MECÂNICA_DOS_FLUIDOS_-_Capitulo_02_-_2a_Parte I

Prévia do material em texto

26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 1
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Capítulo 02 - ESTÁTICA DOS
FLUIDOS– 2ª PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Profa. Eliane Justino
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
 Existem forças nas superfícies dos corpos que estão submersos nos fluidos.
 O fluido exerce uma força perpendicular nas superfícies submersas quando está em
repouso, devido a ausência de tensões de cisalhamento, e a pressão varia
linearmente com a profundidade se o fluido for incompressível.
hp .=
Peso Específico = γ
Superfície livre
p = patm
h FR
p = patm
O módulo da força resultante sobre a
superfície inferior do tanque do líquido é:
ApF
FF
R
RV
.=
=∑
Onde:
p = pressão da superfície inferior
A = área desta superfície
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 2
 Se a pressão atmosférica atuar na superfície livre do fluido e na superfície
inferior do tanque a força resultante na superfície inferior é devido somente ao
líquido contido no tanque, porque as pressão atmosférica se anulam, já que são
iguais mais sentidos inversos.
 A força resultante atua no centróide da área da superfície inferior porque a
pressão é constante e está distribuída uniformemente nesta superfície.
GENERALIZANDO
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA E INCLINADA
 A força hidrostática aplicada em uma superfície plana e inclinada e com
formato aleatório.
Vamos determinar a direção, sentido,
módulo e ponto de aplicação.
Admitindo, por enquanto, que a superfície
livre do fluido está em contato com a
atmosfera.
O plano coincide com a superfície que está
sendo analisada intercepta a superfície livre
do líquido em O e seja θ o ângulo entre os
dois planos.
O sistema de coordenadas x-y é definido
de modo que o O está na origem do sistema
de coordenadas e y pertence ao plano
coincidente com a superfície que está sendo
ansalisada.
A superfície que estamos analisando pode
apresentar uma forma qualquer.
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 3
A força que atua em dA (área diferencial
localizada a uma profundidade h) é:
e é perpendicular à superfície.
O módulo da força resultante na
superfície é determinado somando-se
todas as forças diferenciais que atuam na
superfície que é:
Onde:
dAhdF ..=
senyh .=
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
∫=
A
R ydAsenF  .
Se γ e θ são constante, logo:
∫
A
ydA É o momento de primeira ordem (momento de primeira ordem
da área) em relação ao eixo X. Portanto, pode escrever:
AyydA c
A
.=∫
Onde:
yc – coordenada y do centróide medido a partir do eixo X que passa através de O.
Portanto:
hc – distância vertical entre a superfície livre do fluido e o centróide da área.
 senyAF cR ..= AhF cR ..=
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 4
 Isto significa que o módulo da força resultante é igual à pressão no centróide
multiplicada pela área total da superfície submersa.
 Como todas forças diferenciais que compõem Fr são perpendiculares a
superfície, a resultante destas forças também será perpendicular a superfície.
 Apesar de nossa intuição sugerir que a linha de ação da força resultante
deveria passar através do centróide da área este não é o caso.
 A coordenada yr da força resultante pode ser determinada pela soma dos
momentos em torno do eixo X, ou seja, o momento da força resultante precisa
ser igual aos momentos das forças devidas a pressão, ou seja,
∫∫ == AARR dAysenydFyF 2... 
Como:
 senyAF cR ...= Ay
dAy
y
c
A
R
.
2∫
=
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
∫A dAy2 É o momento de segunda ordem (momento de segunda ordemda área ou momento de inércia da área), Ix, em relação ao eixo
formado pela interseção do plano que contém a superfície e a
superfície livre (eixo X), obtem-se:
Ay
Iy
c
x
R
.
=
 Se utilizarmos o teorema dos eixos paralelos, Ix pode ser expresso por:
2
. cxcx yAII +=
Onde , Ixc é o momento de segunda ordem em relação ao eixo que passa no
centróide e é paralelo ao eixo X, obtem-se:
c
c
xc
R yAy
Iy +=
.
O que mostra que a força resultante não passa
através da centróide, mas sempre atua abaixo
dele, porque Ixc/yc.A > 0
 No livro pg. 54 mostra as propriedades geométricas de algumas figuras.
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 5
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
Propriedades
Geométricas de
Algumas Figuras
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
 A coordenada Xr do ponto de aplicação da força resultante pode ser
determinada de forma análoga, ou seja, somando-se os momentos em relação
ao eixo y. Desta modo:
∫= ARR xydAsenxF ... 
Ay
I
Ay
xydA
x
c
xy
c
A
R
..
==
∫Para  senyAF cR ...=
Onde , Ixy é o produto de inércia em relação aos eixos x e y, utilizando
novamente o teorema dos eixos paralelos, escreve-se:
c
c
xyc
R xAy
I
x +=
.
Ixyc é o produto de inércia em relação ao
sistema de coordenadas ortogonal que
passa através do centróide da área e criado
por uma translação do sistema de
coordenadas x-y.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 6
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
 Se a área submersa é simétrica em relação ao eixo que passa pelo centróide e
paralelo a um dos eixos (x ou y), a força resultante precisa atuar ao longo da
linha X = Xc, porque Ixyc é nulo, neste caso.
 O ponto de aplicação da força resultante é denominado de centro de pressão.
 Um aumento de yc provoca uma aproximação do centro de pressão para o
centróide da área.
Como
sen
hy cc =
A distância yc cresce se o hc aumentar ou, se para uma dada profundidade, a
área for rotacionada de modo que o ângulo θ diminua.
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
EXEMPLO 2.6 – pág. 55
A Figura abaixo mostra o esboço de uma comporta circular inclinada que está
localizada num grande reservatório de água (γ = 9,8 kN/m3 ). A comporta está
montada num eixo que corre ao longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixo
está localizado a 10m da superfície livre, determine: (a) o módulo e o ponto de
aplicação da força resultante na comporta, e (b) o momento que deve ser aplicando no
eixo para abrir a comporta.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 7
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
Solução:
(a) Para determinar a força resultante, AhF cR ..=
Como a distância vertical entre o centróide e a superfície livre da água é de
10 m, temos:
( ) ( ) ( ) MNNxxxxFR 23,11023,1410108,9 63 === 
Localizar o ponto de aplicação da força resultante (centro de pressão):
c
c
xyc
R xAy
I
x +=
.
c
c
xc
R yAy
Iy +=
.
Para o sistema de coordenadas mostrado, Xr = 0 porque a superfície da
comporta é simétrica e o centro de pressão precisa estar localizado ao longo
da linha A-A.
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
Solução:
O momento de inércia em relação ao eixo que passa no centróide e é paralelo ao
eixo X, é:
4
4RI xc

