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1 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA 
GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
 
CADERNOS UNIVERSITÁRIOS 
568 
 
 
2017
6 
PROF. MS. ÁUREO LUIZ FIGUEIREDO MARTINS 
 
 
2 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
 
3 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 4 
1. RAZÃO, PROPORÇÃO, MÉDIA ARITMÉTICA E REGRA DE SOCIEDADE 5 
1.1 RAZÃO ................................................................................................................................................................................................. 6 
1.2 PROPORÇÃO ....................................................................................................................................................................................... 6 
1.3 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA ...................................................................................................................................... 8 
1.4 REGRA DE SOCIEDADE ......................................................................................................................................................................... 9 
1.5 E 1.6. INTRODUÇÃO A CALCULADORACIENTÍFICA E A CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C ....................................................... 12 
1.7 ATIVIDADES .................................................................................................................................................................................. 16 
 
2. GRANDEZAS E REGRA DE TRÊS 18 
2.1 GRANDEZAS....................................................................................................................................................................................... 19 
2.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES .................................................................................................................................................................. 19 
2.3 REGRA DE TRES COMPOSTA.............................................................................................................................................................. 20 
2.4 ATIVIDADES .................................................................................................................................................................................. 24 
 
3. PORCENTAGEM 25 
3.1 PORCENTAGEM ................................................................................................................................................................................. 26 
3.2 ABATIMENTOS E AUMENTOS SUCESSIVOS .................................................................................................................................... 30 
3.3 OPERACOES DE COMCRA E VENDA COM PORCENTAGEM .................................................................................................................... 31 
3.4 ATIVIDADES .................................................................................................................................................................................. 34 
 
4. JUROS SIMPLES 36 
4.1 CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES ........................................................................................................................................................... 37 
4.2 CÁLCULO DO MONTANTE ................................................................................................................................................................. 38 
4.3 TABELA DE CONTAGEM DE DIAS ..................................................................................................................................................... 42 
4.4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JURO SIMPLES................................................................................................................................. 47 
4.5 ATIVIDADES .................................................................................................................................................................................. 49 
 
5. JUROS COMPOSTOS 50 
5.1 COMPARANDO JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS ....................................................................................................................... 51 
5.2 CÁLCULO DO MONTANTE OU VALOR FUTURO .................................................................................................................................. 52 
5.3 CÁLCULO DO CAPITALOU VALOR PRESENTE ........................................................................................................................... 52 
5.4 CÁLCULO DO JURO COMPOSTOS ........................................................................................................................................................ 53 
5.5 CÁLCULO DA TAXA DE JUROS ................................................................................................................................................... 55 
5.6 CÁLCULO DO PRAZO ................................................................................................................................................................... 56 
5.7 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JUROS COMPOSTOS .................................................................................................................... 57 
5.8 PERÍODOS NÃO INTEIROS ............................................................................................................................................................... 63 
5.9 ATIVIDADES ....................................................................................................................................................................................... 64 
 
6. TAXAS DE JUROS 65 
6.1 TAXAS EQUIVALENTES ............................................................................................................................................................... 66 
6.2 TAXAS NOMINAIS EM TAXAS EFETIVAS ............................................................................................................................................ 67 
6.3 TAXAS NOMINAIS EM TAXAS EFETIVAS EQUIVALENTES ............................................................................................................. 67 
6.4 TAXA DE JUROS ACUMULADA ................................................................................................................................................... 70 
6.5 TAXA DE JUROS MÉDIA ............................................................................................................................................................... 72 
6.6 TAXA DE JUROS APARENTE E REAL ......................................................................................................................................... 73 
6.7 ATIVIDADES ...................................................................................................................................................................................... 75 
 
7. DESCONTOS 77 
7.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL, BANCÁRIO OU POR FORA .............................................................................................................. 79 
7.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU POR DENTRO.............................................................................................................................. 81 
7.3 DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL ................................................................................................................................................. 82 
7.4DESCONTO COMPOSTO RACIONAL .................................................................................................................................................... 82 
7.5 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS........................................................................................................................................................... 83 
7.6 ATIVIDADES ...................................................................................................................................................................................... 86 
 
8. SÉRIES FINANCEIRAS 87 
8.1 SÉRIES FINANCEIRAS POSTECIPADAS .................................................................................................................................... 88 
8.2 SÉRIES FINANCEIRA ANTECIPADAS ..................................................................................................................................... 100 
8.3 SÉRIES FINANCEIRAS DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA ..................................................................................................... 108 
8.4 ATIVIDADES ................................................................................................................................................................................... 127 
 
9. COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO 129 
9.1 AMORTIZAÇÃO POSTECIPADA ........................................................................................................................................................ 130 
9.2 AMORTIZAÇÃO ANTECIPADA ......................................................................................................................................................... 132 
9.3 AMORTIZAÇÃO DIFERIDA OU COM CARÊNCIA ................................................................................................................................. 134 
9.4 ATIVIDADES ................................................................................................................................................................................... 137 
 
10. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 138 
10.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF) ................................................................................................................ 139 
10.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) .......................................................................................................... 145 
10.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) ..................................................................................................................... 148 
10.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) .......................................................................................................... 148 
 10.5 ATIVIDADES ............................................................................................................................................................................... 151 
 
EXERCÍCIOS DE REVISAO DE G1 .................................................................................................................................................................................. 153 
EXERCÍCIOS DE REVISAO DE G2 ................................................................................................................................................................................... 155 
ATIVIDADES SEMIPRESENCIAIS ................................................................................................................................................................................... 158 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................................................................................................. 163 
TABELA DE CONTAGEM DE DIAS E FORMULARIO ............................................................................................................................................. 164 
 
 
4 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
 Este caderno universitário foi elaborado visando atender às necessidades dos alunos 
da disciplina de Matemática para Gestão de Negócios dos Cursos de Graduação Tecnológica 
presencial e à distância, com base na experiência acumulada em ministrar disciplinas no 
Departamento de Matemática da Universidade Luterana do Brasil. 
 A disciplina visa desenvolver os fundamentos da Matemática Financeira, buscando 
capacitar os profissionais naquilo que realmente interessa a eles: a resolução rápida e 
correta de certos problemas financeiros do seu cotidiano, com a utilização dos cálculos 
matemáticos e com o uso de calculadoras científicas ou financeiras. 
 Dividimos este caderno em dez capítulos com os conteúdos previstos no plano de 
ensino da referida disciplina, segundo as competências e habilidades a serem exigidas e 
desenvolvidas pelos acadêmicos. 
 No primeiro capítulo preparamos uma revisão de razão, proporção, regra de 
sociedade, medias aritmética simples e ponderada. No segundo, apresentamos regra de 
três simples e composta e, no terceiro, porcentagem e as operações de compra e venda 
que utilizam porcentagem. No quarto, quinto e sexto capítulo, apresentamos o estudo dos 
Juros Simples, dos Juros Compostos e das Taxas de Juros, respectivamente. 
 No sétimo capítulo apresentamos o estudo dos Descontos, o oitavo capítulo é 
dedicado ao estudo das Séries Financeiras, o nono capítulo aos Coeficientes de 
Financiamento e o décimo capítulo aos Sistemas de Amortização mais utilizados na prática. 
 Contém exercícios resolvidos e propostos elaborados em situações do cotidiano, com 
a introdução do uso da Calculadora Financeira HP 12C, apresentados de forma a facilitar a 
compreensão dos conceitos, bem como disponibiliza uma listagem de atividades a serem 
trabalhadas em sala de aula e como atividade semipresencial, com questões do ENEM e do 
ENAD e de Concursos Públicos. 
 No final, temos a Tabela de Contagem de Dias e o Formulário da Disciplina de 
Matemática para Gestão de Negócios. 
 Esperamos que este caderno universitário corresponda às necessidades dos alunos, 
ficando em aberto para qualquer tipo de sugestões que visem à melhoria deste material 
didático. 
 
5 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
RAZÃO, PROPORÇÃO, 
MÉDIA ARITMÉTICA E REGRA DE SOCIEDADE 
 
 
 
Este capítulo apresenta os conceitos básicos que são fundamentais para lidar com 
situações matemáticas do dia a dia, iniciando com a Razão e a Proporção e as suas 
propriedades, a média aritmética simples e a média aritmética ponderada, e, finalizando, 
a Regra de Sociedade, que consiste basicamente em dividir lucros ou prejuízos entre sócios 
de forma direta ou inversa. 
 
 
6 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
1.1 – RAZÃO: 
É o quociente de dois números. 
 Ex1: 3
40
120
 Ex2: 5
3
15
 Ex3: 
39
14
3
7
13
2
7/3
13/2
 x 
Ex4: Calcule o valor da razão: 
3/1
5/4
 R: 12/5. 
 
1.2 - PROPORÇÃO: 
É uma igualdade entre duas razões. 
 Propriedade: “Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos”. 
dacb
d
c
b
a
..  (produto dos meios é igual ao produto dos extremos, onde b e d 0). 
Ex1: Calcular o valor de x nas proporções a seguir: 
a) 
7
14
2

x
 7.x = 2.14 x = 28/7 x = 4 
b) 
84
3


 x
 R: 6 
c) 
x
4/3
7/2
5/1
 R: 15/14 
d) 
2/14/5
3/2 x
 R: 4/15 
 
Outra propriedade das proporções: 
 “Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes dividida pela soma ou 
diferença dos consequentes, forma uma razão igual a cada uma das primeiras”. 
Ex2: Calcular x e y na proporção 
76
yx
 , sabendo que .39 yx 
Solução: 
13
39
7676




yxyx  
13
39
6
x
18
13
6.39x 
  
13
39
7
y
21
13
7.39
y 
Ex3: Calcular x e y, na proporção
127
yx
 , sabendo-se que .76 yx R.: 28 e 48. 
Ex4: Calcular x e y, na proporção
814
yx
 , sabendo-se que .90 yx R.: 210 e 120. 
 
