Problemas de Cálculo III

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Cálculo III
Questão 01:
Um carpinteiro deseja construir um caixote retangular com um volume de 4m³. Três diferentes materiais serão usados. O material para os lados do caixote custa R$8,00 o metro quadrado, o material para o fundo custa R$5,00 o metro quadrado e o material para a tampa do caixote custa R$3,00 o metro quadrado. 
Determine as dimensões do caixote para que o custo seja mínimo. 
Questão 02:
Considere a função f(x,y) = x2 + xy + y2 + 3x – 3y + 4. Em relação aos extremos relativos e pontos de sela da função f , pode-se afirmar que:
( A ) o mínimo relativo é f(–3,3) = –5
( B ) o mínimo relativo é f(3, –3) = 31
( C ) f tem ponto de sela em (–3,3, –5)
( D ) o máximo relativo é f(3, –3) = 31
( E ) o máximo relativo é f(–3,3) = -5
Resposta: (a) 
Questão 03:
Um fabricante produz dois tipos de liga A e B, nas quantidades de x e y toneladas, respectivamente. Se o custo total de produção, expresso em reais, é dado pela função C(x,y) = x2 + y2 – xy + 100x , e a renda total em reais é dada por R(x,y) = – x2 + xy + 100x + 2000y, determine o nível de produção que maximiza o lucro total L = R – C e o valor do lucro total máximo.
Resposta:
Logo, (1000,2000) é ponto de máximo e L(1000,2000) = 2.000.000.
Portanto, o lucro máximo é de R$ 2 milhões, correspondendo a uma produção de 1.000 toneladas da liga A e 2.000 toneladas da liga B.
Questão 04:
Considere que uma caixa retangular fechada tem um volume de 20 decímetros cúbicos. O material usado nos lados custa R$ 1,00 por dm2, o material usado no fundo custa R$ 2,00 por dm2 e o usado na parte superior custa R$ 3,00 por dm2. Determine as dimensões da caixa mais barata e o correspondente custo mínimo.
Resposta:
 
(2,2) é ponto de mínimo, z = 20/xy = 5 e C(2,2,5) = 60.
Assim sendo, a caixa mais barata tem base quadrada com 2 dm de lado, altura medindo 5 dm e custa R$ 60,00.
 
Questão 05:
O produto de três números positivos é 120. Qual o valor mínimo possível de sua soma? 
Utilize a teoria de máximos e mínimos de funções de 2 variáveis e prove que o número crítico encontrado é de fato um mínimo.
OBS: Escreva as respostas em função da raiz cúbica.