=
E que yc está mostrado na figura, assim:
( )( )
( )( )
my
sensen
y
Ay
Iy
R
c
c
xc
R
6,1155,110866,0
60
10
4.6010
2.4
.
2
=+=
°
+
°
=+= 

A distância entre o eixo da comporta e o centro de pressão (ao longo da
comporta) é:
myy cR 0866,0=−
RESUMINDO
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 8
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIEPLANA
Solução:
A força que atua sobre a comporta apresenta módulo igual a 1,23 MN, atua num
ponto localizado a 0,0866 m abaixo da linha do eixo e que é pertencente a linha A –
A. Lembre que a força é perpendicular a superfície da comporta.
(b) O diagrama de corpo livre mostrado na figura pode ser utilizado para determinar
o momento necessário para abrir a comporta. Observe que W é o peso da comporta,
Ox e Oy são as reações horizontal e vertical do eixo na comporta. A somatória dos
momentos em torno do eixo da comporta é nulo,
e nos fornece,
∑ = 0cM
( ) ( )( ) mNxxyyFM cRR .1007,10866,01023,1 56 ==−=
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
EXEMPLO 2.7 – pág. 56
A Figura abaixo mostra o esboço de um
aquário de água salgada (γ = 10,0
kN/m3) que apresenta profundidade
igual a 3,0 m. O reforço triangular
mostrado na Figura deve ser instalado
no aquário devido a um problema que
surgiu num dos seus cantos inferiores.
Determine o módulo e a localização do
ponto de aplicação da força resultante
neste reforço triangular.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 9
 SOLUÇÃO:
 As várias distâncias necessárias para resolver este problema estão mostrado na
Figura b. Como a superfície em que estamos interessados está na vertical, temos
que yc = hc = 2,7 m.
 Portanto:
 Note que esta força não é função do comprimento do tanque. A coordenada do
centro de pressão (CP) pode ser determinada pela expressão:
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
N10x094,1)2/9,0x9,0)(7,2)(10x10(AhF 43cR ==γ=
c
c
xc
R yA.y
Iy +=
 De modo que;
 De modo análogo
42
3
10823,1
36
)9,0)(9,0(
mxIxc
−
==
m
x
xyR 717,27,2)2/9,09,0)(7,2(
10823,1 2
=+=
−
c
c
xyc
R xAy
I
x +=
.
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 10
 Conclui-se que o centro de pressão está localizado a 8,3 mm a direita e a 17 mm
abaixo do centróide do reforço.
 Note que este ponto pertence a linha mediana mostrada na Figura, isto ocorre
porque a área total pode ser substituída por um número grande de pequenas tiras
com área δa e, como discutido anteriormente, a resultante da forças de pressão
atua no centro de cada uma das tiras. Logo, a resultante destas forças paralelas
precisa estar localizada na linha mediana.
43
2
10113,9)9.0(
72
)9,0)(9,0(
mxIxyc
−
==
m10x3,80)2/9,0x9,0)(7,2(
10x113,9
x 3
3
R
−
−
=+=
2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
 Interpretação gráfica da força desenvolvida por um fluido numa superfície
plana.
 Consideremos a distribuição de pressão ao longo da parede vertical de um
tanque com largura b e que contenha um líquido que apresenta peso específico
γ.
A pressão varia linearmente com a profundidade.
A pressão relativa é nula na superfície livre do
líquido, igual a γh na superfície inferior do líquido e
que a pressão média ocorre num plano com
profundidade h/2.
Assim a força resultante que atua na área
retangular (A = b.h) é:
AhAPF medR 


==
2

26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 11
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
 Esta distribuição de pressão é adequada para toda a superfície vertical então
podemos representar tridimensionalmente a distribuição de pressão do
seguinte modo:
A base deste “volume” no espaço pressão – área é
a superfície plana que estamos analisando e a altura
de cada ponto é dada pela pressão.
Este “volume” é denominado prisma de pressão e é
claro que o módulo da força resultante que atua na
superfície vertical é igual ao volume deste prisma.
Assim, a força resultante para o prisma é:
( )( ) AhbhhvolumeFR 


