Aula1_EST_probabilidade_aluno

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AULA 1 – Noções de Probabilidade (Revisão)
– Espaço Amostral e Eventos
EXPERIMENTO: Todo processo de realizar observações e obter dados.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO: É aquele onde apesar de se conhecer todos os possíveis resultados não se pode antecipar seu resultado, como por exemplo o lançamento de um dado ou de uma moeda.
ESPAÇO AMOSTRAL (S): É o conjunto dos possíveis resultados de um experimento aleatório. 
O número de elementos deste conjunto é indicado por n(S)
Como por exemplo, no lançamento do dado o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 		n(S) = 6
EVENTO: É subconjunto do espaço amostral, contendo os elementos favoráveis.
Como por exemplo, no lançamento do dado podemos ter como evento a ocorrência de um número par, assim o conjunto evento contém todos os números pares possíveis em um dado, logo A = {2, 4, 6}, n(A) = 3.
Tipo de Eventos
Evento simples: formado por um único elemento do espaço amostral.
Exemplo: se lançarmos 3 moedas consecutivamente, o evento K, K, K (três caras) é simples.
Evento composto: formado por mais de um elemento do espaço amostral. 
Exemplo: se lançarmos 2 dados e desejamos a soma igual a 11, é um evento composto, pois existem 2 elementos do espaço amostral nestas condições (6,5) e (5, 6).
Evento complementar: dizemos que um evento é complementar na seguinte condição:
Exemplo: ao lançarmos duas moedas, temos S = {(KK);(KC);(CK);(CC)}; se considerarmos A = {(KK)}, o complementar de A será 
Eventos mutuamente exclusivos: Se A e B são dois eventos, dizemos que A e B são mutuamente exclusivos se A B = , ou seja, se ocorre A não pode ocorrer B. 
Exemplo, se lançarmos uma moeda, se ocorre cara, não ocorre coroa.
Eventos independentes: dois ou mais eventos se dizem independentes se a ocorrência de um não influencia a ocorrência do outro. 
Por exemplo: o fato de sair um determinado número no dado não influi na saída de outro.
Eventos coletivamente exaustivos: se a união dos eventos formarem o espaço amostral, onde cada evento pode ter elementos repetidos no outro evento. A união deles é 1.
– Propriedades das Probabilidades
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. Num experimento aleatório equiprovável, a probabilidade de ocorrer o evento X, dentro do espaço amostral S é dada por:
A PROBABILIDADE de sucesso P(A) do evento A é um número entre zero e um, 0 P(A) 1.
Tendo presente que a probabilidade P(A) está associada à proporção de sucessos do evento A:
Se P(A) = 0 o evento A nunca ocorrerá, pois é um evento impossível;
Se P(A) = 1 o evento A sempre ocorrerá, pois é um evento certo.
A soma das probabilidades de todos os resultados (eventos elementares de um espaço amostral) é sempre igual a um.
A probabilidade de um evento não ocorrer é igual a um menos a probabilidade do evento ocorrer. 
Propriedades:
P(A) + P(B) = 1 	(sendo B o complemento de A)
0 P(A) 1		(qualquer que seja A)
P() = 0
P(S) = 1
– Eventos: Soma, Produto, Independentes e Condicionados.
União de Probabilidades
1) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, temos:
P(A B) = P(A) + P(B)
Ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é igual a soma da probabilidade de ocorrência do evento A com a probabilidade de ocorrência do evento B. 
Podemos ter outros casos como P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C).
2) Quando A e B têm elementos comuns, ao associarmos a A B uma probabilidade P(A) + P(B), estaremos atribuindo um valor maior que a “verdadeira”, uma vez que as probabilidades dos elementos comuns a A e B, terão sido computadas duas vezes.
Assim, se os eventos não são mutuamente exclusivos, temos:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 
Exemplo:
Uma URNA tem 15 bolas de mesmo raio, numeradas de 1 a 15:
Qual a probabilidade de se tirar uma bola cujo número seja múltiplo de 5 ou 4?
S = {1, 2, 3, ... , 15} 	n(S) = 15
A: múltiplo de 5 	A = {5, 10, 15}	n(A) = 3
B: múltiplo de 4	A = {4, 8, 12}		n(B) = 3	A B = 
Então
Qual a probabilidade de se tirar uma bola cujo número seja múltiplo de 3 ou 4?
S = {1, 2, 3, ... , 15} 	n(S) = 15
A: múltiplo de 3 	A = {3, 6, 9, 12, 15}	n(A) = 5
B: múltiplo de 4	A = {4, 8, 12}		n(B) = 3	A B = {12}; n(A B) = 1
Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos, com P(A) > 0. Denotemos por P(B/A) a probabilidade de ocorrência de B, na hipótese de A ter ocorrido. Como A ocorreu, A passa a ser o novo espaço amostral, que vem substituir o espaço original S. Daí:
Exemplo: 
Sorteando-se um número ao acaso entre os inteiros 1, 2, ... , 15, qual a probabilidade do número ser 6, sabendo-se que saiu par.
S = { 1, 2, 3, ... , 15} 	n(S) = 15
B = {o número é 6} = {6} 	n(B) = 1
A = {o número é par} = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 	n(A) = 7
A B = {6} n(A B) = 1
Então:
Intersecção de Probabilidades
1) Se dois eventos são independentes, então a probabilidade da ocorrência de ambos é igual ao produto de suas probabilidades individuais.
P(A B) = P(A)P(B)
Exemplo: 
Retiram-se, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de que ambas sejam de “espada”?
S = { todas as cartas do baralho} 	n(S) = 52
A = {1ª carta é de espada}	n(B) = 13
B = {2ª carta é de espada}	n(B) = 13
2) Se um evento depende do outro, a probabilidade da ocorrência simultânea dos dois é dada pelo produto da probabilidade de um dos eventos, pela probabilidade condicional do outro evento.
P(A B) = P(A) P(B/A)	com P(A) 
Exemplo: 
Qual a probabilidade de se retirar (sem reposição) 5 cartas de copas de um baralho de 52 cartas?
1.5 – Árvore de Decisão
É a representação gráfica dos eventos elementares de um espaço amostral. Esta representação é muito útil para organizar os cálculos de experimentos com mais de uma etapa.
Exemplo: o lançamento de uma moeda três vezes seguidas. Repetindo-se o experimento um número muito grande de vezes, a freqüência relativa dos 8 eventos tenderá a 1/8. A probabilidade os oito eventos é a mesma pois os eventos são igualmente prováveis.
	
