Buscar

engenharia_ambiental___probabilidade_e_estat-tica___map_02___teoremas_de_probabilidade

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Teoremas de Probabilidade (fundamentais)
	Teoremas são proposições que se demonstram a partir dos axiomas conhecidos.
Teorema 1:	Se Ø é o conjunto vazio, então P(Ø) = 0.
 
Teorema 2:	Se AC é o complemento de um evento A, então P(AC) = 1 – P(A). 
Teorema 3 (Adição de Probabilidades): Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
	
Eventos Independentes
	Um evento B é dito independente de um evento A, se a probabilidade de B ocorrer não é influenciada pelo fato de o evento A ter ocorrido ou não. Em outras palavras, se a probabilidade de B é igual à probabilidade condicional de B dado A: P(B) = P(B\A).
	Substituindo P(B) por P(B\A) no Teorema da Multiplicação: 
 obtemos a equação abaixo, que é usada como definição formal da independência:
	
		
Analogamente, para n eventos mutuamente independentes A1, A2,... , An, teremos:
		
 para i = 1, 2,... , n. 
Exemplo 1
Sejam A e B os eventos com 
 
 e 
 Encontre:
a) 
 
b) 
Exemplo 2
Duas moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual a probabilidade de as duas moedas caírem com a face cara voltada para cima?
Exemplo 3
A probabilidade de um jogador A acerta no alvo é 
 e a probabilidade de um jogador B acertar é 
 Qual é a probabilidade do alvo ser atingido, se ambos atirarem no alvo?
Exercícios de Fixação
01. Seja A e B eventos com 
 
 e 
 Encontre:
a) 
					
b) 
 
c) 
 
02. Uma rifa composta por 15 números irá definir o ganhador de dois prêmios sorteados um de cada vez. Se você adquiriu três números, qual a sua probabilidade de ganhar os dois prêmios? (0,0286)
03. Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:
a) ambas sejam pretas; (0,0667)
b) ambas sejam vermelhas; (0,2222)
c) ambas sejam da mesma cor; (0,3111)
d) ambas sejam de cores diferentes. (0,6889)
04. Uma urna contém 7 boas vermelhas e 3 bolas brancas. Três bolas são retiradas (sem reposição), uma após a outra. Encontre a probabilidade das duas primeiras serem vermelhas e a terceira ser branca. (0,175)
05. Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard? (0,3636)
06. A probabilidade de um homem viver mais 10 anos é 
 e a probabilidade de sua esposa viver mais dez anos é 
. 
Encontre a probabilidade de:
a) ambos estarem vivos dentro de 10 anos; (0,0833)
b) ao menos um estar vivo dentro de 10 anos; (0,5)
c) nenhum estar vivo dentro de 10 anos; (0,5)
d) somente a esposa estar viva dentro de 10 anos. (0,25)
07. Um time de futebol ganha (G) com probabilidade de 0,6, perde (P) com probabilidade de 0,3 e empata (E) com probabilidade de 0,1. O time joga três partidas na 1ª fase de um campeonato. Determine a probabilidade de o time ganhar pelo menos duas vezes e não perder. (0,324)
08. Uma pesquisa realizada entre 200 clientes de uma agência de automóveis mostrou que 150 preferem carros nacionais, 100 preferem carros populares e 80 preferem carros populares nacionais. Calcule a probabilidade de que o próximo cliente a ser atendido nesta agência:
a) não solicite um carro popular; (0,5)
b) solicite um carro popular ou nacional. (0,85)
09. Uma pessoa compra três bilhetes de uma rifa de 100 bilhetes, que dá vários prêmios. Calcule a probabilidade de que essa pessoa:
a) ganhe o prêmio do segundo sorteio, se ela não ganhou o prêmio do primeiro sorteio; (0,0303)
b) não ganhe nenhum dos prêmios dos cinco sorteios realizados. (0,8560)
10. Uma máquina produz parafusos e sabe-se que o percentual de parafusos defeituosos é de 0,5%. Sabendo-se que a fabricação constitui um processo independente, calcule a probabilidade de aparecer um parafuso perfeito e um parafuso defeituoso, em sequência. (0,00995)
Teorema da Probabilidade Total
	Suponha que os eventos A1, A2,..., An formam uma partição de um espaço amostral S, ou seja, os eventos Ai são mutuamente exclusivos e a sua união é o espaço amostral S.
	Seja B outro evento qualquer referente ao espaço amostral S e A1, A2,..., An uma partição de S. 
Então:
onde os eventos 
 são mutuamente exclusivos 
e alguns 
 podem ser vazios.
Consequentemente:
		
Assim pelo Teorema da Multiplicação, temos que:
		
	 
Teorema de Bayes
	Seja A1, A2,..., An uma partição do espaço amostral S e B, um evento qualquer definido em S. Então, se aplicarmos a definição da definição de probabilidade condicionada para qualquer i, tem-se que:
		