===
22
1 
Onde bh é a área da superfície retangular vertical.
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
 A linha de ação da força resultante precisa passar pelo centróide do prisma de
pressões.
 O centróide está localizado no eixo vertical de simetria da superfície vertical e
dista h/3 da base, porque o centróide de um triângulo está localizado a h/3 de
sua base.
 O resultado é consistente com:
CONSIDERANDO QUE A SUPERFÍCIE PLANA ESTÁ
TOTALMENTE SUBMERSA.
c
c
xyc
R xAy
I
x +=
.
c
c
xc
R yAy
Iy +=
.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 12
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
 Neste caso a seção transversal do prisma das pressões é um trapézio.
 O módulo da força resultante que atua sobre a
superfície; também é igual ao volume do prisma
das pressões e sua linha de ação passa pelo
centróide do volume.
 O módulo da força resultante pode ser obtido
decompondo o prisma das pressões em duas
partes (ABDE e BCD). De modo que:
21 FFFR +=
 A localização da linha de ação de Fr pode ser determinada a partir da
soma de seus momentos em relação a algum eixo conveniente.
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
 Por exemplo, se utilizarmos o eixo que passa através de A, tem-se:
2211 ... yFyFyF AR +=
SUPERFÍCIE PLANA INCLINADA SUBMERSA
 Geralmente a seção transversal, sobre a
superfície do prisma, é um trapézio.
 Apesar de ser conveniente medir as
distância ao longo da superfície
inclinada, a pressão que atua na
superfície é função da distância vertical
entre o ponto que está sendo analisado e
a superfície livre do fluido.
 Prisma de pressões é utilizado para determinar a força em superfícies planas
submersa retangular, porque o volume e o centróide do prisma podem ser
determinado facilmente.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 13
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
 Quando a superfície não é retangular a determinação do volume e a localização
do centróide pode ser realizado através de integração.
EFEITO DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA NA SUPERFÍCIE SUBMERSA
 Não considerando pressão atmosférica medindo pressão relativa.
Se incluirmos a pressão atmosférica, a nova
distribuição de pressão, será:
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
 A resultante da força que atua no lado da parede em contato com o fluido é
uma superposição da resultante da distribuição de pressão hidrostática com a
da pressão atmosférica (Patm . A, onde A é a área da superfície).
 Se consideramos a pressão atmosférica no
lado da superfície que está em contato com
o fluido, também deve-se considerar no
outro lado, admitindo que o outro lado da
superfície também esteja exposta a
atmosfera.
 A pressão atmosférica produz na superfície
que não está em contato com o fluido uma
força de mesmo módulo e direção de força
resultante devida a pressão atmosférica no
lado que está em contato com o fluido e que
os sentidos destas forças são opostas.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 14
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
 Assim conclui-se que a força resultante com que os fluidos atua na superfície é
devida apenas a pressão relativa.
 Se a pressão na superfície do líquido for diferente da atmosférica, como o que
ocorre num tanque fechado e pressurizado, a força resultante que atua numa
área submersa A será igual a superposição da força devida a distribuição
hidrostática com a Ps.A,
Onde: Ps é a pressão relativa na superfície do líquido, admitindo que o outro lado
da superfície está exposto a atmosfera.
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
EXEMPLO 2.8 – pág. 60
A figura abaixo mostra o esboço de um tanque pressurizado que contém óleo
(densidade = SG = 0,9). A placa de inspeção instalada no tanque é quadrada e
apresenta largura igual a 0,6 m. Qual é o módulo, e a localização da linha de
ação da força resultante que atua na placa quando a pressão relativa no topo
do tanque é igual a 50 kPa. Admita que o tanque está exposto a atmosfera.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão15
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
Solução:
A figura mostra a distribuição de pressão na superfície da placa. A pressão num
dado ponto da placa é composta por uma parcela devido a pressão do ar
comprimido na superfície do óleo, ps, e outra devida a presença do óleo (que varia
linearmente com a profundidade). Nós vamos considerar que a força resultante na
placa com área A é composta pelas forças F1 e F2.
Assim,
( ) ( )( ) NxxxxxAhpF s 33311 104,2436,021081,99,01050 =+=+= 
e
( ) ( ) NxxxAhhF 33122 1095,036,02
6,0
.1081,99,0
2
=


