APOSTILA DE TEORIA DAS ESTRUTURAS 1PARTE1 2017

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 1 
 
0 
 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 1 
 
INTRODUÇÃO 
 
À 
 
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
 
O conteúdo desta apostila foi elaborado utilizando as 
seguintes referências bibliográficas: 
 
- Curso de Análise Estrutural 
Volume 1 – Estruturas Isostáticas 
José Carlos Süssekind 
Editora Globo 
 
- Estática das Estruturas 
Humberto de Lima Soriano 
Editora Ciência Moderna 
 
 
Parte1: 
1 - Viga simples 
2 - Viga sob cargas especiais: cargas triangulares 
 cargas trapezoidais 
3 - Viga Gerber 
4 - Viga inclinada 
 
 
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1 
ou ou 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
ou 
ou 
R1 
R1 
R1 
R2 
R2 
R1 
R2 
R2 
R1 
R2 
R1 
R2 
R1 
R2 
M 
R2 
R1 
M 
OBS: 
M  a reação de momento do 
apoio deve ser sempre indicada 
com a convexidade voltada para 
o apoio. Ex: 
 
1 - Viga simples 
1.1 - Tipos de apoios ou vínculos estruturais 
 Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os 
movimentos de uma estrutura. 
 Nas estruturas planas, os apoios são classificados em 3 tipos. 
 
a) Apoio do 1º gênero ou Vínculo Simples ou Apoio Móvel ou Rolete 
 Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção normal ao 
plano de apoio, fornecendo uma única reação na direção normal ao plano de apoio. 
Representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Apoio do 2º gênero ou Vínculo Duplo ou Apoio Fixo ou Pino 
 Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas direções, na 
primeira na direção normal ao plano e na direção paralela ao plano de apoio, 
fornecendo duas reações, uma reação em cada direção já mencionada. 
 
Representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Apoio do 3º gênero ou Engastamento ou Engaste 
 Este tipo de vínculo impede a translação em duas direções bem como a rotação, 
fornecendo três reações, uma reação em cada direção mais a reação de momento do 
apoio. 
 
Representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
1.2 - Estaticidade de vigas simples 
a) Viga simples Isostática: o número de reações de apoio (N. R. A.) é igual ao 
número de equações de equilíbrio (N. E. E.) e os apoios garantem que a estrutura seja 
estável = estática = não desloca. As equações de equilíbrio são: Fx =0; Fy =0; M =0 
Ex.1: HA A B Ex.2: HA A B 
 
 MA 
 
 VA VB VA 
N. R. A. = 3 = N. E. E. N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; 
 Viga simples isostática Viga simples isostática 
 
b) Viga simples Hipostática: quando o número de apoios da estrutura não é suficiente 
para garantir que a estrutura seja estável = estática = não desloca. As equações de 
equilíbrio são: Fx = 0; Fy = 0; M = 0 
 
Ex.1: A B Ex.2: A B C 
 
 
 
 VA VB VA VB VC 
N. R. A. = 2 < N. E. E. = 3 N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura desloca para a direita; A estrutura desloca para a esquerda; 
 Viga simples hipostática Viga simples hipostática 
 
 
Ex.3: A B C D Ex.4: HA A B HB 
 
 
 
 VA VB VC VD VA 
N. R. A. = 4 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura desloca para a direita; A estrutura desloca para baixo; 
 Viga simples hipostática Viga simples hipostática 
 
 
c) Viga simples Hiperestática: o número de reações de apoio (N. R. A.) é maior que o 
número de equações de equilíbrio (N. E. E.) e os apoios garantem que a estrutura seja 
estável = estática = não desloca. As equações de equilíbrio são: 
Fx = 0; Fy = 0; M = 0 
 
Ex.1:HA A B Ex.2: A B C 
 
 MA HB 
 
 VA VB VA VB VC 
 N. R. A. = 4 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 4 > N. E. E. =3 
 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; 
 Viga simples hiperestática Viga simples hiperestática 
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3 
 
 
Ex.3:HA A BEx.4: A B C 
 HA 
 MA HB MA HB 
 
 VA VB VA VB VC 
 N. R. A. = 5 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 6 > N. E. E. = 3 
 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; 
 Viga simples hiperestática Viga simples hiperestática 
 
 
Nota  Esta disciplina estudará apenas exemplos de viga 
isostática. 
 
 
1.3 - Classificação de Vigas simples Isostáticas: 
As vigas simples isostáticas são classificadas em três tipos básicos: vigas biapoiadas, 
vigas biapoiadas com balanço e vigas engastadas e livres. 
 
Vigas biapoiadas 
 
 
 
 
Vigas biapoiadas com balanço 
 
 
 
 
Vigas engastadas e livres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 - Esforços internos em Vigas simples isostáticas 
 Devido à ação das forças externa, surge em cada seção transversal das vigas, 
barras, eixos esforços internos simples; 
 
- Tipos de esforços internos simples: 
 
a) Esforço Normal (N): 
Convenção normalmente adotada 
 
N (+)  traciona (“sai”) a seção da estrutura; 
N (-)  comprime (“entra”) a seção da estrutura; 
 
 
 s 
 Análise da Esquerdadireita Análise da esquerda Direita 
 
 N (+) N (+) 
 s 
 Ns (+): tração Ns (+): tração 
 
 N (-) N (-) 
 s 
 Ns (-): compressão Ns (-): compressão 
 
 
 
b) Esforço Cortante (V): 
Convenção normalmente adotada 
 
V (+)  corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido horário; 
V (-)  corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido anti-horário; 
 
 
 s 
 Análise da Esquerdadireita Análise da Direita esquerda 
 
 V (+) V (+) 
 
 
 
 
 
 V (-) V (-) 
 s 
 - - 
 
 
 
 
 
