1 CONCRETO PROTENDIDO Estimativa de Carga de Protensão Cristiano e Marcus (1)

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
Curso: ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO PROTENDIDO: 
MATERIAL DIDÁTICO PARA O AUTOAPRENDIZADO
Estimativa de Carga de Protensão 
Cristiano Curado Abrantes Caetano
Marcus Vinicius do Nascimento Firmino
(Acadêmicos de Engenharia Civil)
Prof. Alberto Vilela Chaer, M.Sc.
(Orientador)
Junho / 2015
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
Curso: ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO PROTENDIDO
• Fundamentos do Concreto Protendido
• Estimativa de Carga de Protensão
CONCRETO PROTENDIDO (CP)
CONCRETO PROTENDIDO (CP)
NBR 6118/2014:
Elementos de concreto protendido:
“Aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por
equipamentos especiais de protensão, com a finalidade de, em condições
de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura,
bem como propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência
no estado-limite último (ELU).”
Eugène Freyssinet – Pai da Protensão Ponte Galeão (RJ) – Primeira obra em Concreto 
Protendido no Brasil 
CONCRETO PROTENDIDO (CP)
Ditado Popular:
“Onde houver Tração, que se leve a Protensão.”
Pista de Protensão (SP) – Fábrica de pré-moldados
CONCRETO PROTENDIDO (CP)
NBR 6118/2014: 
Armadura passiva:
“Qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de protensão,
isto é, que não seja previamente alongada.”
Armadura ativa (de protensão):
“Armadura constituída por barras, fios isolados ou cordoalhas, destinada à
produção de forças de protensão, isto é, na qual se aplica um pré-
alongamento inicial.”
Laje com armadura passiva e ativa (monocordoalha engraxada)
CONCRETO PROTENDIDO (CP)
1- Concreto com armadura ativa pré-tracionada (protensão com
aderência inicial);
2- Concreto com armadura ativa pós-tracionada (protensão com
aderência posterior);
3- Concreto com armadura ativa pós-tracionada sem aderência
(protensão sem aderência).
Definições de Estados-Limites
ELU – Estado Limite Último
“Estado-limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que 
determine a paralisação do uso da estrutura.”
Definições de Estados-Limites
ELS - Estado Limite de Serviço
ELS - F
Estado Limite de formação de Fissuras
Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado-limite é
atingido quando a tensão de tração máxima na seção transversal for igual a fct,f .
ELS - W
Estado Limite de Abertura de Fissuras
Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos
especificados por Norma (NBR 6118/2014 - Item 13.4.2).
ELS - D
Estado Limite de Descompressão
Estado no qual, em um ou mais pontos da seção transversal, a tensão normal é nula,
não havendo tração no restante da seção. Verificação usual no caso do concreto
protendido.
Definições Iniciais
1- Definir Classe de Agressividade Ambiental (CAA):
Definições Iniciais
1- Definir Classe de Agressividade Ambiental (CAA):
CAA
Cobrimento
Mínimo Vigas 
(cmín) (cm)
fck mín (MPa) A/C
I-Rural e Submersa 3,0 25,0 0,60
II-Urbana 3,5 30,0 0,55
III-Marinha e Industrial 4,5 35,0 0,50
IV-Industrial e Respingos 
de maré
5,5 40,0 0,45
2- Escolha do Tipo de Protensão:
A NBR 6118:2014 estabelece que tanto a escolha do tipo de protensão (pré
ou pós Tração) quanto o nível de protensão (parcial, limitado ou completo)
deve ser baseado na CAA.
Definições Iniciais
CAA Tipo Nível
I
Pós-Tração
ParcialPré-Tração
II
Pós-tração
Pré-Tração
Limitado
III
Pós-Tração
Pré-Tração
Completo
IV
Pré-Tração
Pós-Tração Limitado
2- Escolha do Tipo de Protensão:
Quadro-Resumo
Definições Iniciais
Definições Iniciais
3- Entrada de Dados:
3.1- Definir para a Viga: Base (bw), Altura (h), Comprimento (L), fck do
concreto (respeitando o mínimo estabelecido pela CAA escolhida),
seção de análise (e) e Peso Próprio da Viga (PPVG)(kN/m).
Definições Iniciais
3.2- Definir Carregamentos: G (permanente) e Q (variável).
𝑄 = 𝑆𝑄𝑞 = 𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 (
𝑘𝑁
𝑚
)
𝐺 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 = 𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 (
𝑘𝑁
𝑚
)
Verificação e Combinação das ações
4- Seguir NBR 6118:2014: Que recomenda qual o tipo de verificação que deverá ser
feita em CP, bem como quais combinações de ações devem ser consideradas.
COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO γf2 (ELS)
Combinação PP SQg SQq
CQP 1,0 1,0 ψ2
CF 1,0 1,0 ψ1
CR 1,0 1,0 1,0
CQP
Combinação Quase Permanente
CF
Combinação Frequente
CR
Combinação Rara
Verificação e Combinação das ações
4- Portanto a Carga de Combinação (Qcomb) varia de acordo com a
combinação:
𝑄𝐶𝑄𝑃 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + ψ2 × 𝑆𝑄𝑞
𝑄𝐶𝐹 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + ψ1 × 𝑆𝑄𝑞
𝑄𝐶𝑅 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + 𝑆𝑄𝑞
• Combinação Quase Permanente (CQP):
• Combinação Frequente (CF):
• Combinação Rara (CR):
Verificação e Combinação das ações
4- Seguir NBR 6118:2014: Que recomenda qual o tipo de verificação que deverá ser
feita em CP, bem como quais combinações de ações devem ser consideradas.
Cálculo do Momento (M5) no meio do Vão 
5- Procede-se com o Cálculo do Momento (Mi) no meio do vão, utilizando
da carga de combinação obtida anteriormente (Qcomb).
𝑀𝑖 =
𝑄𝑐𝑜𝑚𝑏×𝑙
2
8
(kN.m)
Nota: O valor de “i” representa a seção de análise, neste caso, a seção deve ser
a do meio da viga. Por exemplo, dividindo a viga em 10 seções, o valor de “i”
será 5.
Cálculo Tensão de Fissuração(σfiss)
6- A Tensão de Fissuração (𝝈𝒇𝒊𝒔𝒔) é calculada pela expressão:
𝜎𝑓𝑖𝑠𝑠 = 0,315 × ∛𝑓𝑐𝑘² (MPa)
Usar os coeficientes de forma (𝐶𝑓) NBR 6118-2014:
Cf = 1,5 – Seções Retangulares;
Cf = 1,3 – Seções I ou T invertido;
Cf = 1,2 – Seções T ou duplo T.
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 × ∛𝑓𝑐𝑘²
𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 × 𝑓𝑐𝑡𝑚
𝜎𝑓𝑖𝑠𝑠 = 𝐶𝑓 × 𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓
Tensão de Fissuração para Seção Retangular
Cálculo Tensão de Fissuração(σfiss)
Fibra Superior (2)
Fibra Inferior (1)
Carga (P) de Protensão
7- Estimar a Carga (P) de Protensão atuante na peça estrutural, utilizando
de seus dados e os calculados até então.
𝑊1 =
𝐼
𝑦1
𝐴 = 𝑏𝑤 × ℎ
𝑦1 =
ℎ
2𝐼 =
𝑏𝑤 × ℎ
3
12
Sendo:
FIQUE ATENTO!
Para ELS-F:
𝝈𝟏 = 𝝈𝒇𝒊𝒔𝒔
Para ELS-D:
𝝈𝟏 = 𝟎
Isolando 𝑷 vem:𝜎1,2 =
P
A
+
P × 𝑒𝑖
𝑊1,2
+
𝑀𝑖
𝑊1,2
(𝑀𝑃𝑎) 𝑃 =
𝜎1,2 −
𝑀𝑖
𝑊1,2
1
𝐴 +
𝑒𝑖
𝑊1,2
(𝑘𝑁)
Esquema Seção Viga
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑒𝑖 =
ℎ
2
− 𝑑′𝑝𝑖
Nota: Valor de “i” varia conforme seção de análise
Quadro Resumo – Fórmulas
Carga Inicial (Pi) de Protensão
8- Estimar a Carga Inicial (Pi) de Protensão que atuará no elemento
estrutural.
Primeiro se calcula a Protensão no Tempo Infinito (𝑷∞), através da escolha
da maior Carga (P) de Protensão calculada para as específicas combinações
efetuadas para cada caso.
𝑃∞ = 𝑃𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑜 (𝑘𝑁)
Posteriormente vem o cálculo da Carga Inicial (Pi) de Protensão:
𝑃𝑖 =
𝑃∞
1−𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
(𝑘𝑁)
Sugestão: Perdas Totais (PDtotal) = 25% = 0,25.
1- Exemplo Numérico
1 - Calcule a Carga Inicial (Pi) de Protensão para os 3 níveis de protensão.
Dados: Viga em Pista de Protensão; d’p = 18 cm (meio do vão).
1.1- Exemplo Numérico
Nível de protensão: 
COMPLETO
1.1- Exemplo Numérico 
nível completo
1- Como se trata de uma viga executada em pista de protensão e
considerando o nível de protensão como completo, logo se conclui que:
- Tipo de Protensão: Pré-Tração;
- CAA III ou IV;
2- Cálculos:
𝑃𝑃 = 𝛾𝐶𝐴 × 𝑏𝑤 × ℎ
𝐴 = 𝑏𝑤 × ℎ = 0,3 × 0,7 = 0,21 𝑚²
𝑊1 =
𝐼
𝑦1
= 8,6 ×
10−3
0,35
= 0,0245 𝑚³
2.1- Viga:
= 25 × 0,3 × 0,7 = 5,25 𝑘𝑁/𝑚
𝑒5 =
ℎ
2
− 𝑑′𝑝=
70
2
− 18 = 17 𝑐𝑚 = 0,17 𝑚
- Verificações que devem ser feitas: 
ELS-F (CR) e ELS-D (CF).
