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Aula 1_2014_2 - revisão derivadas

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Economia Matemática 
Revisão 
 
 
 
 Taxa de Variação e Diferenciação 
1. Taxa de variação e derivada 
 
 
Taxa de variação: quanto muda y em resposta a uma mudança em x? 
 
 
 
Derivada: taxa de variação para infinitesimal: 
 
 
 
 

y
x

f (x  x)  f (x)
x
)(xfy 

(1)

x

y
x
 lim
x0
y
x
1.Taxa de variação e derivada 

y
x

3(x
0
 x) 2  4  (3x
0
2  4)
x
y
x

6x
0
x  3(x 2)
x
y
x
 6x
0
 3x
lim
x 0
y
x
 lim
x 0
(6x0  3x)  6x0
Exemplo: 
 
 
 
Substituindo em (1): 
4)²(3)(
4²3)(
4²3)(



xxxxf
xxf
xxf


Função custo total: 
 
 
 
 
 
 
)(QfC 
Custo Marginal 
 
 Custo Marginal: variação no custo decorrente do aumento de uma 
unidade de produção. O custo marginal médio é dado por: 
 
 inclinação da reta AB 
 
 
 No caso limite onde temos: 
 
 

C
Q

C2 C0
Q2 Q0


lim
Q0

CMg  lim
Q0
C
Q

C
Q
Elasticidade 
 
 
 mudanças percentuais: e 
 
 
 Elasticidade: função marginal 
 função média 
 
 elástica 
 elasticidade unitária 
 inelástica 
 
 
)(xfy x
x
y
y

 
y /y
x /x

dy /dx
y /x
 


1
1
1



Exemplo 1: (Chiang, pág 175) 
 
 Função de oferta: 
 
 Determine se a oferta é elástica quando P=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 elástica quando P=2. 
 
PPQ 7² 
72  P
dP
dQ 7 P
P
Q
7
72
/
/



P
P
PQ
dPdQ
 1
9
11
2p
Exemplo 2: (Chiang – seção 8.1 exercício 6) 
 
 Dado Q=100-2P+0,02Y, onde P=20 e Y=5000, calcule: 
 
 a) Elasticidade-preço da demanda 

dQ
dP
 2
Q
P

100  2P  0,02Y
P
 p 
2P
100  2P  0,02Y

40
100  40100

40
160

4
16
 0,25
 b) Elasticidade-renda da demanda 
625,0
160
100
10040100
100
02,02100
02,0
02,02100
02,0








y
y
YP
Y
Y
YP
Y
Q
dY
dQ


Regras de Derivação 
 
 Regra da Função Constante 
 
 
 
 
 
 
cxf )( 0)(  xf
cxf
cxxf


)(
)(

lim
x0
y
x
 0
Regras de Derivação 
 Regra da Função Potência 
 
 
 exemplo 1: exemplo 3: 
 
 
 
 exemplo 2: 
2
3
3xy
xy


4
4
3
3
3
³
1
x
y
xy
xy
x
y







x
x
y
x
y
xy
xy
xy
2
2
1
2
1
2
1
2
1






nxxfy  )(
1)(  nnxxf
Regras de Derivação 
 Regra da Função Potência 
 
 Generalizando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: resolver todos da seção 7.1 do Chiang 
ncxxf )(
1)(  nncxxf
Regras de Derivação 
 Regra da Soma 
 
 
 
 
 
 
 
 exemplo: 
 
)()( xgxfy 
)()( xgxfy 

y  2x4 2x  3x  37
y  8x
3 1
Regras de Derivação 
 Regra do Produto 
 
 
 
 
 exemplo: e 
 
 
gfgfy
xgxfy

 )()(
)1(1818²18
18²12²6
6)32(²32
²)3)(32(




xxxxy
xxxy
xxxy
xxy
)32()(  xxf ²3)( xxg 
Regras de Derivação 
 Regra do Quociente 
 
 
 
 
 
 exemplo: 
)(
)(
xg
xf
y 
²g
gfgf
y


)²1²(
²)1(5
)²1²(
²105²5
)²1²(
)2(5)1²(5
1²
5











x
x
y
x
xx
y
x
xxx
y
x
x
y
Regras de Derivação 
 Regra da Cadeia 
 
 Sendo e : 
 
 
 
 exemplo 1: e 
)(yfz  )(xgy 
dx
dy
dy
dz
dx
dz
z 
²3yz  52  xy )52(1212
26



xy
dx
dz
y
dx
dz
dx
dy
dy
dz
dx
dz
Exemplos de Derivação 
 
 exemplo 2: com onde 
5
)12(
)23(
)( 








x
x
xf 5)( uxf  12
23
)(



x
x
xu

df
dx

df
du

du
dx
df
dx
 5u4 
3(2x 1)  2(3x  2)
(2x 1)2






df
dx
 5
3x  2
2x 1






4

6x  3  6x  4
(2x 1)2






df
dx
 5
3x  2
2x 1






4

1
(2x 1)2






Exemplos de Derivação 
 
 exemplo 3: 
 Resolução: 
 Primeiro, regra do produto: 
 
 
 
 Aplicando a regra da cadeia: 
35 27²6)23()(  xxxxf
uvvuf 
3
5
27²6)(
)23()(


xxxv
xxu
)712()27²6(
3
1
)(
)23(153)23(5)(
3
2
44



xxxxv
xxxu
345 27²6)23(15
3
7
4)27²6()23()( 3
2








xxxxxxxxf
Exemplos de Derivação 
 
 
 exemplo 4: 
 
 
 
 
 
 
)132( 23)(  xxxf
)()ln()(
)(
)(
)(
xuaaxf
axf
xu
xu


)34()3ln(3)( )13²2(   xxf xx
Exemplos de Derivação 
 
 exemplo 5: onde 
 

f (x)  x0,5 ln( x3 2x 1) ))(ln()(
1²2³)(
)( 5,0
xuxh
xxxu
xxy


 1²2³
2³)(5,1
)(
)(
)(
)(
5,032






xx
xx
xh
xu
xu
xh
5,05,0)(  xxy










1²2³
2³)(5,1
)1²2³ln(5,0)(
5,032
5,05,0
xx
xx
xxxxxf
Exemplos de Derivação 
 
 
exemplo 6: 
 
Regra: 
 
 
 
 
)12()1²()(  xxxf
)())(ln()()()()()(
)()(
)(1)(
)(
xgxuxuxuxuxgxf
xuxf
xgxg
xg



2)1²ln()1²(2)1²)(12()( )12()112(   xxxxxxf xx
Derivadas Sucessivas 
 
 
 
 
 
 
 
 exemplo: 













²
²
)(
dx
fd
f
dx
df
fxf
6
86
18²3)(



f
xf
xxxf

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