Lista de Polinômios

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Exercícios de Polinômios – Cursinho Avante
19 de março de 2018
1. (UNICAMP – SP)Seja a um número real e seja:
p(x) =
 3− x −1
√
2
0 a− x −1
0 4 1− x

(a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.
(b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha única raiz real.
2. (UNICAMP – SP)Considere o polinômio p(x) = x3 − 2x2 + 5x+ 26.
(a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio.
(b) Prove que p(x) > 0 para todo número real x > −2.
3. (UNICAMP – SP)As três raízes da equação x3 − 3x2 + 12x − q = 0, onde q é um
parâmetro real, formam uma progressão aritmética.
(a) Determine q.
(b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), encontre as raízes (reais e
complexas) da equação.
4. (UNICAMP – SP)Considere o polinômio cúbico p(x) = x3 − 3x + a, onde a é um
número real.
(a) No caso em que p(1) = 0, determine os valores de x para os quais a matriz A
abaixo não é invertível.
A =
 x 1 00 x 1
a 3 x

(b) Seja b um número real não nulo e i a unidade imaginária, isto é, i2 = −1. Se
o número complexo z = 2 + bi é uma raiz de p(x), determine o valor de |z|.
5. (UNICAMP – SP)O polinômio p(x) = x3− 2x2− 9x+18 tem três raízes: r,−r e s.
(a) Determine os valores de r e s.
(b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária.
6. (UNESP – SP)Uma raiz da equação x3− (2a− 1)x2− a(a+1)x+2a2(a− 1) = 0 é
(a− 1). Quais são as outras duas raízes dessa equação?
7. (UNESP – SP)Transforme o polinômio P (x) ≡ x5 + x2 − x− 1 em um produto de
dois polinômios, sendo um deles do 3o grau.
8. (UNESP – SP)Os coeficientes do polinômio f(x) = x3 + ax2 + bx+ 3 são números
inteiros. Supondo que f(x) tenha duas raízes racionais positivas distintas.
(a) Encontre todas as raízes desse polinômio.
(b) Determine os valores de a e b.
9. (UNESP – SP)Duas raízes x1 e x2 de um polinômio p(x) de grau 3, cujo coeficiente
do termo de maior grau é 1, são tais que x1 + x2 = 3 e x1 · x2 = 2.
(a) Dê as raízes x1 e x2 de p(x).
(b) Sabendo-se que x3 = 0 é a terceira raiz de p(x), dê o polinômio p(x) e o coefi-
ciente do termo de grau 2.
10. (UNESP – SP)Se x0 = −2 é um zero de p(x) = x3 + 5x2 + kx − 1, sendo k uma
constante, então p(x) é divisível por
(a) 2x2 + 6x− 1
(b) 2x2 + 6x+ 1
(c) x2 + 3x− 1
(d) x2 + 3x
(e) x2 + 1
11. (FUVEST – SP)As raízes do polinômio p(x) = x3− 3x2+m, onde m é um número
real, estão em progressão aritmética. Determine:
(a) O valor de m.
(b) As raízes desse polinômio.
12. (FUVEST – SP)O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3−mx2+4x+3
é igual a −1. Determinar:
(a) O valor de m.
(b) As raízes de p.
13. (FUVEST – SP)Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais, que colocadas em
ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é
igual a 95 . A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz
é 245 .
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:
(a) A progressão aritmética.
(b) O coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
14. (FUVEST – SP)As raízes da equação do terceiro grau
x3 − 14x2 + kx− 64 = 0
são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine
(a) As raízes da equação.
(b) O valor de k.
15. (FUVEST – SP)O polinômio P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx − 8, em que a, b, c são
números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes
simétricas.
(a) Determine a, b, c e as raízes de P (x).
(b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de P (x) e determine todos os polinômios com
coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes.
16. (ITA – SP)Sejam x e y pertencentes ao intervalo [0, pi]. Determine todos os pares
ordenados (x, y) tais que