	
Exemplo 1
Uma peça é manufaturada por três fábricas (F1, F2 e F3). Sabe-se que F1 produz 50% das peças, e que as fábricas F2 e F3 produzem 25% das peças (cada uma), durante um período de tempo de produção especificado. Sabe-se, também, que 2% das peças produzidas por F1 e F2 são defeituosas, enquanto que 4% das peças produzidas por F3 apresentam defeito. Todas as peças são colocadas em um mesmo depósito e, algum tempo após, uma peça é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de que esta peça seja defeituosa?
Exemplo 2
As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40% respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção destas máquinas valem 3% e 7%, respectivamente. Se uma peça for selecionada ao acaso da produção total desta empresa, determine:
a) a probabilidade de que ela seja defeituosa;
b) a probabilidade de que esta peça, defeituosa, tenha sido produzida pela máquina B.
Exercícios de fixação
01. Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A fábrica A é responsável por 30% do total produzido, a fábrica B produz 40% do total e o restante da produção vem da fábrica C. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos. Tais produtos são considerados defeituosos e correspondem a 1%, 2% e 3%, respectivamente, dos totais produzidos nas fábricas A, B e C. 
No centro de distribuição é feito o controle de qualidade da produção combinada das fábricas. 
a) Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de qualidade? (0,02)
b) Durante a inspeção de qualidade foi encontrado em produto defeituoso. Determine a probabilidade de que este produto tenha sido produzido na fábrica B. (0,4)
02. Um aluno propõe-se a resolver uma questão de um trabalho. A probabilidade de que consiga resolver a questão sem necessidade de uma pesquisa é de 40%. Caso faça a pesquisa, a probabilidade de que consiga resolver a questão é de 70%. Se a probabilidade de o aluno fazer a pesquisa é de 80%, calcule a probabilidade de que consiga resolver a questão do trabalho. (0,64)
03. Três máquinas A, B e C produzem, respectivamente, 60%, 30% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são, respectivamente, 2%, 3% e 4%. Uma peça é selecionada aleatoriamente e é defeituosa. Qual a probabilidade da peça ter sido produzida pela máquina C? (0,16)
04. Suponha que 2% dos rolos de tecido de algodão e 3% dos rolos de tecido de náilon contenham falhas. Dos rolos usados por um fabricante, 70% são de algodão e 30% são de náilon. Qual será a probabilidade de que um rolo selecionado aleatoriamente, usado pelo fabricante, contenha falhas? (0,023)
05. A aspereza nas bordas de produtos de papel cortado aumenta à medida que as lâminas de uma faca vão sendo gastas. Somente 1% dos produtos cortados
com novas lâminas tem bordas ásperas, 3% dos produtos cortados com lâminas mediamente afiadas exibem rugosidade e 5% dos produtos cortados com lâminas gastas exibem rugosidade. Se 25% das lâminas na fabricação forem novas, 60% forem mediamente afiadas e 15% forem gastas, qual será a proporção dos produtos que exibem uma aspereza nas bordas? (0,028)
06. Na fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade seja:
- 0,10 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto;
- 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto;
- 0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto.
	Em uma corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de contaminação. 
a) Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips, falhe? (0,0235)
b) Um produto (usando um desses chips) falhou, qual a probabilidade de que ele esteja sujeito a níveis médios de contaminação? (0,1277)
07. A experiência com testes psicotécnicos para habilitação de motoristas indica que 90% dos candidatos à habilitação aprovados no primeiro teste tornam-se excelentes motoristas e que 70% dos candidatos reprovados no primeiro teste tornam-se péssimos motoristas. Se 80% dos candidatos são aprovados neste teste, qual a probabilidade de que um indivíduo que acaba de fazer um teste psicotécnico tem de se tornar um excelente motorista, admitindo a classificação apenas em excelentes ou péssimos motoristas. (0,78)
08. Três fábricas produtoras de papel assumiram o compromisso de reflorestar determinada área desmatada devido à extração da matéria prima necessária para a sua produção. A área a ser reflorestada foi dividida em lotes. A fábrica A ficou responsável pelo reflorestamento de 40% dos lotes, 32% dos lotes ficaram sob responsabilidade da fábrica B e, os 28% dos lotes restantes, ficaram sob responsabilidade da fábrica C. Sabe-se, por ações ambientais realizadas anteriormente, que existe a possibilidade de que as fábricas não realizem o reflorestamento de forma adequada. A probabilidade de que as fábricas A, B e C não realizem o reflorestamento de forma adequada é de 3%, 2% e 1%, respectivamente. Em um lote desta área, selecionado ao acaso, verificou-se que o reflorestamento não foi realizado de forma adequada. Determine a probabilidade de que este lote esteja sob a responsabilidade da fábrica B. (0,3019)
_1368258984.unknown
_1368629331.unknown
_1368776526.unknown
_1378050758.unknown
_1378050786.unknown
_1368776629.unknown
_1368776884.unknown
_1368781028.unknown
_1368776537.unknown
_1368773376.unknown
_1368776311.unknown
_1368773356.unknown
_1368627651.unknown
_1368628384.unknown
_1368259055.unknown
_1368259080.unknown
_1368258142.unknown
_1368258845.unknown
_1368258936.unknown
_1368258422.unknown
_1368258445.unknown
_1368258364.unknown
_1368258116.unknown
_1368258129.unknown
_1368183305.unknown

Teste o Premium para desbloquear

Aproveite todos os benefícios por 3 dias sem pagar! 😉
Já tem cadastro?

Outros materiais