Projeto de Laje Nervurada Unidirecional

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LAJE NERVURADA UNIDIRECIONAL COM PRÉ-LAJE 
TRELIÇADA E ELEMENTO DE ENCHIMENTO 
 
 
 
 
Rafael Martins Ferreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto de Graduação apresentado ao 
Curso de Engenharia Civil da Escola 
Politécnica, Universidade Federal do 
Rio de Janeiro, como parte dos 
requisitos necessários à obtenção do 
título de Engenheiro Civil. 
 
Orientador: Henrique Innecco Longo 
 
 
Rio de Janeiro 
Março de 2015 
i 
 
LAJE NERVURADA UNIDIRECIONAL COM PRÉ-LAJE TRELIÇADA E ELEMENTO 
DE ENCHIMENTO 
 
Rafael Martins Ferreira 
 
PROJETO DE GRADUAÇÃO APRESENTADO AO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
DA ESCOLA POLITÉCNICA, UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO, 
COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO TÍTULO DE 
ENGENHEIRO CIVIL. 
 
Examinado por: 
 
______________________________________________ 
Prof. Henrique Innecco Longo, D.Sc. (Orientador) 
 
 
______________________________________________ 
Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos, D.Sc. 
 
 
______________________________________________ 
Profª. Maria Cascão Ferreira de Almeida, D.Sc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL 
MARÇO de 2015 
ii 
 
 
 
 
 
Ferreira, Rafael Martins 
Laje nervurada unidirecional com pré-laje treliçada e 
elemento de enchimento/ Rafael Martins Ferreira – Rio de 
Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2015. 
VI, 58 p.: il.; 29,7 cm. 
Orientador: Henrique Innecco Longo 
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso 
de Engenharia Civil, 2015. 
Referências Bibliográficas: p. 57 
1. Laje nervurada. 2. Pré-laje. 3. Painel treliçado. 4. Laje 
treliçada. I. Longo, Henrique Innecco. II. Universidade Federal 
do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia 
Civil. III. Laje nervurada unidirecional com pré-laje treliçada e 
elemento de enchimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii 
 
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte 
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil. 
 
Laje nervurada unidirecional com pré-laje treliçada e elemento de enchimento 
 
Rafael Martins Ferreira 
 
Março/2015 
 
Orientador: Henrique Innecco Longo 
 
Curso: Engenharia Civil 
 
Este trabalho apresenta uma visão geral dos aspectos relativos ao projeto estrutural de 
lajes nervuradas unidirecionais formadas com painéis treliçados, também chamados de 
pré-lajes. 
Primeiramente foram apresentados conceitos gerais, definições das normas técnicas, e 
vantagens da escolha deste tipo de solução para lajes. Também foram vistos os 
modelos para a análise estrutural e obtenção dos esforços solicitantes, e as 
considerações a serem feitas para estas análises. Além disso, ainda foram abordados 
os cálculos para dimensionamento e detalhamento segundo as normas NBR 6118 e 
NBR 14860-1. Por fim, foi feita a análise de um pavimento, comparando-se esforços 
obtidos com os modelos estruturais vistos, e o dimensionamento dos mesmos baseado 
nos conceitos expostos. 
 
Palavras-chave: laje nervurada, pré-laje, painel treliçado, laje treliçada. 
 
 
 
 
 
iv 
 
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the 
requirements for degree of Engineer. 
 
One way slabs build with precast lattice girder panels 
 
Rafael Martins Ferreira 
 
March/2015 
 
Advisor: Henrique Innecco Longo 
 
Course: Civil Engineering 
 
This work presents an overview of aspects of the structural design of one-way ribbed 
slabs made with lattice panels. 
Firsty were exposed general concepts, as well as definitions of technical standards, and 
advantages of choosing this type of solution for slabs. Also seen are models for structural 
analysis to obtain the internal forces, and the considerations to be made for these 
analyzes. Furthermore, it was also discussed for dimensioning and detailing according 
to NBR 6118 and NBR 14860-1 standards. Finally, was made an analysis of one floor, 
comparing forces obtained through these structural models, and the design of it, based 
on the exposed concepts. 
 
Keywords: ribbed slab, precast slab, lattice girder panel. 
 
 
 
 
 
 
v 
 
Sumário 
 
1. Introdução .............................................................................................................. 1 
2. Lajes nervuradas ................................................................................................... 2 
2.1. Considerações gerais ......................................................................................... 2 
2.2. Tipos de lajes nervuradas .................................................................................. 2 
3. Lajes nervuradas unidirecionais com pré-lajes treliçadas ...................................... 3 
3.1. Considerações gerais ......................................................................................... 3 
3.2. Definições .......................................................................................................... 4 
3.3. Vantagens e desvantagens ................................................................................ 6 
4. Análise estrutural ................................................................................................... 7 
4.1. Módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson ............................................... 7 
4.2. Largura colaborante ........................................................................................... 8 
4.3. Modelos de cálculo ............................................................................................ 9 
4.4. Combinação de ações ...................................................................................... 24 
5. Requisitos gerais para dimensionamento, verificação e detalhamento ................ 25 
5.1. Dimensões limites ............................................................................................ 25 
5.2. Deslocamentos-limites ..................................................................................... 27 
5.3. Dimensionamento, verificação e detalhamento ................................................ 28 
6. Estudo de caso .................................................................................................... 32 
6.1. Considerações gerais ....................................................................................... 32 
6.2. Escolha das pré-lajes ....................................................................................... 33 
6.3. Parâmetros para a análise estrutural ................................................................ 35 
6.4. Análise estrutural ............................................................................................. 38 
6.5. Comparação dos resultados ............................................................................. 40 
7. Exemplo de dimensionamento ............................................................................. 44 
7.1. Análise estrutural utilizada................................................................................ 44 
7.2. Resultados da análise ...................................................................................... 44 
vi 
 
7.3. Dimensionamento ............................................................................................ 49 
8. Conclusão ............................................................................................................ 55 
9. Referências bibliográficas .................................................................................... 571 
 
1. Introdução 
A utilização de lajes formadas por vigotas pré-fabricadas, antes limitada a 
construções de pequeno e médio porte, tem se tornado cada vez mais comum também 
em grandes obras, como edifícios de muitos andares, com grandes vãos, e até mesmo 
em pontes. A escolha desta solução de laje possui muitas vantagens, entre elas pode-
se destacar a facilidade de manuseio, de montagem, redução do escoramento e a 
eliminação do uso de formas para as lajes. 
O uso desta solução para lajes não é recente, contudo a normalização deste tipo 
de laje corresponde ao ano de 2002. Durante muito tempo estas lajes foram 
disseminadas por inúmeras pequenas empresas produtoras, muitas até informais. 
Algumas empresas atuam sem a qualidade e a responsabilidade necessárias, muitas 
vezes comprometendo a segurança, aparecendo problemas estruturais devidos a 
grandes deformações, fissuração e até mesmo o risco de desabamento. 
Entretanto, nas últimas décadas surgiram novas técnicas e materiais constituintes 
para as lajes pré-fabricadas. Empresas do setor desenvolveram e implementaram novos 
sistemas do uso destas lajes, como o caso dos sistemas de lajes com vigotas de 
concreto protendido e as lajes formadas pelas vigotas ou painéis, também chamados 
de pré-lajes, com armação treliçada. 
Neste trabalho são analisadas lajes unidirecionais formadas com pré-lajes (ou 
painéis) treliçadas e com elementos de enchimento EPS (isopor), tendo como objetivo 
expor os métodos de cálculo e dimensionamento para essas lajes, considerando que há 
poucos estudos e referências bibliográficas sobre este tipo de laje. 
Primeiramente foram apresentados conceitos gerais, definições das normas 
técnicas, e vantagens da escolha deste tipo de solução para lajes. Também foram vistos 
os modelos para a análise estrutural e obtenção dos esforços solicitantes, e as 
considerações a serem feitas para estas análises. Além disso, ainda foram abordados 
os cálculos para dimensionamento e detalhamento segundo a normas NBR 6118 e NBR 
14860-1. Por fim, foi feita a análise de um pavimento, comparando esforços obtidos com 
os modelos estruturais vistos, e o dimensionamento do mesmo baseado nos conceitos 
expostos. 
 
 
 
2 
 
2. Lajes nervuradas 
2.1. Considerações gerais 
A NBR 6118 (2014) define as lajes nervuradas como “lajes moldadas no local ou 
com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos esteja 
localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte.” 
Segundo CARVALHO e PINHEIRO (2009), a ideia que levou ao surgimento das 
lajes nervuradas é baseada no fato que para vãos de grandes dimensões, no estado-
limite último, as lajes maciças geralmente apresentam uma pequena região de concreto 
comprimido e, portanto, há muito concreto abaixo da linha neutra que está tracionado, 
e que não contribui para a resistência à flexão. Logo, nada mais racional do que 
substituir uma parte desse concreto por um material inerte (geralmente mais leve e mais 
barato que o concreto) ou simplesmente moldar uma região tracionada composta 
apenas por nervuras. 
 