Dividindo 
a viga em 
10 seções 
de análise
Seção 5 
é a do 
meio
2.2- ELS-F (CR):
𝑀5 =
𝑄𝐶𝑅×𝑙
2
8
=
62,25×152
8
= 1.750,78 𝑘𝑁.𝑚
𝜎1 = 0,315 ×
3
𝑓𝑐𝑘2 = 0,315 ×
3
40² = 3,68 𝑀𝑃𝑎 = 3.680,0 𝑘𝑁/𝑚²
3680−
1750,78
0,0245
1
0,21
+
0,17
0,0245
= −5.792, 50 𝑘𝑁
𝑄𝐶𝑅 = 1,0 × 5,25 + 1,0 × 32,0 + 1,0 × 25,0 = 62,25 𝑘𝑁/𝑚
𝑄𝐶𝑅 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + 1,0 × 𝑆𝑄𝑞
Dividindo 
a viga em 
10 seções 
de análise
Análise 
Fibra 
Inferior 
(1)
𝑃 =
𝜎1 −
𝑀5
𝑊1
1
𝐴 +
𝑒5
𝑊1
=
1.1- Exemplo Numérico 
nível completo
Seção 5 
é a do 
meio
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝐿𝑆 − 𝐹, 𝜎1= 𝜎𝑓𝑖𝑠𝑠 , 𝑣𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒:
2.2- ELS-D (CF):
𝑀5 =
𝑄𝐶𝐹×𝑙
2
8
=
54,75×152
8
= 1.539,84 𝑘𝑁.𝑚
0−
1539,84
0,0245
1
0,21
+
0,17
0,0245
= −5.371,55𝑘𝑁
𝜎1 = 0
𝑄𝐶𝐹 = 1,0 × 5,25 + 1,0 × 32,0 + 0,7 × 25,0 = 54,75 𝑘𝑁/𝑚
𝑄𝐶𝐹 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + ψ1 × 𝑆𝑄𝑞
𝑃 =
𝜎1 −
𝑀5
𝑊1
1
𝐴 +
𝑒5
𝑊1
=
1.1- Exemplo Numérico 
nível completo
𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑚 𝐸𝐿𝑆 − 𝐷:
𝑃∞ = 𝑃𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑜
4- Por fim, calcula-se Carga Inicial (Pi) de Protensão:
𝑃∞ = −5.792,50 = 5.792,50 𝑘𝑁
1.1- Exemplo Numérico 
nível completo
3- Procede-se com a escolha da maior Carga (P) de Protensão em 
módulo, para se definir a Carga de Protensão no tempo Infinito (P∞).
𝑃𝑖 =
𝑃∞
1−𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
5.792,50
1−0,25
= 7.723,33 𝑘𝑁
Nota: Adotamos: PDtotal = 25% = 0,25.
1.2- Exemplo Numérico
Nível de protensão: 
LIMITADO
1.2- Exemplo Numérico 
nível limitado
2- Cálculos:
𝑃𝑃 = 𝛾𝐶𝐴 × 𝑏𝑤 × ℎ
𝐴 = 𝑏𝑤 × ℎ = 0,3 × 0,7 = 0,21 𝑚²
𝑊1 =
𝐼
𝑦1
= 8,6 ×
10−3
0,35
= 0,0245 𝑚³
2.1- Viga:
= 25 × 0,3 × 0,7 = 5,25 𝑘𝑁/𝑚
𝑒5 =
ℎ
2
− 𝑑′𝑝 =
70
2
− 18 = 17 𝑐𝑚 = 0,17 𝑚
- Verificações que devem ser feitas: 
ELS-F (CF) e ELS-D (CQP).
1- Como se trata de uma viga executada em pista de protensão e
considerando o nível de protensão como limitado, logo se conclui que:
- Tipo de Protensão: Pré-Tração;
- CAA II;
2.2- ELS-F (CF):
𝑀5 =
𝑄𝐶𝐹×𝑙
2
8
=
54,75×152
8
= 1.539,84 𝑘𝑁.𝑚
𝜎1 = 0,315 ×
3
𝑓𝑐𝑘2 = 0,315 ×
3
40² = 3,68 𝑀𝑃𝑎 = 3.680,0 𝑘𝑁/𝑚²
3680−
1539,84
0,0245
1
0,21
+
0,17
0,0245
= −5.056,67 𝑘𝑁
𝑄𝐶𝐹 = 1,0 × 5,25 + 1,0 × 32,0 + 0,7 × 25,0 = 54,75 𝑘𝑁/𝑚
𝑃 =
𝜎1 −
𝑀5
𝑊1
1
𝐴 +
𝑒5
𝑊1
=
1.2- Exemplo Numérico 
nível limitado
𝑄𝐶𝐹 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + ψ1 × 𝑆𝑄𝑞
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝐿𝑆 − 𝐹, 𝜎1= 𝜎𝑓𝑖𝑠𝑠 , 𝑣𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒:
2.2- ELS-D (CQP):
𝑀5 =
𝑄𝐶𝑄𝑃×𝑙
2
8
=
52,25×152
8
= 1.469,53 𝑘𝑁.𝑚
0−
1469,53
0,0245
1
0,21
+
0,17
0,0245
= −5.126,27 𝑘𝑁
𝑄𝐶𝑄𝑃 = 1,0 × 5,25 + 1,0 × 32,0 + 0,6 × 25,0 = 52,25 𝑘𝑁/𝑚
𝑃 =
𝜎1 −
𝑀5
𝑊1
1
𝐴 +
𝑒5
𝑊1
=
1.2- Exemplo Numérico 
nível limitado
𝑄𝐶𝑄𝑃 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + ψ2 × 𝑆𝑄𝑞
𝜎1 = 0
𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑚 𝐸𝐿𝑆 − 𝐷:
1.2- Exemplo Numérico 
nível limitado
3- Procede-se com a escolha da maior Carga (P) de Protensão em 
módulo, para se definir a Carga de Protensão no tempo Infinito (P∞).
