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B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde BIOB-003 – Biomatemática Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital 1. Escalas. - Nominal: não há aspecto quantitativo. - Classificar espécies biológicas por nomes. - Ordinal: há diferença quantitativa entre os objetos classificados, mas o intervalo não possui significado. - Classificar um ambiente em regeneração em estágios que indiquem uma ordem: inicial, intermediário, avançado. - Escala graduada (ou intervalar): a escala é quantitativa, mas o ponto zero é arbitrário, então as percentagens não têm significado. - Temperatura, quando medida em graus Celsius, representa uma escala graduada. - 20 ºC não é duas vezes mais quente do que 10 ºC! - A temperatura 0 ºC é arbitrariamente definida como a temperatura na qual a água se congela. - Escala de proporcionalidade: o ponto zero é “natural”, e as percentagens podem ser aplicadas. - O peso é uma escala de proporcionalidade. Existe um ponto zero “natural” (mesmo que um pouco abstrato), e podemos dizer com segurança que 2 Kg pesam o dobro do que 1 Kg. 2. Percentagens. - A lógica de uma porcentagem é normalmente bastante intuitiva. Por exemplo, imagine uma situação na qual estamos acompanhando o crescimento de uma planta. Na B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / nossa primeira medida, ela apresenta 10 cm de altura. Uma semana depois, somos informados de que ela cresceu 20%. Qual seria seu novo tamanho? - 20% representa um aumento de proporção 20 100 baseado no tamanho original. Ou seja, o novo tamanho é 10 cm mais a quantidade aumentada, que é 20 100 ∙ 10 = 2 cm. Então a nova altura é de 12 cm. - Ainda seguindo o mesmo exemplo, podemos nos fazer duas perguntas: se a planta crescer mais 20% na próxima semana, então qual teria sido sua porcentagem total de aumento a partir de nossa medida inicial? E qual seria seu novo tamanho? Tentar responder esta pergunta rapidamente pode nos levar à respostas erradas... - Primeiro, não podemos dizer que ela cresceu 40%! - E segundo, também não podemos dizer que sua nova altura é de 14 cm! - A razão disto é simples. - Se ao passar mais uma semana ela cresceu mais 20%, este novo aumento já não será baseado na altura inicial, e sim nos 12 cm que ela tem ao final da primeira semana. - Ou seja, ela cresceu mais 20% a partir de 12 cm, então o novo aumento é: 20 100 ∙ 12 = 2,4 cm; então a nova altura é de 14,4 cm. - E qual a porcentagem de aumento nos daria 4,4 cm a mais do que nossos 10 cm iniciais? 𝑝 100 ∙ 10 = 4,4, então p = 44%. - Vamos chamar a medida inicial de w, e a porcentagem de aumento de p. - E vamos tentar criar uma regra geral sobre como lidar com porcentagens, que possa ser aplicada a qualquer situação! - Pelo nosso exemplo, vimos que podemos saber a quantidade de aumento dividindo p por cem e multiplicando por w. Ou seja, a quantidade aumentada é: 𝑝 100 ∙ 𝑤. - E o valor final, após o aumento, seria: 𝑤 + 𝑝 100 ∙ 𝑤, que podemos escrever como: 𝑤 ∙ (1 + 𝑝 100 ) B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / - E como lidar com aumentos consecutivos? No nosso exemplo, a planta cresceu 20% por semana, indo de 10 para 12 cm após a primeira e de 12 para 14,4 após a segunda semana. Bom, nós sabemos calcular qual o novo tamanho após a primeira semana: 𝑤 ∙ (1 + 𝑝 100 ); se este é o novo tamanho, então a partir dele podemos calcular o aumento após a segunda semana: (𝑤 ∙ (1 + 𝑝 100 )) ∙ (1 + 𝑝 100 ). - Mas existe uma maneira bem mais simples de representar a fórmula acima: 𝑤 ∙ (1 + 𝑝 100 ) 2 . - Generalizando ainda mais, se pensarmos em n aumentos consecutivos na mesma porcentagem, podemos reescrever nossa fórmula assim: 𝑤 ∙ (1 + 𝑝 100 ) 𝑛 - Esta fórmula representa qual deveria ser a medida final de um valor inicial w que aumentou uma porcentagem p em n vezes consecutivas. - Caso esteja calculando uma redução, e não um aumento, lembre- se de que o valor de p deverá ser negativo. 