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5 
 
c) Momento Fletor (M): 
Convenção normalmente adotada 
 
M (+)  Momento fletor traciona as fibras inferiores (t.f.i); 
M (-)  Momento fletor traciona as fibras superiores (t.f.s); 
 
 
 s 
 Análise da Esquerdadireita Análise da Direita esquerda 
 M (+) M (+) 
 
 s 
 traciona (estica) fibras inferiores 
 
 M (-) M (-) 
 
 s 
 traciona (estica) fibras superiores 
 
 M + (positivo) = traciona fibra inferior (t. f. i.); 
  M - (negativo) = traciona fibra superior (t. f. s.); 
 
DIAGRAMA  A apostila adota o seguinte procedimento: 
O diagrama é traçado sempre no lado tracionado com os valores absolutos, ou 
seja, sem o uso de sinais ( + ou - ); 
 
 M + (positivo) = traciona fibra inferior (t. f. i.); 
DIAGRAMA NA PARTE INFERIOR DA VIGA SEM SINAL; 
 
 M - (negativo) = traciona fibra superior (t. f. s.); 
DIAGRAMA NA PARTE SUPERIOR DA VIGA SEM SINAL; 
 
Este procedimento de traçado de diagramas EVITA ERROS de execução das 
peças (vigas, pilares, lajes, etc.) de concreto armado, pois o concreto não resiste bem 
aos esforços de tração. Assim ao indicar o valor do momento e lado (as fibras) da peça 
que está sobre tração informa-se automaticamente o local onde deve ser posicionada a 
armadura principal (barras de aço). 
 
Ex: Momento tracionando fibras inferiores 
 
 
 
 
 
 Momento tracionando fibras superiores 
 
 
 
 
armadura 
 armadura 
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1.5 - Análise de Vigas Isostáticas: 
Esta análise tem o objetivo de determinar as reações de apoio e os diagramas 
de esforços solicitantes: Diagrama de esforço Normal (DN); Diagrama de esforço 
Cortante (DQ); Diagrama de Momento fletor (DM); 
Para realizar esta análise deve-se utilizar o seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 
 
I - Identificar as seções fundamentais para análise: 
 
. seções sobre os apoios: 
. seções sob cargas concentradas: 
. seções sob cargas momento: 
. seções no início e final de cargas distribuídas: 
. seções sobre as extremidades das vigas: 
 
II - Substituir carga distribuída de cada trecho por sua resultante: 
 
 R1 = q . Lef 
 R2 = q . Lfg 
 
 
 
III - Substituir carga inclinada por suas componentes em x ey: 
 
 F1x = P2 . cos  
 F1y = P2 . sen  
 
 
 
IV - Identificar as reações de apoio e arbitrar um sentido: 
 
 Apoio em c: apoio do 1º gênero; 
 Vc 
 
Apoio em g: apoio do 2º gênero; 
 Vg e Hg 
 
 
V - Calcular as reações de apoio por meio das equações de equilíbrio da estática: 
Fx = 0; Fy = 0; M = 0 
 
VI - Traçar os diagramas de esforços internos (Normal; Cortante; Momento fletor): 
 
Obtido calculando o valor dos esforços internos em cada seção fundamental 
utilizando o MÉTODO DAS SEÇÕES, sendo este método, descrito a seguir nesta 
apostila. 
P1 P2 
q 
M
1 
P3 

f c b g d e a
h 
i e 
P1 P2 
q 
M
1 
P3 

f c b g d e a
h 
i e 
P1 P2 
M
1 
P3 
 R1 R2 
f c b g d e a
h 
i e 
P1 
M
1 
P3 
 R1 R2 

P2 
F1x 
F1y F1x 
F1y 
f c b g d e a
h 
i e 
P1 
M
1 
P3 
 R1 R2 
F1x 
F1y 
Vc Vg 
Hg 
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OBS: 
Somatório do Momento em uma seção qualquer (s) da viga: 
Ms = 0  esta equação estabelece que o somatório do momento em qualquer seção 
 SEMPRE SERÁ ZERO; 
 
Valor do Momento em uma seção qualquer (s) da viga: 
Ms = PODE SER ZERO OU NÃO; 
 
 
 
O momento fletor nas extremidades de vigas: É SEMPRE NULO, desde que não 
exista um momento aplicado na extremidade da viga; 
 
A seguir são apresentados alguns exemplos que ilustram este conceito. 
 
O SENTIDO DO GIRO DA SETA DO MOMENTO INDICA O LADO TRACIONADO: 
 Tracionando as fibras inferiores  t. f. i. 
 Tracionando as fibras superiores  t. f. s. 
 
EX1: 
Mc = 0; Mb = 4 kN.m (t. f. i.); 
 
 
 OU 
 
 
 
 OU 
 
 
 
EX2: 
Mc = 1 kN.m (t.f.i.); Mc = 5 kN.m (t.f.s.); 
 
 
 
 OU OU 
 
 
 
 OU OU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 
M= 4 kN.m 
b a c 
b a c 
M= 4 kN.m 
b a c 
M= 4 kN.m 
M= 5 kN.m 
M= 5 kN.m 
M= 5 kN.m 
b a 
b a c 
b a c 
M= 1 kN.m 
M= 1 kN.m 
M= 1 kN.m 
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OBS: 
O método das seções consiste analisar o valor do esforço interno (Normal; 
Cortante; Momento fleto) imediatamente antes e depois de cada seção conforme 
ilustrado a seguir. 
 
 O valor dos esforços (N, Q, M) em cada seção é determinada por meio do 
 MÉTODO DAS SEÇÕES: cada seção será analisada: 
 
 Á ESQUERDA imediatamente antes (décimos de milímetro à esquerda) 
 E 
 Á DIREITA  imediatamente após (décimos de milímetro à direita) 
 
Exemplo: uma seção qualquer S 
 
 
 Utilizando um ZOOM DE 10000 VEZES: 
 
 
A análise pode ser feita da esquerda - para direita 
 
 ou 
 
A análise pode ser feita da direita – para esquerda 
 
 
Exemplo: Analisando a Seção S a esquerda  Se 
 
Nse = ? 
Vse = ? 
Mse = ? 
 