Ex5: Calcular o valor de a e b, resolvendo o sistema de duas equações com duas incógnitas: 
 
 
7 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Solução: a) 






5
2
35
b
a
ba
 
Resolução por substituição: isolando o valor de a na primeira equação: a = 35 – b e 
substituindo no lugar de a na segunda equação, teremos: 
5
235


b
b
 
Resolvendo a proporção: 
 
25
7
175
1757
17552
51752
)35.(5.2




bb
bb
bb
bb
 
Retorna-se na equação que isolava o a para encontrar o valor dele. 
 Logo: a = 35 – b = 35 -25= 10. 
b) 






4
5
27
b
a
ba
 R: 135 e 108 
 
Ex6: a) Determinar dois números cuja diferença é -12 e que estão na razão 1/3. 
Solução: 
 






3
1
12
b
a
ba
 
Resolução por substituição: isolando o valor de a na primeira equação: a = -12+b e 
substituindo no lugar de a na segunda equação, teremos: 
3
112


b
b
 
Resolvendo a proporção: 
 
18
2
36
362
363
336
)12.(3.1







bb
bb
bb
bb
 
Retorna-se na equação que isolava o a: a = -12 + b = -12 + 18 = 6. 
 b) Determinar dois números cuja soma é 51 e que estão na razão 13/4. R: 12 e 39. 
 
 
 
 
8 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
1.3 - MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA: 
 A média aritmética simples está muito presente em nosso dia-a-dia e a utilizamos 
com frequência. No seu cálculo todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância 
ou o mesmo peso relativo. É calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o 
resultado pelo número de elementos somados. 
Ex1: Um Gestor deve calcular a média aritmética simples das cinco faixas salariais dos 
empregados de uma empresa, conforme constam no quadro abaixo: 
FAIXAS SALÁRIOS (R$) 
A 
B 
C 
D 
E 
1.520,00 
2.440,00 
3.600,00 
7.960,00 
12.580,00 
Solução: .00,620.5
5
28100
5
125807960360024401520


Média 
 Já a Média Aritmética Ponderada é utilizada quando as ocorrências têm 
importância relativa diferente. Logo, o seu cálculo deve levar em conta esta importância 
relativa ou peso relativo, somando-se o produto das ocorrências com seus respectivos pesos 
e dividindo-se pela soma dos pesos. 
Ex2: Calcular a média aritmética ponderada anual das notas de Matemática de um aluno, 
conforme o quadro abaixo: 
BIMESTRE PESO NOTAS 
PRIMEIRO 1 
SEGUNDO 2 
TERCEIRO 3 
QUARTO 4 
8,0 
7,4 
6,4 
8,5 
Solução: .6,7
10
00,76
4321
)45,8()34,6()24,7()10,8(




xxxx
radaMédiaPonde 
 
Ex3: O processo avaliativo na UBLRA tem duas provas denominadas de G1 e de G2, sendo 
que a G1 tem peso 1 e a G2 tem peso 2 e a média aritmética ponderada final mínima é 
6,0. Determinar: 
a) a fórmula da média aritmética ponderada das avaliações na ULBRA; 
b) Se um aluno obteve na G1 uma nota 7,0, quanto necessita obter na G2 para passar 
com nota mínima. 
Solução: a) 0,6
3
)22()11(



xGxG
radaMédiaPonde . 
 b) .5,5
2
0,70,18
20,18)22()10,7(0,6
3
)22()10,7(




GxGx
xGx
 
 
 
9 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
1.4 - REGRA DE SOCIEDADE: 
 Consiste em calcular a divisão de lucros ou prejuízos entre um grupo de duas ou 
mais pessoas que se unem numa atividade qualquer, cada uma com um determinado 
capital é denominado Sociedade, a qual pode ser simples ou composta. O que define uma 
sociedade como simples ou composta é o fato de os capitais aplicados e de os períodos de 
tempo da aplicação serem iguais ou diferentes para cada pessoa. 
Pode acontecer que se deseja dividir o resultado de uma Sociedade de forma 
diretamente proporcional ao tempo e inversamente proporcional ao salário recebido na 
sociedade. Nesse caso, o valor será dividido diretamente proporcional ao tempo e 
inversamente proporcional ao salário. 
 
REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES 
 Quando os capitais são diferentes, mas aplicados durante período de tempos iguais, os 
lucros ou prejuízos são divididos em partes diretamente proporcionais aos capitais 
investidos. 
 
 
Ex1: Uma sociedade entre três sócios foi formada no mesmo tempo e com os capitais 
conforme a tabela abaixo. Sabendo-se que a sociedade lucrou R$ 86.600,00, quanto 
caberá a cada sócio? 
 
SÓCIOS CAPITAL (R$) TEMPO (MESES) 
A 13.500,00 12 
B 16.500,00 12 
C 18.000,00 12 
 
Solução: Montar um sistema com duas equações. A primeira equação com o que vai ser 
distribuído entre os sócios e a segunda com a divisão diretamente proporcional ao capital 
que cada sócio entrou na sociedade, pois o tempo foi o mesmo. 
 
180001650013500
00,600.86
CBA
CBA


 
Resolvendo o sistema e aplicando a propriedade da Proporção estudada no item 1.2. 
00,475.32
48000
18000.86600
48000
86600
18000
75,768.29
48000
16500.86600
48000
86600
16500
25,356.24
48000
13500.86600
48000
86600
13500
48000
86600
180001650013500
 
180001650013500







CC
C
BB
B
AA
A
CBACBA
 
 
 Quando os capitais são iguais, mas aplicados durante período de tempos diferentes, 
os lucros ou prejuízos são divididos em partes diretamente proporcionais aos períodos de 
tempo em que os capitais ficaram investidos. 
 
 
 
10 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Ex2: Três sócios X, Y e Z uniram-se para formar uma sociedade com a mesma participação 
no capital inicial e no tempo conforme tabela abaixo. Considerando que a Sociedade 
obteve um lucro de R$ 120.000,00, qual será o lucro a ser distribuído a cada sócio? 
 
SÓCIOS CAPITAL (R$) TEMPO (MESES) 
X 20.000,00 8 
Y 20.000,00 10 
Z 20.000,00 12 
 
Solução: Montar um sistema com duas equações. A primeira equação com o que vai ser 
distribuído entre os sócios e a segunda com a divisão diretamente proporcional ao tempo 
que cada sócio entrou na sociedade, pois o capital investido na sociedade foi o mesmo. 
12108
00,000.120
ZYX
ZYX


 
Resolvendo o sistema e aplicando a propriedade da Proporção estudada no item 1.2. 
00,000.48
30
12.120000
30
120000
12
00,000.40
30
10.120000
30
120000
10
00,000.32
30
8.120000
30
120000
8
30
120000
12108
 
12108







ZZ
Z
YY
Y
XX
X
ZYXZYX
 
 
REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA 
 Quando os capitais e os períodos de tempo forem diferentes, os lucros ou prejuízos 
serão divididos em partes diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos períodos 
de tempo respectivos. 
 
Ex3: Três sócios lucraram R$ 228.000,00 numa sociedade, sendo que o primeiro participou 
com R$ 50.000,00 durante 8 meses, o segundo com R$ 35.000,00 durante 12 meses e 
o terceiro com R$ 45.000,00 durante 10 meses. Qual foi o lucro dos sócios? 
 
Solução: Montar um sistema com duas equações. A primeira equação com o lucro que vai 
ser distribuído entre os sócios e a segunda com a divisão diretamente proporcional ao 
produto dos capitais e os tempos na sociedade. 
10.4500012.350008.50000
00,00.228
CBA
CBA


 
Resolvendo o sistema e aplicando a propriedade da Proporção estudada no item 1.2.11 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
40,787.80
1270000
450000.228000
1270000
228000
450000
58,401.75
1270000
420000.228000
1270000
228000
420000
02,811.71
1270000
400000.228000
1270000
228000
400000
1270000
228000
1270000450000420000400000






CC
C
BB
B
AA
A
CBACBA
 
 
Ex4: O proprietário de uma Empresa resolveu distribuir o lucro de R$ 30.000,00 entre três 
chefes X, Y e Z, de modo diretamente proporcional aos anos de trabalho na empresa e 
inversamente proporcional aos seus salários. Sabendo-se que o tempo e o salário na 
empresa constam na tabela abaixo, calcular quanto receberá cada um dos chefes? 
 
 
CHEFES 
 
 
TEMPO (ANOS) 
 
SALÁRIO (R$) 
X 6 3.000,00 
Y 4 2.500,00 
Z 10 4.000,00 
 
Solução: Montar um sistema com duas equações. A primeira equação com o lucro que vai 
ser distribuído entre os sócios e a segunda com a divisão diretamente proporcional ao 
tempo de trabalho na empresa e inversamente proporcional aos seus respectivos salários. 
4000
10
2500
4
3000
6
00,000.30
ZYX
ZYX


 
 
Resolvendo o sistema e aplicando a propriedade da Proporção estudada no item 1.2. e 
usando no cálculo todas as casas significativas depois da vírgula, teremos: 
08,295.12
0061,0
0025,0.30000
0061,0
30000
0025,0
85,868.7
0061,0
0016,0.30000
0061,0
30000
0016,0
07,836.9
0061,0
002,0.30000
0061,0
30000
002,0
0061,0
30000
0025,00016,0002,0
 
0025,00016,0002,0
 







ZZ
Z
YY
Y
XX
X
ZYXZYX
 
 
 
 
 
12 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
1.5 – INTRODUÇÃO A CALCULADORA CIENTÍFICA: 
 
OPERAÇÕES ELEMENTARES: Consultar o manual da calculadora. 
POTENCIAÇÃO: ^ ou yx : para elevar a base ao expoente desejado. 
 