=

 −
= 
O módulo da força resultante, Fr, é :
kNNxFFFR 4,25104,25 321 ==+=
2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES
Solução:
A localização vertical do ponto de aplicação de Fr pode ser obtida somando os
momentos em relação ao eixo que passa através do ponto O. Assim,
( ) ( )2,03,0 21 FFyF oR +=
ou
( )( ) ( )( )
( ) mx
xxyo 296,0104,25
2,01095,03,0104,24
3
33
=
+
=
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 16
2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS
 Tipos de superfície que não são planas: superfícies de barragens, Tubulações e
Tanques.
 É possível determinar a força resultante em qualquer superfície por integração,
mas este procedimento é trabalhoso e não é possível formular equações
simples e gerais.
Por isso, como alternativa, considera-se o equilíbrio de
um volume de fluidos delimitado pela superfície curva
considerada e por suas projeções vertical e horizontal.
Para determinar a força resultante que atua sobre esta
seção que apresenta comprimento unitário na direção
perpendicular ao plano do papel.
Primeiro isola-se o volume de fluido que é delimitado
pela superfície curva considerada, neste caso a BC o
plano horizontal AB e o plano vertical AC.
2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS
 O diagrama de corpo livre deste volume é apresentado por:
Os módulos e as pressões dos pontos de aplicação
de F1 e F2 podem ser determinados utilizando as
relações aplicáveis a superfícies planas.
O peso do fluido contido no volume, W, é igual ao
peso específico do fluido multiplicado pelo volume e o
ponto de aplicação desta forma coincide com o centro
de gravidade da massa de fluido contido no volume.
As forças FH e FV representam as componentes da
força que o tanque exerce no fluido.
Para que o sistema de forças esteja equilibrado os módulos das componente FH
e FV devem:
WFF
FF
V
H
+=
=
1
2 Colineares
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 17
2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS
 Como três forças atuam na massa de fluidos (F2, a resultante de F1 com W e a
força que o tanque exerce sobre o fluido), estas precisam formar um sistema de
forças concorrentes.
 Isto é uma decorrência do seguinte princípio da estática: Quando um corpo é
mantido em equilíbrio por três forças não paralelas, estas precisam ser
concorrentes (suas linhas de ação se interceptam num só ponto) e coplanares,
assim:
 E o módulo da força resultante é obtido pela equação:
 A linha de ação da FR passa pelo ponto O e o ponto de aplicação pode ser
localizado somando-se os momentos em relação a um eixo apropriado.
WFF
FF
V
H
+=
=
1
2
( ) ( )22 VHR FFF +=
2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS
 Assim, o módulo da força que atua na superfície curva BC pode ser calculada
com as informações do diagrama de corpo livre.
 EXEMPLO 2.9 – pg. 62
A figura abaixo mostra o esboço de um conduto utilizado na drenagem de um
tanque e que está parcialmente cheio de água. Sabendo que a distância entre os
pontos A e C é igual ao raio do conduto, determine o módulo, a direção e o sentido
da força que atua sobre a seção curva BC (devida a presença da água). Admita que
esta seção apresenta comprimento igual a 1m.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 18
2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS
 A Figura b mostra o volume de fluido
delimitado pela seção curva BC, pelo
plano horizontal AB e pelo plano vertical
AC. Este volume apresenta comprimento
igual a 1m. As forças que atuam no
volume são a força horizontal F1, que age
na superfície vertical AC, o peso, W, da
água contida no volume e as
componentes horizontal e vertical da força
que a superfície do conduto exerce sobre
o volume (FH e FV)
( ) ( ) NxxxAhF c 331 1097,319,02
9,0108,9 =


== 
E a linha de ação desta força horizontal está situada a 0,3m acima de C. O módulo
do peso, W, é:
( ) NxxxvolW 323 1024,61
4
9,0.108,9. =