Analisando da esquerda para a direta os valores obtidos são; 
 
esquerda para a direita  NSe = 5,26 kN ; QSe = - 6,78 kN ; MSe = 8,40 kN.m 
 
Caso a análise seja realizada da direita para a esquerda os resultados tem ser os 
mesmos, podendo haver uma diferença a partir da segunda casa decimal depois da 
vírgula; 
 
Direita para a esquerda  NSe = 5,28 kN ; QSe = - 6,75 kN ; MSe = 8,43 kN.m 
 Ok! Ok! Ok! 
 
Direita para a esquerda  NSe = 5,38 kN ; QSe = - 6,85 kN ; MSe = 8,33 kN.m 
 Não Ok! Não Ok! Não Ok! 
 
 ERRO NO CÁLCULO DAS REAÇÕES OU NO CÁCULO DOS ESFORÇOS; 
 
 
 
 
S 
Sdireita Sesquerda 
S 
0,0001 m = 0,1 mm 
Se Sd 
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Exemplo 1: determine as reações de apoio, os diagramas de esforços solicitantes, o 
esforço cortante máximo e os momentos máximos (inferior e superior); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 4 . cos 300 = 3,46 kN 
 F1y = 4 . sen 300 = 2,0 kN 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  + 5 - F1x - 2,6 + Hd + 4,8 = 0  Hd = - 3,74  Hd = 3,74 kN 
 
 +  Fy = 0  Va + Vd + 8 - 4,5 - F1y - 6 + 20 - 16 = 0  Va + Vd = + 0,5 kN 
 
 Md = 0 +  
 - 4,5 - 8 . 7,5 - Va . 7,5 + 4,5 . 6,75 + F1y . 6,0 + 6 . 5,0 - 9 - 20 . 2,0 - 3 = 0 
 
  7,5 Va = - 44,125  Va = - 5,88  Va = 5,88 kN 
 
*** ponto crucial para evitar erros: 
toda vez que o sentido da reação for corrigida, não esquecer de corrigir o sentido desta 
reação na equação escrita anteriormente, antes de inserir o valor corrigido. 
 
 corrigir  Fy: Va + Vd = + 0,5 kN 
 Na verdade o correto: - Va + Vd = + 0,5 kN 
 
 - 5,88 + Vd = + 0,5 
 
  Vd = 6,38 kN 
 
 
 
 
 9 kN.m 
 4,0 m 2,0 m 1,5 m 
a b 
d 
Vd 
Hd 
Va 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 
 F1x 
 4,8 kN 5 kN 
 2,6 kN 
c 
 9 kN.m 
4,0 m 2,0 m 1,5m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 5 kN 2,6 kN 
 300 
 3 kN/m 
 5 kN/m 
 F1y 
 4 kN 
 300 
 R1 = 4,5 kN R2 = 6 kN R3 = 20 kN 
 F1y 
 F1x 
 8 kN 
 8 kN 
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Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 4 . cos 300 = 3,46 kN 
 F1y = 4 . sen 300 = 2,0 kN 
 
2 - calcular o esforço normal: 
Nad = - 5 kN // Nbe = - 5 kN // Nbd = - 5 + F1x = - 1,54 kN 
Nce = - 1,54 kN // Ncd = - 1,54 + 2,60 = + 1,06 kN // Nde = + 1,06 kN 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Nde = + 4,8 - Hd = + 1,06 kN 
 
3 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Vad =+8 - 5,88 = +2,12 kN // Vbe = + 2,12 - 4,5 = - 2,38 kN // Vbd = - 2,38 - F1y = - 4,38 kN 
Vce = - 4,38 - 6 = - 10,38 kN // Vcd = - 10,38 kN // Vde = - 10,30 + 20 = + 9,62 kN 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Vde = + 16 - Vd = + 9,62 kN 
 
4 - calcular o momento fletor: LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
Análise p/esquerda t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mad = + 4,5 kN.m = 4,5 kN.m (t.f.i) 
Mbe = Mbd = Mb 
Mb = + 4,5 + 8 . 1,5 - Va . 1,5 - R1 . 0,75 = + 4,31 kN.m = 4,31 kN.m (t.f.i) 
OBS: Seção qualquer s; 
 Sem momento aplicado  Mse = Msd = Ms 
 
 
 
 Com momento aplicado  Mse ≠ Msd 
 
 
 
Mce = + 4,5 + 8 . 3,5 - Va . 3,5 - R1 . 2,75 - F1y . 2,0 - R2 . 1,0 
 = -10,46 kN.m = 10,46 kN.m (t.f.s) 
 
Mcd = - 10,46 + 9,0 = - 1,46 kN.m = 1,46 kN.m (t.f.s) 
Mde = - 3,0 kN.m = 3,0 kN.m (t.f.s) 
 
OBS: Seção na extremidade: 
 sem momento aplicado  Momento na seção = 0; 
 com momento aplicado  Momento na seção = é o próprio momento aplicado; 
 
 
 
S 
Msd Mse 
Msd Mse 
4 kN.m S 
 9 kN.m 
 4,0 m 2,0 m 1,5 m 
a b 
d 
Vd = 6,38 kN 
Hd = 3,74 kN 
Va = 5,88 kN 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 
 F1x 
 4,8 kN 5 kN 
 2,6 kN 
c 
 F1y 
 4 kN 
 300 
 R1 = 4,5 kN R2 = 6 kN R3 = 20 kN 
 F1y 
 F1x 
 8 kN 
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13 
 
 
 
A dedução da equação e do processo gráfico utilizado para traçar o diagrama de 
momento fletor no trecho com carga distribuída retangular uniforme é 
apresentada no tópico 1.6; 
 
 
 
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14 
 
Determinação do momento máximo inferior: 
 
Ocorre em um ponto x entre o trecho ab, conforme o diagrama de momento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x/2 
 
 
 x 
 
 
Equação do momento para o trecho ab: 
 
Mx = + 4,5 + 8 . x - Va . x - R . x/2 LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
 t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mx = + 4,5 + 8 . x - 5,88. x - 3 . x . x/2 
 
