11 o · t ' ' , ana , vis o que os ângulos são iguais. 6) :puas ·retas, cortadas por uma transversal, formam a~gulos correspondentes expressos em graus p·or 2 + 3 ~ e 4 x - _ 7~, res·pectivamente. Para que aG retas seJam paralelas, quanto deve mediT êsses ân- gulos? Para que as retas. sejam paralelas, os ângulos cor- respondentes prec1s(lm ser iguais. Então: 2º + 3 X = 4 X - 7o e X = 9º E o ângulo será 2° + 3° X 9 = 29º 7) As ~issetrizes dos ângulos B e C de um triânguk> acutangulo ABC formam um ângulo de 128º. Deter- 5-S minar os ângulos formados l)~l~s · aitt~Tas traçadas dos vértices B e C. A U......-.l.----~---------=--C H Na figura, BM e CM' são as bissetrizes dos ângulos B e C, que formam o ângulo BPC = 128°. BH e CIP são• as alturas traçadas dos vértices B e C, cuj os ângulos BRC e HRC, queremos calcular. Vimos, no capítulo, triângulos, que A ângnlo BPC = 90° + -- e 2' A 128º = 90º + -- e 2 A=76° Os ângulos BAC e HRC tem os lados perpendi- culares (BH perpendicnlara AC e CH' perpendicular a AB). O teorema 5 diz que esses âng ulos são igua is; então HRC =A= 76° O ângulo BRC s•erá 180° - 76° = 104° 59 _EXERCfCIOS A RESOL-VER 1) Um dos ângulos formado por uma transversal com duas paralelas mede 38º 15'. Calcular todos os outros ângulos. 1,<çte REsP.: 141° 45' ,i.l .:U- ..J-f o ~ .J- / 2) A diferença entre dois ângulos colaterais internos formados por duas para:elas c.om uma transversal é de 60° 23' 32". Calcular todos os ângulos da figura. RESP.: 120° 11' 46" e 590 48' 14" 4tá ?" 'f ç4- ~ 3) Calcular os ângulos externos do mesmo lado forma· dos por duas pa-ralelas cortadas por uma transversal, sabendo-se que a soma dos ângulos agudos é de 204°. REsP.: 51° e 129° 4) Duas paralelas cortadas por uma transver3al, formam um ângulo de 153° 29' 15". Determinar os outros ângulos da figura. li- 4- RESP. : 26° 30' 45" .L- 'I µ._ / r-:r .2.. "/" 1.r,, 5) Duas paralelas cortadas por uma transversal, for- mam dois ângulos colaterais internos expressos em graus por 5x + 25° e 2x - 20°, respectivamente Calcular os ângulos da figura. REsP.: 30° e 150° 6) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam dois ângulos colateráis internos que podem ser representados por 3x - 50° e 2x + 100. Cal- cule o me11or dêsses ângulos. ~ 1.E. - 1951 RESP. : 82° 7) Dois ângulos são cola erais internos e um dêles tem mais 64° 42' que o outro. Calcular os dois ângulos. RESP. : 1220 21' e 57° 39' 60 8) 9) No triângulo ABC o ângulo que as bissetrizes AS e CM formam entre si é de 120°. Calcular os ângulos que as alturas traçadas dos• vértices A e C fazem entre si. RESP.: 60° e 120° As retas r e s- são paralelas. Cakule os ângul-os x, Y e z, sabendo que 2 X + y + Z = 240º J.C. -1951 REsP.: x = 30°; y = 1500 e z = 30º 61 POL1GONOS. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS. DIAGONAIS. PARALELOGRAMOS. '.I'RAPÉZIO. Polígono é a superfície plana limitada por linhas retas que se encontram duas a duas. A·s lin\has se chamam i/.ados do polígono. Os pontos de encontro de duas lii111has se chamam vértices do polígono. Os segmentos de retas que unem do.i·s vértices não con- secutivos, são as diagonais do polígono. Os p-olígonos podem ser regulares ou irregulare-s; convexos ou não convexos tam- bém chamados côncavos e entrelaçados Regulares: são os que têm os lados iguais e os ângulos iguais. Irregulares: são o.s que nã.o têm todos os lados iguais ou todO'S os ângulos igua1is. Convexos: são os que têm todos os ângulos salientes, Tôdas as suas diagonais são interiores. Não convexos Oll côncavo: são os que tem um ou mais ângulos reentrantes. Suas diagonais podem. ter partes inte- riore'S •e parte exteriiorcs ou totalmente c:deri·orci:;. Entrelaçadas: são os que têm um dos se us lados cortado por outro. llm, polígono entrelaçado d sempre não conexo. Os polígonos se cu racterizam também pelo númcr-0 . de seus lados e muit.cs <lêl cs têm nomes e3peciais, dependendo daquele número de ladüs . Assim é que o polígono de: 3 lad os é o triângulo -1 " " quadrilátero 5 ,, ,, " pentágono 6 ,, ,, " hexágono 7 ,, ,, " heptágono 8 " ,, ,, octógono 9 " " _eneágono 10 " ,, ,, decágono 11 ,. ,, " undecágono 12 ,, ,, " dodecágono 15 ,, " " pentadecágono 20 " " icoságono. No caso d·e ter um número de lados diferente dos citados não tem nome especial; são denominados: polígono de treze lados; polígono de quarenta lados; etc. No caso do polígono ter todos os lados iguais é dito equilábero. Se apenas os ân- gulos forem iguais, e chamado equiângu[O; Ângu lo interno. de um polígono ou ângulo de um poli - gono, é o ângulo formado p or dois lados consecutiV'OS do polígono, na superficie por êle limitada. Seu valôr, no caso do polígono ser equiângulo é: 180 (n - 2) . (ângulo interno). i = , sendo n o numero n de lados do polígono. Ân ulo externo de um 'JO/í o·no é o ângulo formado P'or um de seus a •os e o prolongamento elo lado adjacente. 