==

Solução
2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS
 E seu ponto de aplicação coincide com o centro de gravidade da massa de fluido,
de acordo com as propriedades geométricas da figura, e este ponto está localizado
a 0,382 m da linha vertical AC (figura c). As condições para equilíbrio são:
NxWF
NxFF
V
H
3
3
1
1024,6
1097,3
==
==
E o módulo da força resultante é:
( ) ( ) ( ) ( ) NxxxFFF VHR 3232322 1040,71024,61097,3 =+=+=
Solução
 O módulo da força com que a água age sobre o trecho de conduto é igual ao
calculado mas o sentido desta força é oposto mostrado na figura b.
 A figura c mostra a representação correta da força resultante sobre o trecho do
conduto. Note que a linha de ação da força passa pelo ponto O e apresenta a
inclinação mostrada na figura.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 19
2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS
 Este resultado mostra que a linha de ação da força resultante passa pelo centro do
conduto.
 A mesma abordagem geral pode ser utilizada para determinar a força gerada em
superfícies curvas de tanques fechados e pressurizados.
 Note que o peso do gás normalmente é desprezível em relação as forças
desenvolvidas pela pressão na avaliação das forças em superfícies de tanques
dedicados a estocagem de gases.
 Nestes casos, as forças que atuam nas projeções horizontal e vertical da superfície
curva em que estamos interessados (tais como F1 e F2) podem ser calculadas
como o produto da pressão interna pela área projetada apropriada.
Solução
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 2.52 – pág. 80
 A Figura abaixo mostra o corte transversal de uma comporta que apresenta massa
igual 363 kg. Observe que a comporta é articulada e que esta imobilizada por um
cabo. O comprimento e a largura da placa são respectivamente iguais a 1,2 e 2,4 m.
Sabendo que o atrito na articulação é desprezível. Determine a tensão no cabo.
Sendo γH2O = 9980 N/m3.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 20
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 2.63 – pág. 81
 A comporta quadrada (1,83 m x 1,83 m) mostrada na figura abaixo pode girar
livremente em torno do vínculo indicado. Normalmente é necessário aplicar uma
força P na comporta para que ela fique imobilizada. Admitindo que o atrito no
vínculo é nulo, determine a altura da superfície livre da água, h, na qual o módulo
da Força P seja nulo. Sendo γH2O = 9980 N/m3.
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 2,70 – pág. 83
 Uma comporta, com 3 m de comprimento, está localizada na parede lateral de um
tanque (veja a Figura abaixo). Determine os módulos da componentes horizontal e
vertical da força com que a água atua sobre a comporta. A linha de força passa
através do ponto A? Justifique a sua resposta. Sendo γH2O = 9980 N/m3.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 21
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 2,75 – pág. 83
 O dique mostrado na figura abaixo é construído com concreto (γconcreto = 23,6
kN/m3) e é utilizado para reter um braço de mar que apresenta profundidade igual a
7,3 m. Determine o momento da força com fluido (por unidade de comprimento) que
atua na superfície molhada do dique em relação aoeixo horizontal que passa pelo
ponto A. Sendo γH2O = 10.000 N/m3.
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 2,75 – pág. 83
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 22
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 2,75 – pág. 83
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
 Empuxo: força resultante gerada pelo fluido e que atua nos corpos. É uma força
líquida vertical, com sentido para cima, e é resultado do gradiente de pressão (a
pressão aumenta com a profundidade).
 Para sua determinação vamos considerar um corpo com a forma arbitrária:
2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
 O volume do corpo arbitrário é V
e está imerso em fluido.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 23
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
 Envolvendo o corpo com um paralelepípedo e analisando seu diagrama de corpo
livre com o corpo removido do paralelepípedo.
2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
 F1, F2, F3 e F4 – são as forças
exercidas nas superfícies planas do
paralelepípedo.
 Para simplificar as forças na direção X
não estão representadas.
 W é peso do fluido contido no
paralelepípedo (relativo a área
rachurada).
 FB é a força que o corpo exerce
sobre o fluido
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
Analisando as condições de Equilíbrio:
 Direção Horizontal: (1)
 Direção Vertical: (2)
 Se o peso específico do fluido é constante: (3)
Onde: A é a área das superfícies horizontais dos paralelepípedo.
 Substituindo (3) em (2): (4)
 Simplificando: (5)
2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
43 FF =
WFFFB −−= 12
( )AhhFF 1212 −=− 
( ) ( )[ ]VAhhAhhFB −−−−= 1212 
VFB = Onde: γ é o peso específico do fluido eV é o volume do corpo
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 24
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
A força de empuxo apresenta módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo,
sua direção é vertical e seu sentido é para cima, isto é conhecido como PRINCÍPIO
DE ARQUIMEDES.
2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
 A localização da linha de ação da força de Empuxo pode ser determinada
somando-se os momentos das forças mostradas no diagrama de corpos livres em
relação a um eixo conveniente.
 Exemplo: Somando os momentos em relação ao eixo perpendicular ao plano da
figura em que passa pelo ponto D, tem-se:
21112 WyyFyFyF cB −−= (6)
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
 Substituindo as forças, Eq. (3) e (5) e a contribuição do peso:
Onde: VT é o volume total definido por (h2 – h1).A
 O lado direito da Eq. (7) é o primeiro momento do volume deslocado V em
relação ao plano x-z de modo que yc é igual a coordenada y do centróide do
Volume V.
 O mesmo procedimento é utilizado para encontrar a coordenada x, onde
demonstra que esta coincide com a centróide xc.
 Assim conclui-se que o ponto de aplicação da força de empuxo coincide com o
centróide do volume deslocado. O ponto de aplicação da força de empuxo é
denominada centro de empuxo.
( ) 21 yVVyVVy TTc −−= (7)
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 25
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
 Estes resultados também são aplicados aos corpos que flutuam, se o peso
específico do fluido localizado acima da superfície livre do líquido é muito pequeno
em relação ao do líquido onde o corpo flutua. Normalmente esta condição é
satisfeita porque o fluido acima da superfície livre usualmente é o ar.
 Como consideramos que o fluido
apresenta peso específico constante, se
o corpo está imerso num fluido que
apresenta variação de γ, tal como num
fluido estratificado em camadas, o
módulo da força de empuxo continua
igual ao peso do fluido deslocado.
 Entretanto, o ponto de aplicação da força
não coincide com o centróide do volume
deslocado, mas sim com o centro de
gravidade do volume descolado
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
 EXEMPLO 2.10 – pág. 65
 A figura abaixo mostra o esboço de uma bóia, com diâmetro e peso igual a 1,5m e
8,5kN, que está presa ao fundo do mar por um cabo. Normalmente, a bóia flutua
na superfície do mar mas, em certas ocasiões, o nível do mar sobe e a bóia fica
completamente submersa. Determine a força que tensiona o cabo na condição
mostrada na figura.
 Nós primeiramente vamos construir o diagrama de corpo
livre para a bóia.
 FB é a força de empuxo que atua
sobre a bóia;
 W é o peso da bóia;
 T é força que tensiona o cabo.
Equilíbrio:
Solução
WFT B −=
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 26
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
 Sabe-se que:
 O peso específico da água do mar é 10,1 kN/m3 e V = (π d3)/6. Substituindo,
 Assim, a força que tensiona o cabo é:
 Note que nós trocamos o efeito da forças de pressão hidrostática no corpo pela
força do empuxo.
Solução
VFB =
( ) ( ) NxxFB 433 10785,15,1.6101,10 =

 


