Aula3_EST_binomial_poisson_aluno

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AULA 3 – Distribuição Binomial e de Poisson
Fatorial
Fatorial é o produto de todos os números naturais de n até 1, como por exemplo:
Por definição
:
A função fatorial é normalmente definida por:
Distribuição binomial
A distribuição binomial é utilizada para resolver problemas onde é preciso determinar a probabilidade de se obterem x sucessos em n tentativas, que satisfaçam as seguintes condições:
O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (representaremos por n)
Os eventos devem ser independentes, isto é, o resultado de um não deve afetar nos resultados dos próximos eventos.
Em cada evento devem aparecer apenas dois possíveis resultados: sucesso e fracasso (ou insucesso).
A probabilidade do sucesso (p) e do fracasso (q) deve ser constante durante o experimento todo. Representados por:
Sucesso = p e Fracasso = q = 1 - p
Outra notação comum:
O
nde
A distribuição binomial (ou lei binomial) é definida pela seguinte função:
P(X) é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n tentativas;
p é a probabilidade de sucesso;
q=(1 – p) é a probabilidade de fracasso ou insucesso;
n = número de eventos estudados
x = número de eventos desejados que tenham sucesso
 é o coeficiente binomial de n sobre x, igual a 
Média e variância da distribuição binomial
Média 
Variância 
Desvio padrão 
Onde:
p é a probabilidade de sucesso;
q=(1 – p) é a probabilidade de fracasso ou insucesso;
n = número de eventos estudados
Exemplo
Um pesquisador está estudando as probabilidades associadas aos elementos de uma amostra de 4 crianças terem mais que 6 anos de idade.
Define-se como sucesso o fato de terem mais que seis anos e o fracasso seria terem seis ou menos anos de idade.
Sendo p a probabilidade do evento sucesso e q = (1 – p) a probabilidade do evento fracasso
Sabendo que a probabilidade de uma criança ter mais que seis anos de idade é igual a 80% = 0,80, logo a probabilidade de a criança ter seis anos ou menos será igual a 20% = 0,20.
Sucesso p = 0,80
Fracasso q = 1 – p = 1 -0,80 = 0,20 
Já que a amostra é formada por 4 crianças, o pesquisador pode encontrar a probabilidade associada a diferentes números de crianças com mais que seis anos de idade.
Onde: x é o número de crianças na amostra com mais de seis anos e n o numero total de crianças da amostra
	x
	