Mx = + 4,5 + 8 x - 5,88 x - 1,5x2 
 
O momento máximo ocorre na seção cuja a derivada primeira da equação do momento 
é igual a zero: 
 
DMx / dx = 0  8 - 5,88 - 2 . (1,5 x) = 0 
 
 2,12 - 3,0 x = 0 
 
 x = 2,12 / 3 = 0,71 m 
 
O momento positivo máximo ocorre a 0,71 m a direita do ponto a, substituindo este 
valor de x na equação do momento para o trecho ab: 
Mx = + 4,5 + 8 x - 5,88 x - 1,5x2 = + 4,5 + 8 . 0,71 - 5,88 . 0,712 
 
Mx = + 5,24 kN. m = 5,24 kN. m (t. f . i)  Momento máximo inferior 
 9 kN.m 
4,0 m 2,0 m 1,5 m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 5 kN 2,6 kN 
 300 
 3 kN/m 
 5 kN/m 
 8 kN 
a b 
Va = 5,88 kN 
 9 kN.m 
4,0 m 2,0 m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 5 kN 2,6 kN 
 300 
 3 kN/m 
 5 kN/m 
 8 kN 
a b 
Va = 5,88 kN 
 R = 3 . X 
Sempre a partir da 
extremidade da viga: 
(trecho _ab) 
 
 a : extremidade 
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15 
 
Determinaçãodo momento máximo superior: 
 
Ocorre em um ponto x entre o trecho cd, conforme o diagrama de momento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x/2 
 
 
 x 
 
Equação do momento para o trecho cd: 
 
Mx = + Vd . x + R . x/2 - 3,0 - 16. x LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
 t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mx = + 6,38 . x + 5. x . x/2 - 3,0 - 16. x 
 
Mx = + 6,38 x + 2,5 x2 - 3,0 - 16 x 
 
O momento máximo ocorre na seção cuja a derivada primeira da equação do momento 
é igual a zero: 
 
d Mx / dx = 0  + 6,38 + 2 . (2,5 x) - 16 = 0 
 
 5,0 x - 9,62 = 0 
 
 x = 9,62 / 5 = 1,92 m 
 
O momento positivo máximo ocorre a 1,92 m à esquerda do ponto d, substituindo este 
valor de x na equação do momento para o trecho cd: 
Mx = + 6,38 x + 2,5 x2 - 3,0 - 16 x = + 6,38 . 1,92 + 2,5 1,922 - 3,0 - 16 . 1,92 
 
Mx = - 12,25 kN. m = 12,25 kN. m (t. f .s)  Momento máximo superior 
 9 kN.m 
4,0 m 2,0 m 1,5 m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 5 kN 2,6 kN 
 300 
 3 kN/m 
 5 kN/m 
 8 kN 
c 
d 
Vd = 6,38 kN 
 9 kN.m 
 2,0 m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 
 5 kN 2,6 kN 
 300 
 8 kN 
d 
Va = 5,88 kN 
 R = 5 . X 
Hd = 3,74 kN 
Vd = 6,38 kN 
Hd = 3,74 kN 
Sempre a partir da 
extremidade da viga: 
(trecho _cd) 
 
 d : extremidade 
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16 
 
OBS: 
A derivada primeira da equação do momento do trecho em relação a x representa a 
equação do esforço cortante do trecho; 
 
dMx/ dx = Vx 
 
Para dMx/ dx = 0  determina-se o ponto onde ocorre o momento fletor máximo DO 
TRECHO, ou seja, na seção DO TRECHO de esforço cortante nulo (gráfico corta o eixo 
da viga) ocorre o momento fletor máximo DO TRECHO, o que pode ser verificado 
graficamente, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
OBS: 
Nem sempre o momento máximo do trecho é o momento máximo da Viga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
 
Exemplo 2: determine as reações de apoio, os diagramas de esforços solicitantes, o 
esforço cortante máximo e os momentos máximos (inferior e superior); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 5 . cos 750 = 1,29 kN 
 F1y = 5 . sen 750 = 4,83 kN 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  + Ha - F1x + 4,0 = 0  Ha = - 2,71  Ha = 2,71 kN 
 
 +  Fy = 0  Va - 5,0 - F1y - 3,75 + 1,5 = 0  Va = + 12,08 kN 
 
 Ma = 0 +  
 + 1,5 . 3,5 + 4,0 - 3,75 . 2,75 - F1y . 2,0 - 5,0 - 5,0 . 1,0 - Ma = 0 
 
  Ma = - 20,72  Ma = 20,72 kN . m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b 
 F1x 
c 
 5 kN.m 
1,5 m 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 5 kN 
 4,0 kN 
 750 
 F1y 
 5 kN 
 750 
 R1 = 5,0 kN R2 = 3,75 kN 
 F1y 
 F1x 
 2,5 kN/m 
 5 kN.m 
1,5 m 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 
 4,0 kN 
 Ma 
 Va 
 Ha 
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18 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 5 . cos 750 = 1,29 kN 
 F1y = 5 . sen 750 = 4,83 kN 
 
 
2 - calcular o esforço normal: 
Nad = + 2,71 kN // Nbe = + 2,71 kN // Nbd = + 2,71 + F1x = + 4,0 kN 
Nce = + 4,0 kN // 
 
3 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Vad = + 12,08 kN // Vbe = + 12,08 - 5,0 = + 7,08 kN // Vbd = + 7,08 - F1y = + 2,25 kN 
Vce = + 2,25 - 3,75 = - 1,5 kN // 
 
4 - calcular o momento fletor: LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
Análise p/esquerda t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mad = - 20,72 kN.m = 20,72 kN.m (t.f.s) 
Mbe = - 20,72 + 12,08 . 2,0 - 5,0 . 1,0 = - 1,56 kN.m = 1,56 kN.m (t.f.s) 
Mbd = - 1,56 + 5,0 = + 3,44 kN.m = 3,44 kN.m (t.f.i) 
Mce = + 4,0 kN.m = 4,0 kN.m (t.f.i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b 
 F1x 
c 
 F1y 
 5 kN 
 750 
 R1 = 5,0 kN R2 = 3,75 kN 
 F1y 
 F1x 
 5 kN.m 
1,5 m 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 
 4,0 kN 
 Ma = 20,72 kN.m 
 Va = 12,08 kN 
 Ha = 2,71 kN 
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19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20Seção de cortante nulo 
(gráfico corta o eixo da viga), 
Ocorre momento máximo 
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21 
 