	
	Cara
	Evento 1 = {Ca; Ca; Ca}
	
	Cara
	Coroa
	Evento 2 = {Ca; Ca; Co}
	Cara
	
	
	
	
	Coroa
	Cara
	Evento 3 = {Ca; Co; Ca}
	
	
	Coroa
	Evento 4 = {Ca; Co; Co}
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Cara
	Evento 5 = {Co; Ca; Ca}
	
	Cara
	Coroa
	Evento 6 = {Co; Ca; Co}
	Coroa
	
	
	
	
	Coroa
	Cara
	Evento 7 = {Co; Co; Ca}
	
	
	Coroa
	Evento 8 = {Co; Co; Co}
	
	
	
	
	
	
	
	
2. Resolução de exercícios
Qual é a probabilidade de ao se jogar um dado honesto, se obter um número primo?
Temos duas caixas com bolinhas nas seguintes quantidades: 
Caixa A: 10 bolinhas azuis, 15 bolinhas brancas e 30 bolinhas vermelhas. Total 55: bolinhas.
Caixa B: 20 bolinhas azuis, 18 bolinhas brancas e 22 bolinhas vermelhas. Total 60: bolinhas.
Retiramos uma bolinha de cada urna. Qual é a probabilidade de que ambas as bolinhas retiradas sejam azuis?
Retiramos sem reposição três caras de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade que as três sejam vermelhas:
Uma caixa contém 20 canetas iguais, das quais 7 são defeituosas, e outra caixa contém 12, das quais 4 são defeituosas. Uma caneta é retirada aleatoriamente de cada caixa. Qual é probabilidade de que ambas não sejam defeituosas e qual é a probabilidade de que uma seja perfeita e a outra não?
Certo tipo de motor pode apresentar dois tipos de falhas: mancais presos e queima do induzido. Sabendo-se que as probabilidades de ocorrência dos defeitos são 0,2 e 0,03, respectivamente, determinar a probabilidade de que num motor daquele tipo, selecionado ao acaso, não ocorra, simultaneamente, as duas falhas.
Visando determinar a probabilidade de se encontrar fumantes numa determinada cidade fez-se uma pesquisa na qual se entrevistou 856 pessoas às quais se perguntou sobre ser fumante ou não, 327 destas pessoas admitiram serem fumantes. Podemos afirmar que,
nesta cidade a probabilidade de se encontrar ao acaso uma pessoa não fumante é de:
Questões Extras
1- (Banco do Brasil 2011 – FCC) Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e têm iguais condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados é igual a: 
(A) 5/14
(B) 3/7
(C) 4/7
(D) 9/14
(E) 5/7
2 – (Banco do Brasil 2010 – FCC) Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que:
I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia.
II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.
III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.
IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.
Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é:
(A) 58%
(B) 56%
(C) 54%
(D) 52%
(E) 48%
3 – (Caixa Econômica Federal 2008 – CESGRANRIO)
4 – (Caixa Econômica Federal 2008 – CESGRANRIO) Em uma URNA há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?
5 – (Banco do Brasil 2012 – CESGRANRIO) Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente
três vezes?
(A) 3/4
(B) 1/8
(C) 1/4
(D) 1/3
(E) ½
Bibliografia
BRUNI, ADRIANO LEAL. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.
ANDERSON; SWEENEY & WILLIAMS. Estatística aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thonson Learnig, 2007.
MOORE, MCCABE, DUCKWORTH & SCLOVE. A Prática da Estatística Empresarial. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
LARSON & FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Pearson, 2004.
MORETTIN, L.G. Estatistica Básica. São Paulo: Makron Books, 1999
MAGALHES, MARCOS NASCIMENTO & LIMA, ANTONIO CARLOS PEDROSO. Noções de probabilidade e estatística. EDUSP.2002.
CRESPO; ANTÔNIO ARNOT.Estatística Fácil. Editora Saraiva, 2009
UNIP - Estatística	Profª Patrícia Alves		Aula 1- pg.1