	P(x)
	0
	
	0,16%
	1
	
	2,56%
	2
	
	15,36%
	3
	
	40,96%
	4
	
	40,96%
	Total 
	1 = 100%
Em seu estudo o pesquisador precisa obter as seguintes probabilidades:
Qual a probabilidade de encontrar apenas 1 criança com mais de 6 anos em uma amostra formada por 4 crianças?
Consultando a tabela acima se pode afirmar que a probabilidade é igual a 2,56%.
Qual a probabilidade de encontrar 1 ou 2 crianças com mais de 6 anos?
Consultando a tabela acima basta somar as respectivas probabilidades:
Qual a probabilidade de encontrar pelo menos 1 criança com mais de 6 anos?
Consultando a tabela acima basta somar as respectivas probabilidades:
Outra forma de resolver:
P(pelo menos 1) = 1 – P(x = 0)
P(pelo menos 1) = 1 – 0,16% = 99,84%
Qual o valor esperado (ou média da probabilidade) e o desvio padrão?
Média 
Variância 
Desvio padrão 
O valor esperado, ou a média de crianças com mais que seis anos de idade, é igual a 3,2 e o desvio padrão 0,8.
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é utilizada quando uma variável aleatória x admite distribuição binomial com o número n de repetições do experimento muito grande (n > 30) e com a probabilidade p de sucesso muito pequeno (p < 0,05).
Nesta situação, o cálculo numérico da expressão se torna praticamente inviável.
E para efetuar o cálculo dessa probabilidade usa-se a seguinte aproximação da distribuição Binomial com a de Poisson:
Onde: 
x = número de eventos desejados que tenham sucesso
P(X) é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n tentativas;
p é a probabilidade de sucesso;
q=(1 – p) é a probabilidade de fracasso ou insucesso;
n = número de eventos estudados
Exemplo:
Uma máquina produz 9 peças defeituosas a cada 1000 peças produzidas. Calcule a probabilidade de que em um lote que contém:
200 peças sejam encontradas 8 peças defeituosas;
500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa.
Solução:
D = peça defeituosa		N = peça normal (sem defeito)
Sucesso Probabilidade de peça defeituosa = p = 0,009
Fracass0 Probabilidade de peça normal = q=1 - p = 1- 0,009 = 0,991
Item a)
O experimento será repetido independentemente 200 vezes e estamos interessados na ocorrência de 8 peças defeituosas (sucesso) e 192 normal (fracasso) independentes da ordem de ocorrência.
Pela distribuição binomial temos:
Pela distribuição Poisson temos:
Observe que as duas formas de cálculos apresentam praticamente os mesmos valores, uma vez que as condições para a aproximação n > 30 e p < 0,05 estão satisfeitas.
Item b)
Pela distribuição Poisson temos:
Resolução de exercícios
Uma moeda honesta, que apresenta a mesma probabilidade de cara ou coroa, é jogada quatro vezes. Deseja-se calcular a probabilidade de sair cara: 
(a) uma vez, 
(b) três vezes, 
(c) pelo menos 1 vez.
Em relação a questão anterior, calcule a probabilidade de ocorrer pelo menos:
Uma cara;
Duas caras;
Três coroas.
Considere que um teste de múltipla escolha contém 100 questões com três alternativas cada uma. Se um grupo de alunos responde ao teste baseado apenas em palpites, deseja-se obter: 
O valor esperado ou a média de questões corretas
O desvio padrão associado ao número de questões corretas.
Sabe-se que no último campeonato de futebol de praia a proporção de jogadores com mais de 1,65m é igual a 0,82. Em uma amostra formada por 80 times de futebol com 11 integrantes cada um, deseja-se obter quantos times deverão ser formados por: 
(a) sete jogadores com mais de 1,65m; 
(b) pelo menos nove jogadores com mais de 1,65m.
Supondo que o número de carros que chegam a uma fila do guichê de um pedágio tem distribuição de Poisson a uma taxa de três por minuto, calcule a probabilidade de que cheguem cinco carros nos próximos dois minutos.
No serviço de atendimento ao cliente de um grande banco verificou-se que recebe chamadas telefônicas à razão de quatro por hora. Em um intervalo de meia hora, qual a probabilidade de serem atendidas exatamente três chamadas? (Calcule usando a distribuição de Poisson)
Uma pizzaria recebe em média 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que em uma hora sejam recebidas exatamente 5 chamadas? (Calcule usando a distribuição de Poisson)
Considere o lance de três dados honestos. Calcule a probabilidade de aparecer a face quatro apenas uma vez.
Um time de futebol de botão tem 72% de probabilidade de vitória sempre que joga. Se o time jogar sete partidas, calcule a probabilidade de ele:
Vencer exatamente três partidas;
Vencer ao menos uma partida;
Vencer mais da metade das partidas.
Em um campeonato de tiro, a probabilidade de um atirador acertar o alvo é de ¼. Se ele atirar seis vezes, qual a probabilidade de:
Acertar exatamente dois tiros?
Não acertar nenhum tiro?
A probabilidade de um aluno ser aprovado em Física é igual a 76%. Calcule a probabilidade de, em um grupo de seis alunos:
No máximo cinco serem aprovados;
Exatamente dois serem reprovados.
Uma recente pesquisa detectou que 90% dos fumantes de uma região afirmaram desejar parar com seu vício. Em uma amostra formada por dez pessoas:
Qual a probabilidade de a maioria querer parar de fumar?
Qual a probabilidade de todos quererem parar de fumar?
Se 7% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:
Nenhuma defeituosa?
Três defeituosas?
Mais do que uma defeituosa?
A probabilidade de um atirador acertar o alvo é de
¼. Se ele atirar três vezes, qual a probabilidade de:
Acertar exatamente dois tiros?
Não acertar nenhum tiro?
Exercícios extras:
Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.
Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos.
Um exame do tipo teste é constituído de 20 questões, cada uma delas com cinco respostas alternativas, das quais apenas uma é correta. Se um estudante responde as questões ao acaso, qual é a probabilidade que consiga acertar exatamente 10 questões?
Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contêm 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo:
Nenhuma peça defeituosa;
Uma peça defeituosa.
Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade que:
No máximo dois sejam pagos com atraso.
No mínimo três sejam pagos sem atraso.
Mais de 70% sejam pagos sem atraso.
Uma amostra de 15 peças é extraída, com reposição de um lote que contém 10% de peças defeituosas. Calcule a probabilidade de que:
O lote não contenha peça defeituosa; 
O lote contenha exatamente três peças defeituosas; 
O lote contenha pelo menos uma peça defeituosa; 
O lote contenha entre três e seis peças defeituosas; 
O lote contenha de três a seis peças defeituosas. 
Calcule o valor esperado e o desvio padrão para o número de peças defeituosas na amostra do problema anterior.
Uma empresa vendedora de carros usados tem as suas vendas distribuídas de acordo com a distribuição de Poisson. Sabendo-se que a empresa vende em média seis carros por mês e analisando-se uma quinzena de vendas, qual a probabilidade de a empresa vender: 
(a) apenas três carros?
(b) pelo menos dois carros?
(c) nenhum carro?
O número de clientes que entram por hora em uma loja de roupas é aproximadamente igual a três. Calcule a probabilidade de: 
(a) em três horas entrarem pelo menos dois clientes; 
(b) em cinco horas entrarem exatamente catorze clientes.
Uma rodovia registra um total de oito acidentes por ano, em média. Qual a probabilidade de que em um determinado ano verificar no máximo dois acidentes ? 
Um caixa rápido atende a clientes à razão de dois por minuto. Em um intervalo de dez minutos, calcule a probabilidade de serem atendidos: 
(a) 20 clientes; 
(b) 21 clientes; 
(c) 18 clientes.
Uma central telefônica costuma registrar uma média de 300 telefonemas por hora.qual a probabilidade de que em um minuto não haja nenhum chamado?
A média de defeitos no couro que reveste o estofado de uma determinada marca de veículos de luxo em igual a quatro por metro quadrado. Determine a probabilidade de 1 m² ter somente um defeito.
Bibliografia
BRUNI, ADRIANO LEAL. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.
ANDERSON; SWEENEY & WILLIAMS. Estatística aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thonson Learnig, 2007.
MOORE, MCCABE, DUCKWORTH & SCLOVE. A Prática da Estatística Empresarial. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
LARSON & FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Pearson, 2004.
MORETTIN, L.G. Estatística Básica. São Paulo: Makron Books, 1999
MAGALHES, MARCOS NASCIMENTO & LIMA, ANTONIO CARLOS PEDROSO. Noções de probabilidade e estatística. EDUSP.2002.
UNIP – Estatística	Profª Patrícia Alves		Aula3 - pg.5