𝑃∞ = 𝑃𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑜
4- Por fim, calcula-se a Carga Inicial (Pi) de Protensão:
𝑃∞ = −5.126,27 = 5.126,27 𝑘𝑁
𝑃𝑖 =
𝑃∞
1−𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
5.126,27
1−0,25
= 6.835,03 𝑘𝑁
Nota: Adotamos: PDtotal = 25% = 0,25.
1.3- Exemplo Numérico
Nível de protensão: 
PARCIAL
1.3- Exemplo Numérico 
nível parcial
2- Cálculos:
𝑃𝑃 = 𝛾𝐶𝐴 × 𝑏𝑤 × ℎ
𝐴 = 𝑏𝑤 × ℎ = 0,3 × 0,7 = 0,21 𝑚²
𝑊1 =
𝐼
𝑦1
= 8,6 ×
10−3
0,35
= 0,0245 𝑚³
2.1- Viga:
= 25 × 0,3 × 0,7 = 5,25 𝑘𝑁/𝑚
𝑒5 =
ℎ
2
− 𝑑′𝑝 =
70
2
− 18 = 17 𝑐𝑚 = 0,17 𝑚
- Verificações que devem ser feitas: 
ELS-W (CF).
1- Como se trata de uma viga executada em pista de protensão e
considerando o nível de protensão como parcial, logo se conclui que:
- Tipo de Protensão: Pré-Tração;
- CAA I;
2.2- ELS-W (CF):
𝑀5 =
𝑄𝐶𝐹×𝑙
2
8
=
54,75×152
8
= 1.539,84 𝑘𝑁.𝑚
𝜎1 > 𝜎𝑓𝑖𝑠𝑠 = 0,315 ×
3
𝑓𝑐𝑘2 = 0,315 ×
3
40² = 3,68 𝑀𝑃𝑎 = 3.680,0 𝑘𝑁/𝑚²
3680−
1539,84
0,0245
1
0,21
+
0,17
0,0245
= −5.056,67 𝑘𝑁
𝑄𝐶𝐹 = 1,0 × 5,25 + 1,0 × 32,0 + 0,7 × 25,0 = 54,75 𝑘𝑁/𝑚
𝑃 <
𝜎1 −
𝑀5
𝑊1
1
𝐴 +
𝑒5
𝑊1
=
𝑄𝐶𝐹 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + ψ1 × 𝑆𝑄𝑞
1.3- Exemplo Numérico 
nível parcial
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐸𝐿𝑆 −𝑊, 𝜎1 > 𝜎𝑓𝑖𝑠𝑠, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜:
𝑷𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑃 𝑛𝑜 𝒏í𝒗𝒆𝒍 𝑷𝒂𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍 𝑬𝑳𝑺 −𝑾 , 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓
𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝒏í𝒗𝒆𝒍 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑬𝑳𝑺 − 𝑭 .
1.3- Exemplo Numérico 
nível parcial
3- Como há apenas uma combinação de cargas a ser realizada
(ELS-W – CF), utiliza-se o seu módulo para se definir P∞.
𝑃∞ < 𝑃𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
4- Por fim, calcula-se a Carga Inicial (Pi) de Protensão:
𝑃∞ < −5.056,67 = 5.056,67 𝑘𝑁
𝑃𝑖 <
𝑃∞
1−𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
5.056,67
1−0,25
= 6.742,23 𝑘𝑁
Nota: Adotamos: PDtotal = 25% = 0,25.
Escolha da Armadura Ativa 
9- O próximo passo é a escolha do Aço de Protensão (armadura ativa), que
atuará provocando principalmente compressão onde há tração. São aços
fabricados com alta resistência, para contornar o problema das perdas
imediatas e ao longo do tempo na protensão das peças.
Escolha da Armadura Ativa 
Protensão de laje com monocordoalha engraxada dentro de bainha plástica (PEAD).
Protensão de laje com cordoalhas dentro de bainha metálica.