RADICIAÇÃO: SCHIFT ^ ou 2ndF yx : para extrair uma raiz de qualquer índice. 
 
PORCENTAGEM (%): SCHIFT = ou 2ndF = : para calcular porcentagem. 
 
NÚMERO DE CASAS DECIMAIS NO VISOR: 
Acionar a tecla MODE, 4 vezes, até aparecer FIX 1. Clicar 1 e aparecerá FIX 0~9 ? 
Indica que pode escolher de 0 a 9 casas depois da vírgula. Por exemplo: para arredondar 
cientificamente com duas casas depois da vírgula, clicar 2. 
 
TECLA REPLAY: para verificar o que foi digitado. 
EXEMPLOS DE CALCULOS: 
1) Usando a fórmula: ).1.( niCM  
M = ? C = 500 i = 3% am n = 26 dias 
M = 500 x (1 + 0,03 x 26 ÷ 30) = 513,00. 
 
2) Usando a fórmula: 
ni
M
C
.1
 
C = ? M = 513,00 i = 3% am n = 26 dias Não use arredondamento: n = 26÷30=0,87 
C = 513 ÷ (1 + 0,03 x 26 ÷ 30) = 500,00 
 
3) Usando a fórmula: 
niCM )1.(  
M = ? C = 500 i = 3% am n = 49 dias Não use arredondamento: n = 49÷30=1,63 
73,524)03,01(500 )3049(^  xM 
 
4) Usando a fórmula: ni
M
C
)1( 
 C = 524,22 ÷ (1 + 0,03)^(48÷30) = 500,00 
 
5) Usando a fórmula: 1 n
C
M
i 
%13,3100031310306,01031310306,1
3000
3500
5 





 xi Teclar: 5 schift ^ 
(3500÷3000) = 1,031310306 - 1 = 0,031310306 x 100 = 3,13% 
 
 
6) Usando a fórmula: 
)1ln(
ln
i
C
M
n







 
mesesnn 12
024692613,0
296312225,0
025,1ln
34489,1ln
)025,01ln(
5000
44,724.6
ln








 
 
 
 
13 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
7) Um financiamento de R$ 5.000,00 vai ser quitado em 3 prestações mensais e iguais, para 
30,60 e 90 dias, a uma taxa de juros de 5% ao mês. Calcular o valor das prestações. 
Usando a tecla inverter: x-1 ou 2ndF x2 
321 )05,01()05,01()05,0(1
5000






XXX
 
157625,11025,11,05
5000
XXX
 
XXX .863837599,0.907029478,0.952380952,05000  
X.723248029,25000  
.04,836.1
723248029,2
5000
X 
 
8) Calcular a taxa efetiva mensal equivalente a taxa efetiva semestral de 60% as/cs. 
Usando a fórmula: 
212 )1()1( sm ii 
 
0814833747,1)60,01(1 12 2^  im
 
Ou pode ser calculado assim: 
0814833747,1)1(1 12
2
^ 






isim
 814833747,010814833747,1 im 
 
Multiplicar por 100 para escrever na forma percentual:
 %15,81000814833747,0  xim
 
 
9) Calcular o valor futuro de 6 prestações mensais, iguais, sucessivas e postecipadas de R$ 
1.000,00, a uma taxa de juros efetiva de 7% ao mês. Usando a fórmula: 
 
 





 

i
i
PVFp
n
11
 .
 
Resolver o que está dentro do colchete e depois multiplicar por P. 
29,153.71000153290741,707,0)1))07,1(( 6^  x 
 
10) Calcular o valor presente de uma série financeira de 24 prestações mensais, iguais, 
sucessivas e postecipadas R$ 1.000,00, a uma taxa de juros efetiva de 5% ao mês. 
Usando a fórmula: 









n
n
ii
i
PVPp
)1.(
1)1(
 .
 
Resolver o que está dentro do colchete e depois multiplicar por P. 
64,798.13100079864179,13)05,105,0()1)05,1(( 24^24  xx 
 
 
 
 
14 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
1.6 – INTRODUÇÃO A CALCULADORA FINANCEIRA HEWLETT-PACKARD 12C: 
 NOTAÇÃO BRASILEIRO-AMERICANA 
 Notação americana para os números: PONTO para separar a parte decimal e 
VÍRGULA para separar grupos de 3 dígitos da parte inteira. 
 Para transformar para a notação brasileira, VÍRGULA para separar a parte decimal e 
PONTO para dividir a parte inteira em grupos de 3 dígitos, proceda da seguinte forma: 
a) desligue a calculadora; 
b) aperte a tecla Ponto . e a mantenha pressionada; 
c) ligue a calculadora: ON ; 
d) solte a tecla Ponto . 
 NÚMERO DE CASAS DECIMAIS NO VISOR 
 O número de casas decimais no visor pode ser controlado apertando a tecla f e o 
número de casas desejado. 
 Internamente a HP 12C opera com 10 casas decimais, independente do número de 
casas que aparece no visor. Para arredondar o número para a quantidade de casas que 
aparece no visor, tecle f RND. 
 Tecla ENTER : introduz dado e separa os números. 
 OPERAÇÕES ELEMENTARES 
 Observe que a HP 12C não tem a tecla = (igual), pois ela utiliza o sistema RPG 
(Reverse Polish Notation - Notação Polonesa Inversa). 
 Ex1: HP 12C -Somar 3 e 4. 
 3 ENTER 3 
 4 + 7 
Ex2: HP 12C - Cálculos contínuos (1+0,250) x 2/5 = 0,50 
 1 ENTER 1 
 0,25 + 1,25 
 2 x 2,50 
 5 ÷ 0,50 
 TECLAS f e g 
 A função em BRANCO é ativada apenas apertando a tecla. 
 A função em AMARELO é ativada teclando antes a tecla f . 
 A função em AZUL é ativada teclando antes a tecla g . 
 
 TECLAS f REG , f FIN e CLX 
Para apagar os dados da memória: f REG; 
Para apagar os registros financeiros: f FIN; 
 Para apagar apenas os dados do VISOR: CLX. 
 Tecla CHS (Change Signal): inverte o sinal, fazendo a diferença entre entrada e 
saída durante um fluxo. 
 Tecla STO (Store): armazena dados na memória. A HP tem 20 memórias diretas (de 
0 a 9 = 10 e de .0 a .9 = 10). 
 Tecla RCL (Recall): recupera números armazenados na memória. 
 
 
15 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Ex3: Armazenar 20 na Memória 1 e após somar 100 ao número armazenado na 
memória 1. 
HP 12C 
 f 2 
20 STO 1 20,00 
 f CLX 
100 ENTER RCL 1 + 120 
 
 TECLAS: yx e 1/x 
POTENCIAÇÃO yx : usamos a tecla yx para elevar a base ao expoente desejado. 
Ex4: Quanto é 1.05 elevado a potência 4? 
HP 12C 
1,05 ENTER 1,05 
4 yx 1,22 
 RADICIAÇÃO 1/x yx : usamos a tecla1/x e em seguida a tecla yx. 
 Ex5: Quanto é a raiz quarta de 1,22? 
HP 12C 
1,22 ENTER 1,22 
4 1/x 0,25 yx 1,05 
 MEMÓRIAS 
 20 memórias operacionais numeradas de 0 a 9 e de .0 a .9 
 5 memórias financeiras: n, i, PV, PMT, FV. 
 Números do visor são armazenados nas memórias teclando STO. 
 Recuperar números das memórias e trazê-los ao visor, teclamos RCL. 
 APAGAR MEMÓRIAS 
 f REG além de apagar as memórias operacionais, apaga também todas as memórias 
financeiras e a pilha operacional. 
 f FIN apaga exclusivamente as memórias financeiras. 
 f Σ apaga especialmente as memórias de 1 a 6, usadas para cálculos estatísticos, e 
também a pilha operacional. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA NA HP 12C 
 - Alimentam-se os dados na calculadora através de ENTER. 
- Em seguida, o respectivo peso utilizando a tecla Σ+ . 
Ex6: Calcular o prazo médio e o valor médio das 4 duplicatas que foram descontadas: R$ 
25.000,00 com vencimento para 26 dias; R$ 60.000,00 com vencimento para 28 dias, R$ 
35.000,00 com vencimento em 32 dias e R$ 48.000,00 com vencimento para 45 dias. 
HP 12C 
f REG f 2 
25000 ENTER 26 Σ+ visor aparece 1,00 
60000 ENTER 28 Σ+ visor aparece 2,00 
35000 ENTER 32 Σ+ visor aparece 3,00 
48000 ENTER 45 Σ+ visor aparece 4,00 
RCL 6 RCL 4 ÷ 33,39 dias → prazo médio do lote. 
RCL 6 RCL 2 ÷ R$ 42.824,43 → valor médio do lote. 
 