63 Seu valor, no caso do polígono ser equiângulo é . 360º (ângulo externo) e=-·----, sendo· no número cfo n lados do polígono. T,eorema 1 A soma dos ânguJ.os internos de qualquer poligono con- vexo é igual a tanta> vêzes dois ângulos retos (180°) quantos são os lados menos dois. Relaç·ão Teorema 2 Em todo polígono convexo a soma dos ângulos externos é igual a quatro ângulos retos. Relação s. = 36()0 Teorema 3.. Em qualquer polígono a soma dos ângulos interno e ex- terno é 180°. Relação i +e= 18()<> Teorema 4 A soma de todos os ângulos externos e .internos de um polígono é igual ao número de lados do polígono, multipli· cado por dois ângulos retos. Relação Si + S. = n X 180° 64 '.l'eorema 5 O número de diagonais distintas de um polígono é igual à metade do número de lados multiplicado pelo número de lados menos três. Relação Teorema 6 n (n-3) (n.º de diagonais) D = ---- 2 De um mesmo vértice podemos traçar tantas diagonais quant·os frorem os lados do polígono, menos três. / / / / Na figura 1 / / ABCDE - pentágono irregular convexo. A, B, C, D, E - vértioes dr0 polígono AB, BC, GD, DE, EA - lados do polígono 65 . ----- --- - - p , q, l', s, l -- ângulo~ internos do polígoJHl · p ', q', r', s', t' - ângulos externos do polígono AD, AC - <fiagonais traçadas <lo vértice A. Relação n.0 de diagonais de um vértice = n - 3 Poligono não convexo (fig .2) e FIG. 2 POiígono l"11frelaçllt/o (fig. 3) FIG. 3 66 QUADRILATEROS Paralelogramo D Na figura 4, temos ABCD - paralelogramo FIG. 4 AB, BC, CD e AD - lados do paralelogramo AH - altura do paralelogramo AC e BD - diagonais do paralelogramo A, B, C e D - vértices do pam!elogramo • 1 - interseçã-o das diagonais é o centro de simetria do paralelogramo. [Teornma 1 L Os lados opostos de um paralelogramo são iguais e os ângulos opostos também. Relação \Teorema 2 l lados AB = CD e AD= BC ângulos A = C e B = D. As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao 1neio e são diferentes. Relação Al = lC e lB = l l> AC # RD ,., {~eoçemn f} Qualquer diagonal de um paralelogramo divide-o em doi s ti·iângulos iguais. Relação l Te-0rema 4] tdângulo ADB = triângulo BDC ou triângulo ADC = triângulo ABC A soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual à sorna dos quadrados dos diagonais. R.elação (fig. 4) AB2 + BC2 +· CD2 + AD2 = AO + BDZ O retângulo o losango e o quadrado são paralelogramos eispeciais, que gozam das propriedades anteriores (teoremas 1, 2 e 3) e mais as seguintes·: R etdngu.lo FIG. 5 Na figura 5 ABCD - retângulo AB, BC, CD e AD - lados do retângulo A, B, C e D - ,~é rtices do retângulo AC e BD - diagonais (ir1uais) Ângulos A, B, C e D - r otos. 61 Na figura 6 ABCD - losango A e FIG. 6 AB, BC, CD e AD - lados do losango (iguais.) AC e BD - diagonais (diferentes e se cortando em ân- gulo reto. São bissetrizes dos ângulos). MN - altura do losango Quadrado 41 D"------~c FIG. 7 Na figura 7 ABCD - quadrado AB, BC, CD, AD - lados do quadrado (iguais) A, B, C, D - vériic1C's do quadrado 69 ""' . AC e .Bb - diagonais Jo quadrado são iguais, e se cortam formando um ângulo de 90°. São bissetrizes dos ângulos do quadrado). A, B, C; D - ângulos do quadrado (retos) '!:_rapézia .. lsosceles (d) Retângulo (b) l!scal~I'º ( e: ) FIG. 8 70 Na figura 8 Temos os três tipos de trapézio: Isósceles (a); retângulo (b) é escaleno (e). Em todos AB e CD - são os bases do trapézio AD e BC - são as contra-bases ( 1 a-~ ~ f~)AC e BD - são os diagonais MN é a base média do trapézio expressa por: MN.= AB+DC 2 Ela divide ao meio as contra-bases. PQ - segmento de reta que une os meios das diagonais. É paralela às bases AB e CD e tem para valôr PQ=DC-AB 2 No trapézio isosceles (a) as contra-bases são iguais. Os ângulos da base são iguais. D= ê e Ã. = Í3. No trapézio retângulo (b) uma das contra bases faz ân- gulos de 900 com as bases AB e CD que são paralelas. No trapézio escaleno (e), as contra bases são diferentes. AH e AD são as altul'as dos trapézios. ]'eqrema 5 } A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual a soma dos quadrados dos lados não paralelos, mais duas vezes o produto dos Jados paralelos. -l- ?? ~ 11 e - ~ - - Relação AO + BD2 = AD2 + BO + 2 AB X DC. / '[;_e.orema 6lE\i'fer) / >f' A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero qualquer é igual à soma dos quadrados das diagonais, mais quatro vêzes o quadrado dá reta qu·e une o meio das diagonais. A e .D FIG. 9 Na figura 9 .. ABCD --=-- quadrilátero qualquer. AB, Bc, ·cn e :AD;__ lados do