Escolha da Armadura Ativa 
9- Para tanto, deve-se escolher entre os seguintes aços de protensão,
através das tabelas de fabricantes:
• Fios para Protensão Aliviados (RN) e Estabilizados (RB) (pré-tração);
• Cordoalhas de 3 e 7 Fios Estabilizados (RB) (pós-tração aderente);
• Cordoalhas de 7 Fios Engraxadas e Plastificadas (exclusivo para pós-
tração não aderente).
Tensão / Força Inicial de Protensão
10- Depois de escolhida a armadura ativa (de protensão), procede-se com
o cálculo da quantidade de aços de protensão que deverão ser utilizados.
Contudo, há duas formas de se realizar esse cálculo, por meio da Tensão
Inicial de Protensão na Cordoalha (𝝈𝒊𝒑), em MPa, ou através da Força
Inicial de Protensão na Cordoalha 𝑷𝒊𝒑 , em kN. Sendo que para ambos os
métodos, faz-se necessário utilização de tabelas dos fabricantes de aços de
protensão, para retirar os dados necessários, além dos coeficientes (K), a
depender do tipo de protensão empregado, segundo NBR 6118:2014.
𝜎𝑖𝑝 ≤
𝐾 × 𝑓𝑡𝑘
𝐾 × 𝑓𝑦𝑘(MPa)
1º Método
𝑃𝑖𝑝 ≤
𝐾 × 𝑃𝑡𝑘
𝐾 × 𝑃𝑦𝑘(kN)
2º Método
1º Método – Tensão Inicial de Protensão 
na Cordoalha
(𝝈𝒊𝒑 −𝑴𝑷𝒂)
1º Método: Tensão
11- Observe o seguinte esquema para cálculo da Tensão Inicial de
Protensão na Cordoalha 𝝈𝒊𝒑 , sendo: 𝜎𝑖𝑝 = 𝑲 × 𝑓𝑡𝑘 ; 𝜎𝑖𝑝 = 𝑲 × 𝑓𝑦𝑘 .
(𝜎𝑖𝑝)
Tipo
K
RN RB
Pré-Tração
Pós-Tração 
(Aderente)
Pós-Tração 
(Não Aderente)
𝜎𝑖𝑝 ≤
0,77 × 𝑓𝑡𝑘
0,90 × 𝑓𝑦𝑘
𝜎𝑖𝑝 ≤
0,74 × 𝑓𝑡𝑘
0,87 × 𝑓𝑦𝑘
𝜎𝑖𝑝 ≤
0,77 × 𝑓𝑡𝑘
0,85 × 𝑓𝑦𝑘
𝜎𝑖𝑝 ≤
0,74 × 𝑓𝑡𝑘
0,82 × 𝑓𝑦𝑘
𝜎𝑖𝑝 ≤
0,80 × 𝑓𝑡𝑘
0,88 × 𝑓𝑦𝑘
(MPa)
(MPa)
(MPa)
(MPa)
(MPa)
11- Com a armadura escolhida, adotar:
𝜎𝑖𝑝 ≤
𝑲× 𝑓𝑦𝑘 (
𝑘𝑁
𝑚2
)
𝑲× 𝑓𝑡𝑘 (
𝑘𝑁
𝑚2
)
(𝜎𝑖𝑝)1º Método: Tensão
(MPa)
11- Procede-se com o cálculo da Carga atuante em cada Cordoalha
(Pic):𝑃𝑖𝑐 = 𝜎𝑖𝑝 × 𝐴𝑝𝑐 (kN)
𝐴𝑝𝑐 = Área Mínima de Seção Transversal da Armadura Ativa Escolhida m
2 .
1º Método: Carga atuante na Cordoalha (Pic)
2º Método – Força Inicial de Protensão na 
Cordoalha
(𝑷𝒊𝒑 − 𝒌𝑵)
2º Método: Força (𝑷𝒊𝒑)
12- Esse método é mais simples do que o 1º, visto que não é
necessário o emprego de cálculos para se encontrar o valor da Carga
atuante em cada Cordoalha (Pic); pois esse dado pode ser extraído
direto do fabricante.
Este material utilizará o 2º método em seus exemplos!
O fabricante escolhido é: ArcelorMittal
Fios para Protensão Aliviados (RN) e Estabilizados (RB) (Pré-Tração) - ArcelorMittal 
Ptk Pyk
2º Método: Força (𝑷𝒊𝒑)
Fonte: Catálogo ArcelorMittal (Belgo) 
Cordoalhas de 3 e 7 Fios Estabilizadas (RB) (Pós-Tração Aderente) - ArcelorMittal 
Ptk Pyk
2º Método: Força (𝑷𝒊𝒑)
Fonte: Catálogo ArcelorMittal (Belgo) 
Cordoalhas de 7 Fios Engraxadas e Plastificadas (Pós-Tração não Aderente)- ArcelorMittal 
Ptk Pyk
2º Método: Força (𝑷𝒊𝒑)
Fonte: Catálogo ArcelorMittal (Belgo) 
2º Método: Força (𝑷𝒊𝒑)
12- Observe o seguinte esquema para cálculo da Força Inicial de
protensão na Cordoalha 𝑷𝒊𝒑 , sendo: 𝑃𝑖𝑝 = 𝑲 × 𝑃𝑡𝑘 ; 𝑃𝑖𝑝 = 𝑲 × 𝑃𝑦𝑘.