 
16 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
1.7 - ATIVIDADES: RAZÃO, PROPORÇÃO, MÉDIA ARITMÉTICA E REGRA DE SOCIEDADE 
1. A soma das idades de um filho e um pai é 51 e a razão entre as idades deles é de 13/4. 
Qual a idade do filho e do pai? 
2. Quais são dois números que estão na razão entre eles de 8/5 e cuja diferença é 12? 
3. Numa casa alugada por quatro estudantes: A, B, C e D, conhecida como República, todas 
as despesas são divididas de forma igualitária. Sabendo-se que em determinado mês as 
despesas foram as seguintes: Aluguel e Condomínio e Água = 1.320,00 a ser pago no final 
do mês, Energia Elétrica = 160,00 pagos pelo estudante A, Material de Limpeza = 80,00 
pagos pelo estudante B e Material de manutenção = 40,00 pagos pelo estudante D. 
Determine a quota deste mês de cada um dos estudantes A, B C e D. 
4. Calcular a nota que um aluno deverá tirar na G2, segundo o processo avaliativo da 
ULBRA, sabendo que tirou 6,6 na nota G1, visando obter a nota mínima de 6,0. 
5. Determinar a nota final de um aluno da ULBRA que obteve a nota 8,2 na G1 e 7,0 na G2, 
de acordo com o processo avaliativo da média aritmética ponderada adotada pela 
Universidade. 
6. Uma sociedade entre dois amigos foi feita com as características da tabela abaixo. 
Sabendo-se que a empresa lucrou R$ 36.000,00, quanto recebeu cada sócio? 
SÓCIO CAPITAL APLICADO (R$) TEMPO DE APLICAÇÃO 
A 2.500,00 1,5 anos 
B 3.000,00 1,75 anos 
7. Uma empresa composta por três sócios teve um lucro de R$ 132.200,00. Sabendo-se que 
os sócios empregaram um capital no tempo da tabela abaixo. Qual foi o lucro de cada 
sócio? 
SÓCIO CAPITAL APLICADO (R$) TEMPO DE APLICAÇÃO 
A 8.000,00 1 ano e 3 meses 
B 10.000,00 1 ano e meio 
C 12.000,00 1 ano 
 
8. Um investimento total de R$ 600.000,00 feito por três sócios rendeu R$ 360.000,00. 
Sabendo que o tempo de investimento foi o mesmo e que o segundo sócio ganhou o 
dobro do primeiro e o terceiro o triplo do primeiro, determine: 
a) quanto investiu cada sócio; 
b) qual foi o lucro de cada um. 
 
9. Uma sociedade de três sócios com capital de R$ 180.000,00, teve um prejuízo de R$ 
25.200,00. Sabendo-se que o sócio A entrou com 1/3 do capital, que o sócio B com 2/5 e 
o sócio C com o restante. Determine: 
a) quanto investiu cada sócio; 
b) qual foi o prejuízo de cada um. 
10. Uma sociedade formada pelos sócios X, Y, Z, entraram com capitais e prazos conforme 
a tabela abaixo e lucraram R$ 32.000,00. Determinar o lucro de cada um dos sócios? 
SÓCIOS CAPITAL (R$) PRAZO (MESES) 
X 6.000 15 
Y 10.000 12 
Z 7.000 10 
 
 
 
 
17 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
11. O proprietário de uma Fábrica resolveu distribuir entre seus três Gerentes parte do 
lucro no valor de R$ 95.000,00. Quanto cada um dos Gerentes irá receber se será feito 
o rateio em partes de proporcionalidade composta, diretamente ao tempo de trabalho 
de cada um e inversamente aos seus respectivos salários? 
GERENTE TEMPO SALÁRIO (R$) 
A 16 ANOS 9.000,00 
B 10 ANOS 7.000,00 
C 12 ANOS 8.000,00 
 
12. ENEM 2014 - Questão 155 
 
RESPOSTAS 
1 – 12 e 39 anos. 2 – 20 e 32. 
 
3 – A=240,00; 
B = 320,00; C= 
400,00; D = 360,00. 
4 - 5,7. 
5 - 7,4. 6 - 15.000; 
21.000,00. 
 
7 - 35.729,73; 
53.594,59; 42.875,68. 
 
8 - a) 100.000,00; 
200.000,00; 300.000,00. 
b) 60.000,00; 120.000,00; 
180.000,00. 
 9 - a) 60.000,00; 
72.000,00; 48.000,00. b) 
8.400,00; 10.080,00; 
6.720,00. 
10 - X = 10.285,71 
Y = 13.714,29 
Z = 8.000,00 
11- A = 35.885,32 
B = 28.836,42 
C = 30.278,26 
 
12 - 155 A 
 
 
 
18 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRANDEZAS E REGRA DE TRÊS 
 
 
 
 
Neste capítulo veremos as grandezas que podem ser diretamente ou inversamente 
proporcionais, as quais são importantes para o cálculo da Regra de Três Simples e 
Composta. Os problemas de regra de três são bastante comuns e não é difícil resolvê-los. 
Os cálculos em uma regra de três são apenas multiplicar e dividir. O erro mais comum 
quando alguém resolve um problema de regra de três é não conseguir equacioná-los. Para 
isso é preciso decidir se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais, 
como passaremos a estudar. 
 
 
19 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
2.1 - GRANDEZAS 
No nosso cotidiano utilizamos situações mensuráveis tais como: preço, salário, dias 
de trabalho, índice da inflação, peso, volume, altura, etc. Essas situações são chamadas de 
grandezas. 
Essas grandezas podem ser diretamente proporcionais quando à medida que uma 
aumenta ou diminui a outra também aumenta ou diminui na mesma proporção. 
Ex1: Velocidade média X distância percorrida. 
Ex2: Altura de um objeto X comprimento de sua sombra. 
Ex3: Quantidade produzida x horas de trabalho por dia. 
As grandezas são inversamente proporcionais quando à medida que uma aumenta 
ou diminui a outra agirá de forma inversa. 
Ex1: Velocidade média X tempo de viagem. 
Ex2: Número de torneiras abertas X tempo para encher um tanque 
Ex3: Número de dias x horas de trabalho por dia. 
 
2.2 - REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 Chamamos de regra de três simples a um processo de resolução de problemas de 
quatro valores, dos quais três são conhecidos e devemos determinar o quarto valor. 
 Existem várias formas de resolver esses problemas. Se você sabe resolver de outra 
maneira, pode resolver, pois o resultado deverá ser o mesmo. 
Neste material, vamos explicar de uma única forma, a qual consiste no seguinte: 
 quando grandeza é diretamente proporcional D: se resolve multiplicando de forma 
cruzada, como na proporção; 
 quando a grandeza é inversamente proporcional I: se resolve multiplicando em 
linha. 
 
Ex1: Um atleta percorre 20 km em 2 horas, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo 
ele percorrerá 50 km? 
Solução: Leia atentamente o enunciado da questão e monte as grandezas envolvidas uma 
ao lado da outra, conforme abaixo. 
 
 D 
Percurso (km) - Tempo (h) 
20 -2 
50 - x 
 Agora vamos verificar se as duas grandezas (percurso em km e tempo em horas) são 
diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
 
20 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Pense: o atleta percorreu 20 km em 2 horas, para percorrer 50 km, mais km, levará 
mais horas. Quando uma grandeza aumenta a outra também aumenta, logo as grandezas 
são diretamente proporcionais D e resolve-se de forma cruzada, como na proporção, o 
valor que está com a incógnita x, que é 2, multiplica 50 e divide por 20: 
 horas 5 x 
20
50
.2 x 
Ex2: Oito trabalhadores constroem uma casa em 68 dias. Em quanto tempo, quatro 
trabalhadores constroem uma casa com o mesmo projeto? 
Solução: Leia atentamente o enunciado da questão e monte as grandezas envolvidas uma 
ao lado da outra, conforme abaixo. 
 
 I 
no de trabalhadores - tempo (dias) 
 8 - 68 
 4 - x 
Agora vamos verificar se as duas grandezas (no de trabalhadores e tempo em dias) 
são diretamente ou inversamente proporcionais. 
Pense: com 8 trabalhadores uma casa é construída em 68 dias, com 4 trabalhadores 
somente, menos trabalhadores, levará mais dias. Quando uma grandeza diminui a outra 
grandeza aumenta, logo as grandezas são inversamente proporcionais I e resolve-se em 
linha, isto é, o valor que está com a incógnita x, que é 68, multiplica 8 e divide por 4: 
 dias 136 x 
4
8
.68 x 
 
 
2.3 - REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Neste caso, teremos problemas com três ou mais grandezas, as quais podem ser 
diretamente ou inversamente proporcionais. 
Neste caso, vamos utilizar a grandeza que tem a incógnita x e comparar com cada 
uma das outras grandezas envolvidas, de forma individual, esquecendo-se das outras, com 
o fito de descobrir se ela é diretamente ou inversamente proporcional. 
Da mesma forma da regra de três simples, vamos resolver de uma única forma, a 
qual consiste no seguinte: 
 quando grandeza é diretamente proporcional se resolve multiplicando 
de forma cruzada, como na proporção; 
 quando a grandeza é inversamente proporcional se resolve 
multiplicando em linha. 
 
 
D 
I 
 
 
21 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Ex1: Numa fábrica trabalham 16 operários que produzem 240 unidades de certo 
medicamento em 8 horas de trabalho diário. Quantos operários serão necessários 
para produzir 600 unidades por dia, com 10 horas de trabalho diário? 
Solução: Observe que no problema há três grandezas envolvidas, logo temos uma regra de 
três composta. Vamos montar uma ao lado da outra, conforme abaixo. 
 