quadrilátero AC ,e BD ~ diagonais · ·EF - rela que Une .os meios .das diag<mais. Relação AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2 + 4EF' l teorema z1 As diagonais de um pentágono regular se cor!am em mé- dia e extrema razão. · 72 ; FIG. 10 Na figura 10 M~ 5'..e~ -~~ ABCDE - pentágono regular AC e BE - duas de suas diagonais M - ponto de inle1'Seção das diagonais. R edação ( .:\1C2 = AC X Al\II e {se= CM EXERCíÇIOS RESOLVIDOS 1) Quanto mede o ângulo intern.o de um pentadecágono .regular? · A fórmula que dá o ângulo interino de um poligono é: 180 (n-2) L=----- então: n 180 (15- 2) 180 X 13 ! = ------ 15 15 = 12 X 13 = 1:56º 2) Quanto mede o ângulo externo de um icoságono regular? A fórmula que dá o valor do ângulo externo é: 360 e=--, então n 360 e=--= 18° 20 . 31 3) O ângulo interno de um polígono regular é -- do 2 4) externo. Qual é o poligono? O problema nos permite escrever: . 3 1 =--X e ou 2 180 (n -2) a 360 - ----=-- X -- ou n 2 n 3 180 (n - 2) = - X 360 ou 2 n-2=3 e n=5. O polígono é o de cinco lados, .isto é, o pentágon-0. Determinar o valor do ângulo formado pelos prolon- gamentos dos lados AB e CD de um dodecágono regular. · X"a figunt t"!i láu i·e_p.reserilaâos apenos 3 lados d6) dodecágono e os prolongamentos dos lados AB e CD, que se encontram t>m M. Vamos calcular o ângulo AMD. O ângulo interno d-0 polígono vale : 180 (n - 2) 180 X 10 i = = = 1500 n 12 Conseqüentemente o ângulo MBC e MCB, que são iguais, porque o triângulo BMC é isosceles, vale: 180° - 150° = 30° A lei angular de Thales aplicada ao triângulo BMC dá: ângulo M = 180° - 2 X 30° = 120º 5) As bissetrizes internas AM e CM dos ângulos de um polígono regular ABCD ... , se encontram no ponto M. Calcular o número de lados do poligono, · sabendo que o ângulo M é igual ao ângulo interno do polígono. A :Br-_____ c / / / / ---+-1M :\la figura, ABCM é um quadrilátero, no qual o ân- gulo M é igual ao ângulo B (interno). Os ângulos :.vrAB e MCB são metade do ângulo interno do polí- gono cujo número de lados queremos calcular. 75 A soma (tos ft ng lll.t)S i.p.IC' t·n.os (lo. qtHHlrüútc.ro ABCJ\I ·é 360º. Então · . · · · · · · (ângulos) MAB + ABC + BCM + AMC = 360° i . i . -- + l +-- + l = 360 ou . 2 2 36()<> 3i = 360º e .i = -- = 120° 3 . 180 (n-2) l = ----- teremos n l20º = 180(n -2) .·· n ou 120°n = 1800n - 360° ou :3.60° = 60ºn e 360º n = ---=Ô 60º O p olígono é pois o hexágono. 6) Prolongando-se os lados AB e CD de um polígono regular convexo ABCD .... encontra-se em ângulo de 6()0. Qual é o polígono ? M 6 // 60° ', / \ .B /" ' e A 76 1 7) Pelo enunciado do problema, o ângulo ~1 é 00°. Por ser regular o poligono, MB e MC sã-o iguais e o triân- rtnlo MBC é, em princípio, isósceles. Sendo assim os ângulos MBC e MCB são iguais e valem juntos (lei angular de Thales). Cada um deles valerá pois 120º -7- 2 = 6()0 Vemos assim que o triângulo MBC é equ.ilálero. O ângulo interno B ou C do pol1gono va lerá 180° - 60° = 120º Teremos então: 180 (n - 2) 1'..::-0º = Jl n =6 e O polígono é entã•o. o hexágono. Dois polígonos regulares. P e Q têm respectiva- mente n e n + 1 lados. O ângulo interno do polí- gono P excede o ângulo externo ao polígono Q de 95º. Qua·is são os polígonos. O ângulo interno do polígono P é expresso por: 180 ( n-2) i =----- p n O ângulo externo do po lí gono Q é r eprcscn tado por: ·36() E:' =--- Q · 11 + 1 77 -- - -.. - -·- ~---- Corno a diferenca entre eles é 95º teremos · . ' . 180 (n - 2) 360 - --- = 95° ou n n+l 180 (n + 1) (n - 2) - 360 n = 95 (n) (n+l) ou 36 (n2 - n - 2) - 72n = 19 n 2 + 19 n ou 17 n2 - 127 n - 72 = O cujas raízes são: 18 --- (que não serve) 14 O polígono P tendo 8 lados o polígono Q lerá 8 + 1 ou 9 lados. São, portanto, o octógono e o eneágónó. 8) Dois polígonos P e Q são tais que o ângulo externo ?e P é igual à vigé'Sima .parte da soma dos ângulos iinternos de Q e o ângulo interno de P é o triplo do ângulo externo de Q. Diga quais são êsses polí- gonos (Thiré). Chamemos de p e q os números de lados dos polí- gonos P e Q respectiV'!lmente. O problema diz que: 360 1 --= - X 180 (q-2) (A) e p 20 . 180 (p - 2) 360 - - - - -= 3X -- (B) p q As equações {A) e (B) formam um. sistema qne re- solvido dá o valôre de p e q. Assi.D~,, a.$ equ~-0-~s (A) ti (B) · p.odem to.mar os aspectos: j~ = 180(q -2) Ull p 20 1 180 (p ~ 2) -:: ~ Oll l p q ou ai nela : { -W = ·~q-2~) pq - ~q = 5p Oll (C) (p - 2) q =fl p q = 6,p p-2 (D) e Substituindo o valor de q da equação (D) , na equação ( C) teremos: 40.= p X 6p -2p p - 2 • 10 = 6p - 2p ( 111 p - 2 4Up - 80 = 6p2 - 2p2 -\- 4p 4 p2 - 36 p + 80 = () ()11 p '.! - 9 p + zo = o ,. P1 = 4 e P2 = - Com êsses valôres em D, vemos: 011 6X4 24 ·q, = = --= 12 4-2 2 6X 5 30 q ~ = =--= 10 5-2 3 79 ou e . Os polígonos . são pois: qlL~~~ra(.jp .r '-hi~l.