Tipo
K
RN RB
Pré-Tração
Pós-Tração 
(Aderente)
Pós-Tração 
(Não Aderente)
𝑃𝑖𝑝 ≤
0,77 × 𝑃𝑡𝑘
0,90 × 𝑃𝑦𝑘
𝑃𝑖𝑝 ≤
0,74 × 𝑃𝑡𝑘
0,87 × 𝑃𝑦𝑘
𝑃𝑖𝑝 ≤
0,77 × 𝑃𝑡𝑘
0,85 × 𝑃𝑦𝑘
𝑃𝑖𝑝 ≤
0,74 × 𝑃𝑡𝑘
0,82 × 𝑃𝑦𝑘
𝑃𝑖𝑝 ≤
0,80 × 𝑃𝑡𝑘
0,88 × 𝑃𝑡𝑘
(𝑘𝑁)
(𝑘𝑁)
(𝑘𝑁)
(𝑘𝑁)
(𝑘𝑁)
𝑃𝑖𝑝 ≤
𝑲 × 𝑃𝑦𝑘 (𝑘𝑁)
𝑲 × 𝑃𝑡𝑘 (𝑘𝑁)
12- Com a armadura escolhida, adotar:
2º Método: Força (𝑷𝒊𝒑)
(𝑘𝑁)
No 2° Método, o Pip aqui adotado, torna-se o Pic (Carga atuante em cada
Cordoalha)!
𝑃𝑖𝑐 = 𝑃𝑖𝑝
Quantidade de Cordoalhas
Quantidade de Cordoalhas
13- Calcula-se a Quantidade de Cordoalhas (Qtde Cord.) que a peça
necessitará, baseado no Nível de Protensão, no Pi (Carga Inicial de
Protensão) e no Pic (Carga atuante em cada Cordoalha) calculado
anteriormente.
• Nível Parcial:
𝑄𝑡𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑑. =
𝑃𝑖
𝑃𝑖𝑐
(𝐴𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑩𝒂𝒊𝒙𝒐!)
• Nível Limitado ou Completo :
𝑄𝑡𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑑. =
𝑃𝑖
𝑃𝑖𝑐
(𝐴𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑪𝒊𝒎𝒂!)
Quantidade de Cordoalhas
14- No caso específico do sistema de Pós-Tração Aderente, são utilizadas
bainhas metálicas que acomodarão em seu interior as cordoalhas,
portanto, é necessário calcular sua quantidade. Já para os demais sistemas
de protensão, não há esse cálculo, por não possuir bainhas metálicas.
Sistema Qtde Cordoalhas
Pré-Tração
Pós-Tração Aderente
Pós-Tração Não Aderente
𝑄𝑡𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑑.
𝑄𝑡𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑑. = 𝑁º𝐵𝐴𝐼𝑁𝐻𝐴𝑆 × 𝑁º𝐶𝑂𝑅𝐷./𝐵𝐴𝐼𝑁𝐻𝐴
𝑵𝒐𝒕𝒂: 𝑁º𝐵𝐴𝐼𝑁𝐻𝐴𝑆 = 𝑄𝑡𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑀𝑒𝑡á𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠;
𝑄𝑡𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑑.
𝑁º𝐶𝑂𝑅𝐷./𝐵𝐴𝐼𝑁𝐻𝐴 = 𝑄𝑡𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑑𝑜𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝐵𝑎𝑖𝑛ℎ𝑎.
Quantidade de Cordoalhas
15- Neste passo, procede-se com a escolha da bainha metálica, no qual deve-se
escolher a quantidade de cordoalhas que se acomodarão dentro das bainhas
(𝑵º𝑪𝑶𝑹𝑫./𝑩𝑨𝑰𝑵𝑯𝑨). O quadro abaixo é um modelo apenas para Cordoalhas 7 fios (para
sistema pós-aderente e sem aderência), para diâmetros de cordoalhas 12,7 mm e
15,2 mm.
𝑵º𝑪𝑶𝑹𝑫./𝑩𝑨𝑰𝑵𝑯𝑨
Fonte: Catálogo Protende – Sistemas e Métodos 
Sistemas de Ancoragem
Sistemas de Ancoragem - Ativas
16- Após a definição da quantidade de Bainhas que deverão ser utilizadas, o
próximo passo é escolher o sistema de ancoragem que será empregado para
protensão da peça. Para protensão em pós-tração aderente e não aderente,
segundo catálogo da Protende, temos os seguintes dispositivos de ancoragem.
Fonte: Catálogo Protende – Sistemas e Métodos 
Sistemas de Ancoragem - Passivas
16- Com o Tipo de Ancoragem escolhido, bem como a quantidade de
cordoalhas por bainha, define-se também os dispositivos de Ancoragem
Passiva, se houver.