√
2 cosx− sin y = 12
√
2 sin x+
√
3 cos y = −12
17. (UEM – PR)Acerca das raízes complexas do polinômio x3 − 5x2 + ax− 1, sendo a
um número real, assinale o que for correto.
01) Se a = 0, o polinômio possui uma única raiz de multiplicidade 3.
02) O produto das raízes é 1.
04) Se 1 é raiz desse polinômio, então a = 5.
08) A soma das raízes é 5.
16) Se 1 é raiz desse polinômio, as demais raízes não são reais.
18. (MACKENZIE – SP)A equação 2x3 + 3x2 − 3x− 2 = 0 tem como raízes −12 , m e
n. Então, mn é igual a:
(a) -1 ou 0
(b) −12 ou 2
(c) -2 ou -1
(d) 12 ou −
1
2
(e) -2 ou 1
19. (MACKENZIE – SP)Na equação (x3 − x2 + x− 1)20 = 0, a multiplicidade da raiz
x = 1 é
(a) 1
(b) 18
(c) 9
(d) 20
(e) 40
20. (EsPCEx – SP)Considere o polinômio p(x) = x6− 2x5+2x4− 4x3+x2− 2x. Sobre
as raízes de p(x) = 0, podemos afirmar que:
(a) quatro raízes são reais distintas.
(b) quatro raízes são reais, sendo duas iguais.
(c) apenas uma raiz é real.
(d) apenas duas raízes são reais e iguais.
(e) apenas duas raízes são reais distintas.
21. (UFSC – SC)Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:
01) Um polinômio p(x), com coeficientes reais, é tal que p(0) = 2 e p(−1) = 3. Se
r(x) é o resto da divisão de p(x) por x2 + x, então r(7) = −5.
02) Considere a equação x3− 4x2 +mx+30 = 0, em que m é uma constante real.
Se r1 = 2, r2 e r3 são raízes dessa equação, então r1 + r2 + r3 é um número
divisível por 2.
04) Se q(x) é o polinômio dado por q(x) = anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+ . . . a2x2+
ax+ 1, sendo a ∈ R− {1}, então o valor de q(1) é a
n − 1
a− 1 .
08) Sejam x, y e z números reais positivos. O valor de A que satisfaz a expressão
logA = 15
[
3 log x− 12 log y + log(xz)
]
é 5
√√√√x4z√
y
.
22. (FUVEST – SP)P (x) é um polinômio de grau ≥ 2, tal que P (1) = 2 e P (2) = 1.
Sejam D(x) = (x− 2) · (x− 1) e Q(x) o quociente da divisão de P (x) por D(x).
(a) Determine o resto da divisão de P (x) por D(x).
(b) Sabendo que o termo independente de P (x) é igual a 8, determine o termo
independente de Q(x).
23. (MACKENZIE – SP)O resto da divisão de um polinômio P (x) por (x + 2) · (x −
2) · (x+ 4) é R(x) = x2 − 2x+ 3. Então o resto da divisão de P (x) por x+ 4 é:
(a) -27
(b) 27
(c) -30
(d) 30
(e) zero
24. (EsPCEx – SP)A soma de todas as soluções da equação 2 cos3(x)−cos2(x)−cos(x)+
1 = 0, que estão contidas no intervalo [0, 2pi], é igual a
(a) 2pi
(b) 3pi
(c) 4pi
(d) 5pi
(e) 6pi
25. (EsPCEx – SP)O polinômio f(x) = x5 − x3 + x2 + 1, quando dividido por q(x) =
x3 − 3x+ 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r(−1) é
(a) -10
(b) -4
(c) 0
(d) 4
(e) 10
26. (UEPG – PR)Um polinômio P (x) do 3o grau e um polinômio Q(x) do 2o grau são
tais que P (x)−Q(x) = x3 − 4x2 − 11.
Sabendo que P (x) é divisível por x−1 e a soma de suas raízes vale 3 e que o produto
das raízes de Q(x) vale 6, assinale o que for correto.
01) As raízes de P (x) são todas reais.
02) P (x) +Q(x) = x3 − 2x2 + 14x+ 1.
04) Q(−2) < 0.
08) Q(x) é divisível por x+ 1.
16) O produto das raízes de P (x) vale 5.
27. (FUVEST – SP)As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade
1
(x2 + 2x+ 2)(x2 + 4) =
Ax+B
x2 + 2x+ 2 +
Dx+ C
x2 + 4
é válida para todo x ∈ R.
(a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com equações satisfeito pelas
constantes A, B, C e D.
(b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.
28. (UEL – PR)A identidade
1
x(x2 − 1) =
A
x
+ B
x− 1 +
C
x+ 1
é válida para todo x real exceto para x = 0, x = −1 e x = 1. Nessas condições, os
valores de A,B e C, nessa ordem são:
(a) -1, 12 ,
1
2
(b) 0, 0, 1
(c) -1, 12 , −
1
2
(d) 1, −12 , −
1
2
(e) 0, 12 ,
1
2