~~ágcmo ou '· · pentágôno e decágono. 9) A soma dos ângulos internos de um polígono t;On- vexo é 9000. Calcule -o número de diagonais dêsse polígono. 10) Como queremos saber pregamos a fórmula capítulo. D= n (n-3) .. 2 o número de diagonais, em. apresentada no início ·do (1) Verificamos, então, ser necessano o valor de n, nú- mern de lados do polígono e para- calculá-lo veremos .que é dada a soma dos ângulos intel11os que é: S; = 180 (n - 2), então 900 = 180 (n - 2) e Agora então levamos ê ·se valór em (1) e leremos: 7 (7-3) . . D =-----= 1-1. drngona1s 2 Qual é o polígono em que o número de lados é igu~l ao número de diagonais? Sendo n o número de lados e D o ele diagonais, o problema nos 'Pem1ite escrever: n = D ou n (n - 3) 11 = ou 2 n-3 1 = --- ou 2 n = 5, isto e'·: o pentágono. 80 r . Dois polígonos P e Q, leem pa1:a númel'o de lados · doís números · ·inteiros e consecutivôs. A dife- rença entre os números de diagonais ·dêsses polí- gonos é 4. Quai'S são os polígonos. Podemos. dizer que um polígono tendo n lados o outro terá n + 1, lados. O que tem maior número de lados tem mais diagonais então o número «te dia- gonais do que tem n + 1 lados será: (n + 1) (n + 1 - 3) D1 = ou 2 Di = (n. + 1) (n - 2) 2 O uúmero d e diagonais do de n lados é: n (n -3) D2 = 2 O problema diz qnecn lão (n+ l)(n - 2) n (n - :{) -------- 2 2 n'.! - n - 2 - n:: + 3n = 8 011 2n = 10 e 11 = 5 (JJentúgono) Consequentemente o outro lerá n + l ou 5 + l = () (.hexágono) -- 1 ()li 12) A soma e.la soma e.los ângulos .internos e ex ternos de um polígono é 1440°. Quantas diagonais podemos traçar nesse polígono? 81 Como queremos saber o númere de diagop.a~s, e.n1:- pr~garernos a fórmula n = _n_(_n_-_3_) 2 Verificamos então preoisar conhecer 11 . Vimos tam- bém que: S; + Se = 180 X n 1440 = 1180 X u ou 1440 . n =-- -= 8 180 Depois disso: então 8 (8-3) D = = 20 diagonais. 2 13) Num paralelogramo, um ângulo obluso é cinco vêze-; um agudo. Calcular º'"' ângulos do paralelogramo . Um paralelogramo tem dois ângulos obtusos e dois agüdos, iguais respectivamente. Se chamamos o agudo de x, o obtuso ser á 5 x e então poderemos ,escrever: x + 5x + x + 5x = 360° ou 12 X. = 36()0 e X = 3()0 .::onseqüentem en le 5 X = 5 X 30º = 150º 82 14) Num paralelogramo ABCD, a diagonal AC forma com o lado AD um ângul<0> de 80° e com o lado AB um ângulo de 400. Calcular os ângulos do ·paralelo- gramo. 15) ,__ _______ _.;yc Os ângulos A e C são iguais, hem oomo B e D. (Teorema 4) O ângulo A, valendo 80º + 40° = 1Wo, o C também valerá Como os quatro ângulüs valem 360° e A + C = 24-00. segue-se que B + D = 120° e como são iguais, cada um valerá 6()0. Os ângulos do paralelogramo são pois: 60°, 60'1>, 120° e 1200 Uma diagonal de um retângulo forma com um dos lados um ângulo de 36º. Calcular os ângulos que as diagonais formam ,entre si. Como os ângulos do r e tângulo são retos, se o ângulo DAC é 36°, o ângulo CAB será: 90° - 36° = 54º 83 Por se cortarem ao meio as diagonais e serem iguais. os triângulos AMD e AMB são isósceles. Então o:s ângulO'.s DAM e MDA são iguais e valem 36° ca<la um. A lei angular de Thalcs nos permite calcu.lat o ân- gulo AMD. AMD = 180° - 36° - 36º = :1.08° Como os ângulos AMD e AMB são suplementares, segue-se que o ângulo AMB = 180º - 108º = 72º Esise resultado po<léria :ser obtido alravés do triân- gulo i'sósceles AlVIB cujos ângulos MAB e MRA são iguais a 54°, ficando para o ângulo AiMB = lWº -54°- 54° = 7 -º 16) A altura de um losango forma com a diagonal menor, um ângulo de 40°; calcular os ângulos do losango. Na f.igura 6 do capítulo, o ângulo MOD ou BON é 40°. Como os triângulos OMD e ONB são retângulos os ângulos MDO e NBC valem 500. Como· as diago- nais do losango são bissetrizes dos ângulos, segue-se que os ângulos ADC e ABC valem 2 X 50° = 100º, cada um. Os quatm ângulos valendo 360° e <loís va- lendo 200° segue-se que os outros dois valerão 160° e como são iguais, por serem opostos, cada um me- dirá SO°. Os ângulos do losango s:io pois: 84 . 1.7) I Um d.o.S ângulos . i.u lt>roos <le um. trapézio isósculcs é a metade du soma dos outros teês. Calc.ule os ân· gulos do trapézio. r Viimos que no trapézio isósceles, os ângu.Ios da base são iguais. O enunoiado do problema permite escrever: x+2y X =--- ou 2 2x = X + 2y OU x=2y Temos também: x + x + y + y = 3()() on 2 X+ 2 y = ;:lf,() e X+)'= 180 Oomo x = 2 y, te reinos : 2y + y = 180 ou 3 y = 180 e y = 60° Sendo x=2y, X = 2 X 60º = 120º Os ângulos são1 pois: 85 I ' · t8) A allui'a de um L1·apézio isósceles fo1·ma com w.m dos lados não paraleÍOs um ângulo de 30º. Ca l ~ular os ângulos dêssc trapézio. A A .D \-\ O .