 Operários - Produção - Tempo (h/d) 
 16 - 240 - 8 
 x - 600 - 10 
 
Vamos verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
Utilizamos a grandeza que tem a incógnita x e comparamos, de forma individual, 
com cada uma das outras grandezas do problema, esquecendo a outra. 
Primeiro vamos verificar a grandeza número de operários com a grandeza produção: 
16 operários produzem 240 unidades de medicamentos. Para produzir 600 unidades, mais 
medicamentos, necessitamos de mais operários. Portanto, quando uma grandeza aumenta 
a outra também aumenta, logo a grandeza número de operários é diretamente 
proporcional D a grandeza produção. 
Agora vamos comparar a grandeza número de operários com o tempo de trabalho: 
16 operários produzem medicamentos trabalhando 8 horas/dia, se trabalharem 10 
horas/dia, mais horas por dia, necessitamos de menos operários. Portanto, quando uma 
grandeza aumenta a outra diminui, logo a grandeza número de operários é inversamente 
proporcional I a grandeza tempo de trabalho. 
Para resolver a questão: x é igual o valor que está com a incógnita que é 16, uma 
única vez, multiplica a grandeza produção de forma cruzada, pois ela é diretamente 
proporcional, isto é, 600/240, que por sua vez multiplica a grandeza tempo em horas/dia 
em linha, pois ela é inversamente proporcional, isto é, 8/10. 
Teremos: operários 32 x 
10
8
.
240
600
.16 x 
 
 
Ex2: Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 
pontes. Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 
horas por dia, durante 15 dias? 
Solução: Observe que este exercício tem quatro grandezas envolvidas. Vamos montar uma 
ao lado da outra, conforme abaixo. 
 
 I I D 
 horas/dia - dias - Engenheiros - pontes 
 6 - 10 - 10 - 5 
 8 - 15 - x - 8 
 
D I 
 
 
22 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 Vamos verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
Utilizamos a grandeza que tem a incógnita x e comparamos, de forma individual, 
com cada uma das outras grandezas do problema, esquecendo as outras. 
Primeiro vamos verificar a grandeza número de Engenheiros com pontes: 10 
Engenheiros realizam projetos de 5 pontes. Para projetar 8 pontes, mais pontes, 
necessitamos de mais Engenheiros. Portanto, quando uma grandeza aumenta a outra 
também aumenta, logo a grandeza número de Engenheiros é diretamente proporcional D a 
grandeza pontes. 
Comparando a grandeza número de Engenheiros com dias de trabalho: 10 
Engenheiros realizam um trabalho em 10 dias. Para realizar um trabalho em 15 dias, mais 
dias, necessitamos de menos Engenheiros. Portanto, quando uma grandeza aumenta a 
outra diminui, logo a grandeza número de Engenheiros é inversamente proporcional I a 
grandeza dias de trabalho. 
Por último, vamos comparar a grandeza número de Engenheiros com horas por dia: 
10 Engenheiros trabalhando 6 horas por dia realizam certo trabalho. Trabalhando 8 horas 
por dia, mais horas por dia, necessitamos de menos Engenheiros. Portanto, quando uma 
grandeza aumenta a outra diminui, logo a grandeza número de Engenheiros é inversamente 
proporcional I a grandeza horas por dia de trabalho. 
 Neste exercício temos uma grandeza diretamente proporcional e duas grandezas 
inversamente proporcionais. 
Para resolver a questão: x é igual o valor que está com a incógnita que é 10, uma 
única vez, que multiplica a grandeza pontes de forma cruzada, pois ela é diretamente 
proporcional, isto é, 8/5, que por sua vez multiplica a grandeza dias de trabalho em linha, 
pois ela é inversamente proporcional, isto é, 10/15, que por sua vez, multiplica a grandeza 
horas por dia em linha, pois ela é inversamente proporcional, isto é, 6/8. 
Teremos: sengenheiro 8 x 
8
6
.
15
10
.
5
8
.10 x 
 
Ex3: Vinte e sete operários, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias, fizeram um muro 
de 20 metros de comprimento, 1,80 metro de altura e 30 cm de espessura. Quantos 
operários seriam necessários para a construção de outro muro com as mesmas 
características de 30 metros de comprimento, 2 metros de altura e 27 centímetros de 
espessura, trabalhando 9 horas por dia, durante 18 dias? 
Solução: Verificando se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, 
comparando a grandeza que tem a incógnita x (número de operários), de forma 
individual, com cada umadas outras grandezas do problema, não se importando com 
as outras. Assim, encontraremos: 
 
 
 I I D D D 
27 operários - 8 h/dia - 15 dias - 20m comprimento - 1,80m altura - 30cm espessura 
x operários - 9h/dia - 18 dias - 30 m comprimento - 2,0m altura - 27cm espessura 
Portanto, teremos: .30 x 
30
27
. 
1,8
2,0
. 
20
30
.
18
15
.
9
8
.27 operáriosx  
 
 
23 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Ex4: Para asfaltar 1 km de estrada, 30 operários gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por 
dia. Quantos dias gastarão 20 operários, para asfaltar 2 km de estrada, de mesmas 
características, trabalhando 12 horas por dia? 
 
Solução: Verificando se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais a o a 
grandeza dias, que é que a tem a incógnita x, de forma individual, com cada uma das 
outras três grandezas do problema, não se importando com as outras duas. Assim, 
encontraremos: 
 
 D I I 
1 km - 30 operários - 12 dias - 8 h/dia 
 2 km - 20 operários - x dias - 12 h/dia 
A partir daí, teremos: .24 x 
12
8
. 
1
2
.
20
30
.12 diasx  
 
 
Ex5: Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando a obra com 24 
operários, trabalhando 8 horas por dia. Decorridos 10 dias, quando já havia realizado 
40% da obra, a empresa teve que deslocar 8 operários para outro projeto. Nessas 
condições, para terminar a obra no prazo pactuado, a empresa deve prorrogar o turno 
de trabalho por mais quantas horas por dia? 
 Solução: Verificando se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais a 
grandeza horas por dia, que é que a tem a incógnita x, de forma individual, com cada 
uma das outras três grandezas do problema, não se importando com as outras duas. 
Assim, encontraremos: 
 
 I I D 
 10 dias - 24 operários - 8 h/dia - 40% da obra 
20 dias - 16 operários - x h/dia - 60% da obra 
Portanto, teremos: ./9 x 
40
60
. 
16
24
.
20
10
.8 diahorasx  
Resposta: prorrogar 1 hora/dia. 
 
RESUMO: 
- As grandezas são Diretamente Proporcionais quando uma grandeza cresce (+) a outra 
grandeza também cresce (+) ou ainda quando uma grandeza decresce (-) a outra grandeza 
também decresce (-). Resolve-se de modo cruzado. 
- As grandezas são Inversamente Proporcionais quando uma grandeza cresce (+) a outra 
grandeza decresce (-) ou ainda quando uma grandeza decresce (-) a outra grandeza cresce 
(+). Resolve-se de modo em linha. 
 
 
 
24 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
2.4 - ATIVIDADES: GRANDEZAS E REGRA DE TRÊS 
 
1. Em um banco, um caixa leva em média 5 minutos para atender 3 clientes. Que tempo 
levará para atender 36 clientes? 
2. Em uma prova de valor 6, um aluno obteve grau 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual 
seria a sua nota? 
3. O salário de João é de R$ 2.520,00 mensais líquidos e corresponde a 90% do salário de 
Paulo. Qual o salário do Paulo? 
4. Numa cidade, o preço da passagem de ônibus subiu de R$ 2,80 para R$ 3,05. Qual foi a 
taxa de porcentagem de aumento? 
5. Numa fábrica, 16 homens com igual capacidade de trabalho, realizam uma tarefa 
durante 45 dias. Com 10 homens apenas, em quantos dias será realizada a mesma 
tarefa? 
6. Uma fábrica produz 3 camisas brancas para cada 7 camisas listradas. Produzindo 2.000 
camisas no total, qual o número de camisas listradas fabricadas? 
7. Um motociclista percorre 200 km em 2 dias se rodarem durante 4 horas por dia. Em 
quantos dias esse motociclista percorrerá 500 km, se rodar 5 horas por dia? 
8. Numa fábrica de medicamentos, 10 operários, trabalhando 6 horas por dia, com 2 
máquinas na linha de produção, produzem 500 caixas de certo remédio. Quantos 
operários serão necessários contratar a mais para dobrar a produção de caixas deste 
mesmo remédio, na mesma linha de produção, aumentando a carga horária em mais 2 
horas por dia e o rendimento das máquinas da linha de produção em mais 1/5 ? 
9. Em 30 dias, 24 operários asfaltaram uma avenida de 960 metros de comprimento por 9 
metros de largura. Quantos operários seriam necessários para fazer um asfaltamento, 
em 20 dias, de 600 metros de comprimento por 10 metros de largura? 
10. Um gramado de 720 m² é podado por dois homens que trabalharam 6 horas por dia 
durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar, se 
trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias? 
11. Para asfaltar certo trecho de estrada, 20 operários, trabalhando 10 horas diárias, 
levaram 150 dias. Quantos operários seriam necessários para asfaltar outro trecho, igual 
ao primeiro, em 75 dias, trabalhando 8 horas por dia? 
12. Uma tarefa de obra é executada por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 horas diárias, 
em 15 dias úteis. Quantos dias úteis levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar 
o triplo do trabalho anterior, trabalhando 5 horas diárias, com velocidade que torna o 
rendimento 1/8 maior? 
 