2.2. Tipos de lajes nervuradas 
Com base na definição da NBR 6118 (2014), ainda podemos subdividir as lajes 
nervuradas de acordo com o método executivo, formato, ou disposição das armaduras. 
Assim, as lajes nervuradas podem ser pré-fabricadas ou moldadas no local, possuir 
armadura passiva ou ativa, com nervuras em uma direção ou em duas etc. 
Com relação às lajes pré-fabricadas, estas também podem ser divididas de acordo 
com os elementos pré-fabricados que as constituem, listados a seguir e mostrados nas 
figuras 2.1 e 2.2: 
- vigota do tipo trilho (ou vigota em “T”); 
- vigota treliçada; 
- painel (ou pré-laje) treliçado; 
- painel alveolar; 
- painel duplo “T” (lajes Pi). 
3 
 
 
Figura 2.1 – Elementos de laje com vigotas pré-fabricadas 
 
 
Figura 2.2 – Elementos de laje com painéis pré-fabricados 
 
3. Lajes nervuradas unidirecionais com pré-lajes treliçadas 
3.1. Considerações gerais 
Neste trabalho são analisadas as lajes nervuradas unidirecionais formadas com 
pré-lajes (painéis) treliçadas e com elementos de enchimento EPS (isopor), ilustrada na 
figura 3.1. Essas lajes são formadas dispondo lado a lado os elementos pré-fabricados, 
chamados de pré-lajes (ou painéis treliçados), que são constituídos por uma placa de 
concreto e uma armadura na forma de treliça. 
4 
 
 
Figura 3.1 - Laje nervurada unidirecional com pré-laje treliçada e elemento de 
enchimento EPS 
A execução de lajes pré-fabricadas no Brasil não é recente, contudo a sua 
normalização corresponde da data de 2002, com a publicação das normas NBR 14859 
(2002), NBR 14860 (2002), NBR 14861 (2002) e NBR 14862 (2002). As lajes 
unidirecionais formadas com pré-lajes são tratadas na NBR 14860-1 – Laje pré-
fabricada – Pré-laje – Requisitos. 
 
3.2. Definições 
3.2.1. Laje pré-fabricada 
A NBR 14860-1 (2002) define laje pré-fabricada unidirecional como laje de seção 
final maciça ou nervurada, constituída por nervuras principais longitudinais (NL) 
dispostas em uma única direção. Podem ser empregadas algumas nervuras 
transversais (NT) perpendiculares às nervuras principais. 
 
3.2.2. Pré-laje 
As pré-lajes são placas com espessura de 3,0 cm a 5,0 cm e larguras 
padronizadas, denominadas pela sigla PLT (pré-laje treliçada), mostradas na figura 3.2. 
São constituídas por concreto estrutural, executadas industrialmente fora do local de 
utilização definitivo da estrutura, ou mesmo em canteiros de obra, sob rigorosas 
condições de controle de qualidade. Englobam total ou parcialmente a armadura inferior 
de tração, integrando a seção de concreto da nervura. O concreto utilizado em sua 
fabricação deve possuir resistência igual ou superior à classe C20. 
5 
 
 
 
 
Figura 3.2 – Pré-laje treliçada e laje nervurada com pré-laje treliçada e elemento 
de enchimento (NBR 14860-1, 2002) 
 
3.2.3. Treliças 
As treliças geralmente utilizam fios de aço CA-60 sendo compostas por dois fios 
de aço paralelos na base (banzo inferior) e um fio de aço no topo (banzo superior), 
interligados por eletrofusão a dois fios de aço diagonais, com espaçamento regular de 
20 centímetros, conforme a figura 3.3. A NBR 14862 (2002) identifica as treliças de 
acordo com sua altura e a bitola utilizada. Por exemplo, uma armadura treliçada 
composta integralmente por aço CA-60, com 8,0 cm de altura, banzo superior com 6,0 
mm, diagonal com 3,4 mm e banzo inferior com 4,2 mm, será designada TR8634. 
 
Figura 3.3: Treliça (Catálogo AcelorMittal) 
 
 
6 
 
3.2.4. Elementos de enchimento 
Os elementos de enchimento são definidos na NBR 14860-1 como componentes 
pré-fabricados com materiais inertes diversos, sendo maciços ou vazados, intercalados 
entre as nervuras das pré-lajes, no caso de lajes com seção final nervurada, com a 
função de reduzir o volume de concreto e o peso próprio da laje. Estes devem ser 
desconsiderados como colaborantes nos cálculos de resistência e rigidez da laje. 
Também devem ser compostos por materiais leves, suficientemente rígidos, que não 
produzam danos ao concreto e às armaduras, e ainda ter resistência à ruptura suficiente 
para resistir à carga de trabalho durante a montagem da laje. 
 
3.3. Vantagens e desvantagens 
A principal característica das lajes pré-fabricadas é a dispensa, total ou parcial, 
das formas na fase construtiva da obra. Nas lajes com elementos de enchimento, há 
uma redução no consumo de concreto e uma redução no peso da laje. Essas lajes 
também podem trazer maior rapidez na montagem, maior segurança no canteiro e 
diminuição da mãode obra. 
A seguir estão listadas as principais vantagens da escolha desta solução de laje. 
a) Diminuição de escoramento e eliminação de formas: 
As pré-lajes, na fase de montagem e concretagem, devem ter capacidade de 
resistir ao seu peso próprio, à ação do peso do concreto e também a uma carga 
acidental para um vão na ordem de 1 a 2 metros, correspondente ao espaçamento entre 
as linhas de escoramento. Assim, quando comparada com uma laje maciça, este tipo 
de laje necessita de pouco escoramento, além de dispensar o uso de formas na 
execução da concretagem. 
b) Facilidade de execução: 
Os painéis pré-fabricados são de fácil manuseio e montagem permitindo que 
sejam executadas mesmo por operários pouco preparados, e sem que seja preciso a 
utilização de equipamentos sofisticados de içamento. 
c) Redução de custo da estrutura: 
A utilização de elementos de enchimento reduz o consumo de concreto, 
diminuindo significativamente o peso próprio da laje, possibilitando uma redução das 
7 
 
dimensões de elementos como vigas, pilares e fundações, e, assim, diminuindo também 
o custo da estrutura. 
d) Outras vantagens: 
- Permite a utilização de formas autoportantes para estruturas onde o 
escoramento é inviável; 
- As pré-lajes, uma vez posicionadas, produzem uma plataforma de trabalho 
segura para os operários; 
- Possibilita reforçar com armadura adicional as lajes com maiores solicitações; 
- Adapta-se com total flexibilidade ao desenho da laje; 
- Reduz o tempo de execução das lajes. 
 
Como desvantagens da utilização destas lajes podemos citar o aumento de custo 
quando esse sistema não é devidamente planejado e compatibilizado com os demais 
métodos construtivos, a necessidade de reservar uma área no canteiro para estocagem 
dos elementos pré-fabricados e a limitação de transporte. Ainda, essas lajes apresentam 
valores de deslocamentos maiores que em lajes maciças, e distribuição do 
carregamento de forma unidirecional nas vigas de contorno, no caso de lajes 
unidirecionais. 
 
4. Análise estrutural 
A análise estrutural tem como objetivo determinar os efeitos das ações na 
estrutura, com a finalidade de verificar os estados limites últimos e de serviço, sendo 
esta uma das principais etapas do projeto estrutural. Assim, para a obtenção desses 
efeitos deve ser escolhido um modelo estrutural adequado para representar a estrutura 
real. Também devem ser determinados os parâmetros relativos aos materiais e a 
geometria dos elementos estruturais. 
 
4.1. Módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson 
Na análise linear, em que se admite o comportamento elástico-linear para os 
materiais, a NBR 6118 (2014) permite que seja considerado o módulo de elasticidade 
secante Ecs, determinado através da tabela 4.1. 
8 
 
Tabela 4.1 – Valores de módulo de elasticidade em função da resistência 
característica à compressão do concreto, considerando o uso de granito como 
agregado graúdo (NBR 6118, 2014) 
 
Para tensões de compressão menores que 0,5fc e tensões de tração menores que 
fct, o coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2, sendo fc e fct a 
resistência à compressão do concreto e a resistência do concreto à tração direta, 
respectivamente. 
 