• ângulo DAH = 30° e o trapézio é isó~celes. O triangulo AHD é retângulo, logo o ângulo ADH vale 900 - 30° = 60° (.os ângwlos agudos de um triângulo retângulo, são complementares). Sendo isósceles o trapézio, o ângulo C também vale 60° e os ângulos A e B, que são iguais valerão: 360º - 60° - 60º A= B = = 120º 2 19) Em um trapézio e:scaleno ABCD, cuja base maior é A~, o ângulo D é o dôbro do A e o ângulo B é a qumta parte do C. Calcule os ângulos do trapézio. O problema nos diz que: D = 2 A e B = ~ ou C = 5 B 5 86 Sabemos que A+ B + C +D= 360° ou A + B + 5B + 2A = 360° ou 3A + 6B = 360° A+ 2B = 120° (1) A figura CDEA é um paralelogramo e por isso os ân- gulos C e E são iguais, assim como os ângulos A e CDE. Como ·o ângulo CDB é igual a 2A e o ângulo CDE é igual a A, ·segue-se que o ângulo EDB =A. Por outro lado o ângulo DEB é igual a 180-E ou 180-C (E= C) No triângul•o DEB, .sabemos que: D + E + B = 180° (lei angular de Thales) Teremos então substituindo-se D e E pelQ,s seus valôres: A.+ 180 - C + B = 180 ou A + 180 - 5B + B = 180 A=4B ou Sub:; liluindo-sc esse valôr em (1 ) , vem: 4-B + 2B = 120° e· B = 20° Com esse Yalor Leremos: C = 5 B = 5 X 20° = 100° Na equação A + B + C + D = 360° ou A + 20 !- 100 + D= 360º ou A + D = ~40° 87 .W) Mas como D =2A A + 2 A = 240° e A = 80º e como D = 2 A teremos D = 2 X 80º = 160º A ba.se média de um trapézio tem 20 m e o perí- metro 56 m. Calcular os dois lados não paralel·os sa- bendo que a sua diferença é igual a 4 m. Sabemos que a base média é a semi-soma das bases; então: chamado B e b as bases do trapézio. Então: B+h=40m e como o perímetro é 56 m m; lados não paralelos medirão: ' 56-40=16m. Se chamarmos um lado de x e outro de y, p oderemos escrever: x+y=16 e x-y = 4 Teremos assim um sistema que resolvido dá: x = 10 m e y = 6 m. 21) Em um trapézio isósceles ABCD, cujas hases AB e CD medem respectivamente 24 m e 16 m , pede-se cal- 88 \ cular a base média e o segmento da base média com- preendido entre as diagonais. A base média é: MN= AB+CD 2 MN= 24+16 2 ou =20m O segunda. elemento a determinar é: PQ= AB-CD ou 2 24-16 PQ = =4m 2 22) Os lados de um quadrilátero medem 48 cm, 40 cm, 30 cm e 14 cm respectivamente; uma diagonal mede 40 cm e o segmento, que une os meios d~s diagonais 15 cm. Calcular a outra diagonal. O teorema 5, de Eüler (do presente capítulo) nGs deu a relação: AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + + BD2 + 4EF2 No caso pres·ente, teremos: 482 + 402 + 302 + 142 = 402 + BD2 + + 4 X 152 ou 2304 + 1600 + 900 + 196 = 1600 + + BD2 + 900 ou 5000 = 2500 + BD2 OU! BD2 = 2.500 e BD = 50 m 89 rp;' EXERCtCIOS A RESOLVER 1 Quanto mede o ângulo interno de um polígono de 14 lados, regular? 4 RESP.: 154º 17' 8" -- 7 2) Quanto mede o ângulo externo de um octógono regular? RESP.: 45° 3) 4) 5) O ângulo externo de um polígono regular é igual ao interno. Qual é o polígono? R Q d d ESP.: ua ra o Um polígono regular convexo tem para valor de um ângulo interno 157° ·30•; qual é o número de seus lados? RESP.: 16 O ângulo interno de um polígono é igual ao triplo do ângulo externo. Qual é o polígono? REsP. : Octóg0ino 6) Determinar o valor do ângulo formado pelos pro· longamentos dos lados AB e CD de um octógono. REsP.: 90° 7) Qual é o polígono convexQ em que a soma dos ângu- los internos é igual à soma dos ângulos externos? E.N .C. Dutra - 1952 REsP.: Quadrilátero 8) A soma dos ângulos internos de um polígono regular é igual a 12600. Determinar o valor do ângllilo externo. 9) C. Naval - 1951 RESP.: 40° Quanto vale o ângulo interno de um polígono regu· lar de nove lados? e. Naval -1952 RESP.: 140° 'º , 10) 11) 12) Quantos lados tem um polígono r-egu1ar cu.jo ân- gulo exterior mede 15°? C. Naval - 1952 REsP. : 24 lados Trlês ângulos internos :le um pentágono convexo medem respectivamente, 108°, 100° 20' e 91° 40'. Cal- cule o maior dos outros dois ângulos sabendo que êle tem 20º mais que o outro. I. E. - 1951 REsP.: 130º As bissetrizes AMe CM dos ângulos internos de um polígono regular ABCDEF ... , encontram-se no ponto M. Calcular o númevo de lados ao polígono, sa.oendo 2 que o ângulo M é igual a -- do ângulo interno. 3 RESP.: 8 lados 13) Prolongando.se <>s lados AB e CD de um polígono regular convexo ABCD . . . obtem-se um ângulo de 120º. Quantos lados tem eS!se poligono? RESP. : 12 lados .ifct.;r. ú'14) Os polígonos P e Q regulares, têm n e n + 1 lados, respectivamente. Dizer quais são os polígonos, sa- bendo que o ângulo interno do polígono P mais o ângulo externo do 'Polígono Q, valem 168°. REsP.: pentágono e hexágono 3 J'di.-' . 