 
 
A dedução da equação e do processo gráfico utilizado para traçar o diagrama de 
momento fletor no trecho com carga distribuída retangular uniforme é 
apresentada no tópico 1.6; 
 
 
 
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22 
 
Determinação do momento máximo inferior: 
 
Ocorre em um ponto x entre o trecho bc, conforme o diagrama de momento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x/2 
 
 
 x 
 
Equação do momento para o trecho bc: 
 
Mx = + 1,5 . x + 4,0 - R . x/2 LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
 t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mx = + 1,5 x + 4,0 - 2,5 x . x/2 
 
Mx = + 1,5x + 4,0 - 1,25x2 
 
O momento máximo ocorre na seção cuja a derivada primeira da equação do momento 
é igual a zero: 
 
d Mx / dx = 0  1,5 - 2 (1,25 x) = 0 
 
 1,5 - 2,5 x = 0 
 
 x = 1,5 / 2,5 = 0,60 m 
 
O momento positivo máximo ocorre a 0,60 m do ponto c, substituindo este valor de x na 
equação do momento para o trecho bc: 
Mx = + 1,5x + 4,0 - 1,25x2 = + 1,5 . 0,6 + 4,0 - 1,25 . 0,602 
 
Mx = + 4,45 kN. m = 4,45 kN. m (t. f . i)  Momento máximo inferior 
a b 
 5 kN.m 
1,5 m 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 5 kN 
 4,0 kN 
 750 
 2,5 kN/m 
c 
a b 
 5 kN.m 
 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 
 4,0 kN 
 2,5 kN/m 
c 
 R = 2,5 . X 
Sempre a partir da 
extremidade da viga: 
(trecho _bc) 
 
 b : extremidade 
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23 
 
OBS: 
A derivada primeira da equação do momento do trecho em relação a x representa a 
equação do esforço cortante do trecho; 
 
dMx/ dx = Vx 
 
Para dMx/ dx = 0  determina-se o ponto onde ocorre o momento fletor máximo DO 
TRECHO, ou seja, na seção DO TRECHO de esforço cortante nulo (gráfico corta o eixo 
da viga) ocorre o momento fletor máximo DO TRECHO, o que pode ser verificado 
graficamente, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24 
 
1.6 - Carga distribuída retangular: Dedução das equações dos esforços que serão 
utilizadas para traçar os diagramas com uma excelente precisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações do Momento fletor e do esforço cortante numa seção genérica S no trecho 
abde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 X/2 
 
 x 
 
Vx = Va – R = Va – q . x 
 
Vx = Va – q . x 
 
 Onde: Va = q . L 
 2 
 
 
Mx = Va . x – R . x = Va . x – q . x . x 
 2 2 
 
Mx = Va . x – q . x2 
 2 
Onde: Va = q . L 
 2 
 
 
 
a b 
 q 
 L 
Va Vb 
Ha 
a b 
 q 
 L 
Va = q. L/2 Vb = q.L/2 
Ha =0 
R = q. L 
a b 
 q 
 L 
Va = q. L/2 Vb = q.L/2 
Ha =0 
R = q . x 
 S 
 S 
 L/2 
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25 
 
A equação do momento é uma parábola do 20 grau, que atinge o seu valor máximo na 
seção cujo a derivada primeira é nula. 
d Mx = 0 
 dx 
 
Mx = Va . x – q . x2 
 2 
Onde: Va = q . L  Então: Mx = q . L . x – q . x2 
 2 2 2 
 
Mx = q . L . x – q . x2 
 2 2 
 d Mx = q . L – q . x = 0  x = L 
 dx 2 2 
Analisando a derivada primeira 
da equação do momento fletor d Mx = Vx = q . L – q . x 
observa-se que é igual a d x 2 
equação do cortante. 
 
Portanto, o momento fletor máximo de um determinado trecho da viga ocorre na seção 
transversal deste trecho que possui ESFORÇO CORTANTE NULO; 
 
Momento máximo  Seção de ESFORÇO CORTANTE NULO  x = L2 
Inserindo na equação do Momento: 
Mx = q . L . x – q . x2 = q . L . L – q . L2 
 2 2 2 2 2 4 
 
Mx = qL2 – q L2 = 2q L2 – qL2 = q.L2 
 4 8 8 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Momento: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs 1: No trecho sob carga distribuída retangular uniforme  A seção que apresenta 
esforço cortante nulo  V = 0  o momento fletor É MÁXIMO; 
 Seção: Cortante = nulo  A seção está no meio do vão: x = L/2 
 Momento = máximo = qL2/8 
a b 
 qL/2 
 qL/2 
L/2 
x=L/2 
a b 
 M=qL2/8 L/2 
x=L/2 
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26 
 
- Processo gráfico SIMPLIFICADO: 
 No trecho sob carga distribuída retangular uniforme, o diagrama de momento fletor é 
parabólico (parábola do 20 grau). Neste trecho do diagrama pode traçado utilizado um 
processo gráfico para sua construção, o qual é descrito a seguir. 
 
PASSO1 PASSO2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO3 PASSO4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Liga-se o ponto G aos 
momentos das extremidades 
G 
A parábola sai tangente de A, 
passa tangenciando B e chega 
tangente em C. 
Liga-se os momentos das 
extremidades por uma linha 
auxiliar 
linha auxiliar 
Traça-se uma linha 
vertical no meio do 
trecho, a partir do 
encontro com a linha 
auxiliar marca-se duas 2 
vezes o valor (q. L2 )/8 
( q.L2)/8 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
 20,3 kN.m 
L 
(q. L2)/8 
L/2 
L 
A parábola tangencia 
sempre o ponto uma vez 
(q.L2) / 8 
G G 
Liga-se os pontos: A, B, C 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
 20,3 kN.m 
A 
G 
L 
(q. L2)/8 
d b 
 8,0 kN.m 
 20,3 kN.m 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
 20,3 kN.m 
L 
(q. L2)/8 
B 
C 
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27 
 
- Processo gráfico COM MAIOR PRECISÃO: 
OBS: A precisão do processo gráfico pode ser melhorada definindo 3 pontos de 
tangencia internos da parábola, conforme é descrito a seguir. 
 