3. Valores médios. - Quando lidamos com várias medidas (por exemplo, tamanho corporal de vários peixes), pode ser interessante condensar os dados em um único valor. Uma das maneiras mais comuns de se fazer isso é calcular a média. 3.1. Média aritmética. - A média aritmética é aquela que usamos usualmente, e é calculada somando todos os valores medidos e dividindo pelo número de medias. Por exemplo, se tivermos três medidas (x1, x2 e x3), então a nossa média aritmética seria: �̅� = 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 3 - Generalizando, podemos escrever uma fórmula da média aritmética: �̅� = 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑛 𝑛 - Mais adiante vamos reescrevê-la de uma maneira mais compacta. B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / 3.2 Média geométrica. - Existem situações nas quais a média aritmética não representa bem o que queremos demonstrar. Se tomarmos novamente o nosso exemplo da planta crescendo, e calcularmos a média aritmética das alturas medidas, teríamos �̅� = 10+12+14,4 3 = 12,133 - Neste caso, pode nos interessar mais uma medida que, geometricamente, seja central. Então aplicamos a média geométrica, na qual multiplicamos os valores e extraímos a raiz enésima do produto (onde n é o número de medidas). Neste caso: √10 ∙ 12 ∙ 14,4 3 = 12 - Generalizando: 𝑥𝑔 = √𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛 𝑛 - E também veremos uma maneira mais simples de representá-la. 4. Somatório e produtório. - Quando escrevemos as fórmulas gerais das médias, logo acima, tivemos que usar as reticências para representar a repetição de uma mesma operação. Existe uma maneira muito mais compacta de fazer isso: o uso do somatório (no caso das somas) e do produtório (no caso das multiplicações, ou produtos). 4.1 Somatório. - Um somatório é representado pela letra grega maiúscula Sigma: Σ. - Vamos chamar de i o índice que aparece “embaixo” do x. Ou seja, vamos falar de xi, sendo que x1 é o valor de x quando i = 1. - E vamos continuar chamando de n o número de valores. - Então, podemos escrever, por exemplo: ∑ 𝑥𝑖𝑛 𝑖=1 = 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑛 - Que, em português, é o mesmo que dizer: a soma dos valores de x, indo do valor x1 até o valor xn, onde n é o número de valores de x que queremos somar. B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / - Então vamos voltar à fórmula da média, e dizer que: �̅� = (∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ) /𝑛 - Compare com a maneira com a qual escrevemos a fórmula geral da média anteriormente, e veja que o significado é o mesmo. 4.2 Produtório. - A mesma lógica pode ser usada com uma seqüência de multiplicações, mas trocamos o Sigma pela letra maiúscula Pi: Π. - Usando a mesma notação do somatório, podemos escrever que: ∏ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛 - Que é o mesmo que dizer: a multiplicação dos valores de x, indo do valor x1 até o valor xn, onde n é o número de valores de x que queremos multiplicar. - Antes de reescrevermos a média geométrica usando o produtório, vamos seguir adiante com algumas informações sobre potências. 5. Potências e potências fracionárias. - Uma potência pode ser representada pela forma geral an, onde a é chamado de base e n é chamado de expoente. - O significado é simples: multiplicar a por ele mesmo n vezes. - As potências podem ser bem úteis para representarmos de maneira compacta números que são muito grandes ou pequenos. Normalmente fazemos isso usando a potência de dez. - 100 = 102, 1000 = 103, 10000 = 104, etc. - Também podemos pensar em potências negativas, e é fácil compreendê-las se pensarmos na “direção oposta”. - 100 = 102, 10 = 101, 1 = 100, 1/10 = 0,1 = 10-1, 1/100 = 0,01 = 10-2, etc. B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / 5.1 Operações com potências. - Existem algumas regras básicas que nos ajudam a lidar com operações matemáticas