15{ Três · polígonos têm respectivamente n, n + 1 e n + 2 la·dos. A sorna dos ângulos externos des~·es po- ligonos é 2220. Quantos lados têm os polígonos. RESP. : 4, 5 e 6 91 17) • 18) Dois polígon-0s P · Q são tais que o ângulo e.1der110 1 de P é igual a -- da soma dos üllernos de Q e o 12 ângulo interno de P é igual ao dôbro do externo de Q. Dizer quais são êsses polígonos. Calcular o Resp.: quadrado e octógono 4x;J . ...e ~~ número de diagoííais do hexagouo. fu:SP.: 9 Quantas diagonais ·podemos traçar do. mesmo vértice ue um ue~ág1.mo t fu:SP.: 7 \.(,ua, o polig :. no LO qual se podem traçar 12 cLago- na1s uo mesmo vér...i.ce t REsP.: pentadecágono 2-0) Qual o va:or do ângulo externo de um polígono re- guiar que tem 5 ciiag-..nais? e. Naval - 1957 RESP.: 72º ) A diferença entre o ângulo intern'() e o externo de um polígono regu..ar é de 60°. Quantos lados tem o polígono? c. Naval - 1957 fu:SP.: 6 Quantas diagonais tem ·o. poligono regular convexo cuja d.ferença entre o ângulo interno e o ângulo externo é 36°. C. Naval -1958 fu:SP.: 5 92 .,..24) ( 25) A s·oma dos ângulos internos de um polígono convexo é 1080°. Calcule o número de diagonais dêsse :polígono. I.E. - 1951 fiESP.: 20 Qual é o polígono em que o número de diagonais é o triplo do número de lados? l.E. -1952 REsP.: eneágono Qual é o polígono cujo número de lados é igual a 1 / 6 do número de diagonais. E.N.C. Dutra - 1948 fu:sP.: pentadecágono Os números de lados de dois polígonos são dois números inteiros e consecuLl.vos. A diferença entre os números de diagonais desses polígonos é 10. Quaiis são esses polígonos? RESP.: undecágono e dodecágono Dois .p·olígonos 1P e Q te-em respectivamente n e n + 5 lados. Di:wr quais são os polígonos sabendo que os dois têm juntos 40 diagonais. RESP.: pentágono e decágono. ~D . ' 28) A soma da soma dos ângulos internos e externos de r J-U- um polígono é 3.600°. Quantas diagonais se podem traçar nesse polígono? RES . 170 d" 's , f.<, VQ!Jfe4>~ ~ P.. iagona1 2 Num paralelogramo o ângulo obtuso é igual à soma dos agudos. Quais sãos os ângulos do paralelogramo. RESP.: 60º, 60°, 120° e 120° Num paralelogramo ABCD, o diagonal BD forma com o lado BC um ângulo de 40° e com o lado DC um ângulo de 200. Calcular os ângulos do parale- lo.gramo. RESP.: 60°, 6()0, 120° e 120° 93 1 . ~1) Uma diagonal de Lun retângulo ifaz com um dos lados um ângulo de 50°. Calcular o:s ângulos que os diago- / nais formam entre si. / 32) 33) 5) RESP.: 80° e 1()()0 As diagonais de um retângulo fazem entre si um ângulo de 70°. Determinar o ângulo que as diagonais fazem com os lados. RESP. : 55° e 35° Num losango uma diagonal forma com um lado um ângulo de 2.5°. Achar os ângulos do losango. RiESP.: 50°, 50°, íl.30° e 130° Num paralelogramo ABCD, com 60 cm de perímetro, o ângulo A = 100° e a bissetriz do ângulo D passa pelo ponto médio M do lado; AB. Calcular os lados desse paralelogramo e o'S ângulos do triângulo CMD. RESP.: 10 cm , 20 cm, 400, 50°, 90° A altura de um losango forma com a diagonal ma~or, um ângulo de 60°. Calcular os ângulos do losango•. RESP.: 00°, 6()0, 120° e 12(}1' Um dos ângulos internos de um trapézio isósceles é onze vezes menor que a soma dos outros três. Cal- cule os ângulos do trapézio. R.EsP. :· 30º, 30°, 150° e 150º 37) A altura de um trapézio isósc,eles f omna com um dos lados não paralelos um ângulo de .10°. Calcular os ângulos do trapézio. REsP.: !10°, fiOº , 130º e 130° 94 38) Num trapézio ABCD 0::1 ângulos da. base m&iQr medem 30° e 45°, rcspectivamen te. Calcular os outros dois ângulos do trapézio. RESP.: 1500 e 135º ~ 39) Num trapézio retângulo ABCD, o ângulo formado pelas bissetrizes d'os ângulos internos A e C medem :2,o 0 jJP. Achar os ângulos do trapézio . ~ R ESP.: 50° e 130° 40) 41) A base média de um trapézio tem 10 pés e o peri- metl'o 28 pés. Calcular o maior dos lados não para- lelos, sabendo que a sua diferença é igual a dois pés. C. Naval - 1951 RESP. : 5 pés Em um trapéz1io escaleno cujas bases AB e CD, me- dem respectivamente 20 m e 12 m, pede-se o valôr da base média compreendida entre as diagona is. REsP.: 16m e 4m Os lados de um quadrilátero medem 2-1 m; ~Om; 15 m e 7 m r espectivamente. Uma diagonal vale 20 m e a outra 25m. C.alctll ar o segmento que une os meios das diagonais . R ESP. : 7,5 m Urna diagonal <le wn quaurilálero divide êsse qua- drilátero em um triângulo equilátero e um isósceles, cuja base é es~n diagonal. A :-orn a dos dois ângulos do quarlrilálerri opostos a .e~a diagonal, é igual a 7 / 8 da soma dos outros dois ângulos do quadrilá- tero. Calcule os ângulos do triângulo isósceles. RESP.: 108°, 36º e 36° ) Num trapézio isósceles os ângulos agudos C e D são expressos respectivamente por 6x + 4° e 8x - 9º. Calcular os valores dos ângulos A, B, C e D. E.P.C.Ar. - 