PASSO1 PASSO2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO3 PASSO4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d b 
 8,0 kN.m 
 20,3kN.m 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
20,3 kN.m 
L 
(q. L2)/8 
Liga-se o ponto G aos 
momentos das extremidades 
G 
Marca-se o ponto médio de 
cada trecho JJ 
 
A parábola tangencia estes 
pontos 
1 
2 
3 
1 
2 
3 
Liga-se os momentos das 
extremidades por uma linha 
auxiliar 
linha auxiliar 
1 
2 
3 
1 
2 
3 
Traça-se uma linha 
vertical no meio do 
trecho, a partir do 
encontro com a linha 
auxiliar marca-se duas 
2 vezes o valor (q. l2 )/8 
( q.L2)/8 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
20,3 kNm 
L 
(q. L2)/8 
L/2 
L 
Divide cada trecho G1 e G2 
em 4 partes iguais 
G1 
G G 
Liga-se os pontos: 1,3 2,2 3,1 
G2 
L/2 
L 
(q. L2)/8 
d b 
 8,0 kN.m 
20,3 kN.m 
JJ 
JJ 
JJ 
Obs: a parábola sempre 
tangencia o ponto abaixo da 
linha auxiliar 1 vez o valor 
(q.L2)/ 8 
G 
OBS: quando o valor de (q.L2)/8 é muito 
pequeno não é possível definir estes pontos de 
Tangencia internos pois estas linhas auxiliares 
ficam emboladas;  Neste caso ADOTAR: 
PROCESSO GRÁFICO SIMPLIFICADO 
 
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28 
 
1 Lista de exercícios: determine as reações de apoio, os diagramas de esforços 
solicitantes, o esforço cortante máximo e os momentos máximos (inferior e superior): 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 3,5 kN.m 
 2,0 m 2,0 m 4,0 m 
 450 
 6 kN 
2 kN/m 
 1 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 600 
 3 kN 
 600 
 4 kN 
 2 kN/m 
 4 kN /m 
 2 kN.m 
 4 kN/m 
 4 kN.m 
 6 kN.m 
 5 kN 
 2 kN/m 
 1 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 3 kN/m 
 4 kN.m 
 3 kN 5 kN 
 8 kN.m 
 4 kN 
 3,0 m 4,0 m 4,0 m 
 2 kN/m 
 4 kN.m 
 2 kN/m 5 kN 
 3,0 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 3,5 kN 
 4 kN.m 
 3,5 kN.m 
 2 kN.m 
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29 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
 
 
 1 kN/m 
 2 kN.m 
 2,5 kN 
 4,0 m 2,0 m 
 3 kN/m 
 3,0 m 2,0 m 
 3 kN 
 3 kN/m 
 4 kN 
 5 kN.m 
 3 kN 5 kN 
 8 kN.m 
 4 kN 
 3,0 m 4,0 m 4,0 m 
 600 
 4 kN 
 3 kN/m 
 3 kN 
 1,5 m 1,5 m 4,0 m 
 2 kN/m 
 3 kN.m 
 2 kN.m 
 4 kN/m 
 5 kN 
 3,5 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 5 kN.m 
 2 kN.m 
 3 kN.m 
 2,5 kN 
 2 kN.m 
 3 kN 4 kN 
 3 kN/m 
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30 
 
2 - Viga sob cargas especiais: APENAS NO TRABALHO 
 NÃO SERÁ COBRADO NAS AVALIAÇÕES 
 
CARGAS TRIANGULARES; 
CARGAS TRAPEZOIDAIS; 
 
Avisos: 
 
- trabalho individual vale 1,5; 
 
- entregue no dia da primeira prova  Não haverá tolerância no prazo; 
 
- a simples entrega do trabalho não garantirá 1,5 ponto; 
 
- o 1,5 ponto será distribuído pela memória de cálculo e nos diagramas. 
 
- o trabalho deve ser feito de próprio punho, de forma organizada e com letra 
legível (semelhante ao apresentado no exemplo3). 
 
 
 
 
A análise de vigas sob cargas distribuídas triangulares e trapezoidais é semelhante a 
análise realizada nos demais casos. A diferença está na fase de traçar os diagramas 
de esforços nos trechos sob estas cargas especiais (triangular e trapezoidal): 
 
- CORTANTE; 
- MOMENTO; 
 
Para traçar os diagramas de esforços nos trechos da viga sob o efeito destas 
cargas especiais é necessário estabelecer as equações que traduzem a variação dos 
esforços nestes trechos devido a ação destas cargas especiais. 
 
A seguir são apresentadas as equações que serão utilizadas para traçar os 
diagramas de esforços com boa precisão. 
 
 
A dedução destas equações é apresentada nos tópicos 2.1 e 2.2; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
 
Carga distribuída triangular: 
 
 
 
 
 
 
 Vx = Vsd – q’x2 Vx = Vse + q’x2 
 2L 2L 
 
 Equação Mx válida para ambos os casos; 
 Mx = q’ . x . L – q’ . x3 
 6 6L 
 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
 
 
 
 
 
Carga distribuída trapezoidal: princípio da superposição dos efeitos: 
 
 
 
 
 
 
 = = 
 
 + + 
 
 
 
 
 
Vx = Vsd – q’. x2 – q . x Vx = Vse + q’. x2 + q . x 
 2L 2L 
 
Equação Mx válida para ambos os casos; 
 
 
 
Mx = q . L . x – q . x2 + q’ . x . L – q’ . x3 
 2 2 6 6L 
 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
 
A dedução destas equações pode ser observada nos tópicos 2.1 e 2.2; 
 q’ = Q - q 
 q 
 Q 
 q 
 q' 
 X 
 L 
 X 
 L 
 q' 
Inseridos no diagrama a 
partir do eixo da viga 
 s s 
 Q 
 q 
 X X 
 s s 
 q’ = Q - q 
 q 
Pendurando na vertical a 
partir da linha tracejada 
Inseridos no diagrama a 
partir do eixo da viga 
Pendurado na vertical a 
partir da linha tracejada 
 Vsd Vse 
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32 
 
Exemplo 3: determine as reações de apoio, os diagramas de esforços solicitantes; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  + Hd = 0 
 
 +  Fy = 0  Va + Vd + 4 - 3,75 - 1 - 1 - 3 - 3 = 0  Va + Vd = + 7,75 kN 
 
 Md = 0 +  
 
- 2,25 - 4 . 7,5 - Va . 7,5 + 3,75 . 6,75 + 1. 6 + 1 . 5,33 + 3 . 5,0 - 4 + 3 . 2,67 - 1,5 = 0 
 
  7,5 Va = 21,9025  Va = 2,92 kN  Vb = 4,83 kN 
 
*** ponto crucial para evitar erros: 
toda vez que o sentido da reação for corrigida, não esquecer de corrigir o sentido desta 
reação na equação escrita anteriormente, antes de inserir o valor corrigido. 
 
Neste caso não houve necessidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 kN.m 
 4,0 m 2,0 m 1,5 m 
a b 
d 
Vd 
Hd 
Va 
 2,25 kN.m 
 1,5 kN.m 
c 
 4 kN.m 
4,0 m 2,0 m 1,5 m 
 2.25 kN.m 
1,5 kN.m 
 1,0 kN 
 2,5 kN/m 
 1,5 kN/m 
 1,0 kN 
 R1 = 2,5 . 1,5 
 R1 = 3,75 kN 
R3 = 1,5 . 2 
R3 = 3 kN 
R4 = 1,5. 4/2 
R4 = 3 kN 
 4 kN 
 4 kN 
0,75 
0,67 
 
 1,0 
1,33 
R2 = 1 . 2/2 
R2 = 1 kN 
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33 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - calcular o esforço normal: 
 
Não existe esforço Normal sobre a viga 
 
3 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Vad = 4 + 2,92 = + 6,92 kN // Vbe = + 6,92 - 3,75 = + 3,17 kN // 
Vbd = + 3,17 - 1,0 = + 2,17 kN 
Vce = + 2,17 - 1 - 3 = - 1,83 kN // Vcd = - 1,83 kN // Vde = - 1,83 - 3 = - 4,83 kN 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Vde = - Vd = - 4,83 kN 
 
4 - calcular o momento fletor: LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
Análise p/esquerda t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mad = + 2,25 kN.m = 2,25 kN.m (t.f.i) 
Mbe = Mbd = Mb 
Mb = + 2,25 + 4 . 1,5 + Va . 1,5 - R1 . 0,75 = + 9,82 kN.m = 9,82 kN.m (t.f.i) 
Mce = + 2,25 + 4 . 3,5 + Va . 3,5 - R1 . 2,75 - F1y . 2,0 - R2 . 1,33 - R3 . 1,0 
 = + 9,83 kN.m = 9,83 kN.m (t.f.i)Mcd = + 9,83 + 4,0 = 13,83 kN.m = 13,83 kN.m (t.f.i) 
Mde = - 1,5 kN.m = 1,5 kN.m (t.f.s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 kN.m 
 4,0 m 2,0 m 1,5 m 
a b 
d 
Vd = 4,83 kN 
Hd = 0 
Va = 2,92 kN 
 2,25 kN.m 
 1,5 kN.m 
c 
 1,0 kN 
 R1 = 3,75 kN 
R3 = 3 kN R4 = 3 kN 4 kN 
0,75 
0,67 
 
 1,0 
1,33 
R2 = 1 kN 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 1 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 1 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 1 
 
36 
 
2.1 - Carga distribuída triangular: Dedução das equações utilizadas para traçar os 
diagramas com boa precisão. 
Equação do cortante numa seção genérica X: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X X  (sempre a partir do vértice do triângulo) 
 
 
 
 
 
 
 
 x/3 
 
 x 
 
Vx = Va – R = Va – q’ . x2 
 2L 
 
 Onde: Va = q’ . L 
 6 
Esta equação é válida para a carga triangular inserida no início da viga. Esta equação 
pode ser escrita de uma forma geral de modo a atender os casos de carga triangular 
inserida em qualquer lugar sobre a viga, sendo esta forma geral dada por: 
 
 
 
 
 
 
Vx = Vsd – q’ . x2 
 2L 
 
 
 
 
 
 
Vx = Vse + q’ . x2 
 2L 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
a b 
 q' 
 L 
Va = q’. L/6 Vb = q’.L/3 
Ha =0 
R = q’. L/2 
a b 
 q 
 L 
Va = q’. L/6 Vb = q.L/2 
Ha =0 
R = qx . (x/2) = q’ . x/L . (x/2) = q’ . x2/2L 
 X 
 X 
 L/3 
 qx = ? 
qx = ? 
 
utilizando a proporção de triângulos: 
 
q’/ L = qx/ x 
 
qx = q’ . x / L 
 
 
 q_x = ? 
 q 
 x 
 L 
 q' 
 S 
 x 
 L 
 S x 
 L 
R = qx . (x/2) 
 q' 
Lembrete: 
V  + (HORÁRIO) 
 - (ANTI-HORÁRIO) 
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37 
 
Equação do Momento fletor numa seção genérica X: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X ( X  SEMPRE A PARTIR DO VÉRTICE) 
 
 
 
 
 
 
 
 x/3 
 
 x 
Vx = Va – R = 
 
Mx = Va . x – R . x/3 
 
 Onde: Va = q’ . L/6 R = q’ . x2/2L 
 Então: 
 
Mx = (q’ . L/6) . x – (q’ . x2/2L) . (x/3) 
 
Mx = q’ . x . L – q’ . x3 
 6 6L 
O diagrama de momento fletor no trecho sob a carga distribuída triangular é traçado 
pendurando na vertical a partir da linha auxiliar tracejada que une o momento no início 
ao momento no final da carga distribuída triangular os valores obtidos com a equação 
do momento Mx. 
 
