PRODUTO MISTO

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PRODUTO MISTO
Ana Paula Pedroso
Anliy N. N. Sargeant
Heloena E. Balbino
José Antônio A. Andrade
Solange G. F. Martins
O produto escalar u v⋅
� �
é um número real
O produto vetorial u v∧
� � é um vetor
O produto misto ( )u v w∧ ⋅� � � é um número real
→
→
→
Definição: Sejam ( )1 2 3, , ,u u u u=� ( )1 2 3, ,v v v v=� ( )1 2 3, ,w w w w=�
Então,
e
u u u 
( )u v w∧ ⋅ =� � � ( )2 3 1 3 1 2 1 2 3
2 3 1 3 1 2
det , det ,det , ,
u u u u u u
w w w
v v v v v v
      
− ⋅ =      
     
2 3 1 3 1 2
1 2 3
2 3 1 3 1 2
det det det
u u u u u u
w w w
v v v v v v
     
= − + =     
    
1 2 3
1 2 3
1 2 3
det
u u u
v v v
w w w
 
 
=
 
  
( )u v w∧ ⋅ =� � �
1 2 3
1 2 3
1 2 3
det
u u u
v v v
w w w
 
 
 
  
ou seja,
Exemplo 1: Determine o produto misto de
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 , 4 e 5 2u i j k v i j k w i j k= − + = − + + = + −� � �
( )u v w⋅ ∧ =� � �
2 1 3
det 1 4 1
5 1 2
− 
 
= − =
 
−  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
det
u u u
v v v
w w w
 
 
 
   5 1 2−  
2 1 3 2 1
1 4 1 -1 4
5 1 2 5 1
− − 
 
= − =
 
−  
�
�
�
( ) ( )16 5 3 60 2 2= − − − − + − =
24 60 84= − − = −
1 2 3w w w  
Teorema 1: O volume de um paralelepípedo determinado por
três vetores é igual numericamente ao valor absoluto do
produto misto destes vetores.
Volume de um paralelepípedo = produto misto
( ).u v w= ∧� � �
Exemplo 2: Sejam ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ10 , 5 10 e 3 3 7 .v i w i j u i j k= = + = + +� � �
Calcule o volume de um paralelepípedo com arestas 
determinadas por , e w.u v
� � �
Volume ( ).u v w= ∧� � �
3 3 7
det 10 0 0
 
 
= =
 Volume
10 0 0
det 5 10 0
3 3 7
 
 
= =
 
  
10.10.7 700 700= = =
( ).u v w= ∧
5 10 0
 
  
Se , os vetores
1 2 3
ˆˆ ˆ ,u u i u j u k= + +� 1 2 3 ˆˆ ˆ e v v i v j v k= + +
�
1 2 3
ˆˆ ˆw wi w j w k= + +�
são coplanares (isto é, são paralelos a um mesmo plano).
( ).u v w∧� � �
1 2 3
1 2 3
1 2 3
det 0
u u u
v v v
w w w
 
 
= =
 
  
( ) ( )
( ) ( )
: Verifique se os pontos P= 0,1,1 , 1,0,2 ,
1, 2,0 e S 2,2, 2 sao coplanares.
Q
R = − = − −
Exemplo 3
�
Componentes dos vetores:
( ).PQ PR PS∧���� ���� ���
( ) ( ) ( )1,0,2 0,1,1 1, 1,1PQ Q P= − = − = −����
( ) ( ) ( )1, 2,0 0,1,1 1, 3, 1PR R P= − = − − = − −����
( ) ( ) ( )2,2, 2 0,1,1 2,1, 3PS S P= − = − − − = − −���
1 1 1
det 1 3 1
2 1 3
− 
 
= − − =
 
− −  
Logo,os pontos P,Q,R e S são coplanares pois o produto misto 
deles é igual a zero
1 1 1
det 0 2 2 0
0 1 1
− 
 
= − − =
 
− −  
2 1 3− −  
Sejam vetores no espaço.
( ) , e a u v w� � � são coplanares se, e somente se, a equação
vetorial
0xu yv zw+ + =
�� � �
tem solução não trivial, em que são escalares.
, e u v w
� � �
, ,x y z
( ) , e b u v w� � � são coplanares se,e somente se, um deles é
combinação linear dos outros dois.
, ,x y z