que envolvem potências: - 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 - 𝑎𝑛 / 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 - (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚 - 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 - 𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 5.2 Potências fracionárias. - Lidar com uma potência fracionária é mais simples do que parece. Vamos tentar deduzir uma fórmula geral para trabalhar com isso. - Sabemos que 23 = 8; podemos multiplicar o expoente por n nos dois lados da equação, e teremos 23∙𝑛 = 8𝑛 (lembrando que 8 = 81). - Agora vamos fazer o oposto: dividir os expoentes por n. O nosso resultado seria que 23/𝑛 = 81/𝑛, e temos aí nossa potência feacionária. Para entendê-la, vamos ver o que acontece quando n = 3: 23/3 = 81/3, então 81/3 = 2. - O que seria o mesmo que dizer que √8 3 = 2. - Em outras palavras, uma potência fracionária é o que nos conhecemos como raiz. E uma fórmula geral seria: 𝑎1/𝑛 = √𝑎 𝑛 - Vamos sempre dar preferência pela notação em potência fracionária do que pela notação em raiz. - Primeiro, por ser mais fácil de digitar em um computador. - Segundo, porque é mais fácil de resolvemos operações, uma vez que podemos aplicar aquelas regras de potências que vimos logo acima! 5.3 Voltando ao produtório e à média geométrica. Agora podemos dizer que: 𝑥𝑔 = (∏ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 1/𝑛 B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / Exercício 1 Um pesquisador criou um pequeno projeto para estudar o crescimento de uma árvore ameaçada de extinção, visando obter informações para planejar sua conservação. Na primeira etapa do trabalho, ele mediu 10 mudas de um mês de idade, e encontrou os seguintes valores (medidos em centímetros): 15; 18; 22; 23; 20; 17; 21; 25; 19; 20. 1.1. Calcule a altura média das mudas medidas, usando a equação: �̅� = ∑ 𝑥𝑖/𝑛 𝑛 𝑖=1 Expresse, na resposta, a etapa na qual a equação acima é desdobrada. Aqui basta calcular a média. O detalhe de desdobramento da fórmula está presente apenas para exercitarmos a lógica de um somatório, e a resposta deveria estar mais ou menos assim: �̅� = 15 + 18 + 22 + 23 + 20 + 17 + 21 + 25 + 19 + 20 10 = 20 Dando continuidade ao experimento, o pesquisador realizou uma nova medida de altura das mudas após mais um mês (isto é, quando as mudas tinham dois meses de idade). Como resultado, ele descobriu que a altura média aumentou em 20%. 1.2. Qual seria a altura média das mudas de dois meses? Assumindo que a cada mês a altura média aumenta outros 20%, qual seria a altura média das mudas de três meses? A maneira mais simples é aplicar a fórmula de uso de porcentagens vista nesta aula. Para o primeiro aumento, nossa conta seria: 20 ∙ (1 + 20 100 ) = 24 E, para o segundo aumento: 20 ∙ (1 + 20 100 ) 2 = 28,8 1.3. Qual é a porcentagem total de aumento das mudas desde o primeiro mês de idade até o terceiro? A maneira mais simples de chegarmos ao resultado é novamente aplicar a fórmula, o que nos levaria a: 28,8 = 20 ∙ (1 + 𝑝 100 ) E encontrar o valor de p, o que faremos passo a passo a seguir. Perceba que desta vez não elevamos a fórmula ao quadrado, pois estamos tentando descobrir qual o aumento total desde o tamanho inicial até o tamanho final, então não precisamos cobrir todas as etapas de aumento no nosso cálculo. Resolvendo as contas: B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / 28,8 = 20 ∙ (1 + 𝑝 100 ) 28,8 20 = (1 + 𝑝 100 ) 1,44 = (1 + 𝑝 100 ) 1,44 − 1 = 𝑝 100 0,44 = 𝑝 100 𝑝 = 44 Ou seja, o aumento total foi de 44%. Exercício 2 Um entomólogo estava realizando um trabalho de descrição de uma nova espécie de inseto. Em uma das etapas do seu projeto, ele mediu o comprimento de dez indivíduos em estágio larval, recém eclodidos dos ovos. As medidas que ele encontrou foram (em milímetros): 35; 26; 27; 33; 29; 31; 33; 27; 28; 31. 