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Economia Matemática Revisão Taxa de Variação e Diferenciação 1. Taxa de variação e derivada Taxa de variação: quanto muda y em resposta a uma mudança em x? Derivada: taxa de variação para infinitesimal: y x f (x x) f (x) x )(xfy (1) x y x lim x0 y x 1.Taxa de variação e derivada y x 3(x 0 x) 2 4 (3x 0 2 4) x y x 6x 0 x 3(x 2) x y x 6x 0 3x lim x 0 y x lim x 0 (6x0 3x) 6x0 Exemplo: Substituindo em (1): 4)²(3)( 4²3)( 4²3)( xxxxf xxf xxf Função custo total: )(QfC Custo Marginal Custo Marginal: variação no custo decorrente do aumento de uma unidade de produção. O custo marginal médio é dado por: inclinação da reta AB No caso limite onde temos: C Q C2 C0 Q2 Q0 lim Q0 CMg lim Q0 C Q C Q Elasticidade mudanças percentuais: e Elasticidade: função marginal função média elástica elasticidade unitária inelástica )(xfy x x y y y /y x /x dy /dx y /x 1 1 1 Exemplo 1: (Chiang, pág 175) Função de oferta: Determine se a oferta é elástica quando P=2. elástica quando P=2. PPQ 7² 72 P dP dQ 7 P P Q 7 72 / / P P PQ dPdQ 1 9 11 2p Exemplo 2: (Chiang – seção 8.1 exercício 6) Dado Q=100-2P+0,02Y, onde P=20 e Y=5000, calcule: a) Elasticidade-preço da demanda dQ dP 2 Q P 100 2P 0,02Y P p 2P 100 2P 0,02Y 40 100 40100 40 160 4 16 0,25 b) Elasticidade-renda da demanda 625,0 160 100 10040100 100 02,02100 02,0 02,02100 02,0 y y YP Y Y YP Y Q dY dQ Regras de Derivação Regra da Função Constante cxf )( 0)( xf cxf cxxf )( )( lim x0 y x 0 Regras de Derivação Regra da Função Potência exemplo 1: exemplo 3: exemplo 2: 2 3 3xy xy 4 4 3 3 3 ³ 1 x y xy xy x y x x y x y xy xy xy 2 2 1 2 1 2 1 2 1 nxxfy )( 1)( nnxxf Regras de Derivação Regra da Função Potência Generalizando: Exercícios: resolver todos da seção 7.1 do Chiang ncxxf )( 1)( nncxxf Regras de Derivação Regra da Soma exemplo: )()( xgxfy )()( xgxfy y 2x4 2x 3x 37 y 8x 3 1 Regras de Derivação Regra do Produto exemplo: e gfgfy xgxfy )()( )1(1818²18 18²12²6 6)32(²32 ²)3)(32( xxxxy xxxy xxxy xxy )32()( xxf ²3)( xxg Regras de Derivação Regra do Quociente exemplo: )( )( xg xf y ²g gfgf y )²1²( ²)1(5 )²1²( ²105²5 )²1²( )2(5)1²(5 1² 5 x x y x xx y x xxx y x x y Regras de Derivação Regra da Cadeia Sendo e : exemplo 1: e )(yfz )(xgy dx dy dy dz dx dz z ²3yz 52 xy )52(1212 26 xy dx dz y dx dz dx dy dy dz dx dz Exemplos de Derivação exemplo 2: com onde 5 )12( )23( )( x x xf 5)( uxf 12 23 )( x x xu df dx df du du dx df dx 5u4 3(2x 1) 2(3x 2) (2x 1)2 df dx 5 3x 2 2x 1 4 6x 3 6x 4 (2x 1)2 df dx 5 3x 2 2x 1 4 1 (2x 1)2 Exemplos de Derivação exemplo 3: Resolução: Primeiro, regra do produto: Aplicando a regra da cadeia: 35 27²6)23()( xxxxf uvvuf 3 5 27²6)( )23()( xxxv xxu )712()27²6( 3 1 )( )23(153)23(5)( 3 2 44 xxxxv xxxu 345 27²6)23(15 3 7 4)27²6()23()( 3 2 xxxxxxxxf Exemplos de Derivação exemplo 4: )132( 23)( xxxf )()ln()( )( )( )( xuaaxf axf xu xu )34()3ln(3)( )13²2( xxf xx Exemplos de Derivação exemplo 5: onde f (x) x0,5 ln( x3 2x 1) ))(ln()( 1²2³)( )( 5,0 xuxh xxxu xxy 1²2³ 2³)(5,1 )( )( )( )( 5,032 xx xx xh xu xu xh 5,05,0)( xxy 1²2³ 2³)(5,1 )1²2³ln(5,0)( 5,032 5,05,0 xx xx xxxxxf Exemplos de Derivação exemplo 6: Regra: )12()1²()( xxxf )())(ln()()()()()( )()( )(1)( )( xgxuxuxuxuxgxf xuxf xgxg xg 2)1²ln()1²(2)1²)(12()( )12()112( xxxxxxf xx Derivadas Sucessivas exemplo: ² ² )( dx fd f dx df fxf 6 86 18²3)( f xf xxxf
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