RESPOSTAS 
1 – 1 hora 2 – 8,0 3 – R$ 2.800,00 4 – 8,93% 
5 – 72 dias 6 – 1.400 7 – 4 dias 8 – 3 operários 
9 – 25 operários 10 – 2160 m² 11 – 50 operários 12 – 38,4 dias = 38 d 2h 
 
 
 
 
 
25 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
 
Neste capítulo, vamos aprender a resolver exercícios envolvendo porcentagem, com 
o cálculo direto do aumento ou do desconto, assim como aumentos e descontos sucessivos. 
Veremos o cálculo da porcentagem na contribuição para o INSS e no Imposto de Renda. 
Veremos também operações comerciais de lucro ou de prejuízo sobre uma compra ou uma 
venda. Veremos que calcular um percentual sobre um valor conhecido não é muito difícil e 
faz parte do nosso cotidiano este tipo de cálculo. Por outro lado, o cálculo de um 
percentual sobre um valor desconhecido requer mais habilidade e raciocínio. 
 
 
26 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
3.1 - PORCENTAGEM 
 O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda 
razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou 
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. 
 Logo, porcentagem é uma razão centesimal (fração de denominador igual a 100) 
representada pelo símbolo % (por cento). 
 
100
%
P
P  
Ex1: 
100
20
%20  (vinte por cento) 
100
2,3
%2,3  (três vírgula dois por cento) 
 A taxa percentual pode ser passada para a forma unitária, fazendo a razão 
100
P ser 
expressa na forma decimal, conforme os exemplos: 08,0
100
8
%8  , 58,0
100
58
%58  , 
1
100
100
%100  , 25,1
100
125
%125  ou 2
100
200
%200  . 
 Para calcular uma porcentagem de um valor x basta multiplicar x por 
100
P , 
conforme o exemplo a seguir. 
 
Ex2: Qual é o valor de 14% de 1.000? 
Solução: 14,0
100
14
%14  , logo 14014,0.1000
100
14
.1000  
 
CÁLCULO DIRETO DE ACRÉSCIMO 
 Para efetuar o cálculo direto de acréscimo basta multiplicar x por 
100
1
P
 , sendo 
100
100
1  que é o valor inicial de x , conforme o exemplo a seguir. 
 
Ex1: Qual é o novo preço de um produto cujo preço é de R$ 500,00 e que foi reajustado em 
15%? 
Solução: Novo Preço = 00,57515,1.500)
100
15
1.(500  
 
CÁLCULO DIRETO DE DESCONTO 
 Já para efetuar o cálculo direto de desconto multiplica-se x por 
100
1
P
 , conforme 
o exemplo a seguir. 
Ex1: Um produtocom preço de R$ 500,00 tem seu valor reduzido com um desconto de 15%. 
Qual é o novo preço do produto? 
 
 
27 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Solução: Novo Preço = 00,42585,0.500)
100
15
1.(500  
 
HP 12C Tecla %. 
 
1) Alimenta-se na calculadora o valor base sobre o qual queremos calcular a porcentagem 
(ENTER); 
2) Alimenta-se a taxa percentual e tecla-se %; 
3) O resultado que aparecer no visor é a porcentagem calculada. 
 
Ex1: O salário de um profissional, em novembro de 2014 era de R$ 3.550,00. Em dezembro 
de 2014 recebeu um reajuste de 5,65%. Qual o novo salário? 
f CLX/REG 
3550 ENTER 3.550,00 
5.65 % 200,58 
 + (Montante) 3.750,58 
 
Ex2: Um aparelho de ar condicionado tem como preço a prazo: R$ 1.590,00. Na compra à 
vista a loja concede um desconto de 4,5 %. Qual o valor à vista? 
 
f CLX/REG 
1590 ENTER 1.590,00 
4.5 % 71,55 
- (Valor com Desconto) 1.5018,45 
 
 
DIFERENÇA PERCENTUAL 
É a diferença entre dois valores, expressos na forma percentual. 
 
Ex1: Um produto está à venda na Loja X por R$ 890,00 e na loja Y por R$ 980,00 qual a 
diferença em percentual dos preços da loja X para o da loja Y e vice-versa? 
 
Solução: Da loja X para Y (comparação contra o preço da loja Y): 
 890,00 - 100% 
 90,00 - x 
x = 90x100/890 = 10,11% (A loja Y é 10,11% mais cara que a loja X). 
Solução: Da loja Y para X (comparação contra o preço da loja X): 
 980,00 - 100% 
 90,00 - x 
 x = 90x100/980 = 9,18% (A loja X é 9,18% mais barata a loja Y). 
 
Ex2: O gráfico abaixo mostra a variação da cotação do dólar em relação ao real. Qual foi o 
aumento percentual da cotação do dólar de 31/8/2011 até o dia 23/5/2012? 
 
 
28 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
Solução: 1,5910 - 100% 
 0,4815 - x 
 x = 0,4815 x 100 / 1,5910 = 30,26% foi o aumento. 
HP 12C - Tecla ∆% 
1) Alimenta-se na calculadora o valor base sobre o qual queremos calcular a diferença 
percentual (ENTER); 
2) Alimenta-se o valor que queremos calcular a diferença percentual e tecla-se ∆%; 
3) O resultado que aparecer no visor é a diferença percentual entre os 2 valores. 
 
Ex1: O dólar americano era vendido em setembro de 2014, no Brasil, por R$ 2,37 e em 
dezembro de 2014 por R$ 2,60. Qual a diferença percentual do dólar, entre as datas? 
f CLX/REG 
2.37 ENTER 2.37 
2.60 ∆% 9,70 
 
Ex2: Um eletrodoméstico está sendo vendido na loja A, por R$ 5.300,00. O mesmo 
eletrodoméstico está sendo vendido na loja B por R$ 5.870,00. Qual a diferença percentual 
entre os preços: 
a) Da loja A para a loja B (comparação contra o preço da loja B) 
f CLX/REG 
5870 ENTER 5.870,00 
5300 ∆% ( - ) 9,71 % mais barato que a loja B 
 
b) Da loja B para a loja A (comparação contra o preço da loja A) 
f CLX/REG 
5300 ENTER 5.300,00 
5870 ∆% 10,75 % mais caro que a loja A 
 
Ex3: Um boleto de cobrança no valor de R$ 3.450,00, tem escrito no seu campo 
observações: “Após o vencimento cobrar R$ 3,35 por dia de atraso, multa de 2%. Receber 
até o quinto dia do vencimento. Não receber após o vencimento do quinto dia”. 
Qual a taxa efetiva de juros se o cliente pagar: 
� 
No 1o dia após o vencimento? 
VALOR DO TÍTULO: 3.450,00, ATRASO: 3,35, MULTA:69,00, TOTAL PAGO: 3.522,35 
3450 ENTER 3.450,00 
3522,35 ∆% 2,10 % ad 
 
 
 
29 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
PORCENTAGEM DO TOTAL 
É a porcentagem de uma parte sobre um total. 
 
Ex1: Quanto representa percentualmente R$ 325,00 em relação à R$ 2.500,00? 
Solução: 2.500,00 - 100% 
 325,00 - x 
 
x = 325 x 100 / 2500 = 13,00 % 
 
HP 12C - Tecla %T 
 
1) Alimenta-se na calculadora o valor total sobre o qual queremos calcular os percentuais 
parciais (ENTER); 
2) Alimenta-se cada valor parcial, tecla-se %T seguida da tecla CLX que limpa apenas o 
visor; 
3) O resultado que aparecer no visor é o percentual de cada valor sobre o total. 
 
 
Ex1: Vendemos para o primeiro cliente, 55.000 unidades de um produto; para o segundo 
75.000; e para um terceiro, 50.000. Qual a porcentagem de venda a cada um dos clientes? 
f CLX/REG 
55000 ENTER 55.000,00 
75000 + 130.00,00 
50000 + 180000,00 
ENTER 
55000 %T 30,56 % 
CLX 75000 %T 41,67 % 
CLX 50000 %T 27,78 % 
 
 
Ex2: Quanto representa percentualmente 200 e 500 em relação a 1.800,00? 
f CLX/REG 
1800 ENTER 1.800,00 
200 %T 11,11 % 
CLX 500 %T 27,78 % 
 
 
Ex3: Um Gestor verificou que suas despesas mensais são: Aluguel = R$ 1.200,00, 
Condomínio= R$ 300,00, Energia Elétrica = R$ 80,00, Alimentação = R$ 600,00, Transporte 
= R$ 220,00, Lazer = R$ 400,00, totalizando R$ 2.800,00. Quanto representa 
percentualmente cada valor em relação ao total de despesas? 
f CLX/REG 
2800 ENTER 2.800,00 
X><Y 1.200 %T 42,86 % 
X><Y 300 %T 10,71 % 
X><Y 80 %T 2,86 % 
X><Y 600 %T 21,43 % 
X><Y 220 %T 7,86 % 
X><Y 400 %T 14,29 % 
 
 
 
 
30 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
3.2 – ABATIMENTOS E AUMENTOS SUCESSIVOS 
 
Na compra e venda de mercadorias tira-se uma fatura das mesmas, que é a relação 
que acompanha a remessa de mercadorias expedidas, com a designação de quantidades, 
marcas, pesos, valores unitários e totais de cada mercadoria, percentuais de descontos, 
impostos, etc. 
Muitas vezes são realizados descontos ou acréscimos sucessivos nessas faturas, 
decorrentes de ofertas, pagamentos à vista, etc.(para descontos) e de multas, impostos, 
etc.(para acréscimos). 
 
 
ABATIMENTOS SUCESSIVOS: 
Para calcularmos o valor líquido da fatura podemos calcular os líquidos parciais 
correspondentes aos abatimentos sucessivos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos 
o líquido final ou, aplicarmos a fórmula desenvolvida abaixo. 
 