=

kNNxxxT 35,91035,91050,810785,1 334 ==−=
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
 A figura abaixo mostra um outro diagrama de corpo livre que também está
correto, mas que apresenta uma distribuição das forças devidas a pressão.
Lembre que o efeito líquido das forças de pressão na superfície da bóia é igual
a força FB (a força de empuxo).
Solução
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 27
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 2.84 – pág. 84
 O Lago formado pela construção da barragem de Tucuruí cobriu uma vasta região
onde existiam muitas árvores nobres. Infelizmente, não houve tempo disponível
para remover todas estas árvores antes do início da formação do lago. Foi detectado
que os corpos de muitas árvores ainda estavam muito bem conservadas após de 15
anos da formação do lago e algumas pessoas iniciaram a operação de remoção
destas árvores. O primeiro passo utilizado no processo de remoção consiste em fixá-
las ao fundo com âncoras e cabos. O Segundo passo consiste em cortar os troncos
na altura das raízes. A ancoragem é necessária para evitar que as árvores cheguem
na superfície livre do lago com uma velocidade alta. Admita que uma árvore grande
(altura = 30 m) possa ser modelada como um tronco de cone de cone com diâmetro
inferior e superior iguais a 2,4 e 0,6 m, respectivamente. Determine o módulo da
componente vertical da força resultante que os cabos devem resistir quando a
árvore é cortada e ainda está completamente submersa. Admita densidade da
madeira igual a 0,6 e γH2O = 10000 N/m3
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 5
 (a) Considere o material cilíndrico poroso (material não maciço, ou seja, possui vazios
em sua composição) mostrado na Figura abaixo, este tem densidade igual a 0,60
quando seus poros não estão preenchidos com fluido líquido, 1,0 m de diâmetro e
0,80 m de comprimento, este cilindro estaria estável a que altura, h, se fosse imerso
em um fluido com densidade igual a 1,05? Considere g = 9,81 m/s2 e ρH204oC=1000
kg/m3. b) E se após certo tempo o fluido subir nos poros por capilaridade e preencher
os vazios dos poros do material num valor que chega até 0,30 do volume deste, qual
seria a nova altura de equilíbrio, h, sendo que não haverá alteração de volume do
material? Considere g = 9,81 m/s2 e ρH204oC=1000 kg/m3.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 28
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
 Se um corpo está totalmente mergulhado em um
líquido, e em uma posição de equilíbrio (estático), seu
peso é igual ao empuxo que ele está recebendo (E=P).
Neste caso, será nula a resultante destas forças e
corpo ficará em repouso na posição em que foiabandonado. É isto que acontece com um submarino
submerso, em repouso, a uma certa profundidade.
 O valor do empuxo é menor que o peso do corpo (E<P).
Neste caso, a resultante destas forças estará dirigida
para baixo e o corpo afundará, até atingir o fundo do
recipiente. É isto que acontece quando, por exemplo,
abandonarmos uma pedra dentro d’água.
CONDIÇÕES PARA UM CORPO FLUTUAR EM UM LÍQUIDO
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
 O valor do empuxo é maior do que o peso do corpo
(E>P). Neste caso, a resultante destas forças estará
dirigida para cima e o corpo sobe verticalmente no
interior do líquido. É isto o que acontece quando, por
exemplo, abandonarmos uma bloco de madeira no
interior de um líquido. O bloco de madeira ira submergir
até que a resultante das forças se iguale, ou seja (E=P),
assim, nesta posição é que o corpo flutuará, em
equilíbrio.
 Destas considerações podemos concluir que, quando
um navio está flutuando, em equilíbrio, na água, ele
esta recebendo um empuxo cujo o valor é igual ao seu
próprio peso, isto é, o peso do navio está sendo
equilibrado pelo empuxo que ele recebe da água.
Devemos perceber que o volume imerso no fluido não é o volume total do corpo.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 29
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
 CENTRÓIDE – é o ponto no interior de uma forma geométrica que define seu centro
geométrico.
 CENTRO DE MASSA - é o ponto onde pode ser pensado que toda a massa do corpo
está concentrada para o cálculo de vários efeitos. O centro de massa não precisa
coincidir com o centro geométrico ou o centro de gravidade. O centro de massa
nem ao menos precisa estar dentro do corpo. Para n partículas, cada uma com
posição ri e massa mi, o centro de massa é dado por:
 CENTRO DE GRAVIDADE – é o ponto onde pode ser considerada a aplicação da
força de gravidade de todo o corpo. O significado a palavra baricentro é de origem
grega (BARI = peso)e designa o centro dos pesos. No caso da força de gravidade
resultar de um campo de gravidade uniforme, o centro de gravidade é coincidente
com o centro de massa. Esta é a aproximação natural no estudo da física de
objetos de pequenas dimensões sujeitos ao campo gravidade terrestre.
iirmM
1R ∑=
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.2 – ESTABILIDADE
 Um corpo está numa posição de equilíbrio estável se, quando perturbado,
retorna a posição de equilíbrio original.
 O corpo está em posição de equilíbrio instável se ele se move para uma nova
posição de equilíbrio após ser perturbado, mesmo que a perturbação seja
bastante pequena.
 A importância de se analisar o equilíbrio dos corpos submersos e flutuantes é
que o centro de empuxo e de gravidade necessariamente não são coincidentes,
assim uma pequena rotação pode resultar num momento de restituição ou
emborcamento.
 Exemplo:
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 30
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.2 – ESTABILIDADE
 Exemplo:
 Corpo totalmente submerso.
 O centro de gravidade está localizado
abaixo do centro de empuxo, uma rotação a
partir do ponto de equilíbrio criará um
momento de restituição formado pelo peso
(W) e pela força de empuxo (FB).
 Note que o binário provocará uma rotação
no corpo para a sua posição original. Assim
o equilíbrio é estável.
 Isso sempre acontece se o centro de gravidade estiver localizado abaixo do
centro de empuxo, mas se o centro de gravidade estiver acima do centro de
empuxo?
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.2 – ESTABILIDADE
 Exemplo:
 Centro de gravidade estiver acima do
centro de empuxo:
 O binário formado pelo peso e pela força
de empuxo causará o emborcamento
(tombamento) do corpo e ele se
movimentará para uma nova posição de
equilíbrio.