 
 
 x x 
 L L 
 
 1/4L 2/4L 3/4L 3/4L 2/4L 1/4L 
DM 
 
 
 
 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
 q' 
a b 
 q' 
 L 
Va = q’ . L/6 Vb = q’ . L/3 
Ha =0 
R = q’ . L/2 
a b 
 q 
 L 
Va = q’ . L/6 Vb = q.L/2 
Ha =0 
 X 
 X 
 L/3 
 qx = q’ . x / L 
 R = qx . (x/2) = q . x/L . (x/2) = q’.x2/2L 
 q' 
Mx Mx 
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38 
 
2.2 - Carga distribuída trapezoidal: Dedução das equações utilizadas para traçar os 
diagramas com boa precisão. 
 
 
 
 
 
 
Equação do cortante numa seção genérica X válida para a carga trapezoidal inserida 
em qualquer lugar sobre a viga, sendo esta dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 + 
 
 
 
Vx = Vsd – q’ . x2 – q . x 
 2L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 + 
 
 
 
Vx = Vse + q’ . x2 + q . x 
 2L 
 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
 
 S x 
 L 
Q 
 q 
Q 
 q 
 q’= Q - q 
 q 
 S x 
 L 
 q’= Q - q 
 q 
 q 
 Q 
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39 
 
Equação do Momento fletor numa seção genérica X válida para a carga trapezoidal 
inserida em qualquer lugar sobre a viga é definida por: 
 
Carga distribuída retangular: 
Mx = q . L . x – q . x2  conforme apresentado no item 1.6 
 2 2 
 
Carga distribuída triangular: 
Mx = q’ . x . L – q’ . x3  conforme apresentado no item 2.1 
 6 6L 
 
 
Carga distribuída trapezoidal  princípio da superposição de efeitos: 
 
Mx = q . L . x – q . x2 + q’ . x . L – q’ . x3 
 2 2 6 6L 
 
 
Válida para as duas posições da carga trapezoidal, porém considerando sempre x a 
partir altura menor do trapézio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama de momento fletor no trecho sob a carga distribuída trapezoidal é traçado 
pendurando na vertical a partir da linha auxiliar tracejada que une o momento no início 
ao momento no final da carga distribuída trapezoidal os valores obtidos com a equação 
do momento Mx 
 
 
 
 
 
 
 
 S x 
 L 
 q 
 Q 
 S x 
 L 
 q 
 Q 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 1 
 
40 
 
TRABALHO_VALOR 1,5 
 
Nome:________________________________________________________________ 
 
Número da Matrícula:____________________________ 
Determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes; 
OBS: leia as observações apresentadas na página 30 desta apostila 
i – último número da matrícula; 
j – penúltimo número da matrícula; 
 Exemplos: i = 3; j = 6  3,i kN/m = 3,3 kN/m; 4,j kN = 4,6 kN 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
Dica: utilize uma escala de modo que o comprimento da viga utilize boa parte da 
largura da folha para que os diagramas não fiquem embolados, ou seja, conforme 
o apresentado no exemplo 3 
 2,i kN 
 3,j kN.m 1 kN/m 
 3,0 m 2,0 m 1,0 m 
 3,j kN/m 
 2 kN/m 
 4,i kN/m 
 1,6 m 1,5 m 2,0 m 
 5,i kN.m 
 3,j kN 
 4,j kN.m 
 3,i kN/m 
 2,0 m 2,5 m 2,0 m 
 2,i kN/m 
 4,i kN.m 
 2,5j kN/m 3,5j kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 1kN/m 
 1,5j kN 
 1,0 m 
 2,5i kN.m 
 3,5j kN.m 
1,0 m 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
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41 
 
3 - Viga Gerber: 
3.1 - Definição 
A viga Gerber é composta por uma associação de vigas simples isostáticas, ou 
por uma associação de vigas simples hiperestáticas ou com os dois tipos. 
Entretanto, nesta apostila será apresentado apenas casos de Viga Gerber 
composta por uma associação de vigas simples isostáticas. 
Esta associação (união, ligação) é obtida por meio de rótulas. As rótulas 
utilizadas para ligar as vigas simples podem ser classificadas da seguinte forma: 
Tipo 1: permite deslocamento horizontal e rotação. Este tipo de rótula apresenta a 
seguinte representação gráfica. 
 Este tipo de rótula possui um comportamento semelhante ao de um apoio 
 interno de 1 gênero; 
 
 = 
 
 
Tipo 2: permite apenas rotação. Este tipo de rótula apresenta a seguinte representação 
gráfica. 
 Este tipo de rótula possui um comportamento semelhante ao de um apoio 
 interno de 2 gênero; 
 
 = 
 
 
 A seguir são apresentados alguns casos práticos que ilustram os diferentes 
Tipos de rótulas; 
 
Rótula do 1º gênero: permite deslocamento horizontal e rotação 
Este tipo de rótula é muito comum em vigas compostas de concreto armado e de aço. 
Estas vigas são apoias uma sobre as outras e utilizam como elementos de ligação: 
Rótula do 1º gênero  caso 1 - - roletes de aço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica: esquemática para cálculo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
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42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apoio bom Apoio ruim: danificado 
 
Representação esquematicamente o apoio instalado na cabeceira da ponte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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43 
 
Rótula do 1º gênero  caso 2 - - Aparelhos de rolamento, de escorregamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica: esquemática para cálculo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 -- Aparelho de apoio do tipo escorregamento (almofadas de material resiliente – 
almofadas de NEOPRENE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sanduíche: placa de aço + placa de Neoprene 
 Neoprene: borracha sintética (polímero)