Fonte: Catálogo Rudloff 
Sistemas de Emendas
16- E quando houver necessidade usar dispositivos de emendas.
Fonte: Catálogo Rudloff 
Sistemas de Ancoragem
16- Por exemplo, com 9 cordoalhas 7 fios (12,7 mm) por bainha, e escolhendo o Tipo
de Ancoragem MTC, as características do sistema de ancoragem serão:
Fonte: Catálogo Protende – Sistemas e Métodos 
Pi real , P0 , P∞
Pi real , P0 , P∞
𝑃𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑃𝑖𝑐 × 𝑄𝑡𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑑. (𝑘𝑁)
18- Calcular a Carga de Protensão Inicial Real (Pi real) que atua na
peça, devido a força exercida pela ação conjunta das cordoalhas:
𝑃𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑃0 𝑃∞
𝑃𝐷 𝑖𝑚𝑒𝑑. 𝑃𝐷𝑝𝑟𝑜𝑔.
𝑃𝐷 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
17- Observe o esquema:
19- Calcular a Carga de Protensão após as Perdas Imediatas (P0) e a
Carga de Protensão após as Perdas Progressivas (P∞).
𝑃0 = 𝑃𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙 × 1 − 𝑃𝐷𝑖𝑚𝑒𝑑. (𝑘𝑁) 𝑃∞ = 𝑃𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙 × 1 − 𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑘𝑁)
21- As Cargas de Protensão após as Perdas Imediatas (P0) e após as
Perdas Progressivas (P∞) são utilizadas para cálculo e análise dos
Estado em Vazio e Estado em Serviço, respectivamente.
20- Adotar:
𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 25% = 0,25 𝑃𝐷𝑖𝑚𝑒𝑑. ≅
𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
3
𝑃𝐷𝑖𝑚𝑒𝑑. = 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑠;
𝑵𝒐𝒕𝒂: 𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠;
𝑃𝐷𝑝𝑟𝑜𝑔. = 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑃𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎𝑠 =
𝑃0
𝑃∞
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑉𝑎𝑧𝑖𝑜
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑆𝑒𝑟𝑣𝑖ç𝑜
Pi real , P0 , P∞
1 −
1 − 𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
1 − 𝑃𝐷𝑖𝑚𝑒𝑑.
2- Exemplo Numérico
2 - Calcule a armadura de protensão para uma viga de ponte em região marinha. Apresentar
a Carga de Protensão após as Perdas Imediatas (P0) e após as Perdas Progressivas (P∞).
Dados: Pós-Tração Aderente; Nível Limitado; d’p = 21 cm (meio do vão); Aço: Cordoalha
CP 190 RB (12,7 mm).
2- Exemplo Numérico
Nível de protensão: 
LIMITADO
2- Exemplo Numérico 
nível limitado
2- Cálculos:
𝑃𝑃 = 𝛾𝐶𝐴 × 𝑏𝑤 × ℎ
𝐴 = 𝑏𝑤 × ℎ = 0,35 × 0,70 = 0,245 𝑚²
𝑊1 =
𝐼
𝑦1
= 10,01 ×
10−3
0,35
= 0,029 𝑚³
2.1- Viga:
= 25 × 0,35 × 0,70 = 6,125 𝑘𝑁/𝑚
𝑒5 =
ℎ
2
− 𝑑′𝑝 =
70
2
− 21 = 14 𝑐𝑚 = 0,14 𝑚
- Verificações que devem ser feitas: 
ELS-F (CF) e ELS-D (CQP).
1- Como se trata de uma viga protendida em pós-tração executada em
região marítima e considerando o nível de protensão como limitado, logo
se conclui que:
- CAA III;
2.2- ELS-F (CF):
𝑀5 =
𝑄𝐶𝐹×𝑙
2
8
=
42,23×102
8
= 527,81 𝑘𝑁.𝑚
𝜎1 = 0,315 ×
3
𝑓𝑐𝑘2 = 0,315 ×
3
35² = 3,37 𝑀𝑃𝑎 = 3.370,46 𝑘𝑁/𝑚²
3370,46 −
527,81
0,029
1
0,245
+
0,14
0,029
= −1.681,07 𝑘𝑁
𝑄𝐶𝐹 = 1,0 × 6,125 + 1,0 × 20,0 + 0,7 × 23,0 = 42,23 𝑘𝑁/𝑚
𝑃 =
𝜎1 −
𝑀5
𝑊1
1
𝐴 +
𝑒5
𝑊1
=
2- Exemplo Numérico 
nível limitado
𝑄𝐶𝐹 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + ψ1 × 𝑆𝑄𝑞
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝐿𝑆 − 𝐹, 𝜎1= 𝜎𝑓𝑖𝑠𝑠 , 𝑣𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒:
2.2- ELS-D (CQP):
𝑀5 =
𝑄𝐶𝑄𝑃×𝑙
2
8
=
39,93×102
8
= 499,06 𝑘𝑁.𝑚
0 −
499,06
0,029
1
0,245
+
0,14
0,029
= −1.944,40 𝑘𝑁
𝑄𝐶𝑄𝑃 = 1,0 × 6,125 + 1,0 × 20,0 + 0,6 × 23,0 = 39,93 𝑘𝑁/𝑚
𝑃 =
𝜎1 −
𝑀5
𝑊1
1
𝐴 +
𝑒5
𝑊1
=
2- Exemplo Numérico 
nível limitado
𝑄𝐶𝑄𝑃 = 𝑃𝑃 + 𝑆𝑄𝑔 + ψ2 × 𝑆𝑄𝑞
𝜎1 = 0
𝐸𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑚 𝐸𝐿𝑆 − 𝐷:
2- Exemplo Numérico 
nível limitado
3- Procede-se com a escolha da maior Carga (P) de Protensão em 
módulo, para de definir a Carga de Protensão no tempo Infinito (P∞).