 Assim o corpo está numa posição de
equilíbrio instável.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 31
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.2 – ESTABILIDADE
Considerando um corpo que flutua num fluido em repouso
 O problema é mais complicado porque a localização do centro de empuxo (que
coincide com o centróide do volume deslocado) pode mudar quando o corpo
rotaciona.
 Consideremos uma barcaça com calado pequeno.
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.2 – ESTABILIDADE
 A barcaça pode estar em uma posição estável mesmo que o centro de
gravidade esteja acima do centróide, porque a força de empuxo, FB, na posição
perturbada (relativa ao novo volume deslocado) combina com o peso para
formar um binário de restituição (que levará o corpo para a posição de equilíbrio
original).
 .
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 32
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.2 – ESTABILIDADE
 Entretanto se impusermos uma pequena rotação num corpo esbelto que flutua,
como mostra a fig. a seguir, a força de empuxo e o peso podem formar um
binário de emborcação.
2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE
2.11.2 – ESTABILIDADE
 A análise da estabilidade dos corpos submersos e flutuantes pode ser
dificultada tanto pela geometria quando pela distribuição de peso no corpo
analisado.
 As vezes, também, é necessário considerar outros tipos de forças externa que
atuam no corpo que está sendo analisado (tais como a induzida pelas rajadas
de vento ou correntes no fluido).
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 33
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
 Equação Geral do Movimento: (1)
 Desenvolvida para fluidos que estão em repouso ou num movimento que não
apresenta tensões de cisalhamento.
 Admitindo um sistema de coordenadas cartezianas, com o eixo z apontando
para cima (o sentido da gravidade é negativo).
 Desmembrando a Eq. (1):
(2)
 O movimento do fluido que não apresenta tensão de cisalhamento é aquele
onde a massa de fluido é submetida a um movimento de corpo rígido.
akp  =−∇− ˆ
xa
x
P =
∂
∂
− yay
P =
∂
∂
− za
z
P  +=
∂
∂
−
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
 Exemplo: Se um recipiente de fluido acelera ao longo de uma trajetória retilínea,
o fluido se moverá como uma massa rígida (depois que o movimento transitório
inicial tiver desaparecido) e cada partícula apresentará a mesma aceleração.
Como não existe deformação neste tipo de movimento, as tensões de
cisalhamento serão nulas e a Eq. (1) é adequada para descrever o movimento.
 Da mesma maneira, se o fluido contido num tanque rotaciona em torno de um
eixo fixo, o fluido simplesmente rotacionará com o tanque como um corpo rígido
e, de novo, a Eq. (1) pode ser utilizada para determinar a distribuição de
pressões no fluido.
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 34
2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR
 Considerando o movimento retilíneo e uniformemente acelerado de um
recipiente aberto que contém um líquido.
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
Figura – Aceleração linear de
uma massa de líquido com
superfície livre.
 Como ax = 0 , tem-se que o gradiente de pressão na direção x (dp/dx) é nulo.
0=
∂
∂
x
P (3)
2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR
 Os gradientes de pressão nas direções y e z são:
 A variação de pressão entre dois pontos próximos, localizados em (y, z) e (y + dy,
z + dz) pode ser expressão por:
 Substituindo (4) em (5) em (6)
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
yay
P
.−=
∂
∂ (4) ( )zag
z
P
+−=
∂
∂
. (5)
dz
z
Pdy
y
Pdp
∂
∂
+
∂
∂
= (6)
( )dzagdyadp zy +−−=  (7)
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 35
2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR
 Como dp = 0 ao longo de uma linha de pressãoconstante. Assim, a inclinação
destas linhas é dada por:
 A pressão ao longo da superfície livre, é constante, assim, a superfície livre da
massa de fluido será inclinada se ay ≠ 0. Note que, neste caso, todas as linhas
de pressão constante serão paralelas a superfície livre.
 No caso especial onde ay = 0 e az ≠ 0 que corresponde a uma massa de fluido
acelerado na direção vertical, a superfície do fluido será horizontal. Entretanto,
tem-se que a distribuição de pressão não será a hidrostática, mas fornecida
pela equação:
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
z
y
ag
a
dy
dz
+
−=
( )zagdz
dp
+−= 
(8)
2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR
 Se a massa específica for constante, a pressão variará linearmente com a
profundidade.
 Exemplo: A pressão no fundo de um tanque que contém um líquido e que está
apoiado no chão de um elevador com movimento acelerado para cima é maior
que aquela medida quando o tanque está em repouso (ou em movimento com
velocidade constante)
 Se uma massa de fluido está em queda livre (az = -g), o gradiente de pressão
nas três direções é nula.
 Assim, se a pressão no ambiente onde está localizada esta massa de fluido é
zero, a pressão no fluido também será nula.
 A pressão interna nua gota de suco de laranja localizada num veículo espacial
em órbita (uma forma de queda livre) é zero e a única força que mantém o
líquido coeso é a tensão superficial.
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 36
2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR
 EXEMPLO 2.11 – pág. 68
 A figura abaixo mostra a seção transversal retangular do tanque de combustível
instalado num veículo experimental. O tanque é ventilado (a superfície livre do
líquido está em contato com a atmosfera) e contém um transdutor de pressão
(veja a figura). Durante o teste do veículo, o tanque é submetido a uma
aceleração linear constante em ay. (a) Determine uma expressão que relacione
ay e a pressão medida no transdutor para um combustível que apresenta
densidade (SG) igual a 0,65. (b) Qual é o valor máximo da aceleração ay para
que o transdutor fique acima do nível do líquido?
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR
Solução
 (a) Se a aceleração é horizontal e constante, o fluido se movimentará como um
corpo rígido e a inclinação da superfície livre do fluido pode ser determinada
como Eq. (8).
 Lembrando que az = 0, temos:
 A mudança de profundidade do líquido no lado direito do tanque, z1, provocada
por uma aceleração ay, pode ser determinada pela equação.
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
g
az y
−=−
230,0
g
adz y
−=−
230,0
ou ( ) 