2.1. Calcule o comprimento médio dos insetos medidos, usando a equação: �̅� = ∑ 𝑥𝑖/𝑛 𝑛 𝑖=1 Expresse, na resposta, a etapa na qual a equação acima é desdobrada. �̅� = 35 + 26 + 27 + 33 + 29 + 31 + 33 + 27 + 28 + 31 10 = 30 Dando continuidade ao seu trabalho, o pesquisador passou a investigar o desenvolvimento das larvas. Ele constatou que a cada semana o tamanho dos indivíduos aumentava em 15%, até eles completaremo desenvolvimento algumas semanas depois. 2.2. Qual seria o tamanho de uma larva deste inseto que eclodiu com o tamanho médio (ou seja, 30 mm) após uma semana de desenvolvimento? E qual seria o seu tamanho após duas semanas? Para uma semana: 30 ∙ (1 + 15 100 ) = 34,5 E para duas semanas: B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / 34,5 ∙ (1 + 15 100 ) = 39,675 Ou, como alternativa para as duas semanas: 30 ∙ (1 + 15 100 ) 2 = 39,675 2.3. Qual a porcentagem total de aumento de uma larva de 30 mm que cresceu por duas semanas seguidas? 39,675 = 30 ∙ (1 + 𝑝 100 ) 1,3225 = (1 + 𝑝 100 ) 𝑝 = 32,25 % Exercício 3 Um cientista constatou que, ao serem alimentadas com um tipo de ração, as cobaias criadas em seu laboratório tinham um ganho de peso de 7% por semana. Considerando uma cobaia com o peso inicial de 350 gramas, responda: 3.1. Quais seriam os seus pesos após uma, duas, três e quatro semanas? Uma 350 ∙ (1 + 7 100 ) = 374.5 Duas 374.5 ∙ (1 + 7 100 ) = 400.715 Três 400.715 ∙ (1 + 7 100 ) = 428.765 Lembrando que para duas e três semanas podemos usar o cálculo a partir do valor inicial (350) e elevar à potência correspondente aos aumentos consecutivos. 3.2. Qual a porcentagem total de aumento da cobaia após as quatro semanas? 428.765 = 350 ∙ (1 + 𝑝 100 ) 1,225 = (1 + 𝑝 100 ) 𝑝 = 22,5 % B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / Exercício 4 Um mofo na parede da sala de um professor de matemática teve a sua área medida em 127 cm2. Se a mancha crescer 1,5% ao dia: A resolução é a mesma, então serei mais direto com as respostas. Fiquem apenas atentos ao valor da porcentagem, que é pequeno neste exemplo. 4.1. Qual será o tamanho da mancha a cada dia ao longo de uma semana (7 dias)? Dia Mofo 0 (inicial) 127 1 128.90 2 130.83 3 132.80 4 134.79 5 136.81 6 138.86 7 140.95 4.2. Qual a porcentagem total de aumento do mofo após a semana? 𝑝 = 10,98 % 4.3. Se mais uma semana se passar, qual será o tamanho do mofo? 140.95 ∙ (1 + 1,5 100 ) 7 = 156,46 Ou 127 ∙ (1 + 1,5 100 ) 14 = 156,46 Exercício 5 O rótulo de um produto de limpeza informava que o seu uso reduziria o número de bactérias de uma superfície qualquer em 99%. Considere uma superfície com 10 bilhões de bactérias, e responda: A diferença crucial neste exemplo é que estamos falando de uma redução, então nosso valor de p deve ser negativo na fórmula. Fora isso, nada muda. 5.1. Quantas bactérias devem ser encontradas na superfície após o produto ser usado uma vez? E se o produto for usado novamente uma segunda vez sobre a mesma superfície, quantas bactérias devem sobrar? E se for usado novamente, uma terceira vez? B io m a te m á tic a - P ro f. M a rc o s V in íc iu s C a r n e iro V ita l (IC B S – U F A L ) - M a te r ia l d is p o n ív e l n o e n d e re ç o h ttp :/ / m a rc o s v ita l.w o rd p re s s .c o m / Primeira 10000000 ∙ (1 − 99 100 ) = 100000 Segunda 100000 ∙ (1 − 99 100 ) = 1000 Terceira 1000 ∙ (1 − 99 100 ) = 10 5.2. Qual a redução total do número de bactérias após os três usos consecutivos? 10 = 10000000 ∙ (1 + 𝑝 100 ) 0,000001 = (1 + 𝑝 100 ) 𝑝 = −99,99990 % Exercício 6 Um fragmento de Mata Atlântica com uma área de 250 km2 passa por um processo contínuo de desmatamento, que remove 10% de sua área ao ano. Novamente, temos uma redução, então atenção para o p negativo. 6.1. Qual será o tamanho deste fragmento daqui a 10 anos? Aqui a solução mais prática é calcular de uma única vez: 250 ∙ (1 − 10 100 ) 10 = 87,17 6.2. Qual a porcentagem total de redução da área ocorreu neste período? 87,17 = 250 ∙ (1 + 𝑝 100 ) 𝑝 = −65,13 %
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