𝑃∞ = 𝑃𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑜
4- Por fim, calcula-se a Carga Inicial (Pi) de Protensão:
𝑃∞ = −1.944,40 = 1.944,40 𝑘𝑁
𝑃𝑖 =
𝑃∞
1−𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
1.944,40
1−0,25
= 2.592,53 𝑘𝑁
Nota: Adotamos:PDtotal = 25% = 0,25.
2- Exemplo Numérico 
5- Baseado nas tabelas de Aço de Protensão da ArcelorMittal, foi escolhida
a cordoalha: CP 190 RB (12,7 mm) (Cordoalha 7 fios para pós-tração
aderente).
6- Carga de Protensão máxima por cordoalha:
𝑃𝑖𝑝 ≤
𝐾 × 𝑃𝑡𝑘
𝐾 × 𝑃𝑦𝑘(kN)
2º Método
Ptk Pyk
2- Exemplo Numérico 
7- Como se trata de Pós-Tração Aderente, vem que os coeficientes “K”
serão dados por:
𝑃𝑖𝑝 ≤
𝟎, 𝟕𝟒 × 𝑃𝑡𝑘
𝟎, 𝟖𝟐 × 𝑃𝑦𝑘(𝑘𝑁)
𝑃𝑖𝑝 ≤
𝑲 × 𝑃𝑡𝑘
𝑲 × 𝑃𝑦𝑘(𝑘𝑁)
8- Substituindo Ptk e Pyk, vem:
𝑃𝑖𝑝 ≤
𝟎, 𝟕𝟒 × 187 = 138,38 𝑘𝑁
𝟎, 𝟖𝟐 × 169 = 138,58 𝑘𝑁(𝑘𝑁)
𝑃𝑖𝑐 = 𝑃𝑖𝑝 = 138,38 𝑘𝑁
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑃𝑖𝑝 = 138,38 𝑘𝑁
2- Exemplo Numérico 
9- Por fim, calcula-se a quantidade de Cordoalhas que deverão ser utilizadas:
• Nível Limitado:
𝑄𝑡𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑜𝑠 =
𝑃𝑖
𝑃𝑖𝑐
=
2592,53
138,38
= 18,73 = 19 (𝐶𝑃 190 𝑅𝐵)
𝑁º𝐵𝐴𝐼𝑁𝐻𝐴𝑆 =
𝑄𝑡𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑑.
𝑁º𝐶𝑂𝑅𝐷./𝐵𝐴𝐼𝑁𝐻𝐴
=
21
7
= 3 𝐵𝑎𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑀𝑒𝑡á𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠
10- Procede-se com o cálculo da quantidade de Bainhas Metálicas que
acomodarão as cordoalhas de protensão. Por razões econômicas e de praticidade
quanto a utilização do macaco hidráulico, teremos a quantidade de cordoalhas
aumentadas para 21, para que cada bainha acomode 7 cordoalhas.
50 mm
Fonte: Catálogo Protende – Sistemas e Métodos 
2- Exemplo Numérico 
𝑃𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑃𝑖𝑐 × 𝑁º𝐵𝐴𝐼𝑁𝐻𝐴𝑆× 𝑁º𝐶𝑂𝑅𝐷./𝐵𝐴𝐼𝑁𝐻𝐴 = 138,38 × 3 × 7 = 2.905,98 𝑘𝑁
11- Calcular a Carga de Protensão Inicial Real (Pi real):
12- Por fim, calcula-se a Carga de Protensão após as Perdas Imediatas (P0)
e a Carga de Protensão após as Perdas Progressivas (P∞).
𝑃0 = 𝑃𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙 × 1 − 𝑃𝐷𝑖𝑚𝑒𝑑. = 2905,98 × 1 − 0,083 = 2. 663,82 𝑘𝑁
𝑃∞ = 𝑃𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙 × 1 − 𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2905,98 × 1 − 0,25 = 2.179,49 𝑘𝑁
𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 25% = 0,25 𝑃𝐷𝑖𝑚𝑒𝑑. ≅
𝑃𝐷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
3
=
0,25
3
≅ 0,083
𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜: