Exercícios - Funções Vetoriais

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UEPB – Universidade Estadual da Paraíba 
 
 Disciplina: Calculo III 
 
 Professor: Onildo Freire 
 
 
1ª Lista de Exercícios – Unidade II – Funções Vetoriais 
 
 
1. Encontre a derivada direcional de 
f
 em 
P
 na direção indicada. 
 
a) 







x
y
arcyxf tan),(
 , 
)4,4( P
 , 
jiv 32 
 
138
1
: R
 
 
b) 
149),( 22  yxyxf
 , 
)2,3( P
 , 
jiv 5
 
268
67
:R
 
 
c) 
yxyxf 2cos),( 
 , 






4
,2

P
 , 
jiv  5
 
262
1
:R
 
 
d) 
22),,( zyxzyxf 
 , 
)4,1,2( P
 , 
kjiv  32
 
1416:R
 
 
e) 
yxezzyxf 2),,( 
 , 
)3,2,1(P
 , 
kjiv 53 
 
35
15
:
2e
R
 
 
f) 
)()(),,( zyyxzyxf 
 , 
)1,7,5(P
 , 
kiv  3
 
10
12
: R
 
 
2. Use os Multiplicadores de Lagrange para achar os extremos de 
f
 sujeitos aos vínculos 
indicados. 
 
a) 
22 44),( xxyyyxf 
 
122  yx
 
 
0
5
2
,
5
1
5
2
,
5
1
: 











ffR
 e 
5
5
1
,
5
2
5
1
,
5
2












 ff
 
 
b) 
zyxzyxf ),,(
 
25222  zyx
 
 
35
3
5
,
3
5
,
3
5
: 





fR
 e 
35
3
5
,
3
5
,
3
5






f
 
 
c) 
222),,( zyxzyxf 
 
1 zyx
 
3
1
3
1
,
3
1
,
3
1
: 





fR
 
3. Ache o ponto da esfera 
9222  zyx
 mais próximo do ponto 
)4,3,2(P
. 







29
12
,
29
9
,
29
6
R
 
 
4. Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume 
364 cm
. Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de 0,50 centavos por 
centímetro quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do 
material usado em sua fabricação. R: Cada lado possui 4 cm 
 
5. Ache o volume da caixa retangular 
zyxzyxfV 8),,( 
 que possa ser inscrita no 
elipsóide 
1449416 222  zyx
 
364)34,32,3(:  fVR
 
 
5. Calcule 
)(tr
 sujeito às condições dadas. 
 
a) 
ktjtittr 32 8)16()(' 
 e 
kjir  32)0(
 
 
b) 
ktjtitr 642)(' 3 
 e 
kjir 35)0( 
 
 
c) 
kjtittr  2126)(''
 , 
kjir 32)0(' 
 e 
kir 7)0(
 
 
d) 
jittr 36)('' 
 , 
kjir  4)0('
 e 
jr 5)0( 
 
 
6. A curva C é dada parametricamente. Ache dois vetores unitários tangentes a C em P. 
 
a) 
tex 2
 , 
tey 
 , 
42  tz
 e 
)4,1,1(P
 
 
b) 
2 tsenx
 , 
ty cos
 , 
tz 
 e 
)0,1,2(P
 
 
7. A curva C é dada parametricamente. Ache as equações paramétricas da tangente a C em P. 
 
a) 
tex 
 , 
tety 
 , 
42  tz
 e 
)4,0,1(P
 
b) 
tsentx 
 , 
tty cos
 , 
tz 
 e 






2
,0,
2

P
 
c) 
12 3  tx
 , 
35 2  ty
 , 
28  tz
 e 
)10,2,1( P
 
 
d) 
tx 4
 , 
102  ty
 , 
t
z
4

 e 
)1,6,8(P
 
 
8. Calcule o valor as integrais abaixo: 
 
a) 
dtktjtit 
1
1
23 )385(
 b) 
dtktjtiet t

1
0
12 ))1((
2
 
 
c) 
dtktj
t
t
it 





 122 )254(.
)(seccos
)ln(
 
 
9. Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada 
a) 
2
2t
x 
 e 
3
)12( 2
3


t
y
, onde 
40  t
. 
b) 
tsenttx  2cos2
 e 
tttsenx cos22 
, onde 
2
0

 t
. 
c) 
tsenx 32 
 , 
ty 3cos2 
, onde 
2
0

 t
 
 
d) 
tex t cos2 
 e 
tseney t  2
, onde 
21  t
. 
 
e) 
tx 
 e 
3412 4  tyt
, onde 
31  t
. 
 
10. Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva dada por 
ktjttittr  )cot(])3(cos[)cos()( 3
 no ponto P correspondente a 
4

t
.