4.2. Largura colaborante 
Segundo a NBR 6118 (2014), a largura colaborante bf deve ser dada pela largura 
da viga bw acrescida de no máximo 10 % da distância a entre pontos de momento fletor 
nulo, para cada lado da viga em que haja laje colaborante. 
A distância a pode ser estimada, em função do comprimento ℓ do tramo 
considerado, como se apresenta a seguir: 
- viga simplesmente apoiada: a = 1,00 ℓ; 
- tramo com momento em uma só extremidade: a = 0,75 ℓ; 
- tramo com momentos nas duas extremidades: a = 0,60 ℓ; 
- tramo em balanço: a = 2,00 ℓ. 
No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante 
única para todas as seções, inclusive nos apoios com momentos negativos, desde que 
essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura 
resulte mínima. 
Devem ser respeitados os limites b1 e b3, conforme indicado na figura 4.1. 
9 
 
 
Figura 4.1 – Largura da mesa colaborante (NBR 6118, 2014) 
 
4.3. Modelos de cálculo 
4.3.1. Método das grelhas 
A ideia principal do método das grelhas é a substituição do pavimento por uma 
grelha equivalente, em que vigas e lajes são representados por elementos lineares, 
formando uma malha. Este método é bastante usado para análise de lajes, 
principalmente devido a sua facilidade de compreensão e utilização. 
Para analisar um pavimento através do método das grelhas deve-se dividir as lajes 
que o compõem em um número adequado de faixas, as quais terão larguras 
dependentes da geometria e das dimensões do pavimento. Considerando que, assim 
como as vigas, estas faixas possam ser substituídas por elementos estruturais de barras 
exatamente nos seus eixos, obtém-se então uma grelha equivalente que passa a 
representar o pavimento. 
Quanto aos carregamentos, considera-se que as cargas distribuídas atuantes no 
pavimento se dividem entre as barras da grelha equivalente de acordo com a área de 
influência de cada uma, sendo que as cargas podem ser consideradas como 
uniformemente distribuídas ao longo das barras da grelha ou então concentradas 
diretamente nos seus nós. 
Na discretização de lajes nervuradas em grelha (figura 4.1), determina-se a malha 
de acordo com a localização das nervuras. A rigidez longitudinal da laje é concentrada 
nas barras longitudinais e a rigidez transversal é concentrada nas barras transversais. 
10 
 
Na direção longitudinal pode-se considerar elementos com características de viga “T” 
ou “I”, dependendo da geometria da seção da nervura, e na direção transversal a capa 
deve ser representada por um elemento de seção retangular, com largura definida pelo 
espaçamento da malha e espessura igual à espessura da capa. As vigas periféricas 
também são definidas como elemento de seção retangular. 
 
Figura 4.2 – Planta de forma e modelo estrutural em grelha (FLÓRIO, 2004) 
Para as lajes formadas com pré-lajes, a seção de cálculo para as nervuras possui 
característica de uma viga “I”, conforme a figura 4.3. A seção de cálculo da capa e das 
vigas de contorno são mostradas nas figuras 4.4 e 4.5, respectivamente. 
 
Figura 4.3 – Seção real e seção de cálculo da nervura 
 
11 
 
 
Figura 4.6 – Seção de cálculo da capa 
 
 
Figura 4.7 – Seção de cálculo das vigas 
Para a seção “I” das nervuras (barras longitudinais), o momento de inércia à flexão 
IFL pode ser obtido através do teorema dos eixos paralelos da Resistência dos Materiais, 
de acordo com a fórmula: 
IFL = Σ (Ii + Ai·di2) 
onde 
Ii é o momento de inércia da seção retangular do elemento “i”; 
Ai é a área da seção retangular do elemento “i”; 
di é a distância entre o centro de gravidade do elemento “i” e o centro de 
gravidade da seção completa. 
Para seções retangulares, como a capa e as vigas de contorno, o momento de 
inércia à flexão IFL pode ser determinado pela fórmula: 
 
onde 
b é a largura da seção transversal; 
h é a altura da seção transversal. 
Com relação ao momento de inércia à torção das nervuras, não há um consenso 
na bibliografia pesquisada. Alguns autores afirmam que o mesmo deve ser desprezado, 
devido à baixa resistência à torção das nervuras. Segundo a NBR 6118 (2014), supondo 
a fissuração da peça, deve-se considerar apenas 15 % da inércia à torção integral. Já 
12 
 
SUSSEKIND (1985) sugere considerar um valor em torno de 20% da inércia da seção 
homogênea (estádio I). 
O cálculo do momento de inércia à torção IT(integral) para seções transversais 
homogêneas retangulares (figura 4.4) é obtido em LEONHARDT (1977), sendo dado 
pela expressão: 
IT = α·b3·d 
onde 
α é o coeficiente determinado pela tabela 4.2; 
b é a altura da seção transversal retangular do elemento; 
d é a largura da seção transversal retangular do elemento. 
 
Figura 4.4 – Seção retangular 
 
Tabela 4.2 – Coeficientes para cálculo da inércia a torção (LEONHARDT, 1977) 
 
Para seções “I” ou “T”, de acordo com LEONHARDT (1977), divide-se a seção em 
retângulos (figura 4.5), obtendo-se IT como a soma dos valores dos retângulos parciais. 
Admite-se que cada retângulo parcial gira em torno do respectivo centro de 
cisalhamento. Na realidade, existe apenas um eixo de rotação global, que passa pelo 
centro de cisalhamento da seção total. No entanto o cálculo do IT por este método 
simplificado conduz a resultados satisfatórios. 
A inércia à torção das nervuras é calculada pela expressão: 
IT = Σ ITi = IT1 + IT2 + IT3 + IT4 + IT5 
onde 
ITi é o momento de inércia à torção do elemento de seção retangular “i”. 
13 
 
 
Figura 4.5 – Seção de cálculo da nervura (LEONHARDT, 1977) 
Para o momento de inércia à torção IT de uma barra de grelha que representa uma 
largura “b” de uma laje maciça, MONTOYA (1973) propõem que se use o dobro da 
inércia à flexão para conferir um efeito de placa ao elemento. Logo, para a capa de 
concreto (barras transversais) pode-se utilizar a fórmula: 
 
onde 
bf é a largura colaborante; 
hc é a espessura da capa. 
Segundo STRAMANDINOLI (2003), normalmente a inércia à torção das vigas é 
desprezada devido ao inconveniente da verificação se a seção transversal da viga é 
capaz de absorver os esforços oriundos da torção, além de se ter que armá-la para 
suportar tais esforços. A NBR 6118 (2014), no item 17.5, permite que a torção seja 
desprezada desde que o elemento estrutural tenha capacidade adequada de adaptação 
plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por 
ela provocados. 
 
4.3.2. Modelo com vigas independentes 
Em virtude do processo construtivo, as lajes nervuradas unidirecionais têm como 
característica a disposição das pré-lajes em uma só direção, geralmente a do menor 
vão. Dessa forma, as vigas em que os elementos se apoiam é que recebem a maior 
parte da carga. 
De acordo com CARVALHO e FIGUEIREDO (2001), usualmente admite-se que a 
ação das lajes nervuradas unidirecionais ocorre apenas nas vigas em que os elementos 
pré-fabricados se apoiam, não se considerando qualquer ação das lajes nas vigas 
14 
 
paralelas aos elementos. No entanto, para verificar se essa consideração é razoável, e 
também melhor entender o comportamento das lajes nervuradas unidirecionais, os 
autores realizaram um estudo teórico para verificar se a capa de concreto confere rigidez 
significativa ao pavimento na direção transversal. 
Nesse estudo foi feita uma análise detalhada sobre o comportamento para três 
situações: elementos independentes, laje pré-moldada com capa de concreto e laje 
maciça. Para tal, utilizou-se como exemplo um pavimento bastante simples, 
praticamente quadrado e simplesmente apoiado nas quatro bordas, mostrado na figura 
4.8. 
 
Figura 4.8 – Pavimento para estudo da laje nervurada unidirecional (CARVALHO 
e FIGUEIREDO, 2001) 
Para compreensão destes sistemas estruturais são comparados, para o 
pavimento da figura 4.8, os esforços internos e os deslocamentos obtidos para as três 
situações citadas e ilustradas na figura 4.9: composto por nervuras isoladas (caso a), 
por laje pré-moldada – elemento mais capa (caso b) e por placa maciça (caso c). A 
diferença entre os casos a e b é que, no primeiro, os elementos não têm ligação 
transversal, a qual é proporcionada pela capa de concreto no segundo caso. 
15 
 
Figura 4.9 – Situações analisadas: elementos isolados, laje pré-moldada com 
capa de concreto e laje maciça (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2001) 
Em todas as situações as vigas V1, V2, V3 e V4 foram consideradas indeslocáveis 
na direção vertical. O objetivo deste estudo é identificar um processo de cálculo que 
possa ser usado com facilidade, segurança e que resulte em valores próximos dos reais 
para pavimentos com lajes nervuradas unidirecionais. 
Para podermos comparar os resultados, utilizamos em todas as situações a 
mesma espessura total dos elementos, o mesmo carregamento atuante e as mesmas 
propriedades para o concreto. Os valores adotados foram: 
- espessura total do pavimento = 11,0 cm; 
16 
 
- espessura da capa = 3 cm; 
- carga distribuída, p = 5 kN/m² (já considerado o peso próprio); e 
- Ec = 30.000 MPa. 
A análise dos esforços e deslocamentos para os casos b e c foi feita usando o 
método das grelhas, descrito anteriormente. No caso a, como são elementos isolados, 
cada um trabalha como uma viga independente, como mostrado na figura 4.10. 
Figura 4.10 – Modelo de cálculo usado para a situação a, com elemento 
independente (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2001) 
A configuração deformada do pavimento para as três situações é mostrada na 
figura 4.11. 
Figura 4.11 – Deformação dos pavimentos para as três situações (CARVALHO e 
FIGUEIREDO, 2001) 
Os deslocamentos são maiores quando todos os elementos trabalham 
isoladamente (caso a) e menores quando se considera o efeito de placa (caso c, laje 
maciça). A laje pré-moldada (caso b) apresenta um comportamento intermediário, 
porém bem mais próximo do caso de elementos isolados. Percebe-se ainda que no 
primeiro caso todos os elementos têm a mesma linha elástica (eixo após a deformação), 
devido à própria hipótese de que funcionam isoladamente, sem ligação transversal entre 
si. No caso da laje pré-moldada com a consideração da capa, pelo menos as quatro 
nervuras centrais apresentam praticamente a mesma linha elástica. Finalmente, no caso 
17 
 
da laje maciça, há diferença significativa entre as elásticas dos diversos trechos da 
placa, e as deformações são bem menores. Isto ocorre por haver rigidez praticamente 
igual nas direções longitudinal e transversal. 
Os resultados relativos à ação das nervuras nas vigas de contorno V1 e V2 são 
apresentados nos gráficos da figura 4.12. No caso dos elementos isolados, somente a 
viga V1 (curva E) recebe as ações dos elementos. No caso da laje maciça, as ações em 
V1 e V2 são praticamente iguais (curvas B e D), pois a laje é praticamente quadrada, e, 
portanto, possui quase a mesma rigidez nas duas direções. Novamente a laje pré-
moldada apresenta um comportamento intermediário, porém com a viga V1 (viga de 
apoio das nervuras) absorvendo uma parcela de esforço (curva A) maior que a viga V2, 
parcela às nervuras (curva C). 
 
Figura 4.12 – Diagrama das ações das nervuras com as vigas (CARVALHO e 
FIGUEIREDO, 2001) 
No exemplo deste pavimento, foi mantida constante a relação entre os vãos e 
entre a rigidez da longarina e da capa, e não foi considerada a possibilidade de 
fissuração de trechos do concreto do pavimento. As vigas do contorno foram admitidas 
como indeslocáveis, e foi desprezado o efeito da fluência do concreto. 
Além do exemplo mostrado, foram analisados outros sete casos de painéis de laje 
pré-moldados, com o objetivo de verificar a influência nos valores das reações nas vigas 
de apoio, da geometria do painel, da relação entre a rigidez das nervuras e da capa, da 
18 
 
deslocabilidade das vigas de apoio e da inércia da capa das vigas de contorno. Os 
resultados dessas análises são apresentados no quadro da figura 4.13. 
 
Figura 4.13 – Quadro comparativo dos resultados para os casos analisados 
(CARVALHO e FIGUEIREDO, 2001) 
Novamente foi empregadoo método das grelhas para a obtenção dos resultados, 
mantendo-se em todos os sete casos a mesma malha utilizada anteriormente. Os 
valores das ações nas vigas de apoio são apresentados na última coluna do quadro, 
sendo representados pela parcela, em porcentagem, do carregamento total que é 
transferido para as vigas paralelas às nervuras (vigas secundárias). 
Observa-se que a geometria da laje influi de forma significativa no caminho 
percorrido pelas cargas, visto na comparação dos casos 1-3 e 2-4. Quanto mais próxima 
da forma quadrada, maior a parcela de forças absorvidas pelas vigas paralelas às 
nervuras (vigas secundárias). 
A condição de fissuração da capa de concreto também desempenha importante 
papel no comportamento da laje. Com a capa fissurada, tem-se a diminuição do efeito 
da distribuição proporcionado por ela, reduzindo a parcela de carga nas vigas 
secundárias, conforme comparação dos casos 1-2 e 3-4. 
Nos últimos três casos pode-se concluir que o efeito da deslocabilidade é menos 
importante que o dos parâmetros anteriores, mas não é desprezível. Isso pode ser 
observado pela comparação dos casos 1-5 e 2-7. 
A influência da espessura da capa e da laje foi analisada por meio da comparação 
dos casos 5 e 6. Fica evidente que quanto maior a espessura da capa em relação à 
19 
 
espessura da laje, maior o efeito da distribuição das cargas, apresentando, nesta 
situação, uma variação bastante significativa. 
Como visto, não é possível admitir que as vigas secundárias (paralelas às 
nervuras) não recebem carga da laje. Em função dos valores obtidos no estudo 
realizado, CARVALHO e FIGUEIREDO (2001) propõem dois tipos de procedimento, 
chamados de processo simplificado e processo racional, para determinar a parcela de 
carga que é transmitida às vigas secundárias. 
No processo simplificado, admite-se que nas vigas perpendiculares às nervuras 
atue toda a carga proveniente da laje, e que nas vigas paralelas (secundárias) atue 25% 
dessa carga. 
No processo racional, admite-se que as ações nas vigas das duas direções 
dependem principalmente das dimensões da laje. Assim, a parcela da carga total que 
atua nas vigas é calculada pelas expressões: 
 
 
onde 
pv1 é a parcela da carga transmitida às vigas perpendiculares às nervuras; 
pv2 é a parcela da carga transmitida às vigas paralelas às nervuras; 
λ = ℓ2 / ℓ1; 
ℓ1 é o valor do vão na direção paralela às nervuras; 
ℓ2 é o valor do vão na direção perpendiculares às nervuras. 
 
No mesmo estudo, também pode-se observar o momento fletor nas regiões 
centrais para os três primeiros casos estudados, mostrado na figura 4.14, percebendo-
se que a placa apresenta novamente os menores valores e que os resultados da laje 
nervurada pré-moldada e dos elementos isolados estão relativamente próximos. 
20 
 
 
Figura 4.14 – Momento fletor para as três situações analisadas (CARVALHO e 
FIGUEIREDO, 2007) 
Portanto, os resultados anteriores mostram que é perfeitamente aceitável a 
consideração de lajes nervuradas unidirecionais comportando-se como elementos 
independentes, pois com essa simplificação o cálculo é feito a favor da segurança e 
bastante próximo da realidade, justificando o emprego de um modelo que consiste em 
um conjunto de vigas paralelas que trabalham praticamente independentes para o 
dimensionamento à flexão e à verificação do estado de deformação excessiva de uma 
laje nervurada unidirecional. 
 
4.3.3. Consideração como laje contínua 
A consideração da continuidade em um pavimento formado por lajes nervuradas 
treliçadas, de modo que o pavimento resista ao carregamento na seção de momento 
negativo, permite um dimensionamento mais econômico do que aquele feito com a 
consideração de elementos simplesmente apoiados, pois, com isso, há uma diminuição 
do momento fletor positivo, como mostrado na figura 4.15. 
 
21 
 
 
Figura 4.15 – Diagrama de momento fletor para lajes simplesmente apoiadas e 
lajes contínuas (DROPPA JÚNIOR, 1999) 
No entanto, em diversas situações o momento fletor negativo obtido segundo o 
cálculo linear da estrutura hiperestática é maior que o momento máximo resistido pela 
seção nesta região. Isso acontece principalmente em nervuras com seção transversal 
em forma de “T” devido à pequena área de concreto na região comprimida nos apoios 
(parte inferior), conforme mostrado na figura 4.16. Nas nervuras com seção “I”, a pré-
laje confere uma maior resistência a esses momentos, pois possui uma área maior de 
concreto na região comprimida. 
 
Figura 4.16 – Laje contínua, submetida a momentos fletores positivo e negativo 
(CARVALHO e FIGUEIREDO, 2001) 
Assim, em lajes contínuas, nem sempre é possível obter, junto aos apoios 
intermediários, regiões comprimidas suficientes para resistir ao momento negativo total 
encontrado pelo cálculo elástico, ocorrendo então a plastificação do concreto. 
Para explicar o que ocorre com a plastificação do concreto e o surgimento de 
rótula plástica no apoio, mostra-se na figura 4.17 uma laje unidirecional contínua com 
os diagramas de momento fletor considerando comportamento elástico e com 
plastificação na região do apoio. 
22 
 
 
Figura 4.17 – Diagramas de momentos elásticos e com plastificação no apoio 
central em uma laje unidirecional (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2001) 
Para o diagrama elástico, e para vãos iguais, temos a equação para o momento 
elástico no apoio: 
 
Se a seção no apoio for capaz de resistir a este momento, então o diagrama a ser 
considerado é o diagrama de momento elástico (linhas contínuas) apresentado na figura 
4.17, já conhecido e calculado da forma usual. Se a seção do apoio só for capaz de 
resistir a um momento fletor |Xplástico| < |Xelástico|, então o diagrama será o de momento 
com plastificação no apoio central (linhas tracejadas), que apresentará valores de 
momento positivo máximo no tramo Mplástico > Melástico, sendo necessário verificar a 
rotação no apoio. 
Uma prática usual, contudo incorreta e não permitida pela NBR 6118, é admitir 
que os elementos pré-fabricados sejam sempre simplesmente apoiados, o que resulta 
em momentos positivos maiores que em elementos contínuos. Desta maneira para uma 
mesma solicitação “p” resulta seção maior ou em limitação do vão a ser vencido devido 
também a deslocamentos maiores. 
Desta forma, é mais vantajoso considerar a continuidade, pois há uma melhor 
distribuição de momentos, com a redução dos positivos, possibilitando vencer vãos 
maiores. Assim, em pavimentos compostos de diversos painéis, sempre que a 
geometria permitir, as pré-lajes devem ser dispostas de modo a aproveitar o efeito da 
continuidade, com o esquema estático das nervuras aproximando-se ao de uma viga 
contínua hiperestática. 
23 
 
Para a solução do problema apontado, CARVALHO e FIGUEIREDO (2001) 
recomendam que seja adotado um trecho de seção maciça de concreto na região onde 
a seção nervurada não resiste ao momento negativo (figura 4.18). 
 
Figura 4.18 – Região de laje maciça (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2001) 
A largura do trecho maciço, após calculado o momento resistente MRd, é obtida 
encontrando-se o ponto no diagrama onde o momento resistente MR é igual ao momento 
solicitante M, conforme a figura 4.19. A distância “x” entre o apoio e este ponto pode ser 
encontrada igualando-se a equação do momento ao momento resistente, obtendo-se a 
expressão: 
 
onde 
MR = MRd / 1,4; 
R é reação no apoio, conforma a figura 4.19; 
x é a distância entre o apoio e o ponto onde o momento solicitante M é igual ao 
momento resistênte MR; 
p é a carga distribuída; 
24 
 
 
Figura 4.19 – Largura do trecho maciço (FLÓRIO, 2004) 
Assim,a largura do trecho maciço em cada lado do apoio central será obtida pela 
fórmula: 
 Lmaciço = L – x 
onde 
L é o comprimneto do vão, conforme a figura 4.19; 
x é a distância entre o apoio e o ponto onde o momento solicitante M é igual ao 
momento resistênte MR; 
 
4.4. Combinação de ações 
a) Estado-limite último (ELU) 
Segundo a NBR 6118 (2014), as ações devem ser majoradas pelo coeficiente γf, 
cujo valor é dado por: 
γf = γf1 ⋅ γf2 ⋅ γf3 
A combinação de ações no estado-limite último, para situações normais, é 
apresentada a seguir. Os valores dos coeficientes são obtidos nas tabelas 11.1 e 11.2 
da NBR 6118 (2014). 
 
onde 
 
 
25 
 
b) Estado-limite de serviço (ELS) 
No estado-limite de serviço o coeficiente de ponderação das ações é dado por: 
γf = γf2 
onde 
 
 ψ1 e ψ2 estão indicados na tabela 11.2 da NBR 6118 (2014). 
A combinação de ações no estado-limite de serviço, para combinações quase 
permanentes, é mostrada abaixo: 
Fd,ser = ΣFgi,k + Σ ψ2j·Fqj,k 
 
5. Requisitos gerais para dimensionamento, verificação e detalhamento 
5.1. Dimensões limites 
A NBR 6118 (2014), no item 13.2.4.2 apresenta as seguintes considerações para 
lajes nervuradas: 
a) Espessura da mesa (hf): 
- A espessura da mesa, quando não existirem tubulações horizontais embutidas, 
deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre as faces das nervuras (ℓo) e 
não menor que 4 cm. 
- O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm, quando 
existirem tubulações embutidas de diâmetro menor ou igual a 10 mm. Para 
tubulações com diâmetro Φ maior que 10 mm, a mesa deve ter a espessura 
mínima de 4 cm + Φ, ou 4 cm + 2Φ no caso de haver cruzamento destas 
tubulações. 
b) Espessura das nervuras (bw): 
- A espessura das nervuras não pode ser inferior a 5 cm. 
- Nervuras com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de 
compressão. 
26 
 
c) Espaçamento entre nervuras (intereixo): 
- para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, 
pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do 
cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios 
de laje. 
- para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, 
exige-se a verificação da flexão da mesa, e as nervuras devem ser verificadas 
ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o 
espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das 
nervuras for maior que 12 cm. 
- para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 
cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, 
respeitando-se os seus limites mínimos de espessura. 
A NBR 14860-1 (2002), apresenta as recomendações abaixo para lajes 
nervuradas unidirecionais com pré-lajes: 
a) Espessura da capa (hc): 
- Deve ser considerada como parte resistente se sua espessura for no mínimo 
igual a 3,0 cm. No caso da existência de tubulações, a espessura mínima da 
capa de compressão, acima destas, deve ser de no mínimo 2,0 cm, 
complementada, quando necessária, com armadura adequada à perda da 
seção resistente, observados os limites estabelecidos na tabela 5.1. 
- A tabela 5.1 apresenta as espessuras mínimas para a capa de concreto de 
acordo com a altura total da laje: 
27 
 
Tabela 5.1 – Altura total da laje e espessura mínima da capa (NBR 14860-1, 2002) 
 
b) Espessura das nervuras (bw): 
- As pré-lajes, quando montadas em conjunto com os elementos de enchimento, 
devem permitir a execução das nervuras (NL e NT) de concreto complementar 
com largura mínima de 4,0 cm e atender ao disposto na NBR 6118 (NBR 
14860-1, 2002). 
 
5.2. Deslocamentos-limites 
Segundo a NBR 6118 (2014), item 13.3, o deslocamento-limite para o efeito da 
aceitabilidade visual é determinado conforme a tabela 5.2. 
Tabela 5.2 – Limites para deslocamentos (NBR 6118, 2014) 
 
 
 
 
28 
 
5.3. Dimensionamento, verificação e detalhamento 
5.3.1. Armadura longitudinal 
A NBR 14860-1 (2002) indica que a armadura longitudinal deve ser distribuída 
pelas pré-lajes, sendo que pelo menos 50% da seção da armadura deve ser mantida 
até os apoios, obedecendo ao disposto na NBR 6118. 
Para o cálculo da armadura longitudinal, é preciso determinar a posição da linha 
neutra, x, através do cálculo de kmd com a largura colaborante bf, conforme apresentado 
abaixo: 
x = kx·d 
onde 
kx = 1,25 - (1,563 – 3,676·kmd)1/2; 
d é a altura útil; 
 
MSd é o momento solicitante de cálculo; 
bf é a largura colaborante da mesa; 
fcd = fck / 1,4; 
fck é a resistência característica à compressão do concreto. 
Se 0,8x for menor que a altura da mesa hf, então a linha neutra passa pela mesa, 
e a armadura é calculada pela fórmula: 
 
onde 
MSd é o momento solicitante de cálculo; 
kz = 1 – 0,4·kx; 
d é a altura útil; 
fyd = fy/1,4. 
Caso contrário, a linha neutra está na nervura, e a viga é calculada como seção 
“T”, tendo sua armadura calculada utilizando as expressões a seguir: 
MMd = 0,85·fcd·(bf - bw)·hf·(d – hf/2) 
29 
 
MNd = MSd - MMd 
 
 
onde 
MMd é o momento resistido pela mesa; 
MNd é o momento resistido pela nervura; 
MSd é o momento solicitante de cálculo; 
bf é a largura colaborante da mesa; 
bw é a largur da nervura; 
hf é a espessura da mesa. 
 
5.3.2. Verificação do momento fletor negativo resistente 
O máximo momento fletor resistido pela nervura se dá entre os domínios 3 e 4 
(x=x34), quando ocorre a ruptura do concreto com o escoamento do aço. Assim, para se 
calcular o valor do momento resistente, primeiro determina-se o valor da linha neutra 
conforme a fórmula abaixo: 
x = x34 = [3,5 / (3,5 + εyd)]·d 
onde 
εyd é a deformação específica de escomento do aço; 
εyd = 2,07 para aço CA-50; 
εyd = 2,48 para aço CA-60; 
d é a altura útil. 
Devendo ser obedecidos os limites: 
x ≤ 0,45·d, para concretos com fck ≤ 50 MPa; 
x ≤ 0,35·d, para concretos com 50 MPa ≤ fck ≤ 90 MPa. 
Para a determinação do momento resistente da seção, conhecida a largura bf da 
capa de concreto, que contribui para resistir aos esforços aplicados, e a posição da linha 
neutra x, tem-se que para 0,8x ≤ hf: 
30 
 
MRd = 0,85·fcd·bw·0,8·x34· (d - 0,4·x34) 
E para 0,8x ≥ hf temos: 
MRd = 0,85·fcd·(bf - bw)·hf·(d – hf/2) + 0,85·fcd·bw·0,8·x34·(d - 0,4·x34) 
onde 
fcd = fck / 1,4; 
fck é a resistência característica à compressão do concreto; 
bw é largura da alma da nervura; 
bf é largura colaborante da mesa; 
hf é a espessura da mesa. 
 
5.3.3. Verificação da força cortante 
De acordo com o item 19.4.1 da NBR 6118 (2014), as lajes nervuradas podem 
prescindir de armadura transversal para resistir as forças de tração oriundas da força 
cortante, quando a força cortante de cálculo, a uma distância d da face do apoio, 
obedecer à expressão: 
VSd ≤ VRd1 
Sendo a força cortante resistente de cálculo dada por: 
 
onde 
 
 
31 
 
 
 
5.3.4. Armadura de distribuição 
Segundo a NBR 14860-1 (2002), deve haver uma armadura de distribuição, 
colocada na capa de concreto complementar, com seção de no mínimo 0,9 cm2/m para 
aços CA-25 e de 0,6 cm2/m para os aços CA-50 e CA-60, contendo pelo menos três 
barras por metro, conforme o descrito na tabela 5.3. 
Tabela 5.3: Área mínima e armadura de distribuição (NBR 14860-1, 2002) 
 
 
5.3.5. Cobrimento 
Segundo a NBR 6118 (2014) os cobrimentos que devem ser considerados são os 
cobrimentos nominais, definidos pela expressão: 
cnom = Δc + cmín 
Nas obras correntes, o valor de Δc deve ser maior ou iguala 10 mm. Entretanto, 
quando houver um controle adequado de qualidade e limites rígidos de tolerância da 
variabilidade das medidas durante a execução, pode ser adotado o valor Δc = 5 mm, 
mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. 
Assim, para as pré-lajes pré-fabricadas (moldadas num processo industrial, com 
controle de qualidade adequado), permite-se a redução dos cobrimentos nominais em 
5 mm. 
O valor do cobrimento nominal e a classe de agressividade ambiental são 
definidos nas tabelas 7.2 e 7.1 da NBR 6118 (2014) respectivamente. 
32 
 
6. Estudo de caso 
6.1. Considerações gerais 
O estudo a seguir foi baseado num caso real de um edifício residencial 
multifamiliar de 8 pavimentos, sendo 5 pavimentos-tipo, com 12 apartamentos por 
andar. A estrutura é formada por pilares e vigas em concreto armado moldados no local 
e lajes nervuradas treliçadas unidirecionais com EPS. Os vãos variam de 1,40 a 6,10 
metros, as lajes possuem altura total entre 12 e 16 centímetros, com pré-lajes de 25 
centímetros de largura. O pavimento analisado é mostrado na figura 6.1. 
 
 
Figura 6.1 – Pavimento analisado 
 
 
33 
 
6.2. Escolha das pré-lajes 
A altura das lajes pode ser determinada, em um pré-dimensionamento, utilizando 
as tabelas fornecidas pelos fabricantes das pré-lajes. As pré-lajes adotadas possuem 
largura de 25 cm. A seguir são apresentadas, nas figuras 6.2, 6.3 e 6.4, as 
especificações fornecidas pelo fabricante. 
 
Figura 6.2 – Tabela de vãos limites (vãos em metros – Catálogo Volterrana) 
 
 
Figura 6.3 – Tabela de pré-lajes (Catálogo Volterrana) 
 
 
Figura 6.4 – Dimensões da laje (Catálogo Volterrana) 
 
34 
 
Como o maior vão possui 6,10 m, e considerando-se uma sobrecarga de 300 
kg/m², pela tabela do fabricante mostrada na figura 6.2, adotou-se pré-lajes P-12 
(PLT12) para vãos de até 4,75 m e P-16 (PLT16) para vãos maiores que 4,75 m. As pré-
lajes adotadas e suas direções no pavimento estão indicadas na figura 6.5. 
Figura 6.5 – Dimensões das lajes (cotas em centímetros), altura e direção das 
pré-lajes 
 
 
 
 
 
35 
 
6.3. Parâmetros para a análise estrutural 
6.3.1. Largura colaborante 
A largura colaborante é determinada conforme mostrado no item 4.2. O máximo 
valor para a largura bf, tanto para PLT12 e PLT16, é dado por: 
bw = 10 cm 
b2 = 15 cm 
b1 ≤ 0,5 b2 = 7,5 cm 
bf ≤ b1 + bw + b1 = 25 cm 
Considerando que o menor vão, na direção transversal às nervuras, entre todas 
as lajes, é igual a 140 cm, temos a menor largura colaborante: 
a = amín = 140 cm (laje simplesmenste apoiada) 
bf = bw + 0,10a = 10 + 0,10 ˣ 140 = 24 cm 
Para simplificação dos cálculos, será adotada a largura colaborante bf igual a 25 
cm, mesma largura das pré-lajes, para todas as lajes. 
 
6.3.2. Propriedades dos materiais 
Os seguintes valores relativos às propriedades dos materiais foram utilizados na 
análise e no dimensionamento das estruturas: 
- resistência à compressão do concreto: fck = 30 MPa; 
- módulo de deformação secante: Ecs = 27 GPa; 
- resistência ao escoamento do aço: CA-50 com fyk = 500 MPa e CA-60 com fyk 
= 600 MPa; 
- coeficiente de Poisson: ν = 0,2; 
- peso específico do concreto = 25 kN/m³. 
Observação: o peso específico do elemento de enchimento EPS, igual a a 0,17 
kN/m³, foi desconsiderado, pois possui valor desprezível comparado aos demais 
materiais. 
 
 
 
36 
 
6.3.3. Propriedades geométricas 
As dimensões das nervuras são mostradas na figura 6.6. Para todas as vigas de 
contorno adotou-se uma seção de 15 cm x 50 cm. 
O momento de inércia à flexão e à torção apresentados a seguir foram calculados 
de acordo com as considerações apresentadas no item 4.3.1. Para a inércia à torção 
das nervuras adotou-se 15% da inércia à torção elástica, considerando a fissuração das 
nervuras. Já a inércia à torção das vigas de contorno foi desprezada. 
 
Figura 6.6 – Dimensões das nervuras 
a) Nervura PLT12: 
área da seção transversal = 2,25 × 10-2 m2 
inércia à flexão = 3,419 × 10-5 m4 
inércia à torção elástica = 2,268 × 10-5 m4 
inércia à torção utilizada = 0,15 × 2,268 × 10-5 = 0,340 × 10-5 m4 
b) Nervura PLT16: 
área da seção transversal = 2,65 × 10-2 m2 
inércia à flexão = 7,571 × 10-5 m4 
inércia à torção elástica = 3,553 × 10-5 m4 
inércia à torção utilizada = 0,15 × 3,553 × 10-5 = 0,533 × 10-5 m4 
c) Capa (4 cm x 25 cm): 
área da seção transversal = 1,00 × 10-2 m2 
inércia à flexão = 0,1333333 × 10-5 m4 
37 
 
inércia à torção utilizada = 0,2666667 × 10-5 m4 
 
6.3.4. Carregamentos 
A sobrecarga aplicada à estrutura foi determinada de acordo com a NBR 6120 
(1980). As cargas consideradas foram: 
- carga acidental de 1,5 kN/m²; 
- carga de revestimento de 0,5 kN/m²; 
- carga das paredes de 1,0 kN/m². 
O peso próprio das lajes foi obtido através do catálogo do fabricante (figura 6.4). 
As lajes com altura de 12 cm têm peso próprio de 2,25 kN/m² e as com 16 cm têm peso 
próprio de 2,65 kN/m². 
As cargas lineares distribuídas calculadas a seguir foram aplicadas nas barras 
longitudinais, que representam as pré-lajes treliçadas. 
a) Carga aplicada nas lajes PLT12: 
cargas permanentes = 2,25 + 1,0 + 0,5 = 3,75 kN/m² 
carga acidental = 1,5 kN/m² 
carga permanente linear distribuída = 3,75 × 0,25 = 0,81 kN/m 
carga acidental linear distribuída = 1,5 × 0,25 = 0,38 kN/m 
b) Carga aplicada nas lajes PLT16: 
cargas permanentes = 2,65 + 1,0 + 0,5 = 4,15 kN/m² 
carga acidental = 1,5 kN/m² 
carga permanente linear distribuída = 4,15 × 0,25 = 1,04 kN/m 
carga acidental linear distribuída = 1,5 × 0,25 = 0,38 kN/m 
c) Combinações das ações para os estados-limites: 
combinação no ELU: 1,4·Fg + 1,4·Fq 
combinação no ELS: 1,0·Fg + 1,0 × 0,3·Fq 
 
 
38 
 
6.4. Análise estrutural 
As lajes deste pavimento foram analisadas por 3 métodos diferentes: no programa 
Ftool (análise bidimensional), no programa SAP2000 com vigas independentes e no 
SAP2000 considerando a capa de concreto (na direção transversal). Foram utilizados 
os mesmos parâmetros nas 3 análises, conforme calculado anteriormente. 
 Para se comparar os resultados das análises, foram selecionadas 3 seções 
(faixas) das lajes, as seções B, D e E. Os modelos estruturais utilizados são mostrados 
a seguir. 
 
6.4.1. Modelo estrutural – Ftool 
O programa Ftool realiza uma análise bidimensional da estrutura. 
 
 
 Figura 6.7 – Vigas da seção B (lajes L26-L21-L19-L15-L11-L6) 
 
 
Figura 6.8 – Vigas da seção D (lajes L28-L29-L30-L31-L32) 
 
 
Figura 6.9 – Vigas da seção E (lajes L24-L22-L25) 
 
 
 
 
 
 
39 
 
6.4.2. Modelo estrutural – SAP2000 com vigas independentes 
No modelo estrutural com vigas independentes as nervuras são representadas 
pelas barras longitudinais (figura 6.10), não sendo considerada nesta análise o efeito da 
capa de concreto. As barras possuem um espaçamento igual à largura colaborante 
calculada, de 25 cm. 
 
 
Figura 6.10 – Modelo estrutural SAP2000 com vigas independentes 
 
 
 
 
 
40 
 
6.4.3. Modelo estrutural – SAP2000 considerando a capa de concreto 
Neste modelo, além das barras longitudinais, foram modeladas barras 
transversais para representar a capa de concreto, como mostrado na figura 6.11. Assim 
como as barras longitudinais, as transversais também possuem um espaçamento de 25 
cm. 
 
Figura 6.11 – Modelo estrutural SAP2000 considerando a capa de concreto 
 
6.5. Comparação dos resultados 
Na análise realizada, os deslocamentos são maiores quando os elementos 
trabalhamisoladamente, o que já era esperado, conforme visto no item 4.3.2. Além 
disso, não houve grande variação no esforço cortante entre os modelos. Assim, a seguir 
apresentam-se apenas os diagramas de momentos fletores obtidos nas análises. 
 
41 
 
a) Para a seção B (lajes L26-L21-L19-L15-L11-L6): 
A partir dos diagramas abaixo, pode-se ressaltar que tanto a análise no Ftool, 
quanto a no SAP2000 com vigas independentes apresentam esforços maiores (a favor 
da segurança), quando comparadas com a análise considerando o efeito da capa de 
concreto. Observa-se também na figura 6.14 que a capa de concreto não produz um 
momento negativo significativo nas bordas das lajes. 
A modelagem da estrutura no Ftool considera os pontos de apoio indeslocáveis, 
o que não é feito no SAP2000, em que as vigas de contorno das lajes também sofrem 
deformações, produzindo momentos negativos menores nos modelos do SAP2000. 
 
Figura 6.12 – Diagrama de momentos fletores no Ftool (valores em kN·m) 
 
 
Figura 6.13 – Diagrama de momentos fletores no SAP2000 com vigas 
independentes (valores em kN·m) 
 
Figura 6.14 – Diagrama de momentos fletores no SAP2000 considerando a capa 
de concreto (valores em kN·m) 
 
 
 
42 
 
b) Para a seção D (lajes L28-L29-L30-L31-L32): 
Nesta seção comparando os dois primeiros modelos, que não consideram a capa, 
com o último, fica claro que nas lajes que possuem um vão transversal pequeno, o efeito 
da capa é mais significativo, reduzindo bastante os momentos solicitantes. 
 
 
Figura 6.15 – Diagrama de momentos fletores no Ftool (valores em kN·m) 
 
 
Figura 6.16 – Diagrama de momentos fletores no SAP2000 com vigas 
independentes (valores em kN·m) 
 
 
Figura 6.17 – Diagrama de momentos fletores no SAP2000 considerando a capa 
de concreto (valores em kN·m) 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
c) Para a seção E (lajes L24-L22-L25): 
Novamente, pela figura 6.20, percebe-se que o momento negativo provocado pela 
capa nas bordas das lajes ainda é pequeno, neste caso podendo ser resistido apenas 
pelo banzo superior da armadura treliça. 
 
 
Figura 6.18 – Diagrama de momentos fletores no Ftool (valores em kN·m) 
 
 
Figura 6.19 – Diagrama de momentos fletores no SAP2000 com vigas 
independentes (valores em kN·m) 
 
 
 
Figura 6.20 – Diagrama de momentos fletores no SAP2000 considerando a capa 
de concreto (valores em kN·m) 
 
 
44 
 
7. Exemplo de dimensionamento 
7.1. Análise estrutural utilizada 
Neste exemplo foi dimensionado a partir da análise com vigas independentes no 
SAP2000 feita no capítulo anterior. Esta análise estrutural apresentou resultados a favor 
da segurança e próximos ao modelo considerando a capa de concreto. 
 
7.2. Resultados da análise 
7.2.1. Momentos fletores 
Nas tabelas 7.1 e 7.2 estão apresentados os máximos valores obtidos na análise 
para os momentos fletores positivo e negativo para a combinação do ELU. 
Tabela 7.1 – Máximo momento fletor positivo 
 
 
Tabela 7.2 – Máximo momento fletor negativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Para melhor ilustrar os momentos fletores solicitantes nas diversas lajes, além dos 
diagramas já apresentados no capítulo 6, são mostrados os diagramas de momentos 
de outras 5 seções, além da B, D e E. A posição de cada uma destas seções é mostrada 
na figura 7.1. 
 
 
Figura 7.1 – Posição das seções 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Nas figuras 7.2 a 7.8 são mostrados os diagramas de momentos fletores para 
cada seção, obtidos com o programa SAP2000. 
 
Figura 7.2 – Diagrama de momento fletor da seção ‘A’ (valores em kN·m) 
 
 
Figura 7.3 – Diagrama de momento fletor da seção ‘B’ (valores em kN·m) 
 
 
Figura 7.4 – Diagrama de momento fletor da seção ‘C’ (valores em kN·m) 
 
 
Figura 7.5 – Diagrama de momento fletor da seção ‘D’ (valores em kN·m) 
 
47 
 
 
Figura 7.6 – Diagrama de momento fletor da seção ‘E’ (valores em kN·m) 
 
 
Figura 7.7 – Diagrama de momento fletor da seção ‘F’ (valores em kN·m) 
 
Figura 7.8 – Diagrama de momento fletor da seção ‘G’ (valores em kN·m) 
 
 
 
 
 
 
48 
 
7.2.2. Esforço cortante 
Os máximos esforços cortantes obtidos da análise estrutural, para as lajes PLT12 
e PLT16, são mostrados na tabela 7.3. 
Tabela 7.3 – Máximo esforço cortante 
 
 
7.2.3. Deslocamentos 
A estrutura deformada, para a combinação de ações no estado-limite de serviço, 
é mostrada na figura 7.9. 
 
 
Figura 7.9 – Estrutura deformada 
 
49 
 
Os deslocamentos verticais das lajes obtidos na análise computacional, no ELS, 
são mostrados na tabela 7.4. 
Tabela 7.4 – Deslocamentos verticais 
 
 
7.3. Dimensionamento 
7.3.1. Verificação do momento negativo resistente 
O momento negativo resistente deve ser comparado com o máximo momento 
solicitante, em lajes PLT12 e PLT16. Caso o momento resistente MRd seja menor que o 
momento solicitante na nervura MSd, deve ser empregado um trecho maciço de concreto 
na região do apoio, conforme visto no item 4.3.3. 
a) Lajes PLT12 
Máximo momento negativo solicitante: 
MSd = -5,66 kN·m 
Cálculo do momento negativo resistente: 
εs = 2,07 (CA-50); d = 0,10 m; fck = 30 MPa; bw = 0,10 m; bf = 0,25 m; 
x = x34 = [3,5 / (3,5 + εs)] × 10 = 6,3 cm > 0,45·d = 4,5 cm 
50 
 
0,8x = 0,8 × 4,5 = 3,6 cm > hf = 3 cm → L.N. na nervura 
MRd = 0,85·fcd·(bf - bw)·hf·(d – hf/2) + 0,85·fcd·bw·0,8·x34·(d - 0,4·x34) 
MRd = 12,3 kN·m > MSd → OK (não é necessário o trecho de laje maciça) 
b) Lajes PLT16 
Máximo momento negativo solicitante: 
MSd = -9,51 kN·m 
Cálculo do momento negativo resistente: 
εs = 2,07 (CA-50); d = 0,14 m; fck = 30 MPa; bw = 0,10 m 
x = x34 = [3,5 / (3,5 + εs)] × 14 = 8,8 cm > 0,45·d = 6,3 cm 
0,8x = 5,0 cm > hf = 3 cm → L.N. na nervura 
MRd = 0,85·fcd·(bf - bw)·hf·(d – hf/2) + 0,85·fcd·bw·0,8·x34·(d - 0,4·x34) 
MRd = 20,8 kN·m > MSd → OK (não é necessário o trecho de laje maciça) 
 
7.3.2. Cálculo da armadura negativa 
Visto que os dois tipos de nervuras, PLT12 e PLT16, resistem aos máximos 
momentos negativos impostos (verificado no item anterior), nesta etapa calculou-se a 
armadura necessária para resistir a esses esforços. Para tal, foram consideradas 3 
regiões: apoios intermediários das seções A, B e C; apoios intermediários das seções 
D, E e F; e apoios intermediários da seção G. 
a) Nos apoios intermediários das seções A, B e C: 
bf = 0,25; d = 0,10 m (PLT12); 
MSd = 3,35 kN·m (figura 7.3) 
 
kmd = 3,35 / [0,25 × 0,10² × (30000/1,4)] = 0,063 
kz = 0,962 
kx = 0,095 
x = kx·d = 0,095 × 10 = 0,95 cm 
0,8x = 0,76 cm < hf = 3 cm → L.N. passa pela mesa 
51 
 
 
As = 3,35 / [0,962 × 0,10 × (50/1,15)] = 0,80 cm²/nervura = 3,20 cm²/m 
Adotado: Φ 10 mm c/ 20 cm (3,93 cm²/m) 
 
Figura 7.10 – Esquema para armadura negativa nas seções A, B e C 
 
b) Nos apoios intermediários das seções D, E e F: 
bf = 0,25; d = 0,14 m (PLT16); 
MSd = 6,98 kN·m (figura 7.7) 
 
kmd = 6,98 / [0,25 × 0,14² × (30000/1,4)] = 0,066 
kz = 0,959 
kx = 0,102 
x = kx·d = 0,102 × 14 = 1,43 cm 
0,8x = 1,14 cm < hf = 3 cm → L.N. passa pela mesa 
 
As = 6,98 / [0,959 × 0,14 × (50/1,15)] = 1,20 cm²/nervura = 4,80 cm²/m 
Adotado: Φ 10 mm c/ 12,5 cm (6,28 cm²/m) 
 
Figura 7.11 – Esquema para armadura negativa nas seções D, E e F 
 
 
52 
 
c) No apoio intermediário da seção G: 
bf = 0,25; d = 0,10 m (PLT12); 
MSd = 5,48 kN·m (figura 7.8) 
 
kmd = 5,48 / [0,25 × 0,10² × (30000/1,4)] = 0,102 
kz = 0,936 
kx = 0,161 
x = kx·d = 0,161 × 10 =1,61 cm 
0,8x = 1,29 cm < hf = 3 cm → L.N. passa pela mesa 
 
As = 5,48 / [0,936 × 0,10 × (50/1,15)] = 1,35 cm²/nervura = 5,40 cm²/m 
Adotado: Φ 10 mm c/ 12,5 cm (6,28 cm²/m) 
 
Figura 7.12 – Esquema para armadura negativa na seção G 
 
7.3.3. Cálculo da armadura positiva 
A armadura positiva foi calculada para os máximos momentos positivos nas lajes 
PLT12 e PLT16. Para as lajes PLT12, adotou-se uma treliça com 8 cm de altura, e 2 
barras de 5 mm, e nas lajes PLT16 com 12 cm de altura e 2 barras de 6 mm. Quando a 
armadura das treliças não é suficiente, utiliza-se uma armadura adicional. 
a) Lajes PLT12: 
MSd = 3,85 kN·m 
 
kmd = 3,85 / [0,25 × 0,10² × (30000/1,4)] = 0,072 
kz = 0,956 
53 
 
kx = 0,110 
x = kx·d = 0,110 × 10 = 1,10 cm 
0,8x = 0,88 cm < hf = 4 cm → L.N. passa pela mesa 
 
As = 3,85 / [0,956 × 0,10 × (60/1,15)] = 0,77 cm²/nervura 
Adotado: 4 Φ 5 mm (0,79 cm²) – treliça TR 08645, com 2 barras de 5,0 mm no 
banzo inferior e armadura adicional com 2 barras de 5,0 mm. 
b) Lajes PLT16: 
MSd = 9,24 kN·m 
 
kmd = 9,24 / [0,25 × 0,14² × (30000/1,4)] = 0,088 
kz = 0,945 
kx = 0,137 
x = kx·d = 0,137× 14 = 1,92 cm 
0,8x = 1,54 cm < hf = 4 cm → L.N. passa pela mesa 
 
As = 9,24 / [0,945 × 0,14 × (60/1,15)] = 1,34 cm²/nervura 
Adotado: 5 Φ 6 mm (0,85 cm²) – treliça TR 12646, com 2 barras de 6,0 mm no 
banzo inferior e armadura adicional com 3 barras de 6,0 mm. 
 
7.3.4. Armadura de distribuição 
Para a armadura de distribuição, a NBR 14860-1 (2002), recomenda o valor 
mínimo de 0,6 cm²/m. Assim, pode-se adotar uma tela soldada nervurada com as 
seguintes especificações: 
- aço CA-60 
- diâmetro das barras = 3,4 mm 
- seção do fio = 0,091 cm² 
- espaçamento = 15 cm 
54 
 
- seção por metro = 0,091 cm² / 0,15 m = 0,61 cm²/m > 0,6 cm²/m → OK 
 
7.3.5. Verificação da força cortantes 
A força cortante solicitante no ELU, VSd, deve ser verificada. Caso VSd seja menor 
que VRd1, as lajes podem-se prescindir de armadura transversal. 
a) Lajes PLT12: 
VSd = 4,62 kN 
 
fctk,inf = 0,7 × 0,3 × fck2/3 = 2,028 MPa 
fctd = fctk,inf/ɣc = 2,028/1,4 = 1,448 MPa 
τRd = 0,25 ˣ 1,448 = 0,362 MPa 
k = |1,6 – 0,10| = 1,5 
ρ1 = 0,39 / (25 × 10) = 0,00156 
σcp = 0 
bw = 0,25 m 
d = 0,10 m 
VRd1 = 17,1 kN > VSd → OK 
b) Lajes PLT16: 
VSd = 7,62 kN 
 
fctk,inf = 0,7 × 0,3 × fck2/3 = 2,028 MPa 
fctd = fctk,inf/ɣc = 2,028/1,4 = 1,448 MPa 
τRd = 0,25 ˣ 1,448 = 0,362 MPa 
k = |1,6 – 0,14| = 1,46 
ρ1 = 0,85 / (25 × 14) = 0,00243 
σcp = 0 
bw = 0,25 m 
55 
 
d = 0,14 m 
VRd1 = 24,0 kN > VSd → OK 
 
7.3.6. Verificação dos deslocamentos 
A tabela 7.5 apresenta os máximos deslocamentos verticais obtidos na análise 
estrutural e também os valores limites obtidos por ℓ/250. Em nenhuma laje o 
deslocamento obtido foi maior que o limite. 
Tabela 7.5 – Deslocamentos nas lajes 
 
 
8. Conclusão 
A construção civil passa por um processo de modernização e implantação de 
novas tecnologias, visando a racionalização dos processos de construção. Os 
elementos pré-fabricados são soluções muito competitivas em relação aos métodos 
tradicionais utilizados na construção, combinando maior rapidez, economia e qualidade. 
Apesar das lajes pré-fabricadas serem utilizadas desde muito tempo, ainda há 
poucos estudos sobre o assunto. Além disso, poucos autores abordam a discussão dos 
processos de determinação dos esforços e deslocamentos dessas lajes. Contudo, como 
mostrado no capítulo 4, há uma série de hipóteses que podem ser feitas que levarão a 
resultados distintos. 
56 
 
Neste trabalho foi apresentada uma visão geral dos aspectos relativos ao projeto 
estrutural de lajes nervuradas unidirecionais formadas com pré-lajes treliçadas. 
Procurou-se comparar os modelos de cálculo utilizados na análise estrutural, e também 
expor os conceitos do dimensionamento, das verificações e do detalhamento deste tipo 
de laje. 
Assim como todo produto técnico, a compra das lajes treliçadas deve ser objeto 
de especificação por profissional especializado, nesse caso o projetista estrutural. 
Entretanto, é comum o projetista especificar apenas a altura da laje, deixando a cargo 
do fornecedor a definição do dimensionamento das pré-lajes. Como o desempenho da 
estrutura depende do conjunto de elementos que a compõe e não de itens isolados, é 
necessário que o projetista especifique também o tipo de treliça desejado e, se 
necessário, armaduras adicionais para compor o painel treliçado. 
Para finalizar ressalta-se a importância de uma adequada análise estrutural nas 
lajes, principalmente no que diz respeito às deformações, que em muitos casos é o fator 
limitante, tornando-se fundamental em arranjos com grandes vãos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
9. Referências bibliográficas 
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