1963 RESP.: 43° e 137º' 95 CÍRCULO Circunferência de circulo ou circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano, equidistantes cte um ponto do mesmo plano, chamado centro. A c;ircun[ erência é uma ~inha e o ~ uma superfície. Raio é a distância constante de qualquer ponto da cir- cunferência ao centro. Arco de circunferência é qualquer porção de uma cir- cunf erenoiã.""" Çorda é um segmento de rela que liga as extremidades de um arco. Diâmetro é a maior corda que se pode traçar numa cir- cunferência; é representado por D ou 2 R. Flexa é o segmento do ddâmetro compreendido entre os pontos médios da corda e do arco subtendido pela corda. FIG. 1 Na figura l, t~lllQ5 ! Circunferência de centro o AB - diâmet110 (D ou 2 R) OA-raio (R) CD-corda CBD- e CAD - arcos FB-flexa Tangente - é a reta perpendicular à extremidade de um diâmetro. Secante - é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos. . 'fii.1:ma.I - é a perpendicular à tangente no. ponto de tang n01a. No caso em questão a normal à circunferência em um ponto é a reta qtie contém o raio que passa por êsse ponto. N T FIG. 2 Na figura 2 AT - tangente (perpendicular ao raio) MN -secante . CB - normal à circunferência no . ponfo B. 97 .Segmento circulgr ,.... é a parte d.a · sJ!.Rerficie do circulu compreendida entre um arco e a respectiva corda. Setor circular - é a porção da superficie do circulo compreendida entre dois raios e o arco por êles interceptado. Coroa Circular - é a parte da superfície compreendida l'ntl'e dois círculos de Tàfós clfferentes e mesm o centro. o B FIG. 3 FIG. 4 Na figura 3 1 - segmento circular 2 - setor circufar Na Ugura 4 Parte tracejada - coroa circular . AB - largura <la coroa. . 98 Proprieaade 1 o diâmetro perpendicular a uma corda divide esta corda e os dois arcos por ela subtendidos em duas parles iguais. Propriedade 2 Por três pontos não em linha reta pode-se sempre fazer passar uma circunferência. POSIÇôES RELATIVAS DE DOIS CIRCULOS 1.ª posição: secante3 lJ =FIG. 5 Na figura 5 00' - linha dos centros (d) AB - corda comum (perpendicular a 00') · r - r ' < d < r + r' " FIG: 6 • I' - • FIG. 7 · FIG. 8 . , FIG. 9 2.ª posição : tangentes exteriores OO'=d = R+r 3.'ª posição : f<l!llgentes interiores 00'= d=R - r 4- .~' posição : Exteriores 00' = d > R + e 5.ª posição : Interiores 00' = d<R-r Quando os cenfros coincidem as circuillf'erências são d = 00' = zero: 100 ~-XERClClOS,. · R.-&SOJ, VIJ)OS 1) Qual a posição relativa de duas circunferências de raios respectivamente iguais a 4 cm e 6 cm, sendo a distância dos centros igual a 8 ·cln. Pelo que foi mostrad_o no . inicio do capítulo as J.'e- lações entre a distância dos oentros d e os raios R e r, caracterizam as posições de duas circunferências. No problema, aquela distância é 8; menor que a soma dos raios e maior do que a sua diferença. 6-4<8<6 + 4 Conclue-se então 'que $.!> circunferências s~o secantes. 2) No mesmo problema 1, sendo 10 cm a distância dos cenwos. Depois do que foi dito no problema 1, vemos que d = R + r, ou 10 = 6 + 4 que caracteriza duas circunferências tangentes exteriOII'es. 3) Qual a posição relativa de duas circunferências de raios 7 cm e 13 cm, sendo a distância dos centros 6cm . É fácil verificar que d= R-r ou 6 = 13-7 e que as circunfel'ências ' são tangentes inter ioJ.·es. 4) No problema anterior, se a distância entre os c.en- tr<>6 fôr 23 cm, como serão as circunferências? É fácil verificar que d>R + r, isto é 23>!13 + 7 indicando assim serem ex-teriores as oircunf erências. .\01 5) Qual a -p<>Sição -relativa de .duas . circunferências de raios 7 cm e 13 <Cm sendo a distância dos centros 4cm. Verificij..-se que · d < R - r, isto é 4 < 13 - 7 e que, portanto, as circunferências são interiores. 6) Três círculos tangentes entre si, dois a dois, exte- riormente, têm para raios 2 cm, 5 cm e 7 cm. Determinar os lados _do triângulo obtido ligando-se dois a dois os centros dos círculos. e 102 • - Os círculos de centro A ·e B, cujos raios são 2 e 5 têm para distância dos centros 2 + 5 = 7, por serem tangentes exteriores. Raciocinando-se d a mesma ma- neira vê-se que os lados do triângulQ são : 7 cm ; 9 cm e 12 cm 7) Dois circulas de centro B e C são tangentes exterio· res. Ambos sã-o tangentes interiormente de um cír- culo de centro A. Sabendo-<Se que ~B = 6 cm; BC = 14 cm e AC= 10 cm, achar os raios dos três círculos A, B e C. Façamos AD = R; BF-= r; FC= r1 J-fÍ. .,t fl1 = lf/ :1~~~ ~~1~ I O -f )l.1 -: t, +11.. !Jf- A - n.,::: ~ h.-+ L 1 = lf' l :2n,, == I !S fl, =1 i, -::: 1<{-'j : S 'R.- ~ 6 .j- rz_ -::::: e; -'- r :;/ Os círculos B e C por ·serem · tangentes exterioree a distância enb-e seus centros é ·· d = BC·= r + ri = 14 103 Os círculos .A e ·B iSencto.: ·tangentes interiiores, a dis- tância= entre seus centros AB = R.- r =1 ~ énl. O mesmo- ocorre oom os· círculos A e C, ou1a distância entre centros AC = R - r 1 = 10. Temos as equações { r+r1=14 R-r=~(, R-r1 =10 formando um sistema, que resolvido dá : ,~ q S- R =~cm; r = ~ cm e ri = & cm EXERCtCIOS A RESOLVER 1) Qual a posição relativa de duas circunferências de rafo~ 8 cm ê' 4 cm, sendo 3 cm a distância entre os centros. · RESP.: [uteriores 2) Qual a posl]çao relativa de duas circunferências de raios 7 cm e 5 cm e a distância entre ·os centros :sendo 10 cm. 3) 4) REsP.: Secantes Duas circunferências secantes lêm respE:ctivamente 8 cm -e 9 cm de raios. Entre que valôres está compre- endida a distância dos centros? RESP.: 1 cm < d < 17 cm Duas circunferências -de .raios r e r' (r > r') e cen- tros o e d para serem secantes, que relação deve existir? · . C. Naval - 1~ ,.- : - - REsÍ>.: r-r' < d< r + r' 104 .. . mas; 8:· distânci~ - .entre · os-c.entros ·é ~rnla. Como são · as (jl,fcunf e:rêncrns? · : · , . RESP.: concêntricas ,,.... ' 1 6) A distância de um ponto exterior ao ponto que lhe ..__) é i;nai~ afastado da circunferência mede 18 cm. Se o traio tiver 5 cm, qual será a distância do ponto à cir- cunferência·? RESP.: 8cm 7) Numa circunferência de raio 20 cm, pode existir uma oorda d·e 3,08 cm? RESP.: Sim, porque é me- nor que 'O diâmetro 8) Achar o diâmetro de uma circunferência, onde a distância de um ponto exterior ao centro é de 15 cm e a distância do mesmo ponto à circunferência é de 1,2 cm. REsP.: · 6cm 9) Duas ciircunferências são tangentes exteriores. O diâmetro da primeira mede 12 cm e a distância d<0s centros é de 11 cm. Calcular o diâmetro da segunda. ~ * 10) 7 11') RESP.: 10cm Duas circunferências são tangentes interiores. O diâ- ;metro da menor mede 12 dm e a distância dos cen- . tros é de 2 dm. Calcular o diâmetro da maior. REsP.: Os lados de um triângulo são 4 cm; 6 cm e 8 cm. Achar os raios das três circunferências que têm para centro os vértices desse triângulo e são tangentes entre si, exterioo.mente, doi·s a doiis. RESP. : 1 cm; 3 cm e 5 cm 105 12) Dado o triângulo de lados AB = 13 cm; AC= 9 e.a e BC= 8 cm, traçam-se clrcunferênCias de centros A, B e C tangentes duas a duas ·exteriormente. Cal· cu1e o menor dos raros das circunferências. C. Naval - 1960 RESI'. : 2 cm Duas circunferências concêntrjcas têm para raios 8 dm e 12 dm respectivamente. Determinar os raios dos círculos tangentes 'às duas circunferências con- cêntricas. REsP.: 2 dm e 10 dm 14) Dois círculos do mesmo raio 5 cm são taiis,que, cada um deles passa, pelo centro do outro. Es'Ses clrcUilos cortam-se em M e N e interceptam a , linha dos cen- tros em P e Q. Calc.ular o perimetro do quadrilátero MPNQ. C. Naval. - 1961 REsP.: 20 cm 106 MEDIDAS DOS ANGULOS o FIG. 1 Ânquto central AOB é o que tem o vértice no centro da circunferência e cujos lados são raios. Tem por medida a mesmn medida do arco AB compreendido entre seus lados (raios da circunferência) (fig. 1) . R·eilaçiio : ângulo AOB:.. arco AB FIG. 2 Ângalo inscrita ABC ·é ~ que teln. parã lados duas cordas que partem de um ponto qualquer da circunferência, fi- cando seu vértice, portanto, sôbre a circunferência. Tem para medida a metade do aroo AC compreendido entre seus lados (fig. 2). .. Relação: arco AC ângulo ABC=----- 2 Por isso, todo ângulo inscrito num semi círculo é reto. FIG. 3 e .f.":' . - .: .. 10~ . ... . . . .... Ân ulo d ' e ment ABC é o formado p_or uma corda e a tangente à cn'.cunf erência traçada por uma de suas extre- midades (fig. 3). ' Tem para medida a metade do arco AB subtendido pela corda AB. Relação: .. ! " ' arco AB ângulo ABC · - - - - 2 ·. FIG. -4 AnguJlo excêntrico interno AtMC, é o formado por duas cordas que se cortam no mtetior da circunferência em. um ponto que não seja o centro da mesma. (fdg. -4) Tem para medida a semi-soma dQS are.os BD e AC compreendido:s entre seus lados (AM e MC) e seus prolongament<>s (DM e BM). Relação: arco AC+ arco BD ângulo AMC = --- ----- 2 109 FIG. 5 '1ngulo excêrztljco externo AMD, é o formado por duas secantes à uma circunferência, que se encontram fora dela. (fig. 5) Tem paira medida a metade da dife rença dos arcos AD e BC, compreendidos entre seus lados. Relação : arco AD - w:co BC ângulo AMD = - ------- 2 Pode também ser formado por uma secante e uma tan- gente (à um circunferência) , que se encontram (füg. 6), ân- gulo AMC. FIG. 6 no ' \ Sua· medida 3er• -tambéJU : .. . . . arc0 AC - arco BC ângulo AMC = - ------- 2 FIG. 7 Anuulo circunscrito ABC é wn ângulo excêntrico exte- rior; seus
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