=
g
a
dz y230,0
z
y
ag
a
dy
dz
+
−=
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 37
2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR
Solução
 Como az é nula, a pressão ao longo da parede varia hidrostaticamente (veja a
Eq. (5). Então, a pressão no transdutor é dada pela relação p = γ.h onde h é a
distância vertical entre o transdutor e a superfície livre do líquido. Deste modo,
 Observe que esta equação só é válida para z1 < 0,15m e que a pressão é dada
em Pa.
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
( )( ) ( )




−=







−=
g
a
xxp
g
a
xp
y
y
22
3
10200,210565,9
23,015,01081,965,0
2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR
Solução
 (b) O valor da aceleração ay para que o nível do líquido atinja o transdutor pode
ser calculado com a equação
 Se o valor da aceleração da gravidade é o padrão, temos:
 Note que, neste exemplo, a pressão nos planos horizontais não é constante. Isto
ocorre porque dp/dy = -ρ .ay ≠ 0. Por exemplo, a pressão no ponto (1) é
diferente daquela no ponto (2).
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
( ) 



=
g
ay230,015,0 gay 652,0=ou
2/40,681,9652,0 smxay ==
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 38
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 2,94– pág. 86
 Um tanque retangular e aberto (largura e comprimento respectivamente iguais a 1 e
2 m) contém gasolina. A superfície livre do fluido se encontra a 1 m do fundo do
tanque. Qual deve ser a aceleração imposta ao tanque para que a gasolina vaze
sabendo que a altura do tanque é igual a 1,5 m, sendo o peso específico da
gasolina a 7910 N/m3.
2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
 Após o período transitório inicial, o fluido contido num tanque que gira com uma
velocidade angular, ω, constante em torno do eixo, também rotacionará como
um corpo rígido em torno do mesmo eixo.
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 39
2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
 O módulo da aceleração de uma partícula localizada, a uma distância r do eixo
de rotação é igual a:
 Como as trajetórias das partículas de fluido são circulares, é conveniente utilizar
o sistema de coordenadas cilíndricas polar r, θ e z.
 O gradiente de pressão neste sistema de coordenadas é expresso por:
 Então, para este sistema de coordenadas:
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
rar .
2= A direção desta aceleração é radial e que é dirigido para o eixode rotação.
zr e
z
p
e
p
r
e
r
pp ˆˆ1ˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
rr era ˆ.
2−= 0=a 0=za
2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
 Como:
 A pressão é função das variáveis r e z quando o fluido executa um movimento
de rotação de corpo rígido.
 Portanto, o diferencial de pressão é dado por:

 Ao longo de uma superfície com pressão constante tal como a superfície livre,
dp = 0.
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
akp  =−∇− ˆ
2r
r
p
=
∂
∂ 0=
∂
∂

p −=
∂
∂
z
p
dz
z
pdr
r
pdp
∂
∂
+
∂
∂
= dzrdrdp  −= 2
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 40
2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
 Se aplicarmos nesta superfície e utilizarmos γ = ρg, tem-
se:
 Assim, a equação para as superfícies que apresentam pressão constante é:
 Esta equação revela que as superfícies com pressão constante são parabólicas.
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
dzrdrdp  −= 2
g
r
g
r
dr
dz
gdzdzrdr
22
2




==
==
cte
g
r
z +=
2
2
2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
 A integração da equação:
 Fornece:
Ou
 A constante de integração pode ser determinada em função da pressão em
algumas posição arbitrária (por exemplo r0, z0).
 Este resultado mostra que a pressão varia com a distância em relação ao eixo
de rotação, mas para um dado raio, a pressão, varia hidrostaticamente na
direção vertical.
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
dzrdrdp  −= 2
∫∫∫ −= dzrdrdp  2
ctez
rp +−= 
2
22
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 41
2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
 Exemplo 2.12 – pag. 72 - Foi sugerido que a velocidade angular de um corpo
rígido, como um eixo, pode ser medida conectando-se um cilindro aberto e que
contém um líquido ao corpo (do modo mostrado na figura) e medindo-se, com
um sensor de distância, a depressão H – h0 provocada pela rotação do fluido.
Qual é a relação entre a mudança do nível do líquido e a velocidade angular do
corpo?
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
Solução: A altura hda superfície livre para r = 0 pode ser determinada pela
equação:
Assim,
O volume de fluido no tanque, Vi, é constante e igual a:
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
cte
g
r
z +=
2
2
0
2
2
h
g
rh += 
HRVi
2=
26/03/2012
Eliane Justino - Curso de Engenharia
Civil - UFG/Catalão 42
2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
Solução:
O volume de fluido contido no tanque, quando este está com movimento de
rotação, pode ser calculado com a ajuda do elemento diferencial. A casca cilíndrica
é tomada em algum raio arbitrário r e seu volume é:
 O volume total é dado por:
 Como o volume de fluido no tanque é constante (admitindo que não haja
transbordamento), temos.
2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
rhdrdV 2=
0
2
42
0
0
22
42
2 hR
g
Rdrh
g
r
rV
R
 +=



+= ∫
0
2
42
2
4
hR
g
RHR  += ou
g
RhH
4
22
0

=−
EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE
 EXERCÍCIO 2,100 – pág. 86
 O tubo U da figura abaixo está parcialmente preenchido com mercúrio e pode girar
em torno do eixo a – a. Quando o tubo está em repouso as alturas das colunas de
mercúrio são iguais a 150 mm. Qual deve ser a velocidade angular do tubo para que
a diferença entre as alturas das colunas se tone igual a 75 mm.