Valor líquido = Valor bruto.(1–1a taxa).(1–2a taxa).(1–3a taxa)...(1–enésima taxa) 
Onde n é o número de taxas sucessivas. 
 
 
Ex1: Sobre uma fatura de R$ 100.000,00 são feitos abatimentos sucessivos de 10%, mais 6% 
e mais 3%. Qual o valor líquido da fatura? 
Solução: Valor líquido = 100.000. (1 – 0,10). (1 – 0,06). (1 – 0,03) = 
 = 100.000. (0,90). (0,94). (0,97) = R$ 82.062,00 
 
 
Ex2: Uma fatura de R$ 22.500,00 receberá descontos sucessivos de 10% e mais 6% se o 
pagamento for efetuado na data do vencimento. Por quanto será liquidada na data do 
vencimento? 
Solução: Valor Líquido = 22.500,00 . 0,90 . 0,94 = 19.035,00. 
 
 
Ex3: Verifique se os descontos sucessivos de 10% mais 5% correspondem a um desconto 
único de 15%? 
Solução: Não, pois um desconto de 10% mais 5% é igual a 14,5%. 
Fazendo (1 – 0,10) . (1 - 0,05) = 0,90 . 0,95 = 0,855 = 85,5%. 
Então: 100% - 85,5% = 14,5%. 
 
 
 
 
 
31 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
AUMENTOS SUCESSIVOS: 
 
Para aumentos sucessivos teremos o Montante ou Valor Futuro e como são 
aumentos, tem que adicionar as taxas ao invés de subtraí-las como no desconto sucessivo. 
Logo, a fórmula de aumentos sucessivos será: 
 
Montante = Valor Bruto. (1 + 1a. taxa) (1 + 2ª. taxa) ... (1 + enésima taxa) 
 
Ex1: Sobre um artigo de R$ 2.500,00 incide um imposto de 7% e mais um de 3,5%. 
Determine o preço final desse artigo. 
Solução: Dados: 1ª. taxa = 7% = 0,07; 2ª. taxa = 3,5% = 0,035; Valor Bruto = R$ 2.500,00 
 Preço final = 2.500.(1 + 0,07).(1+ 0,035) = 2.500.(1,07).(1,035) = 2.768,62. 
 
Ex2: Certa categoriaprofissional recebeu dois aumentos sucessivos de 12% e mais 10% num 
determinado ano. Qual o aumento acumulado anual que a categoria recebeu? 
Solução: Aumento acumulado = (1 + 0,12).(1 + 0,10) = 1,12 . 1,10 = 1,232, logo o aumento 
foi de 23,2%. 
 
Ex3: Verifique se os acréscimos sucessivos de 10% mais 5% correspondem a um acréscimo 
único de 15%? 
Solução: Não, pois fazendo: (1 + 0,10).(1 + 0,05) = 1,10 . 1,05 = 1,155, que corresponde a 
um acréscimo único de 15,5%. 
 
 
3.3 – OPERAÇÕES DE COMPRA E VENDA COM PORCENTAGEM 
 Nesses exercícios é importante verificar se o cálculo da porcentagem que está sendo 
solicitado no problema é sobre um valor conhecido ou desconhecido de compra ou de 
venda, bem como se é com lucro ou com prejuízo. 
 
LUCRO SOBRE UM VALOR CONHECIDO 
Ex1: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4.000,00, a fim de obter um 
lucro de 30% sobre a compra? 
Solução: trata-se de calcular o lucro sobre um valor conhecido, no caso, preço de compra. 
Preço de venda = preço de compra x (1 + taxa sobre a compra) 
Preço de venda = 4000 x (1 + 0,30) = 4000 x 1,30 = R$ 5.200,00 
Lucro sobre a Compra = Venda – Compra = 5200 – 4000 = R$ 1.200,00 
Utilizando a Regra de Três: 4000 – 100% 
 x - 130% 
 00,200.5 x 
100
130.4000
x 
 
 
32 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
PREJUÍZO SOBRE UM VALOR CONHECIDO 
 
Ex2: Calcular o prejuízo e o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 6.000,00, 
tendo uma perda de 30% sobre o preço de compra. 
Solução: trata-se de calcular o prejuízo sobre um valor conhecido, no caso, preço de 
compra. 
Preço de venda = preço de compra x (1 – taxa sobre a compra) 
Preço de venda = 6000 x (1 – 0,30) = 6000 x 0,70 = R$ 4.200,00 
Prejuízo = Compra – Venda = 6000 – 4200 = R$ 1.800,00 
 
Utilizando a Regra de Três: 6000 – 100% 
 x - 30% 
 1.800,00 x 
100
30.6000
x 
 
 
LUCRO SOBRE UM VALOR DESCONHECIDO 
 
Ex3: Calcular o lucro e por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4.000,00 
para ganhar 20% sobre o preço de venda. 
Solução: trata-se de calcular um percentual sobre um valor desconhecido, no caso, o preço 
de venda. 
Preço de venda = 
 vendaa sobre taxa1
compra de preço

 
 Preço de venda = $R
80,0
4000
20,01
4000


 5.000,00 
 Lucro = Venda – Compra = 5000 – 4000 = R$ 1.000,00 
 
OBSERVAÇÃO: Para utilizar a regra de três, considerar o preço de venda desconhecido 
como 100% e o preço de compra conhecido como 80%, já que o lucro será de 20%. 
 
Utilizando a Regra de Três: x – 100% 
 4000 - 80% 
 5.000,00x
0,80
4.000
 x 
80
100.4000
x 
 Logo, o Lucro será: Lucro = Venda – Compra = 5000 – 4000 = R$ 1.000,00 
 
 
 
33 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Ex4: ENADE 2015 – Determinada empresa coletou, para a formação do preço de venda de 
seu único produto, as seguintes informações: 
Custo por unidade produzida R$ 120,00 
Tributos incidentes sobre as vendas (ICMS, PIS, COFINS, IPI) 29,65% 
Despesas com vendas 3,00% 
Despesas administrativas 2,35% 
Margem de lucro desejado 25,00% 
A partir das informações apresentadas, conclui-se que o preço de venda a vista a ser 
praticado pela empresa deve ser de 
(A) R$ 200,00. (B) R$ 300,00. (C) R$ 320,00. (D) R$ 340,00. (E) R$ 360,00. 
 
 
PREJUÍZO SOBRE UM VALOR DESCONHECIDO 
 
Ex5: Calcular o prejuízo e o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 8.000,00, 
tendo perdido 25% do preço de venda. 
Solução: trata-se de calcular um percentual sobre um valor desconhecido, no caso, o preço 
de venda. 
Preço de venda = 
 vendaa sobre taxa1
compra de preço

 
 Preço de venda = $R
25,1
8000
25,01
8000


 6.400,00 
 Prejuízo = Compra – Venda = 8000 – 6400 = R$ 1.600,00 
 
OBSERVAÇÃO: Para utilizar a regra de três, considera-se o preço de venda desconhecido 
como 100% e observe que se trata de calcular 25% desta quantia desconhecida, já que o 
prejuízo foi de 25%, logo o preço de compra conhecido corresponde a 125%. 
 
 Utilizando a Regra de Três: x – 100% 
 8.000 - 125% 
 400.6x
1,25
8.000
 x 
125
100.8000
x 
 
Logo, o prejuízo será: Prejuízo = Compra – Venda = 8000 – 6400 = R$ 1.600,00. 
 
 
34 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
3.4 - ATIVIDADES: PORCENTAGEM 
1. ENEM 2014 - Questões 136, 137, 152 e 168. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A comissão de um vendedor é de 8% sobre o que vender. Tendo recebido R$ 1.500,00 de 
comissão, quanto vendeu? 
3. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas 
num concurso público com 6500 inscritos? 
 
 
35 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
4. O valor do contrato de aluguel de uma loja é de R$ 5.200,00, o qual sofreu reajuste no mês 
de junho pelo IGP-M/FGV. Observando a tabela abaixo, determinar: a) o valor do reajuste 
do aluguel; b) o novo valor do aluguel. 
ALUGUÉIS 
INDICE JUNHO 
IPC/IEPE 7,65% 
INPC/IBGE 6,93% 
IPC/FIPE 7,71% 
IGP-M/FGV 9,08% 
IPCA/IBGE 8,05% 
5. Uma mercadoria foi comprada por R$ 600,00 a ser paga em três vezes. Se fosse à vista, o 
comerciante daria 20% de desconto, Qual foi à porcentagem do acréscimo sobre o preço à 
vista que o freguês pagou? 
6. Sobre uma fatura de R$ 2.000,00, obtive um desconto de 10% e em seguida outro, que 
reduziu minha fatura em um líquido de RS 1.530,00. Qual foi o segundo desconto em 
percentual? 
7. O salário de uma categoria profissional teve aumentos de 8% em janeiro, 7% em julho e 6% 
em dezembro de determinado ano. Determinar o aumento acumulado anual dessa 
categoria profissional? 
8. Calcular por quanto deve ser vendido um objeto comprado por R$ 35.200,00 para se 
obtiver uma taxa de lucro de 12% sobre a venda? 
9. Por quanto devo vender um lote de tecidos comprado por R$ 3.000,00 para obter um lucro 
de 40% sobre a venda? 
10. Uma loja que quer anunciar 50% de desconto aumenta um pouco o seu preço para não ter 
prejuízo. Qual a taxa de aumento sobre um artigo que custa R$ 400,00 para que, com 50% 
de desconto, ele seja vendido por R$ 250,00? 
11. O Gestor de uma loja deseja colocar na etiqueta de um eletrodoméstico uma promoção 
25% de desconto para pagamento à vista de um eletrodoméstico. Sabendo que o valor 
mínimo que o Gestor da loja deve obter pela venda do mesmo é de R$ 1.200,00, calcular o 
valor a ser colocado na etiqueta para que com o desconto de 25%, ele obtenha o valor 
pretendido de R$ 1.200,00? 
12. Em dezembro de 2014 foi aprovado o aumento dos salários para os cargos da matéria 
abaixo, como é o valor e como vai ficar. Calcular o aumento percentual de cada um dos 
cargos. 
 
 
RESPOSTAS 
1 –136 E 137 C 
 152 B 168 D 
2 – R$ 18.750,00 3 - 1.170 
aprovados 
4 - a) R$ 472,16; 
b) R$ 5.672,16 
5 - 25% 6 - 15% 
7 – 22,49% 8 - R$ 40.000,00 9 - R$ 5.000,00 10 - 25% 11 – R$ 
1.600,00 
12 - 15,76%, 
14,60%, 26,34%. 
 
 
36 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
 Neste capítulo, vamos estudar os principais conceitos de capital ou valor atual, juros, 
taxa de juros e montante ou valor futuro. Após, vamos verificar o cálculo dos juros simples, 
utilizar a tabela de contagem de dias e construir diagramas de fluxo dos exercícios propostos 
visando compreendê-los. Finalizaremos com o cálculo de equivalência de capitais nos juros 
simples. 
 
 
37 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
PRINCIPAIS CONCEITOS 
 CAPITAL (C) é o valor aplicado através de alguma operaçãofinanceira. Também 
conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Aplicado, Valor Presente (VP) ou Present Value 
indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras. 
 JUROS (J) representam a remuneração ou rendimento do Capital empregado em 
alguma atividade produtiva, os quais podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples 
(linear) ou compostos (exponencial). 
 
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre 
o capital inicial emprestado ou aplicado. 
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir 
do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada 
intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros 
também. 
 
 TAXA DE JUROS (i) que vem do inglês interest que significa juro, indica qual a taxa de 
remuneração ou rendimento ao dinheiro aplicado, em um determinado período. Ela vem 
normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de 
tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária ou decimal, que é igual à taxa 
percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre). 
 PRAZO (n) é o tempo de aplicação do Capital. 
 MONTANTE (M) é a soma do capital aplicado com o juro por ele produzido e também é 
chamado de saldo final, Valor Futuro (VF) ou Future Value, indicado pela tecla FV nas 
calculadoras financeiras. 
 
 
4.1 – CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 
 O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o 
Capital. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Capital é o valor 
inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Portanto, temos que Juros é 
igual ao Capital multiplicado pela taxa de juros e pelo número de períodos: 
niCJ .. 
 
Onde: J = juros; C = capital (valor principal, valor presente, principal); 
 i = taxa de juros; n = número de períodos (prazo). 
Daí, deduzimos que: 
ni
J
C
.
 
nC
J
i
.
 
iC
J
n
.
 
 
 
38 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Observações: 
 
1 - A TAXA e o PRAZO devem estar na mesma unidade de tempo. 
 
2 – ANO CIVIL: é o ano do calendário, ou seja, o ano que todos nós vivemos. Possui: 365 dias 
(ou 366 dias quando for bissexto); 12 meses de 28(9); 30 ou 31 dias. 
 
3 - ANO COMERCIAL: usamos no cálculo. O ano tem 360 dias, 12 meses de 30 dias, 6 
bimestres de 60 dias, 4 trimestres de 90 dias, 3 quadrimestres de 120 dias, 2 semestres de 
180 dias e 1 mês de 30 dias. 
 
4 - JURO COMERCIAL OU ORDINÁRIO: é calculado levando-se em consideração o ano 
comercial, isto é, 1a = 2s = 3q = 4t = 6b = 12m = 360d. 
 
5 - JURO EXATO: é calculado levando-se em consideração os dias do calendário e como 
transformador de unidades o fator 365 ou 366 no caso de ano bissexto. Utiliza-se a Regra do 
Juro Exato quando o prazo for apresentado fazendo-se referência ao ano do civil, e vier 
escrito no problema que o cálculo utilizará esta regra. 
 
4.2 – CÁLCULO DO MONTANTE: 
 
Somando o Capital e os Juros, obteremos o Montante: 
 
JCM  
 
 ).1(.. niCMniCCM  
 
 Futuro ).1.( niCM  
 
ni
M
C
.1
 Presente 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
Ex1: Uma dívida de R$ 10.000,00 que deve ser paga com uma taxa de juros simples de 5% am 
pelo prazo de 3 meses. Calcular o juro comercial e o montante da dívida. 
Dados: C = 10.000,00 i = 5% am = 0,05 am n = 3 meses J = ? e M = ? 
 
Diagrama de fluxo: ajuda a entender o exercício proposto e serve para mostrar graficamente 
as transações financeiras em um período. 
 M = ? 
 
 
 0 1 2 3 
 C = 10000 
 3 meses 
Solução: 00,500.1305,010000..  xxniCJ 
 00,500.11150010000  JCM ou 
 00,500.11)305,01(10000).1(  xxniCM 
 
 
 
39 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
CALCULADORA CIENTÍFICA CASIO 
Cálculo direto, com a equação aparecendo no visor: 
 
Acionar a tecla MODE, 3 ou 4 vezes, até aparecer FIX 1. Clicar 1 e aparecerá FIX 0~9 ? 
Clicar: 2 para arredondar cientificamente com duas casas depois da vírgula. 
Juro: 10000 x 0,05 x 3 = 1.500,00 
Montante: 10000 + 1500 = 11.500,00 
Montante: 10000 x (1 + 0,05 x 3) = 11.500,00 
 
 
HP-12C – JURO SIMPLES - cálculo aritmético 
f CLX/REG Limpa a memória 
f 2 0,00 
10000 ENTER 0,05 x 3 x 1.500,00 
10000 + 11.500,00 
 
HP-12C – JUROS SIMPLES – roteiro do cálculo usando a memória 
f CLX/REG ou f FIN Limpa a memória 
Inserir o CAPITAL – acionar CHS PV 
Inserir a TAXA DE JUROS, sempre ao ANO - acionar i 
Inserir o PRAZO, sempre em DIAS - acionar n 
Calcular o JURO COMERCIAL - acionar f i/INT 
Calcular o MONTANTE COMERCIAL - acionar + 
 
Para calcular o JURO EXATO - acionar X><Y 
Recuperar o CAPITAL - acionar RCL PV CHS 
Calcular o MONTANTE EXATO - acionar + 
 
Para alternar o valor do MONTANTE COMERCIAL e MONTANTE EXATO – acionar X><Y 
 
HP-12C – cálculo usando a memória 
f CLX/REG ou f FIN Limpa a memória 
f 2 
10000 CHS PV -10.000,00 
5 ENTER 12 x i 60,00 (SEMPRE AO ANO) 
3 ENTER 30 x n 90,00 (SEMPRE EM DIAS) 
f i/INT 1.500,00 (JURO COMERCIAL) 
+ 11.500,00 (MONTANTE COMERCIAL) 
 
X><Y 1.479,45 (JURO EXATO) 
RCL PV CHS 10.000,00 (RECUPERAR O CAPITAL) 
+ 11.479,45 (MONTANTE EXATO) 
 
Alternar MONTANTE COMERCIAL e MONTANTE EXATO: 
X><Y 11.500,00 (MONTANTE COMERCIAL) 
X><Y 11.479,45 (MONTANTE EXATO) 
 
 
 
40 MATEMÁTICA PARA GESTÃO DE NEGÓCIOS 
Ex2: Determinar o montante comercial resultante da aplicação de R$ 50.000,00 à taxa de 
juros de 25% ao ano durante 128 dias, no regime de capitalização simples. 
Dados: M = ? C = 50.000,00 i = 25%aa= 0,25aa n = 128 dias = 128/360 ano 
Diagrama de fluxo: 
 M=? 
 0 30d 60d 90d 120d 128d 
 C = 50000 
 
 128 dias = 128/360 ano 
Solução: 44,444.54)360128.25,01(50000).1(  xniCM 
CALCULADORA CIENTÍFICA CASIO 
Cálculo direto, com a equação aparecendo no visor: 
Acionar a tecla MODE, 3 ou 4 vezes, até aparecer FIX 1. Clicar 1 e aparecerá FIX 0~9 ? 
Clicar: 2 para arredondar cientificamente com duas casas depois da vírgula. 
Montante: 50000 x (1 + 0,25 x 128 ÷ 360) = 54.444,44 
 
HP-12C – cálculo aritmético 
f CLX/REG Limpa a memória 
f 2 0,00 
0,25 ENTER 128 x 360 : 0,09 
1 + 1,09 
50000 x 54.444,44 
 
HP-12C – cálculo usando a memória 
f CLX/REG ou f FIN Limpa a memória 
f 2 0,00 
50000 CHS PV -50.000,00 
25 i 25,00 
128 n 128,00 
f i/INT 4.444,44 
+ 54.444,44 
 
Ex3: Qual é o juro simples que um capital de R$ 5.800,50 produz quando aplicado a uma taxa 
de 4,5% am num período de 210 dias? 
Dados: j = ? C = 5.800,50 i = 4,5% am = 0,045 am n = 210 dias = 210/30 meses 
Solução: niCJ .. = 5800,50 . 0,045 . 210÷30 = R$ 1827,16. 
 
Ex4: Calcular os juros simples de um capital de R$ 2.545,00